Theorem lmod0cl 13870

Description: The ring zero in a left module belongs to the set of scalars. (Contributed by NM, 11-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmod0cl.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lmod0cl.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
lmod0cl.z	⊢ 0 = (0g‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
lmod0cl	⊢ (𝑊 ∈ LMod → 0 ∈ 𝐾)

Proof of Theorem lmod0cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmod0cl.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
2	1	lmodring 13851	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Ring)
3		lmod0cl.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
4		lmod0cl.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐹)
5	3, 4	ring0cl 13577	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → 0 ∈ 𝐾)
6	2, 5	syl 14	1 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 0 ∈ 𝐾)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ‘cfv 5258  Basecbs 12678  Scalarcsca 12758  0_gc0g 12927  Ringcrg 13552  LModclmod 13843

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1re 7973  ax-addrcl 7976

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-4 9051  df-5 9052  df-6 9053  df-ndx 12681  df-slot 12682  df-base 12684  df-plusg 12768  df-mulr 12769  df-sca 12771  df-vsca 12772  df-0g 12929  df-mgm 12999  df-sgrp 13045  df-mnd 13058  df-grp 13135  df-ring 13554  df-lmod 13845

This theorem is referenced by:  lmodfopnelem2  13881  lmodfopne  13882  lss1d  13939