Theorem lmod0cl 14321

Description: The ring zero in a left module belongs to the set of scalars. (Contributed by NM, 11-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmod0cl.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lmod0cl.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
lmod0cl.z	⊢ 0 = (0g‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
lmod0cl	⊢ (𝑊 ∈ LMod → 0 ∈ 𝐾)

Proof of Theorem lmod0cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmod0cl.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
2	1	lmodring 14302	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Ring)
3		lmod0cl.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
4		lmod0cl.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐹)
5	3, 4	ring0cl 14027	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → 0 ∈ 𝐾)
6	2, 5	syl 14	1 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 0 ∈ 𝐾)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ‘cfv 5324  Basecbs 13075  Scalarcsca 13156  0_gc0g 13332  Ringcrg 14002  LModclmod 14294

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-cnex 8116  ax-resscn 8117  ax-1re 8119  ax-addrcl 8122

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-inn 9137  df-2 9195  df-3 9196  df-4 9197  df-5 9198  df-6 9199  df-ndx 13078  df-slot 13079  df-base 13081  df-plusg 13166  df-mulr 13167  df-sca 13169  df-vsca 13170  df-0g 13334  df-mgm 13432  df-sgrp 13478  df-mnd 13493  df-grp 13579  df-ring 14004  df-lmod 14296

This theorem is referenced by:  lmodfopnelem2  14332  lmodfopne  14333  lss1d  14390