Theorem lmodvsass 13654

Description: Associative law for scalar product. (Contributed by NM, 10-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodvsass.v	|- V = ( Base ` W )
lmodvsass.f	|- F = (Scalar ` W )
lmodvsass.s	|- .x. = ( .s ` W )
lmodvsass.k	|- K = ( Base ` F )
lmodvsass.t	|- .X. = ( .r ` F )

Assertion

Ref	Expression
lmodvsass	|- ( ( W e. LMod /\ ( Q e. K /\ R e. K /\ X e. V ) ) -> ( ( Q .X. R ) .x. X ) = ( Q .x. ( R .x. X ) ) )

Proof of Theorem lmodvsass

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodvsass.v	. . . . . . 7 |- V = ( Base ` W )
2		eqid 2189	. . . . . . 7 |- ( +g ` W ) = ( +g ` W )
3		lmodvsass.s	. . . . . . 7 |- .x. = ( .s ` W )
4		lmodvsass.f	. . . . . . 7 |- F = (Scalar ` W )
5		lmodvsass.k	. . . . . . 7 |- K = ( Base ` F )
6		eqid 2189	. . . . . . 7 |- ( +g ` F ) = ( +g ` F )
7		lmodvsass.t	. . . . . . 7 |- .X. = ( .r ` F )
8		eqid 2189	. . . . . . 7 |- ( 1r ` F ) = ( 1r ` F )
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	lmodlema 13633	. . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ ( Q e. K /\ R e. K ) /\ ( X e. V /\ X e. V ) ) -> ( ( ( R .x. X ) e. V /\ ( R .x. ( X ( +g ` W ) X ) ) = ( ( R .x. X ) ( +g ` W ) ( R .x. X ) ) /\ ( ( Q ( +g ` F ) R ) .x. X ) = ( ( Q .x. X ) ( +g ` W ) ( R .x. X ) ) ) /\ ( ( ( Q .X. R ) .x. X ) = ( Q .x. ( R .x. X ) ) /\ ( ( 1r ` F ) .x. X ) = X ) ) )
10	9	simprld 530	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ ( Q e. K /\ R e. K ) /\ ( X e. V /\ X e. V ) ) -> ( ( Q .X. R ) .x. X ) = ( Q .x. ( R .x. X ) ) )
11	10	3expa 1205	. . . 4 |- ( ( ( W e. LMod /\ ( Q e. K /\ R e. K ) ) /\ ( X e. V /\ X e. V ) ) -> ( ( Q .X. R ) .x. X ) = ( Q .x. ( R .x. X ) ) )
12	11	anabsan2 584	. . 3 |- ( ( ( W e. LMod /\ ( Q e. K /\ R e. K ) ) /\ X e. V ) -> ( ( Q .X. R ) .x. X ) = ( Q .x. ( R .x. X ) ) )
13	12	exp42 371	. 2 |- ( W e. LMod -> ( Q e. K -> ( R e. K -> ( X e. V -> ( ( Q .X. R ) .x. X ) = ( Q .x. ( R .x. X ) ) ) ) ) )
14	13	3imp2 1224	1 |- ( ( W e. LMod /\ ( Q e. K /\ R e. K /\ X e. V ) ) -> ( ( Q .X. R ) .x. X ) = ( Q .x. ( R .x. X ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2160   ` cfv 5238  (class class class)co 5900   Basecbs 12523   +g cplusg 12600   .rcmulr 12601  Scalarcsca 12603   .scvsca 12604   1rcur 13338   LModclmod 13628

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4139  ax-pow 4195  ax-pr 4230  ax-un 4454  ax-cnex 7937  ax-resscn 7938  ax-1re 7940  ax-addrcl 7943

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3595  df-sn 3616  df-pr 3617  df-op 3619  df-uni 3828  df-int 3863  df-br 4022  df-opab 4083  df-mpt 4084  df-id 4314  df-xp 4653  df-rel 4654  df-cnv 4655  df-co 4656  df-dm 4657  df-rn 4658  df-res 4659  df-iota 5199  df-fun 5240  df-fn 5241  df-fv 5246  df-ov 5903  df-inn 8955  df-2 9013  df-3 9014  df-4 9015  df-5 9016  df-6 9017  df-ndx 12526  df-slot 12527  df-base 12529  df-plusg 12613  df-mulr 12614  df-sca 12616  df-vsca 12617  df-lmod 13630

This theorem is referenced by:  lmodvs0  13663  lmodvsneg  13672  lmodsubvs  13684  lmodsubdi  13685  lmodsubdir  13686  islss3  13720  lss1d  13724