Theorem lmodvsass 14108

Description: Associative law for scalar product. (Contributed by NM, 10-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodvsass.v	|- V = ( Base ` W )
lmodvsass.f	|- F = (Scalar ` W )
lmodvsass.s	|- .x. = ( .s ` W )
lmodvsass.k	|- K = ( Base ` F )
lmodvsass.t	|- .X. = ( .r ` F )

Assertion

Ref	Expression
lmodvsass	|- ( ( W e. LMod /\ ( Q e. K /\ R e. K /\ X e. V ) ) -> ( ( Q .X. R ) .x. X ) = ( Q .x. ( R .x. X ) ) )

Proof of Theorem lmodvsass

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodvsass.v	. . . . . . 7 |- V = ( Base ` W )
2		eqid 2205	. . . . . . 7 |- ( +g ` W ) = ( +g ` W )
3		lmodvsass.s	. . . . . . 7 |- .x. = ( .s ` W )
4		lmodvsass.f	. . . . . . 7 |- F = (Scalar ` W )
5		lmodvsass.k	. . . . . . 7 |- K = ( Base ` F )
6		eqid 2205	. . . . . . 7 |- ( +g ` F ) = ( +g ` F )
7		lmodvsass.t	. . . . . . 7 |- .X. = ( .r ` F )
8		eqid 2205	. . . . . . 7 |- ( 1r ` F ) = ( 1r ` F )
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	lmodlema 14087	. . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ ( Q e. K /\ R e. K ) /\ ( X e. V /\ X e. V ) ) -> ( ( ( R .x. X ) e. V /\ ( R .x. ( X ( +g ` W ) X ) ) = ( ( R .x. X ) ( +g ` W ) ( R .x. X ) ) /\ ( ( Q ( +g ` F ) R ) .x. X ) = ( ( Q .x. X ) ( +g ` W ) ( R .x. X ) ) ) /\ ( ( ( Q .X. R ) .x. X ) = ( Q .x. ( R .x. X ) ) /\ ( ( 1r ` F ) .x. X ) = X ) ) )
10	9	simprld 530	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ ( Q e. K /\ R e. K ) /\ ( X e. V /\ X e. V ) ) -> ( ( Q .X. R ) .x. X ) = ( Q .x. ( R .x. X ) ) )
11	10	3expa 1206	. . . 4 |- ( ( ( W e. LMod /\ ( Q e. K /\ R e. K ) ) /\ ( X e. V /\ X e. V ) ) -> ( ( Q .X. R ) .x. X ) = ( Q .x. ( R .x. X ) ) )
12	11	anabsan2 584	. . 3 |- ( ( ( W e. LMod /\ ( Q e. K /\ R e. K ) ) /\ X e. V ) -> ( ( Q .X. R ) .x. X ) = ( Q .x. ( R .x. X ) ) )
13	12	exp42 371	. 2 |- ( W e. LMod -> ( Q e. K -> ( R e. K -> ( X e. V -> ( ( Q .X. R ) .x. X ) = ( Q .x. ( R .x. X ) ) ) ) ) )
14	13	3imp2 1225	1 |- ( ( W e. LMod /\ ( Q e. K /\ R e. K /\ X e. V ) ) -> ( ( Q .X. R ) .x. X ) = ( Q .x. ( R .x. X ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2176   ` cfv 5272  (class class class)co 5946   Basecbs 12865   +g cplusg 12942   .rcmulr 12943  Scalarcsca 12945   .scvsca 12946   1rcur 13754   LModclmod 14082

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-cnex 8018  ax-resscn 8019  ax-1re 8021  ax-addrcl 8024

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-br 4046  df-opab 4107  df-mpt 4108  df-id 4341  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-rn 4687  df-res 4688  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fn 5275  df-fv 5280  df-ov 5949  df-inn 9039  df-2 9097  df-3 9098  df-4 9099  df-5 9100  df-6 9101  df-ndx 12868  df-slot 12869  df-base 12871  df-plusg 12955  df-mulr 12956  df-sca 12958  df-vsca 12959  df-lmod 14084

This theorem is referenced by:  lmodvs0  14117  lmodvsneg  14126  lmodsubvs  14138  lmodsubdi  14139  lmodsubdir  14140  islss3  14174  lss1d  14178