Theorem lmodvsass 14236

Description: Associative law for scalar product. (Contributed by NM, 10-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodvsass.v	|- V = ( Base ` W )
lmodvsass.f	|- F = (Scalar ` W )
lmodvsass.s	|- .x. = ( .s ` W )
lmodvsass.k	|- K = ( Base ` F )
lmodvsass.t	|- .X. = ( .r ` F )

Assertion

Ref	Expression
lmodvsass	|- ( ( W e. LMod /\ ( Q e. K /\ R e. K /\ X e. V ) ) -> ( ( Q .X. R ) .x. X ) = ( Q .x. ( R .x. X ) ) )

Proof of Theorem lmodvsass

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodvsass.v	. . . . . . 7 |- V = ( Base ` W )
2		eqid 2207	. . . . . . 7 |- ( +g ` W ) = ( +g ` W )
3		lmodvsass.s	. . . . . . 7 |- .x. = ( .s ` W )
4		lmodvsass.f	. . . . . . 7 |- F = (Scalar ` W )
5		lmodvsass.k	. . . . . . 7 |- K = ( Base ` F )
6		eqid 2207	. . . . . . 7 |- ( +g ` F ) = ( +g ` F )
7		lmodvsass.t	. . . . . . 7 |- .X. = ( .r ` F )
8		eqid 2207	. . . . . . 7 |- ( 1r ` F ) = ( 1r ` F )
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	lmodlema 14215	. . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ ( Q e. K /\ R e. K ) /\ ( X e. V /\ X e. V ) ) -> ( ( ( R .x. X ) e. V /\ ( R .x. ( X ( +g ` W ) X ) ) = ( ( R .x. X ) ( +g ` W ) ( R .x. X ) ) /\ ( ( Q ( +g ` F ) R ) .x. X ) = ( ( Q .x. X ) ( +g ` W ) ( R .x. X ) ) ) /\ ( ( ( Q .X. R ) .x. X ) = ( Q .x. ( R .x. X ) ) /\ ( ( 1r ` F ) .x. X ) = X ) ) )
10	9	simprld 530	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ ( Q e. K /\ R e. K ) /\ ( X e. V /\ X e. V ) ) -> ( ( Q .X. R ) .x. X ) = ( Q .x. ( R .x. X ) ) )
11	10	3expa 1206	. . . 4 |- ( ( ( W e. LMod /\ ( Q e. K /\ R e. K ) ) /\ ( X e. V /\ X e. V ) ) -> ( ( Q .X. R ) .x. X ) = ( Q .x. ( R .x. X ) ) )
12	11	anabsan2 584	. . 3 |- ( ( ( W e. LMod /\ ( Q e. K /\ R e. K ) ) /\ X e. V ) -> ( ( Q .X. R ) .x. X ) = ( Q .x. ( R .x. X ) ) )
13	12	exp42 371	. 2 |- ( W e. LMod -> ( Q e. K -> ( R e. K -> ( X e. V -> ( ( Q .X. R ) .x. X ) = ( Q .x. ( R .x. X ) ) ) ) ) )
14	13	3imp2 1225	1 |- ( ( W e. LMod /\ ( Q e. K /\ R e. K /\ X e. V ) ) -> ( ( Q .X. R ) .x. X ) = ( Q .x. ( R .x. X ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2178   ` cfv 5291  (class class class)co 5969   Basecbs 12993   +g cplusg 13070   .rcmulr 13071  Scalarcsca 13073   .scvsca 13074   1rcur 13882   LModclmod 14210

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4179  ax-pow 4235  ax-pr 4270  ax-un 4499  ax-cnex 8053  ax-resscn 8054  ax-1re 8056  ax-addrcl 8059

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rex 2492  df-rab 2495  df-v 2779  df-sbc 3007  df-un 3179  df-in 3181  df-ss 3188  df-pw 3629  df-sn 3650  df-pr 3651  df-op 3653  df-uni 3866  df-int 3901  df-br 4061  df-opab 4123  df-mpt 4124  df-id 4359  df-xp 4700  df-rel 4701  df-cnv 4702  df-co 4703  df-dm 4704  df-rn 4705  df-res 4706  df-iota 5252  df-fun 5293  df-fn 5294  df-fv 5299  df-ov 5972  df-inn 9074  df-2 9132  df-3 9133  df-4 9134  df-5 9135  df-6 9136  df-ndx 12996  df-slot 12997  df-base 12999  df-plusg 13083  df-mulr 13084  df-sca 13086  df-vsca 13087  df-lmod 14212

This theorem is referenced by:  lmodvs0  14245  lmodvsneg  14254  lmodsubvs  14266  lmodsubdi  14267  lmodsubdir  14268  islss3  14302  lss1d  14306