Theorem lmodvsass 14478

Description: Associative law for scalar product. (Contributed by NM, 10-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodvsass.v	|- V = ( Base ` W )
lmodvsass.f	|- F = (Scalar ` W )
lmodvsass.s	|- .x. = ( .s ` W )
lmodvsass.k	|- K = ( Base ` F )
lmodvsass.t	|- .X. = ( .r ` F )

Assertion

Ref	Expression
lmodvsass	|- ( ( W e. LMod /\ ( Q e. K /\ R e. K /\ X e. V ) ) -> ( ( Q .X. R ) .x. X ) = ( Q .x. ( R .x. X ) ) )

Proof of Theorem lmodvsass

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodvsass.v	. . . . . . 7 |- V = ( Base ` W )
2		eqid 2234	. . . . . . 7 |- ( +g ` W ) = ( +g ` W )
3		lmodvsass.s	. . . . . . 7 |- .x. = ( .s ` W )
4		lmodvsass.f	. . . . . . 7 |- F = (Scalar ` W )
5		lmodvsass.k	. . . . . . 7 |- K = ( Base ` F )
6		eqid 2234	. . . . . . 7 |- ( +g ` F ) = ( +g ` F )
7		lmodvsass.t	. . . . . . 7 |- .X. = ( .r ` F )
8		eqid 2234	. . . . . . 7 |- ( 1r ` F ) = ( 1r ` F )
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	lmodlema 14457	. . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ ( Q e. K /\ R e. K ) /\ ( X e. V /\ X e. V ) ) -> ( ( ( R .x. X ) e. V /\ ( R .x. ( X ( +g ` W ) X ) ) = ( ( R .x. X ) ( +g ` W ) ( R .x. X ) ) /\ ( ( Q ( +g ` F ) R ) .x. X ) = ( ( Q .x. X ) ( +g ` W ) ( R .x. X ) ) ) /\ ( ( ( Q .X. R ) .x. X ) = ( Q .x. ( R .x. X ) ) /\ ( ( 1r ` F ) .x. X ) = X ) ) )
10	9	simprld 532	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ ( Q e. K /\ R e. K ) /\ ( X e. V /\ X e. V ) ) -> ( ( Q .X. R ) .x. X ) = ( Q .x. ( R .x. X ) ) )
11	10	3expa 1230	. . . 4 |- ( ( ( W e. LMod /\ ( Q e. K /\ R e. K ) ) /\ ( X e. V /\ X e. V ) ) -> ( ( Q .X. R ) .x. X ) = ( Q .x. ( R .x. X ) ) )
12	11	anabsan2 586	. . 3 |- ( ( ( W e. LMod /\ ( Q e. K /\ R e. K ) ) /\ X e. V ) -> ( ( Q .X. R ) .x. X ) = ( Q .x. ( R .x. X ) ) )
13	12	exp42 371	. 2 |- ( W e. LMod -> ( Q e. K -> ( R e. K -> ( X e. V -> ( ( Q .X. R ) .x. X ) = ( Q .x. ( R .x. X ) ) ) ) ) )
14	13	3imp2 1249	1 |- ( ( W e. LMod /\ ( Q e. K /\ R e. K /\ X e. V ) ) -> ( ( Q .X. R ) .x. X ) = ( Q .x. ( R .x. X ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2205   ` cfv 5354  (class class class)co 6052   Basecbs 13229   +g cplusg 13307   .rcmulr 13308  Scalarcsca 13310   .scvsca 13311   1rcur 14120   LModclmod 14452

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-cnex 8220  ax-resscn 8221  ax-1re 8223  ax-addrcl 8226

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-fv 5362  df-ov 6055  df-inn 9240  df-2 9298  df-3 9299  df-4 9300  df-5 9301  df-6 9302  df-ndx 13232  df-slot 13233  df-base 13235  df-plusg 13320  df-mulr 13321  df-sca 13323  df-vsca 13324  df-lmod 14454

This theorem is referenced by:  lmodvs0  14487  lmodvsneg  14496  lmodsubvs  14508  lmodsubdi  14509  lmodsubdir  14510  islss3  14544  lss1d  14548