Theorem lmodfopnelem2 14283

Description: Lemma 2 for lmodfopne 14284. (Contributed by AV, 2-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodfopne.t	|- .x. = ( .sf ` W )
lmodfopne.a	|- .+ = ( +f ` W )
lmodfopne.v	|- V = ( Base ` W )
lmodfopne.s	|- S = (Scalar ` W )
lmodfopne.k	|- K = ( Base ` S )
lmodfopne.0	|- .0. = ( 0g ` S )
lmodfopne.1	|- .1. = ( 1r ` S )

Assertion

Ref	Expression
lmodfopnelem2	|- ( ( W e. LMod /\ .+ = .x. ) -> ( .0. e. V /\ .1. e. V ) )

Proof of Theorem lmodfopnelem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodfopne.t	. . . . 5 |- .x. = ( .sf ` W )
2		lmodfopne.a	. . . . 5 |- .+ = ( +f ` W )
3		lmodfopne.v	. . . . 5 |- V = ( Base ` W )
4		lmodfopne.s	. . . . 5 |- S = (Scalar ` W )
5		lmodfopne.k	. . . . 5 |- K = ( Base ` S )
6	1, 2, 3, 4, 5	lmodfopnelem1 14282	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ .+ = .x. ) -> V = K )
7	6	ex 115	. . 3 |- ( W e. LMod -> ( .+ = .x. -> V = K ) )
8		lmodfopne.0	. . . . . 6 |- .0. = ( 0g ` S )
9	4, 5, 8	lmod0cl 14272	. . . . 5 |- ( W e. LMod -> .0. e. K )
10		lmodfopne.1	. . . . . 6 |- .1. = ( 1r ` S )
11	4, 5, 10	lmod1cl 14273	. . . . 5 |- ( W e. LMod -> .1. e. K )
12	9, 11	jca 306	. . . 4 |- ( W e. LMod -> ( .0. e. K /\ .1. e. K ) )
13		eleq2 2293	. . . . 5 |- ( V = K -> ( .0. e. V <-> .0. e. K ) )
14		eleq2 2293	. . . . 5 |- ( V = K -> ( .1. e. V <-> .1. e. K ) )
15	13, 14	anbi12d 473	. . . 4 |- ( V = K -> ( ( .0. e. V /\ .1. e. V ) <-> ( .0. e. K /\ .1. e. K ) ) )
16	12, 15	syl5ibrcom 157	. . 3 |- ( W e. LMod -> ( V = K -> ( .0. e. V /\ .1. e. V ) ) )
17	7, 16	syld 45	. 2 |- ( W e. LMod -> ( .+ = .x. -> ( .0. e. V /\ .1. e. V ) ) )
18	17	imp 124	1 |- ( ( W e. LMod /\ .+ = .x. ) -> ( .0. e. V /\ .1. e. V ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   ` cfv 5317   Basecbs 13027  Scalarcsca 13108   0gc0g 13284   +fcplusf 13381   1rcur 13917   LModclmod 14245   .sfcscaf 14246

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-addcom 8095  ax-addass 8097  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltadd 8111

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4383  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-1st 6284  df-2nd 6285  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-ltxr 8182  df-inn 9107  df-2 9165  df-3 9166  df-4 9167  df-5 9168  df-6 9169  df-ndx 13030  df-slot 13031  df-base 13033  df-sets 13034  df-plusg 13118  df-mulr 13119  df-sca 13121  df-vsca 13122  df-0g 13286  df-plusf 13383  df-mgm 13384  df-sgrp 13430  df-mnd 13445  df-grp 13531  df-mgp 13879  df-ur 13918  df-ring 13956  df-lmod 14247  df-scaf 14248

This theorem is referenced by:  lmodfopne  14284