Theorem lmodfopnelem2 14771

Description: Lemma 2 for lmodfopne 14772. (Contributed by AV, 2-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodfopne.t	|- .x. = ( .sf ` W )
lmodfopne.a	|- .+ = ( +f ` W )
lmodfopne.v	|- V = ( Base ` W )
lmodfopne.s	|- S = (Scalar ` W )
lmodfopne.k	|- K = ( Base ` S )
lmodfopne.0	|- .0. = ( 0g ` S )
lmodfopne.1	|- .1. = ( 1r ` S )

Assertion

Ref	Expression
lmodfopnelem2	|- ( ( W e. LMod /\ .+ = .x. ) -> ( .0. e. V /\ .1. e. V ) )

Proof of Theorem lmodfopnelem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodfopne.t	. . . . 5 |- .x. = ( .sf ` W )
2		lmodfopne.a	. . . . 5 |- .+ = ( +f ` W )
3		lmodfopne.v	. . . . 5 |- V = ( Base ` W )
4		lmodfopne.s	. . . . 5 |- S = (Scalar ` W )
5		lmodfopne.k	. . . . 5 |- K = ( Base ` S )
6	1, 2, 3, 4, 5	lmodfopnelem1 14770	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ .+ = .x. ) -> V = K )
7	6	ex 115	. . 3 |- ( W e. LMod -> ( .+ = .x. -> V = K ) )
8		lmodfopne.0	. . . . . 6 |- .0. = ( 0g ` S )
9	4, 5, 8	lmod0cl 14760	. . . . 5 |- ( W e. LMod -> .0. e. K )
10		lmodfopne.1	. . . . . 6 |- .1. = ( 1r ` S )
11	4, 5, 10	lmod1cl 14761	. . . . 5 |- ( W e. LMod -> .1. e. K )
12	9, 11	jca 306	. . . 4 |- ( W e. LMod -> ( .0. e. K /\ .1. e. K ) )
13		eleq2 2302	. . . . 5 |- ( V = K -> ( .0. e. V <-> .0. e. K ) )
14		eleq2 2302	. . . . 5 |- ( V = K -> ( .1. e. V <-> .1. e. K ) )
15	13, 14	anbi12d 477	. . . 4 |- ( V = K -> ( ( .0. e. V /\ .1. e. V ) <-> ( .0. e. K /\ .1. e. K ) ) )
16	12, 15	syl5ibrcom 157	. . 3 |- ( W e. LMod -> ( V = K -> ( .0. e. V /\ .1. e. V ) ) )
17	7, 16	syld 45	. 2 |- ( W e. LMod -> ( .+ = .x. -> ( .0. e. V /\ .1. e. V ) ) )
18	17	imp 124	1 |- ( ( W e. LMod /\ .+ = .x. ) -> ( .0. e. V /\ .1. e. V ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   ` cfv 5380   Basecbs 13410  Scalarcsca 13493   0gc0g 13669   +fcplusf 13732   1rcur 14369   LModclmod 14732   .sfcscaf 14733

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltadd 8301

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-ltxr 8371  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-5 9375  df-6 9376  df-ndx 13413  df-slot 13414  df-base 13416  df-sets 13417  df-plusg 13503  df-mulr 13504  df-sca 13506  df-vsca 13507  df-0g 13671  df-plusf 13734  df-mgm 13735  df-sgrp 13776  df-mnd 13789  df-grp 13867  df-mgp 14325  df-ur 14370  df-ring 14409  df-lmod 14734  df-scaf 14735

This theorem is used by:  lmodfopne  14772