Theorem lmodfopnelem2 14634

Description: Lemma 2 for lmodfopne 14635. (Contributed by AV, 2-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodfopne.t	|- .x. = ( .sf ` W )
lmodfopne.a	|- .+ = ( +f ` W )
lmodfopne.v	|- V = ( Base ` W )
lmodfopne.s	|- S = (Scalar ` W )
lmodfopne.k	|- K = ( Base ` S )
lmodfopne.0	|- .0. = ( 0g ` S )
lmodfopne.1	|- .1. = ( 1r ` S )

Assertion

Ref	Expression
lmodfopnelem2	|- ( ( W e. LMod /\ .+ = .x. ) -> ( .0. e. V /\ .1. e. V ) )

Proof of Theorem lmodfopnelem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodfopne.t	. . . . 5 |- .x. = ( .sf ` W )
2		lmodfopne.a	. . . . 5 |- .+ = ( +f ` W )
3		lmodfopne.v	. . . . 5 |- V = ( Base ` W )
4		lmodfopne.s	. . . . 5 |- S = (Scalar ` W )
5		lmodfopne.k	. . . . 5 |- K = ( Base ` S )
6	1, 2, 3, 4, 5	lmodfopnelem1 14633	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ .+ = .x. ) -> V = K )
7	6	ex 115	. . 3 |- ( W e. LMod -> ( .+ = .x. -> V = K ) )
8		lmodfopne.0	. . . . . 6 |- .0. = ( 0g ` S )
9	4, 5, 8	lmod0cl 14623	. . . . 5 |- ( W e. LMod -> .0. e. K )
10		lmodfopne.1	. . . . . 6 |- .1. = ( 1r ` S )
11	4, 5, 10	lmod1cl 14624	. . . . 5 |- ( W e. LMod -> .1. e. K )
12	9, 11	jca 306	. . . 4 |- ( W e. LMod -> ( .0. e. K /\ .1. e. K ) )
13		eleq2 2302	. . . . 5 |- ( V = K -> ( .0. e. V <-> .0. e. K ) )
14		eleq2 2302	. . . . 5 |- ( V = K -> ( .1. e. V <-> .1. e. K ) )
15	13, 14	anbi12d 477	. . . 4 |- ( V = K -> ( ( .0. e. V /\ .1. e. V ) <-> ( .0. e. K /\ .1. e. K ) ) )
16	12, 15	syl5ibrcom 157	. . 3 |- ( W e. LMod -> ( V = K -> ( .0. e. V /\ .1. e. V ) ) )
17	7, 16	syld 45	. 2 |- ( W e. LMod -> ( .+ = .x. -> ( .0. e. V /\ .1. e. V ) ) )
18	17	imp 124	1 |- ( ( W e. LMod /\ .+ = .x. ) -> ( .0. e. V /\ .1. e. V ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   ` cfv 5372   Basecbs 13330  Scalarcsca 13411   0gc0g 13587   +fcplusf 13650   1rcur 14237   LModclmod 14596   .sfcscaf 14597

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-ltxr 8355  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-4 9344  df-5 9345  df-6 9346  df-ndx 13333  df-slot 13334  df-base 13336  df-sets 13337  df-plusg 13421  df-mulr 13422  df-sca 13424  df-vsca 13425  df-0g 13589  df-plusf 13652  df-mgm 13653  df-sgrp 13694  df-mnd 13707  df-grp 13785  df-mgp 14195  df-ur 14238  df-ring 14276  df-lmod 14598  df-scaf 14599

This theorem is referenced by:  lmodfopne  14635