Theorem lmodfopnelem2 14358

Description: Lemma 2 for lmodfopne 14359. (Contributed by AV, 2-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodfopne.t	|- .x. = ( .sf ` W )
lmodfopne.a	|- .+ = ( +f ` W )
lmodfopne.v	|- V = ( Base ` W )
lmodfopne.s	|- S = (Scalar ` W )
lmodfopne.k	|- K = ( Base ` S )
lmodfopne.0	|- .0. = ( 0g ` S )
lmodfopne.1	|- .1. = ( 1r ` S )

Assertion

Ref	Expression
lmodfopnelem2	|- ( ( W e. LMod /\ .+ = .x. ) -> ( .0. e. V /\ .1. e. V ) )

Proof of Theorem lmodfopnelem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodfopne.t	. . . . 5 |- .x. = ( .sf ` W )
2		lmodfopne.a	. . . . 5 |- .+ = ( +f ` W )
3		lmodfopne.v	. . . . 5 |- V = ( Base ` W )
4		lmodfopne.s	. . . . 5 |- S = (Scalar ` W )
5		lmodfopne.k	. . . . 5 |- K = ( Base ` S )
6	1, 2, 3, 4, 5	lmodfopnelem1 14357	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ .+ = .x. ) -> V = K )
7	6	ex 115	. . 3 |- ( W e. LMod -> ( .+ = .x. -> V = K ) )
8		lmodfopne.0	. . . . . 6 |- .0. = ( 0g ` S )
9	4, 5, 8	lmod0cl 14347	. . . . 5 |- ( W e. LMod -> .0. e. K )
10		lmodfopne.1	. . . . . 6 |- .1. = ( 1r ` S )
11	4, 5, 10	lmod1cl 14348	. . . . 5 |- ( W e. LMod -> .1. e. K )
12	9, 11	jca 306	. . . 4 |- ( W e. LMod -> ( .0. e. K /\ .1. e. K ) )
13		eleq2 2295	. . . . 5 |- ( V = K -> ( .0. e. V <-> .0. e. K ) )
14		eleq2 2295	. . . . 5 |- ( V = K -> ( .1. e. V <-> .1. e. K ) )
15	13, 14	anbi12d 473	. . . 4 |- ( V = K -> ( ( .0. e. V /\ .1. e. V ) <-> ( .0. e. K /\ .1. e. K ) ) )
16	12, 15	syl5ibrcom 157	. . 3 |- ( W e. LMod -> ( V = K -> ( .0. e. V /\ .1. e. V ) ) )
17	7, 16	syld 45	. 2 |- ( W e. LMod -> ( .+ = .x. -> ( .0. e. V /\ .1. e. V ) ) )
18	17	imp 124	1 |- ( ( W e. LMod /\ .+ = .x. ) -> ( .0. e. V /\ .1. e. V ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1397   e. wcel 2202   ` cfv 5326   Basecbs 13100  Scalarcsca 13181   0gc0g 13357   +fcplusf 13454   1rcur 13991   LModclmod 14320   .sfcscaf 14321

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-addass 8134  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltadd 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-ltxr 8219  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-5 9205  df-6 9206  df-ndx 13103  df-slot 13104  df-base 13106  df-sets 13107  df-plusg 13191  df-mulr 13192  df-sca 13194  df-vsca 13195  df-0g 13359  df-plusf 13456  df-mgm 13457  df-sgrp 13503  df-mnd 13518  df-grp 13604  df-mgp 13953  df-ur 13992  df-ring 14030  df-lmod 14322  df-scaf 14323

This theorem is referenced by:  lmodfopne  14359