Theorem lmreltop 13778

Description: The topological space convergence relation is a relation. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Mar-2023.)

Assertion

Ref	Expression
lmreltop	|- ( J e. Top -> Rel ( ~~> t ` J ) )

Proof of Theorem lmreltop

Dummy variables f u x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relopab 4755	. 2 |- Rel { <. f , x >. | ( f e. ( U. J ^pm CC ) /\ x e. U. J /\ A. u e. J ( x e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( f |` y ) : y --> u ) ) }
2		toptopon2 13604	. . . 4 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` U. J ) )
3		lmfval 13777	. . . 4 |- ( J e. (TopOn ` U. J ) -> ( ~~> t ` J ) = { <. f , x >. | ( f e. ( U. J ^pm CC ) /\ x e. U. J /\ A. u e. J ( x e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( f |` y ) : y --> u ) ) } )
4	2, 3	sylbi 121	. . 3 |- ( J e. Top -> ( ~~> t ` J ) = { <. f , x >. | ( f e. ( U. J ^pm CC ) /\ x e. U. J /\ A. u e. J ( x e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( f |` y ) : y --> u ) ) } )
5	4	releqd 4712	. 2 |- ( J e. Top -> ( Rel ( ~~> t ` J ) <-> Rel { <. f , x >. | ( f e. ( U. J ^pm CC ) /\ x e. U. J /\ A. u e. J ( x e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( f |` y ) : y --> u ) ) } ) )
6	1, 5	mpbiri 168	1 |- ( J e. Top -> Rel ( ~~> t ` J ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 978   = wceq 1353   e. wcel 2148   A.wral 2455   E.wrex 2456   U.cuni 3811   {copab 4065   ran crn 4629   |` cres 4630   Rel wrel 4633   -->wf 5214   ` cfv 5218  (class class class)co 5877   ^pm cpm 6651   CCcc 7811   ZZ>=cuz 9530   Topctop 13582  TopOnctopon 13595   ~~> tclm 13772

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-cnex 7904

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-fv 5226  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-pm 6653  df-top 13583  df-topon 13596  df-lm 13775

This theorem is referenced by: (None)