Theorem lmreltop 14513

Description: The topological space convergence relation is a relation. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Mar-2023.)

Assertion

Ref	Expression
lmreltop	|- ( J e. Top -> Rel ( ~~> t ` J ) )

Proof of Theorem lmreltop

Dummy variables f u x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relopab 4793	. 2 |- Rel { <. f , x >. | ( f e. ( U. J ^pm CC ) /\ x e. U. J /\ A. u e. J ( x e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( f |` y ) : y --> u ) ) }
2		toptopon2 14339	. . . 4 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` U. J ) )
3		lmfval 14512	. . . 4 |- ( J e. (TopOn ` U. J ) -> ( ~~> t ` J ) = { <. f , x >. | ( f e. ( U. J ^pm CC ) /\ x e. U. J /\ A. u e. J ( x e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( f |` y ) : y --> u ) ) } )
4	2, 3	sylbi 121	. . 3 |- ( J e. Top -> ( ~~> t ` J ) = { <. f , x >. | ( f e. ( U. J ^pm CC ) /\ x e. U. J /\ A. u e. J ( x e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( f |` y ) : y --> u ) ) } )
5	4	releqd 4748	. 2 |- ( J e. Top -> ( Rel ( ~~> t ` J ) <-> Rel { <. f , x >. | ( f e. ( U. J ^pm CC ) /\ x e. U. J /\ A. u e. J ( x e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( f |` y ) : y --> u ) ) } ) )
6	1, 5	mpbiri 168	1 |- ( J e. Top -> Rel ( ~~> t ` J ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2167   A.wral 2475   E.wrex 2476   U.cuni 3840   {copab 4094   ran crn 4665   |` cres 4666   Rel wrel 4669   -->wf 5255   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   ^pm cpm 6717   CCcc 7894   ZZ>=cuz 9618   Topctop 14317  TopOnctopon 14330   ~~> tclm 14507

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-cnex 7987

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-fv 5267  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-pm 6719  df-top 14318  df-topon 14331  df-lm 14510

This theorem is referenced by: (None)