Theorem lmreltop 12351

Description: The topological space convergence relation is a relation. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Mar-2023.)

Assertion

Ref	Expression
lmreltop	|- ( J e. Top -> Rel ( ~~> t ` J ) )

Proof of Theorem lmreltop

Dummy variables f u x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relopab 4661	. 2 |- Rel { <. f , x >. | ( f e. ( U. J ^pm CC ) /\ x e. U. J /\ A. u e. J ( x e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( f |` y ) : y --> u ) ) }
2		toptopon2 12175	. . . 4 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` U. J ) )
3		lmfval 12350	. . . 4 |- ( J e. (TopOn ` U. J ) -> ( ~~> t ` J ) = { <. f , x >. | ( f e. ( U. J ^pm CC ) /\ x e. U. J /\ A. u e. J ( x e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( f |` y ) : y --> u ) ) } )
4	2, 3	sylbi 120	. . 3 |- ( J e. Top -> ( ~~> t ` J ) = { <. f , x >. | ( f e. ( U. J ^pm CC ) /\ x e. U. J /\ A. u e. J ( x e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( f |` y ) : y --> u ) ) } )
5	4	releqd 4618	. 2 |- ( J e. Top -> ( Rel ( ~~> t ` J ) <-> Rel { <. f , x >. | ( f e. ( U. J ^pm CC ) /\ x e. U. J /\ A. u e. J ( x e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( f |` y ) : y --> u ) ) } ) )
6	1, 5	mpbiri 167	1 |- ( J e. Top -> Rel ( ~~> t ` J ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 962   = wceq 1331   e. wcel 1480   A.wral 2414   E.wrex 2415   U.cuni 3731   {copab 3983   ran crn 4535   |` cres 4536   Rel wrel 4539   -->wf 5114   ` cfv 5118  (class class class)co 5767   ^pm cpm 6536   CCcc 7611   ZZ>=cuz 9319   Topctop 12153  TopOnctopon 12166   ~~> tclm 12345

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-cnex 7704

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419  df-rex 2420  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-fv 5126  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-pm 6538  df-top 12154  df-topon 12167  df-lm 12348

This theorem is referenced by: (None)