Theorem toptopon2 13922

Description: A topology is the same thing as a topology on the union of its open sets. (Contributed by BJ, 27-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
toptopon2	|- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` U. J ) )

Proof of Theorem toptopon2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2189	. 2 |- U. J = U. J
2	1	toptopon 13921	1 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` U. J ) )

Syntax hints:   <-> wb 105   e. wcel 2160   U.cuni 3824   ` cfv 5231   Topctop 13900  TopOnctopon 13913

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4308  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fv 5239  df-topon 13914

This theorem is referenced by:  topontopon  13923  lmreltop  14096  cnovex  14099  cnptopco  14125  cnptopresti  14141  lmtopcnp  14153  lmcn  14154  txcnmpt  14176  txdis1cn  14181  lmcn2  14183  cnmpt1t  14188  cnmpt12  14190  cnmpt21  14194  cnmpt21f  14195  cnmpt2t  14196  cnmpt22  14197  cnmpt22f  14198  cnmptcom  14201  limccnp2lem  14548  limccnp2cntop  14549