Theorem toptopon2 15211

Description: A topology is the same thing as a topology on the union of its open sets. (Contributed by BJ, 27-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
toptopon2	|- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` U. J ) )

Proof of Theorem toptopon2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2238	. 2 |- U. J = U. J
2	1	toptopon 15210	1 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` U. J ) )

This proof depends on syntax axioms:   <-> wb 105   e. wcel 2209   U.cuni 3935   ` cfv 5377   Topctop 15189  TopOnctopon 15202

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-topon 15203

This theorem is used by:  topontopon  15212  cnovex  15388  cnptopco  15414  cnptopresti  15430  lmtopcnp  15442  lmcn  15443  txcnmpt  15465  txdis1cn  15470  lmcn2  15472  cnmpt1t  15477  cnmpt12  15479  cnmpt21  15483  cnmpt21f  15484  cnmpt2t  15485  cnmpt22  15486  cnmpt22f  15487  cnmptcom  15490  limccnp2lem  15868  limccnp2cntop  15869