Theorem toptopon2 14524

Description: A topology is the same thing as a topology on the union of its open sets. (Contributed by BJ, 27-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
toptopon2	|- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` U. J ) )

Proof of Theorem toptopon2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2205	. 2 |- U. J = U. J
2	1	toptopon 14523	1 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` U. J ) )

Syntax hints:   <-> wb 105   e. wcel 2176   U.cuni 3850   ` cfv 5272   Topctop 14502  TopOnctopon 14515

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-br 4046  df-opab 4107  df-mpt 4108  df-id 4341  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fv 5280  df-topon 14516

This theorem is referenced by:  topontopon  14525  lmreltop  14698  cnovex  14701  cnptopco  14727  cnptopresti  14743  lmtopcnp  14755  lmcn  14756  txcnmpt  14778  txdis1cn  14783  lmcn2  14785  cnmpt1t  14790  cnmpt12  14792  cnmpt21  14796  cnmpt21f  14797  cnmpt2t  14798  cnmpt22  14799  cnmpt22f  14800  cnmptcom  14803  limccnp2lem  15181  limccnp2cntop  15182