Theorem toptopon2 15245

Description: A topology is the same thing as a topology on the union of its open sets. (Contributed by BJ, 27-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
toptopon2	|- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` U. J ) )

Proof of Theorem toptopon2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2238	. 2 |- U. J = U. J
2	1	toptopon 15244	1 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` U. J ) )

This proof depends on syntax axioms:   <-> wb 105   e. wcel 2209   U.cuni 3935   ` cfv 5380   Topctop 15223  TopOnctopon 15236

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fv 5388  df-topon 15237

This theorem is used by:  topontopon  15246  cnovex  15422  cnptopco  15448  cnptopresti  15464  lmtopcnp  15476  lmcn  15477  txcnmpt  15499  txdis1cn  15504  lmcn2  15506  cnmpt1t  15511  cnmpt12  15513  cnmpt21  15517  cnmpt21f  15518  cnmpt2t  15519  cnmpt22  15520  cnmpt22f  15521  cnmptcom  15524  limccnp2lem  15902  limccnp2cntop  15903