Theorem toptopon2 14693

Description: A topology is the same thing as a topology on the union of its open sets. (Contributed by BJ, 27-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
toptopon2	|- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` U. J ) )

Proof of Theorem toptopon2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2229	. 2 |- U. J = U. J
2	1	toptopon 14692	1 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` U. J ) )

Syntax hints:   <-> wb 105   e. wcel 2200   U.cuni 3888   ` cfv 5318   Topctop 14671  TopOnctopon 14684

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fv 5326  df-topon 14685

This theorem is referenced by:  topontopon  14694  cnovex  14870  cnptopco  14896  cnptopresti  14912  lmtopcnp  14924  lmcn  14925  txcnmpt  14947  txdis1cn  14952  lmcn2  14954  cnmpt1t  14959  cnmpt12  14961  cnmpt21  14965  cnmpt21f  14966  cnmpt2t  14967  cnmpt22  14968  cnmpt22f  14969  cnmptcom  14972  limccnp2lem  15350  limccnp2cntop  15351