Theorem toptopon2 14810

Description: A topology is the same thing as a topology on the union of its open sets. (Contributed by BJ, 27-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
toptopon2	|- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` U. J ) )

Proof of Theorem toptopon2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2231	. 2 |- U. J = U. J
2	1	toptopon 14809	1 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` U. J ) )

Syntax hints:   <-> wb 105   e. wcel 2202   U.cuni 3898   ` cfv 5333   Topctop 14788  TopOnctopon 14801

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fv 5341  df-topon 14802

This theorem is referenced by:  topontopon  14811  cnovex  14987  cnptopco  15013  cnptopresti  15029  lmtopcnp  15041  lmcn  15042  txcnmpt  15064  txdis1cn  15069  lmcn2  15071  cnmpt1t  15076  cnmpt12  15078  cnmpt21  15082  cnmpt21f  15083  cnmpt2t  15084  cnmpt22  15085  cnmpt22f  15086  cnmptcom  15089  limccnp2lem  15467  limccnp2cntop  15468