Theorem lspex 13708

Description: Existence of the span of a set of vectors. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Apr-2025.)

Assertion

Ref	Expression
lspex	|- ( W e. X -> ( LSpan ` W ) e. _V )

Proof of Theorem lspex

Dummy variables s t are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2189	. . 3 |- ( Base ` W ) = ( Base ` W )
2		eqid 2189	. . 3 |- ( LSubSp ` W ) = ( LSubSp ` W )
3		eqid 2189	. . 3 |- ( LSpan ` W ) = ( LSpan ` W )
4	1, 2, 3	lspfval 13701	. 2 |- ( W e. X -> ( LSpan ` W ) = ( s e. ~P ( Base ` W ) |-> |^| { t e. ( LSubSp ` W ) | s C_ t } ) )
5		basfn 12569	. . . . 5 |- Base Fn _V
6		elex 2763	. . . . 5 |- ( W e. X -> W e. _V )
7		funfvex 5551	. . . . . 6 |- ( ( Fun Base /\ W e. dom Base ) -> ( Base ` W ) e. _V )
8	7	funfni 5335	. . . . 5 |- ( ( Base Fn _V /\ W e. _V ) -> ( Base ` W ) e. _V )
9	5, 6, 8	sylancr 414	. . . 4 |- ( W e. X -> ( Base ` W ) e. _V )
10	9	pwexd 4199	. . 3 |- ( W e. X -> ~P ( Base ` W ) e. _V )
11	10	mptexd 5763	. 2 |- ( W e. X -> ( s e. ~P ( Base ` W ) |-> |^| { t e. ( LSubSp ` W ) | s C_ t } ) e. _V )
12	4, 11	eqeltrd 2266	1 |- ( W e. X -> ( LSpan ` W ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2160   {crab 2472   _Vcvv 2752   C_ wss 3144   ~Pcpw 3590   |^|cint 3859   |-> cmpt 4079   Fn wfn 5230   ` cfv 5235   Basecbs 12511   LSubSpclss 13665   LSpanclspn 13699

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-cnex 7931  ax-resscn 7932  ax-1re 7934  ax-addrcl 7937

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-inn 8949  df-ndx 12514  df-slot 12515  df-base 12517  df-lsp 13700

This theorem is referenced by:  rspex  13787