Theorem lspex 14491

Description: Existence of the span of a set of vectors. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Apr-2025.)

Assertion

Ref	Expression
lspex	|- ( W e. X -> ( LSpan ` W ) e. _V )

Proof of Theorem lspex

Dummy variables s t are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2231	. . 3 |- ( Base ` W ) = ( Base ` W )
2		eqid 2231	. . 3 |- ( LSubSp ` W ) = ( LSubSp ` W )
3		eqid 2231	. . 3 |- ( LSpan ` W ) = ( LSpan ` W )
4	1, 2, 3	lspfval 14484	. 2 |- ( W e. X -> ( LSpan ` W ) = ( s e. ~P ( Base ` W ) |-> |^| { t e. ( LSubSp ` W ) | s C_ t } ) )
5		basfn 13221	. . . . 5 |- Base Fn _V
6		elex 2815	. . . . 5 |- ( W e. X -> W e. _V )
7		funfvex 5665	. . . . . 6 |- ( ( Fun Base /\ W e. dom Base ) -> ( Base ` W ) e. _V )
8	7	funfni 5439	. . . . 5 |- ( ( Base Fn _V /\ W e. _V ) -> ( Base ` W ) e. _V )
9	5, 6, 8	sylancr 414	. . . 4 |- ( W e. X -> ( Base ` W ) e. _V )
10	9	pwexd 4277	. . 3 |- ( W e. X -> ~P ( Base ` W ) e. _V )
11	10	mptexd 5891	. 2 |- ( W e. X -> ( s e. ~P ( Base ` W ) |-> |^| { t e. ( LSubSp ` W ) | s C_ t } ) e. _V )
12	4, 11	eqeltrd 2308	1 |- ( W e. X -> ( LSpan ` W ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2202   {crab 2515   _Vcvv 2803   C_ wss 3201   ~Pcpw 3656   |^|cint 3933   |-> cmpt 4155   Fn wfn 5328   ` cfv 5333   Basecbs 13162   LSubSpclss 14448   LSpanclspn 14482

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1re 8186  ax-addrcl 8189

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-inn 9203  df-ndx 13165  df-slot 13166  df-base 13168  df-lsp 14483

This theorem is referenced by:  rspex  14570