Theorem lspex 13961

Description: Existence of the span of a set of vectors. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Apr-2025.)

Assertion

Ref	Expression
lspex	|- ( W e. X -> ( LSpan ` W ) e. _V )

Proof of Theorem lspex

Dummy variables s t are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2196	. . 3 |- ( Base ` W ) = ( Base ` W )
2		eqid 2196	. . 3 |- ( LSubSp ` W ) = ( LSubSp ` W )
3		eqid 2196	. . 3 |- ( LSpan ` W ) = ( LSpan ` W )
4	1, 2, 3	lspfval 13954	. 2 |- ( W e. X -> ( LSpan ` W ) = ( s e. ~P ( Base ` W ) |-> |^| { t e. ( LSubSp ` W ) | s C_ t } ) )
5		basfn 12746	. . . . 5 |- Base Fn _V
6		elex 2774	. . . . 5 |- ( W e. X -> W e. _V )
7		funfvex 5576	. . . . . 6 |- ( ( Fun Base /\ W e. dom Base ) -> ( Base ` W ) e. _V )
8	7	funfni 5359	. . . . 5 |- ( ( Base Fn _V /\ W e. _V ) -> ( Base ` W ) e. _V )
9	5, 6, 8	sylancr 414	. . . 4 |- ( W e. X -> ( Base ` W ) e. _V )
10	9	pwexd 4215	. . 3 |- ( W e. X -> ~P ( Base ` W ) e. _V )
11	10	mptexd 5790	. 2 |- ( W e. X -> ( s e. ~P ( Base ` W ) |-> |^| { t e. ( LSubSp ` W ) | s C_ t } ) e. _V )
12	4, 11	eqeltrd 2273	1 |- ( W e. X -> ( LSpan ` W ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2167   {crab 2479   _Vcvv 2763   C_ wss 3157   ~Pcpw 3606   |^|cint 3875   |-> cmpt 4095   Fn wfn 5254   ` cfv 5259   Basecbs 12688   LSubSpclss 13918   LSpanclspn 13952

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-cnex 7972  ax-resscn 7973  ax-1re 7975  ax-addrcl 7978

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-inn 8993  df-ndx 12691  df-slot 12692  df-base 12694  df-lsp 13953

This theorem is referenced by:  rspex  14040