ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lspex Unicode version

Theorem lspex 13891
Description: Existence of the span of a set of vectors. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Apr-2025.)
Assertion
Ref Expression
lspex  |-  ( W  e.  X  ->  ( LSpan `  W )  e. 
_V )

Proof of Theorem lspex
Dummy variables  s  t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2193 . . 3  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
2 eqid 2193 . . 3  |-  ( LSubSp `  W )  =  (
LSubSp `  W )
3 eqid 2193 . . 3  |-  ( LSpan `  W )  =  (
LSpan `  W )
41, 2, 3lspfval 13884 . 2  |-  ( W  e.  X  ->  ( LSpan `  W )  =  ( s  e.  ~P ( Base `  W )  |-> 
|^| { t  e.  (
LSubSp `  W )  |  s  C_  t }
) )
5 basfn 12676 . . . . 5  |-  Base  Fn  _V
6 elex 2771 . . . . 5  |-  ( W  e.  X  ->  W  e.  _V )
7 funfvex 5571 . . . . . 6  |-  ( ( Fun  Base  /\  W  e. 
dom  Base )  ->  ( Base `  W )  e. 
_V )
87funfni 5354 . . . . 5  |-  ( (
Base  Fn  _V  /\  W  e.  _V )  ->  ( Base `  W )  e. 
_V )
95, 6, 8sylancr 414 . . . 4  |-  ( W  e.  X  ->  ( Base `  W )  e. 
_V )
109pwexd 4210 . . 3  |-  ( W  e.  X  ->  ~P ( Base `  W )  e.  _V )
1110mptexd 5785 . 2  |-  ( W  e.  X  ->  (
s  e.  ~P ( Base `  W )  |->  |^|
{ t  e.  (
LSubSp `  W )  |  s  C_  t }
)  e.  _V )
124, 11eqeltrd 2270 1  |-  ( W  e.  X  ->  ( LSpan `  W )  e. 
_V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 2164   {crab 2476   _Vcvv 2760    C_ wss 3153   ~Pcpw 3601   |^|cint 3870    |-> cmpt 4090    Fn wfn 5249   ` cfv 5254   Basecbs 12618   LSubSpclss 13848   LSpanclspn 13882
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1re 7966  ax-addrcl 7969
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-inn 8983  df-ndx 12621  df-slot 12622  df-base 12624  df-lsp 13883
This theorem is referenced by:  rspex  13970
  Copyright terms: Public domain W3C validator