Theorem lspex 13927

Description: Existence of the span of a set of vectors. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Apr-2025.)

Assertion

Ref	Expression
lspex	|- ( W e. X -> ( LSpan ` W ) e. _V )

Proof of Theorem lspex

Dummy variables s t are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2196	. . 3 |- ( Base ` W ) = ( Base ` W )
2		eqid 2196	. . 3 |- ( LSubSp ` W ) = ( LSubSp ` W )
3		eqid 2196	. . 3 |- ( LSpan ` W ) = ( LSpan ` W )
4	1, 2, 3	lspfval 13920	. 2 |- ( W e. X -> ( LSpan ` W ) = ( s e. ~P ( Base ` W ) |-> |^| { t e. ( LSubSp ` W ) | s C_ t } ) )
5		basfn 12712	. . . . 5 |- Base Fn _V
6		elex 2774	. . . . 5 |- ( W e. X -> W e. _V )
7		funfvex 5575	. . . . . 6 |- ( ( Fun Base /\ W e. dom Base ) -> ( Base ` W ) e. _V )
8	7	funfni 5358	. . . . 5 |- ( ( Base Fn _V /\ W e. _V ) -> ( Base ` W ) e. _V )
9	5, 6, 8	sylancr 414	. . . 4 |- ( W e. X -> ( Base ` W ) e. _V )
10	9	pwexd 4214	. . 3 |- ( W e. X -> ~P ( Base ` W ) e. _V )
11	10	mptexd 5789	. 2 |- ( W e. X -> ( s e. ~P ( Base ` W ) |-> |^| { t e. ( LSubSp ` W ) | s C_ t } ) e. _V )
12	4, 11	eqeltrd 2273	1 |- ( W e. X -> ( LSpan ` W ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2167   {crab 2479   _Vcvv 2763   C_ wss 3157   ~Pcpw 3605   |^|cint 3874   |-> cmpt 4094   Fn wfn 5253   ` cfv 5258   Basecbs 12654   LSubSpclss 13884   LSpanclspn 13918

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-cnex 7968  ax-resscn 7969  ax-1re 7971  ax-addrcl 7974

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-inn 8988  df-ndx 12657  df-slot 12658  df-base 12660  df-lsp 13919

This theorem is referenced by:  rspex  14006