Theorem lspex 14190

Description: Existence of the span of a set of vectors. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Apr-2025.)

Assertion

Ref	Expression
lspex	|- ( W e. X -> ( LSpan ` W ) e. _V )

Proof of Theorem lspex

Dummy variables s t are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2205	. . 3 |- ( Base ` W ) = ( Base ` W )
2		eqid 2205	. . 3 |- ( LSubSp ` W ) = ( LSubSp ` W )
3		eqid 2205	. . 3 |- ( LSpan ` W ) = ( LSpan ` W )
4	1, 2, 3	lspfval 14183	. 2 |- ( W e. X -> ( LSpan ` W ) = ( s e. ~P ( Base ` W ) |-> |^| { t e. ( LSubSp ` W ) | s C_ t } ) )
5		basfn 12923	. . . . 5 |- Base Fn _V
6		elex 2783	. . . . 5 |- ( W e. X -> W e. _V )
7		funfvex 5595	. . . . . 6 |- ( ( Fun Base /\ W e. dom Base ) -> ( Base ` W ) e. _V )
8	7	funfni 5377	. . . . 5 |- ( ( Base Fn _V /\ W e. _V ) -> ( Base ` W ) e. _V )
9	5, 6, 8	sylancr 414	. . . 4 |- ( W e. X -> ( Base ` W ) e. _V )
10	9	pwexd 4226	. . 3 |- ( W e. X -> ~P ( Base ` W ) e. _V )
11	10	mptexd 5813	. 2 |- ( W e. X -> ( s e. ~P ( Base ` W ) |-> |^| { t e. ( LSubSp ` W ) | s C_ t } ) e. _V )
12	4, 11	eqeltrd 2282	1 |- ( W e. X -> ( LSpan ` W ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2176   {crab 2488   _Vcvv 2772   C_ wss 3166   ~Pcpw 3616   |^|cint 3885   |-> cmpt 4106   Fn wfn 5267   ` cfv 5272   Basecbs 12865   LSubSpclss 14147   LSpanclspn 14181

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4160  ax-sep 4163  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-cnex 8018  ax-resscn 8019  ax-1re 8021  ax-addrcl 8024

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4046  df-opab 4107  df-mpt 4108  df-id 4341  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-rn 4687  df-res 4688  df-ima 4689  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fn 5275  df-f 5276  df-f1 5277  df-fo 5278  df-f1o 5279  df-fv 5280  df-inn 9039  df-ndx 12868  df-slot 12869  df-base 12871  df-lsp 14182

This theorem is referenced by:  rspex  14269