Theorem lspex 14669

Description: Existence of the span of a set of vectors. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Apr-2025.)

Assertion

Ref	Expression
lspex	⊢ (𝑊 ∈ 𝑋 → (LSpan‘𝑊) ∈ V)

Proof of Theorem lspex

Dummy variables 𝑠 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2234	. . 3 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2		eqid 2234	. . 3 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
3		eqid 2234	. . 3 ⊢ (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
4	1, 2, 3	lspfval 14662	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑋 → (LSpan‘𝑊) = (𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘𝑊) ↦ ∩ {𝑡 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∣ 𝑠 ⊆ 𝑡}))
5		basfn 13355	. . . . 5 ⊢ Base Fn V
6		elex 2827	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑋 → 𝑊 ∈ V)
7		funfvex 5692	. . . . . 6 ⊢ ((Fun Base ∧ 𝑊 ∈ dom Base) → (Base‘𝑊) ∈ V)
8	7	funfni 5463	. . . . 5 ⊢ ((Base Fn V ∧ 𝑊 ∈ V) → (Base‘𝑊) ∈ V)
9	5, 6, 8	sylancr 414	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑋 → (Base‘𝑊) ∈ V)
10	9	pwexd 4299	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑋 → 𝒫 (Base‘𝑊) ∈ V)
11	10	mptexd 5918	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑋 → (𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘𝑊) ↦ ∩ {𝑡 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∣ 𝑠 ⊆ 𝑡}) ∈ V)
12	4, 11	eqeltrd 2311	1 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑋 → (LSpan‘𝑊) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2205  {crab 2526  Vcvv 2815   ⊆ wss 3214  𝒫 cpw 3674  ∩ cint 3954   ↦ cmpt 4176   Fn wfn 5352  ‘cfv 5357  Basecbs 13296  LSubSpclss 14626  LSpanclspn 14660

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1re 8237  ax-addrcl 8240

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-inn 9255  df-ndx 13299  df-slot 13300  df-base 13302  df-lsp 14661

This theorem is referenced by:  rspex  14748