Theorem lspex 14027

Description: Existence of the span of a set of vectors. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Apr-2025.)

Assertion

Ref	Expression
lspex	⊢ (𝑊 ∈ 𝑋 → (LSpan‘𝑊) ∈ V)

Proof of Theorem lspex

Dummy variables 𝑠 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2196	. . 3 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2		eqid 2196	. . 3 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
3		eqid 2196	. . 3 ⊢ (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
4	1, 2, 3	lspfval 14020	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑋 → (LSpan‘𝑊) = (𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘𝑊) ↦ ∩ {𝑡 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∣ 𝑠 ⊆ 𝑡}))
5		basfn 12761	. . . . 5 ⊢ Base Fn V
6		elex 2774	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑋 → 𝑊 ∈ V)
7		funfvex 5578	. . . . . 6 ⊢ ((Fun Base ∧ 𝑊 ∈ dom Base) → (Base‘𝑊) ∈ V)
8	7	funfni 5361	. . . . 5 ⊢ ((Base Fn V ∧ 𝑊 ∈ V) → (Base‘𝑊) ∈ V)
9	5, 6, 8	sylancr 414	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑋 → (Base‘𝑊) ∈ V)
10	9	pwexd 4215	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑋 → 𝒫 (Base‘𝑊) ∈ V)
11	10	mptexd 5792	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑋 → (𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘𝑊) ↦ ∩ {𝑡 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∣ 𝑠 ⊆ 𝑡}) ∈ V)
12	4, 11	eqeltrd 2273	1 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑋 → (LSpan‘𝑊) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2167  {crab 2479  Vcvv 2763   ⊆ wss 3157  𝒫 cpw 3606  ∩ cint 3875   ↦ cmpt 4095   Fn wfn 5254  ‘cfv 5259  Basecbs 12703  LSubSpclss 13984  LSpanclspn 14018

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1re 7990  ax-addrcl 7993

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-inn 9008  df-ndx 12706  df-slot 12707  df-base 12709  df-lsp 14019

This theorem is referenced by:  rspex  14106