Theorem lspex 14732

Description: Existence of the span of a set of vectors. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Apr-2025.)

Assertion

Ref	Expression
lspex	⊢ (𝑊 ∈ 𝑋 → (LSpan‘𝑊) ∈ V)

Proof of Theorem lspex

Dummy variables 𝑠 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2238	. . 3 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2		eqid 2238	. . 3 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
3		eqid 2238	. . 3 ⊢ (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
4	1, 2, 3	lspfval 14725	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑋 → (LSpan‘𝑊) = (𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘𝑊) ↦ ∩ {𝑡 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∣ 𝑠 ⊆ 𝑡}))
5		basfn 13411	. . . . 5 ⊢ Base Fn V
6		elex 2833	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑋 → 𝑊 ∈ V)
7		funfvex 5712	. . . . . 6 ⊢ ((Fun Base ∧ 𝑊 ∈ dom Base) → (Base‘𝑊) ∈ V)
8	7	funfni 5483	. . . . 5 ⊢ ((Base Fn V ∧ 𝑊 ∈ V) → (Base‘𝑊) ∈ V)
9	5, 6, 8	sylancr 418	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑋 → (Base‘𝑊) ∈ V)
10	9	pwexd 4318	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑋 → 𝒫 (Base‘𝑊) ∈ V)
11	10	mptexd 5944	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑋 → (𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘𝑊) ↦ ∩ {𝑡 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∣ 𝑠 ⊆ 𝑡}) ∈ V)
12	4, 11	eqeltrd 2315	1 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑋 → (LSpan‘𝑊) ∈ V)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209  {crab 2532  Vcvv 2821   ⊆ wss 3220  𝒫 cpw 3688  ∩ cint 3970   ↦ cmpt 4192   Fn wfn 5372  ‘cfv 5377  Basecbs 13352  LSubSpclss 14689  LSpanclspn 14723

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1re 8273  ax-addrcl 8276

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-inn 9305  df-ndx 13355  df-slot 13356  df-base 13358  df-lsp 14724

This theorem is used by:  rspex  14811