Theorem lspex 13894

Description: Existence of the span of a set of vectors. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Apr-2025.)

Assertion

Ref	Expression
lspex	⊢ (𝑊 ∈ 𝑋 → (LSpan‘𝑊) ∈ V)

Proof of Theorem lspex

Dummy variables 𝑠 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2193	. . 3 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2		eqid 2193	. . 3 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
3		eqid 2193	. . 3 ⊢ (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
4	1, 2, 3	lspfval 13887	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑋 → (LSpan‘𝑊) = (𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘𝑊) ↦ ∩ {𝑡 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∣ 𝑠 ⊆ 𝑡}))
5		basfn 12679	. . . . 5 ⊢ Base Fn V
6		elex 2771	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑋 → 𝑊 ∈ V)
7		funfvex 5572	. . . . . 6 ⊢ ((Fun Base ∧ 𝑊 ∈ dom Base) → (Base‘𝑊) ∈ V)
8	7	funfni 5355	. . . . 5 ⊢ ((Base Fn V ∧ 𝑊 ∈ V) → (Base‘𝑊) ∈ V)
9	5, 6, 8	sylancr 414	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑋 → (Base‘𝑊) ∈ V)
10	9	pwexd 4211	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑋 → 𝒫 (Base‘𝑊) ∈ V)
11	10	mptexd 5786	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑋 → (𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘𝑊) ↦ ∩ {𝑡 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∣ 𝑠 ⊆ 𝑡}) ∈ V)
12	4, 11	eqeltrd 2270	1 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑋 → (LSpan‘𝑊) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2164  {crab 2476  Vcvv 2760   ⊆ wss 3154  𝒫 cpw 3602  ∩ cint 3871   ↦ cmpt 4091   Fn wfn 5250  ‘cfv 5255  Basecbs 12621  LSubSpclss 13851  LSpanclspn 13885

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1re 7968  ax-addrcl 7971

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-inn 8985  df-ndx 12624  df-slot 12625  df-base 12627  df-lsp 13886

This theorem is referenced by:  rspex  13973