Theorem rspex 14108

Description: Existence of the ring span. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Apr-2025.)

Assertion

Ref	Expression
rspex	|- ( W e. V -> (RSpan ` W ) e. _V )

Proof of Theorem rspex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rspvalg 14106	. 2 |- ( W e. V -> (RSpan ` W ) = ( LSpan ` (ringLMod ` W ) ) )
2		rlmfn 14087	. . . 4 |- ringLMod Fn _V
3		elex 2774	. . . 4 |- ( W e. V -> W e. _V )
4		funfvex 5578	. . . . 5 |- ( ( Fun ringLMod /\ W e. dom ringLMod ) -> (ringLMod ` W ) e. _V )
5	4	funfni 5361	. . . 4 |- ( (ringLMod Fn _V /\ W e. _V ) -> (ringLMod ` W ) e. _V )
6	2, 3, 5	sylancr 414	. . 3 |- ( W e. V -> (ringLMod ` W ) e. _V )
7		lspex 14029	. . 3 |- ( (ringLMod ` W ) e. _V -> ( LSpan ` (ringLMod ` W ) ) e. _V )
8	6, 7	syl 14	. 2 |- ( W e. V -> ( LSpan ` (ringLMod ` W ) ) e. _V )
9	1, 8	eqeltrd 2273	1 |- ( W e. V -> (RSpan ` W ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2167   _Vcvv 2763   Fn wfn 5254   ` cfv 5259   LSpanclspn 14020  ringLModcrglmod 14068  RSpancrsp 14102

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7989  ax-resscn 7990  ax-1re 7992  ax-addrcl 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-inn 9010  df-2 9068  df-3 9069  df-4 9070  df-5 9071  df-6 9072  df-7 9073  df-8 9074  df-ndx 12708  df-slot 12709  df-base 12711  df-sets 12712  df-iress 12713  df-mulr 12796  df-sca 12798  df-vsca 12799  df-ip 12800  df-lsp 14021  df-sra 14069  df-rgmod 14070  df-rsp 14104

This theorem is referenced by:  znval  14270  znle  14271  znbaslemnn  14273  znbas  14278  znzrhval  14281  znzrhfo  14282