Theorem rspex 14487

Description: Existence of the ring span. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Apr-2025.)

Assertion

Ref	Expression
rspex	|- ( W e. V -> (RSpan ` W ) e. _V )

Proof of Theorem rspex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rspvalg 14485	. 2 |- ( W e. V -> (RSpan ` W ) = ( LSpan ` (ringLMod ` W ) ) )
2		rlmfn 14466	. . . 4 |- ringLMod Fn _V
3		elex 2814	. . . 4 |- ( W e. V -> W e. _V )
4		funfvex 5656	. . . . 5 |- ( ( Fun ringLMod /\ W e. dom ringLMod ) -> (ringLMod ` W ) e. _V )
5	4	funfni 5432	. . . 4 |- ( (ringLMod Fn _V /\ W e. _V ) -> (ringLMod ` W ) e. _V )
6	2, 3, 5	sylancr 414	. . 3 |- ( W e. V -> (ringLMod ` W ) e. _V )
7		lspex 14408	. . 3 |- ( (ringLMod ` W ) e. _V -> ( LSpan ` (ringLMod ` W ) ) e. _V )
8	6, 7	syl 14	. 2 |- ( W e. V -> ( LSpan ` (ringLMod ` W ) ) e. _V )
9	1, 8	eqeltrd 2308	1 |- ( W e. V -> (RSpan ` W ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2202   _Vcvv 2802   Fn wfn 5321   ` cfv 5326   LSpanclspn 14399  ringLModcrglmod 14447  RSpancrsp 14481

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1re 8125  ax-addrcl 8128

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-inn 9143  df-2 9201  df-3 9202  df-4 9203  df-5 9204  df-6 9205  df-7 9206  df-8 9207  df-ndx 13084  df-slot 13085  df-base 13087  df-sets 13088  df-iress 13089  df-mulr 13173  df-sca 13175  df-vsca 13176  df-ip 13177  df-lsp 14400  df-sra 14448  df-rgmod 14449  df-rsp 14483

This theorem is referenced by:  znval  14649  znle  14650  znbaslemnn  14652  znbas  14657  znzrhval  14660  znzrhfo  14661