Theorem ltaddrp2d 10114

Description: Adding a positive number to another number increases it. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpgecld.1	|- ( ph -> A e. RR )
rpgecld.2	|- ( ph -> B e. RR+ )

Assertion

Ref	Expression
ltaddrp2d	|- ( ph -> A < ( B + A ) )

Proof of Theorem ltaddrp2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpgecld.1	. . 3 |- ( ph -> A e. RR )
2		rpgecld.2	. . 3 |- ( ph -> B e. RR+ )
3	1, 2	ltaddrpd 10113	. 2 |- ( ph -> A < ( A + B ) )
4	1	recnd 8347	. . 3 |- ( ph -> A e. CC )
5	2	rpcnd 10081	. . 3 |- ( ph -> B e. CC )
6	4, 5	addcomd 8470	. 2 |- ( ph -> ( A + B ) = ( B + A ) )
7	3, 6	breqtrd 4154	1 |- ( ph -> A < ( B + A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2209   class class class wbr 4128  (class class class)co 6078   RRcr 8171   + caddc 8175   < clt 8353   RR+crp 10036

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-cnex 8263  ax-resscn 8264  ax-1cn 8265  ax-1re 8266  ax-icn 8267  ax-addcl 8268  ax-addrcl 8269  ax-mulcl 8270  ax-addcom 8272  ax-addass 8274  ax-i2m1 8277  ax-0id 8280  ax-rnegex 8281  ax-pre-ltadd 8288

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-br 4129  df-opab 4191  df-xp 4778  df-iota 5335  df-fv 5383  df-ov 6081  df-pnf 8355  df-mnf 8356  df-ltxr 8358  df-rp 10037

This theorem is referenced by:  cvg1nlemres  11732