Theorem ltaddrp2d 9797

Description: Adding a positive number to another number increases it. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpgecld.1	|- ( ph -> A e. RR )
rpgecld.2	|- ( ph -> B e. RR+ )

Assertion

Ref	Expression
ltaddrp2d	|- ( ph -> A < ( B + A ) )

Proof of Theorem ltaddrp2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpgecld.1	. . 3 |- ( ph -> A e. RR )
2		rpgecld.2	. . 3 |- ( ph -> B e. RR+ )
3	1, 2	ltaddrpd 9796	. 2 |- ( ph -> A < ( A + B ) )
4	1	recnd 8048	. . 3 |- ( ph -> A e. CC )
5	2	rpcnd 9764	. . 3 |- ( ph -> B e. CC )
6	4, 5	addcomd 8170	. 2 |- ( ph -> ( A + B ) = ( B + A ) )
7	3, 6	breqtrd 4055	1 |- ( ph -> A < ( B + A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2164   class class class wbr 4029  (class class class)co 5918   RRcr 7871   + caddc 7875   < clt 8054   RR+crp 9719

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-i2m1 7977  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-pre-ltadd 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-br 4030  df-opab 4091  df-xp 4665  df-iota 5215  df-fv 5262  df-ov 5921  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-ltxr 8059  df-rp 9720

This theorem is referenced by:  cvg1nlemres  11129