Theorem ltaddrp2d 9548

Description: Adding a positive number to another number increases it. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpgecld.1	|- ( ph -> A e. RR )
rpgecld.2	|- ( ph -> B e. RR+ )

Assertion

Ref	Expression
ltaddrp2d	|- ( ph -> A < ( B + A ) )

Proof of Theorem ltaddrp2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpgecld.1	. . 3 |- ( ph -> A e. RR )
2		rpgecld.2	. . 3 |- ( ph -> B e. RR+ )
3	1, 2	ltaddrpd 9547	. 2 |- ( ph -> A < ( A + B ) )
4	1	recnd 7818	. . 3 |- ( ph -> A e. CC )
5	2	rpcnd 9515	. . 3 |- ( ph -> B e. CC )
6	4, 5	addcomd 7937	. 2 |- ( ph -> ( A + B ) = ( B + A ) )
7	3, 6	breqtrd 3962	1 |- ( ph -> A < ( B + A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1481   class class class wbr 3937  (class class class)co 5782   RRcr 7643   + caddc 7647   < clt 7824   RR+crp 9470

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-addcom 7744  ax-addass 7746  ax-i2m1 7749  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-pre-ltadd 7760

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-rab 2426  df-v 2691  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-br 3938  df-opab 3998  df-xp 4553  df-iota 5096  df-fv 5139  df-ov 5785  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-ltxr 7829  df-rp 9471

This theorem is referenced by:  cvg1nlemres  10789