Theorem ltaddrpd 10148

Description: Adding a positive number to another number increases it. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpgecld.1	|- ( ph -> A e. RR )
rpgecld.2	|- ( ph -> B e. RR+ )

Assertion

Ref	Expression
ltaddrpd	|- ( ph -> A < ( A + B ) )

Proof of Theorem ltaddrpd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpgecld.1	. 2 |- ( ph -> A e. RR )
2		rpgecld.2	. 2 |- ( ph -> B e. RR+ )
3		ltaddrp 10109	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR+ ) -> A < ( A + B ) )
4	1, 2, 3	syl2anc 415	1 |- ( ph -> A < ( A + B ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   e. wcel 2209   class class class wbr 4131  (class class class)co 6088   RRcr 8184   + caddc 8188   < clt 8366   RR+crp 10071

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-i2m1 8290  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-pre-ltadd 8301

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-opab 4194  df-xp 4782  df-iota 5340  df-fv 5388  df-ov 6091  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-ltxr 8371  df-rp 10072

This theorem is used by:  ltaddrp2d  10149  cvg1nlemcxze  11770  resqrexlemcvg  11807  resqrexlemglsq  11810  resqrexlemga  11811  effsumlt  12484  4sqlem12  13210  ballotfilemonn  13279  ivthinclemlopn  15862  ivthinclemuopn  15864  ivthdichlem  15877  efltlemlt  16000  perfectlem2  16300  bposlem2  16312  iooref1o  17289  apdifflemf  17302  qdiff  17305