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Theorem cvg1nlemres 10788
 Description: Lemma for cvg1n 10789. The original sequence has a limit (turns out it is the same as the limit of the modified sequence ). (Contributed by Jim Kingdon, 1-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
cvg1n.f
cvg1n.c
cvg1n.cau
cvg1nlem.g
cvg1nlem.z
cvg1nlem.start
Assertion
Ref Expression
cvg1nlemres
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,,   ,,,   ,   ,,,   ,,,   ,   ,,,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,,)   (,,)   ()   (,)

Proof of Theorem cvg1nlemres
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cvg1n.f . . . 4
2 cvg1n.c . . . 4
3 cvg1n.cau . . . 4
4 cvg1nlem.g . . . 4
5 cvg1nlem.z . . . 4
6 cvg1nlem.start . . . 4
71, 2, 3, 4, 5, 6cvg1nlemf 10786 . . 3
81, 2, 3, 4, 5, 6cvg1nlemcau 10787 . . 3
97, 8caucvgre 10784 . 2
10 fveq2 5428 . . . . . . . . . . 11
1110raleqdv 2635 . . . . . . . . . 10
1211cbvrexv 2658 . . . . . . . . 9
1312ralbii 2444 . . . . . . . 8
1413anbi2i 453 . . . . . . 7
1514anbi1i 454 . . . . . 6
16 oveq2 5789 . . . . . . . . . . . 12
1716breq2d 3948 . . . . . . . . . . 11
18 oveq2 5789 . . . . . . . . . . . 12
1918breq2d 3948 . . . . . . . . . . 11
2017, 19anbi12d 465 . . . . . . . . . 10
2120rexralbidv 2464 . . . . . . . . 9
22 simplr 520 . . . . . . . . 9
23 simpr 109 . . . . . . . . . 10
2423rphalfcld 9525 . . . . . . . . 9
2521, 22, 24rspcdva 2797 . . . . . . . 8
2615, 25sylbir 134 . . . . . . 7
272rpred 9512 . . . . . . . . . . . . . 14
2827ad4antr 486 . . . . . . . . . . . . 13
29 2re 8813 . . . . . . . . . . . . . 14
3029a1i 9 . . . . . . . . . . . . 13
3128, 30remulcld 7819 . . . . . . . . . . . 12
32 simplr 520 . . . . . . . . . . . 12
3331, 32rerpdivcld 9544 . . . . . . . . . . 11
345ad4antr 486 . . . . . . . . . . 11
3533, 34nndivred 8793 . . . . . . . . . 10
36 simprl 521 . . . . . . . . . . 11
3736nnred 8756 . . . . . . . . . 10
3835, 37readdcld 7818 . . . . . . . . 9
39 arch 8997 . . . . . . . . 9
4038, 39syl 14 . . . . . . . 8
41 simprl 521 . . . . . . . . . 10
4234adantr 274 . . . . . . . . . 10
4341, 42nnmulcld 8792 . . . . . . . . 9
441ad6antr 490 . . . . . . . . . . . . . . 15
45 simplrl 525 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
465ad6antr 490 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4745, 46nnmulcld 8792 . . . . . . . . . . . . . . . 16
48 eluznn 9420 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4947, 48sylancom 417 . . . . . . . . . . . . . . 15
5044, 49ffvelrnd 5563 . . . . . . . . . . . . . 14
5144, 47ffvelrnd 5563 . . . . . . . . . . . . . . 15
5232ad2antrr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5352rpred 9512 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5453rehalfcld 8989 . . . . . . . . . . . . . . 15
5551, 54readdcld 7818 . . . . . . . . . . . . . 14
56 simpllr 524 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5756ad3antrrr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5857, 54readdcld 7818 . . . . . . . . . . . . . . 15
5958, 54readdcld 7818 . . . . . . . . . . . . . 14
6027ad6antr 490 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6160, 47nndivred 8793 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6251, 61readdcld 7818 . . . . . . . . . . . . . . 15
63 fveq2 5428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6463oveq1d 5796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6564breq2d 3948 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6663breq1d 3946 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6765, 66anbi12d 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
68 fveq2 5428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
69 fveq2 5428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
70 oveq2 5789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
7170oveq2d 5797 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
7269, 71breq12d 3949 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7369, 70oveq12d 5799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
7473breq2d 3948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7572, 74anbi12d 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7668, 75raleqbidv 2641 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
773ad6antr 490 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7876, 77, 47rspcdva 2797 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
79 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8067, 78, 79rspcdva 2797 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8180simprd 113 . . . . . . . . . . . . . . 15
82 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
8382ad3antrrr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8483rpred 9512 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8584rehalfcld 8989 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
862ad6antr 490 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8736ad2antrr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
88 simplrr 526 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8986, 83, 46, 45, 87, 88cvg1nlemcxze 10785 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9061, 85, 89ltled 7904 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9161, 54, 51, 90leadd2dd 8345 . . . . . . . . . . . . . . 15
9250, 62, 55, 81, 91ltletrd 8208 . . . . . . . . . . . . . 14
93 fveq2 5428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
9493breq1d 3946 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9593oveq1d 5796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
9695breq2d 3948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9794, 96anbi12d 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
98 simprr 522 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9998ad2antrr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
10087nnred 8756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
10145nnred 8756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
102 2rp 9474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
103102a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
10486, 103rpmulcld 9529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
105104, 83rpdivcld 9530 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
10646nnrpd 9510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
107105, 106rpdivcld 9530 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
108107rpred 9512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
109108, 100readdcld 7818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
110100, 107ltaddrp2d 9547 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
111100, 109, 101, 110, 88lttrd 7911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
112100, 101, 111ltled 7904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
11387nnzd 9195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
11445nnzd 9195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
115 eluz 9362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
116113, 114, 115syl2anc 409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
117112, 116mpbird 166 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
11897, 99, 117rspcdva 2797 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
119 oveq1 5788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
120119fveq2d 5432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
121120, 4fvmptg 5504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
12245, 51, 121syl2anc 409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
123122breq1d 3946 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
124122oveq1d 5796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
125124breq2d 3948 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
126123, 125anbi12d 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
127118, 126mpbid 146 . . . . . . . . . . . . . . . 16
128127simpld 111 . . . . . . . . . . . . . . 15
12951, 58, 54, 128ltadd1dd 8341 . . . . . . . . . . . . . 14
13050, 55, 59, 92, 129lttrd 7911 . . . . . . . . . . . . 13
13157recnd 7817 . . . . . . . . . . . . . 14
13254recnd 7817 . . . . . . . . . . . . . 14
133131, 132, 132addassd 7811 . . . . . . . . . . . . 13
134130, 133breqtrd 3961 . . . . . . . . . . . 12
13552rpcnd 9514 . . . . . . . . . . . . . 14
1361352halvesd 8988 . . . . . . . . . . . . 13
137136oveq2d 5797 . . . . . . . . . . . 12
138134, 137breqtrd 3961 . . . . . . . . . . 11
13950, 54readdcld 7818 . . . . . . . . . . . . . . 15
140139, 54readdcld 7818 . . . . . . . . . . . . . 14
141127simprd 113 . . . . . . . . . . . . . 14
14250, 61readdcld 7818 . . . . . . . . . . . . . . . 16
14380simpld 111 . . . . . . . . . . . . . . . 16
14461, 54, 50, 90leadd2dd 8345 . . . . . . . . . . . . . . . 16