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Theorem cvg1nlemres 10788
Description: Lemma for cvg1n 10789. The original sequence  F has a limit (turns out it is the same as the limit of the modified sequence  G). (Contributed by Jim Kingdon, 1-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
cvg1n.f  |-  ( ph  ->  F : NN --> RR )
cvg1n.c  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
cvg1n.cau  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( ( F `  n )  <  ( ( F `
 k )  +  ( C  /  n
) )  /\  ( F `  k )  <  ( ( F `  n )  +  ( C  /  n ) ) ) )
cvg1nlem.g  |-  G  =  ( j  e.  NN  |->  ( F `  ( j  x.  Z ) ) )
cvg1nlem.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  NN )
cvg1nlem.start  |-  ( ph  ->  C  <  Z )
Assertion
Ref Expression
cvg1nlemres  |-  ( ph  ->  E. y  e.  RR  A. x  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. i  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  i )  <  (
y  +  x )  /\  y  <  (
( F `  i
)  +  x ) ) )
Distinct variable groups:    C, i, k    C, n, k    j, F, k, n    i, G, y, k    n, G   
x, G, i, y   
i, Z, j, k   
n, Z    ph, i, x, y, j    ph, k, n    x, j, y
Allowed substitution hints:    C( x, y, j)    F( x, y, i)    G( j)    Z( x, y)

Proof of Theorem cvg1nlemres
Dummy variables  e  a  b  c  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cvg1n.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F : NN --> RR )
2 cvg1n.c . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
3 cvg1n.cau . . . 4  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( ( F `  n )  <  ( ( F `
 k )  +  ( C  /  n
) )  /\  ( F `  k )  <  ( ( F `  n )  +  ( C  /  n ) ) ) )
4 cvg1nlem.g . . . 4  |-  G  =  ( j  e.  NN  |->  ( F `  ( j  x.  Z ) ) )
5 cvg1nlem.z . . . 4  |-  ( ph  ->  Z  e.  NN )
6 cvg1nlem.start . . . 4  |-  ( ph  ->  C  <  Z )
71, 2, 3, 4, 5, 6cvg1nlemf 10786 . . 3  |-  ( ph  ->  G : NN --> RR )
81, 2, 3, 4, 5, 6cvg1nlemcau 10787 . . 3  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( ( G `  n )  <  ( ( G `
 k )  +  ( 1  /  n
) )  /\  ( G `  k )  <  ( ( G `  n )  +  ( 1  /  n ) ) ) )
97, 8caucvgre 10784 . 2  |-  ( ph  ->  E. y  e.  RR  A. c  e.  RR+  E. a  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  a )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )
10 fveq2 5428 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  w  ->  ( ZZ>=
`  a )  =  ( ZZ>= `  w )
)
1110raleqdv 2635 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  w  ->  ( A. b  e.  ( ZZ>=
`  a ) ( ( G `  b
)  <  ( y  +  c )  /\  y  <  ( ( G `
 b )  +  c ) )  <->  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) ) )
1211cbvrexv 2658 . . . . . . . . 9  |-  ( E. a  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  c )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  c ) )  <->  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )
1312ralbii 2444 . . . . . . . 8  |-  ( A. c  e.  RR+  E. a  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  a )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) )  <->  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  c )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  c ) ) )
1413anbi2i 453 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. a  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  a )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  <->  ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  c )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  c ) ) ) )
1514anbi1i 454 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. a  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  c )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  <->  ( (
( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ ) )
16 oveq2 5789 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  =  ( x  / 
2 )  ->  (
y  +  c )  =  ( y  +  ( x  /  2
) ) )
1716breq2d 3948 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  =  ( x  / 
2 )  ->  (
( G `  b
)  <  ( y  +  c )  <->  ( G `  b )  <  (
y  +  ( x  /  2 ) ) ) )
18 oveq2 5789 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  =  ( x  / 
2 )  ->  (
( G `  b
)  +  c )  =  ( ( G `
 b )  +  ( x  /  2
) ) )
1918breq2d 3948 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  =  ( x  / 
2 )  ->  (
y  <  ( ( G `  b )  +  c )  <->  y  <  ( ( G `  b
)  +  ( x  /  2 ) ) ) )
2017, 19anbi12d 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =  ( x  / 
2 )  ->  (
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) )  <->  ( ( G `
 b )  < 
( y  +  ( x  /  2 ) )  /\  y  < 
( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )
2120rexralbidv 2464 . . . . . . . . 9  |-  ( c  =  ( x  / 
2 )  ->  ( E. a  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  c )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  c ) )  <->  E. a  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  a )
( ( G `  b )  <  (
y  +  ( x  /  2 ) )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )
22 simplr 520 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. a  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  c )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  A. c  e.  RR+  E. a  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  a )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )
23 simpr 109 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. a  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  c )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  RR+ )
2423rphalfcld 9525 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. a  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  c )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  -> 
( x  /  2
)  e.  RR+ )
2521, 22, 24rspcdva 2797 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. a  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  c )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. a  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  ( x  /  2
) )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) )
2615, 25sylbir 134 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  c )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. a  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  ( x  /  2
) )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) )
272rpred 9512 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
2827ad4antr 486 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  c )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\ 
A. b  e.  (
ZZ>= `  a ) ( ( G `  b
)  <  ( y  +  ( x  / 
2 ) )  /\  y  <  ( ( G `
 b )  +  ( x  /  2
) ) ) ) )  ->  C  e.  RR )
29 2re 8813 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  RR
3029a1i 9 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  c )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\ 
A. b  e.  (
ZZ>= `  a ) ( ( G `  b
)  <  ( y  +  ( x  / 
2 ) )  /\  y  <  ( ( G `
 b )  +  ( x  /  2
) ) ) ) )  ->  2  e.  RR )
3128, 30remulcld 7819 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  c )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\ 
A. b  e.  (
ZZ>= `  a ) ( ( G `  b
)  <  ( y  +  ( x  / 
2 ) )  /\  y  <  ( ( G `
 b )  +  ( x  /  2
) ) ) ) )  ->  ( C  x.  2 )  e.  RR )
32 simplr 520 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  c )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\ 
A. b  e.  (
ZZ>= `  a ) ( ( G `  b
)  <  ( y  +  ( x  / 
2 ) )  /\  y  <  ( ( G `
 b )  +  ( x  /  2
) ) ) ) )  ->  x  e.  RR+ )
3331, 32rerpdivcld 9544 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  c )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\ 
A. b  e.  (
ZZ>= `  a ) ( ( G `  b
)  <  ( y  +  ( x  / 
2 ) )  /\  y  <  ( ( G `
 b )  +  ( x  /  2
) ) ) ) )  ->  ( ( C  x.  2 )  /  x )  e.  RR )
345ad4antr 486 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  c )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\ 
A. b  e.  (
ZZ>= `  a ) ( ( G `  b
)  <  ( y  +  ( x  / 
2 ) )  /\  y  <  ( ( G `
 b )  +  ( x  /  2
) ) ) ) )  ->  Z  e.  NN )
3533, 34nndivred 8793 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  c )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\ 
A. b  e.  (
ZZ>= `  a ) ( ( G `  b
)  <  ( y  +  ( x  / 
2 ) )  /\  y  <  ( ( G `
 b )  +  ( x  /  2
) ) ) ) )  ->  ( (
( C  x.  2 )  /  x )  /  Z )  e.  RR )
36 simprl 521 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  c )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\ 
A. b  e.  (
ZZ>= `  a ) ( ( G `  b
)  <  ( y  +  ( x  / 
2 ) )  /\  y  <  ( ( G `
 b )  +  ( x  /  2
) ) ) ) )  ->  a  e.  NN )
3736nnred 8756 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  c )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\ 
A. b  e.  (
ZZ>= `  a ) ( ( G `  b
)  <  ( y  +  ( x  / 
2 ) )  /\  y  <  ( ( G `
 b )  +  ( x  /  2
) ) ) ) )  ->  a  e.  RR )
3835, 37readdcld 7818 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  c )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\ 
A. b  e.  (
ZZ>= `  a ) ( ( G `  b
)  <  ( y  +  ( x  / 
2 ) )  /\  y  <  ( ( G `
 b )  +  ( x  /  2
) ) ) ) )  ->  ( (
( ( C  x.  2 )  /  x
)  /  Z )  +  a )  e.  RR )
39 arch 8997 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x )  /  Z
)  +  a )  e.  RR  ->  E. e  e.  NN  ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x )  /  Z )  +  a )  <  e
)
4038, 39syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  c )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\ 
A. b  e.  (
ZZ>= `  a ) ( ( G `  b
)  <  ( y  +  ( x  / 
2 ) )  /\  y  <  ( ( G `
 b )  +  ( x  /  2
) ) ) ) )  ->  E. e  e.  NN  ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x )  /  Z )  +  a )  <  e
)
41 simprl 521 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  NN  /\  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  ( x  /  2
) )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x
)  /  Z )  +  a )  < 
e ) )  -> 
e  e.  NN )
4234adantr 274 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  NN  /\  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  ( x  /  2
) )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x
)  /  Z )  +  a )  < 
e ) )  ->  Z  e.  NN )
4341, 42nnmulcld 8792 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  NN  /\  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  ( x  /  2
) )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x
)  /  Z )  +  a )  < 
e ) )  -> 
( e  x.  Z
)  e.  NN )
441ad6antr 490 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  NN  /\  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  ( x  /  2
) )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x
)  /  Z )  +  a )  < 
e ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( e  x.  Z
) ) )  ->  F : NN --> RR )
45 simplrl 525 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  NN  /\  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  ( x  /  2
) )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x
)  /  Z )  +  a )  < 
e ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( e  x.  Z
) ) )  -> 
e  e.  NN )
465ad6antr 490 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  NN  /\  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  ( x  /  2
) )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x
)  /  Z )  +  a )  < 
e ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( e  x.  Z
) ) )  ->  Z  e.  NN )
4745, 46nnmulcld 8792 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  NN  /\  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  ( x  /  2
) )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x
)  /  Z )  +  a )  < 
e ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( e  x.  Z
) ) )  -> 
( e  x.  Z
)  e.  NN )
48 eluznn 9420 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( e  x.  Z
)  e.  NN  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( e  x.  Z
) ) )  -> 
i  e.  NN )
4947, 48sylancom 417 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  NN  /\  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  ( x  /  2
) )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x
)  /  Z )  +  a )  < 
e ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( e  x.  Z
) ) )  -> 
i  e.  NN )
5044, 49ffvelrnd 5563 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  NN  /\  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  ( x  /  2
) )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x
)  /  Z )  +  a )  < 
e ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( e  x.  Z
) ) )  -> 
( F `  i
)  e.  RR )
5144, 47ffvelrnd 5563 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  NN  /\  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  ( x  /  2
) )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x
)  /  Z )  +  a )  < 
e ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( e  x.  Z
) ) )  -> 
( F `  (
e  x.  Z ) )  e.  RR )
5232ad2antrr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  NN  /\  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  ( x  /  2
) )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x
)  /  Z )  +  a )  < 
e ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( e  x.  Z
) ) )  ->  x  e.  RR+ )
5352rpred 9512 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  NN  /\  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  ( x  /  2
) )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x
)  /  Z )  +  a )  < 
e ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( e  x.  Z
) ) )  ->  x  e.  RR )
5453rehalfcld 8989 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  NN  /\  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  ( x  /  2
) )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x
)  /  Z )  +  a )  < 
e ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( e  x.  Z
) ) )  -> 
( x  /  2
)  e.  RR )
5551, 54readdcld 7818 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  NN  /\  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  ( x  /  2
) )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x
)  /  Z )  +  a )  < 
e ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( e  x.  Z
) ) )  -> 
( ( F `  ( e  x.  Z
) )  +  ( x  /  2 ) )  e.  RR )
56 simpllr 524 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  c )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  -> 
y  e.  RR )
5756ad3antrrr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  NN  /\  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  ( x  /  2
) )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x
)  /  Z )  +  a )  < 
e ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( e  x.  Z
) ) )  -> 
y  e.  RR )
5857, 54readdcld 7818 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  NN  /\  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  ( x  /  2
) )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x
)  /  Z )  +  a )  < 
e ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( e  x.  Z
) ) )  -> 
( y  +  ( x  /  2 ) )  e.  RR )
5958, 54readdcld 7818 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  NN  /\  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  ( x  /  2
) )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x
)  /  Z )  +  a )  < 
e ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( e  x.  Z
) ) )  -> 
( ( y  +  ( x  /  2
) )  +  ( x  /  2 ) )  e.  RR )
6027ad6antr 490 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  NN  /\  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  ( x  /  2
) )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x
)  /  Z )  +  a )  < 
e ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( e  x.  Z
) ) )  ->  C  e.  RR )
6160, 47nndivred 8793 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  NN  /\  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  ( x  /  2
) )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x
)  /  Z )  +  a )  < 
e ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( e  x.  Z
) ) )  -> 
( C  /  (
e  x.  Z ) )  e.  RR )
6251, 61readdcld 7818 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  NN  /\  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  ( x  /  2
) )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x
)  /  Z )  +  a )  < 
e ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( e  x.  Z
) ) )  -> 
( ( F `  ( e  x.  Z
) )  +  ( C  /  ( e  x.  Z ) ) )  e.  RR )
63 fveq2 5428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  =  i  ->  ( F `  k )  =  ( F `  i ) )
6463oveq1d 5796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  i  ->  (
( F `  k
)  +  ( C  /  ( e  x.  Z ) ) )  =  ( ( F `
 i )  +  ( C  /  (
e  x.  Z ) ) ) )
6564breq2d 3948 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  i  ->  (
( F `  (
e  x.  Z ) )  <  ( ( F `  k )  +  ( C  / 
( e  x.  Z
) ) )  <->  ( F `  ( e  x.  Z
) )  <  (
( F `  i
)  +  ( C  /  ( e  x.  Z ) ) ) ) )
6663breq1d 3946 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  i  ->  (
( F `  k
)  <  ( ( F `  ( e  x.  Z ) )  +  ( C  /  (
e  x.  Z ) ) )  <->  ( F `  i )  <  (
( F `  (
e  x.  Z ) )  +  ( C  /  ( e  x.  Z ) ) ) ) )
6765, 66anbi12d 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  i  ->  (
( ( F `  ( e  x.  Z
) )  <  (
( F `  k
)  +  ( C  /  ( e  x.  Z ) ) )  /\  ( F `  k )  <  (
( F `  (
e  x.  Z ) )  +  ( C  /  ( e  x.  Z ) ) ) )  <->  ( ( F `
 ( e  x.  Z ) )  < 
( ( F `  i )  +  ( C  /  ( e  x.  Z ) ) )  /\  ( F `
 i )  < 
( ( F `  ( e  x.  Z
) )  +  ( C  /  ( e  x.  Z ) ) ) ) ) )
68 fveq2 5428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  =  ( e  x.  Z )  ->  ( ZZ>=
`  n )  =  ( ZZ>= `  ( e  x.  Z ) ) )
69 fveq2 5428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  =  ( e  x.  Z )  ->  ( F `  n )  =  ( F `  ( e  x.  Z
) ) )
70 oveq2 5789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  =  ( e  x.  Z )  ->  ( C  /  n )  =  ( C  /  (
e  x.  Z ) ) )
7170oveq2d 5797 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  =  ( e  x.  Z )  ->  (
( F `  k
)  +  ( C  /  n ) )  =  ( ( F `
 k )  +  ( C  /  (
e  x.  Z ) ) ) )
7269, 71breq12d 3949 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  =  ( e  x.  Z )  ->  (
( F `  n
)  <  ( ( F `  k )  +  ( C  /  n ) )  <->  ( F `  ( e  x.  Z
) )  <  (
( F `  k
)  +  ( C  /  ( e  x.  Z ) ) ) ) )
7369, 70oveq12d 5799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  =  ( e  x.  Z )  ->  (
( F `  n
)  +  ( C  /  n ) )  =  ( ( F `
 ( e  x.  Z ) )  +  ( C  /  (
e  x.  Z ) ) ) )
7473breq2d 3948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  =  ( e  x.  Z )  ->  (
( F `  k
)  <  ( ( F `  n )  +  ( C  /  n ) )  <->  ( F `  k )  <  (
( F `  (
e  x.  Z ) )  +  ( C  /  ( e  x.  Z ) ) ) ) )
7572, 74anbi12d 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  =  ( e  x.  Z )  ->  (
( ( F `  n )  <  (
( F `  k
)  +  ( C  /  n ) )  /\  ( F `  k )  <  (
( F `  n
)  +  ( C  /  n ) ) )  <->  ( ( F `
 ( e  x.  Z ) )  < 
( ( F `  k )  +  ( C  /  ( e  x.  Z ) ) )  /\  ( F `
 k )  < 
( ( F `  ( e  x.  Z
) )  +  ( C  /  ( e  x.  Z ) ) ) ) ) )
7668, 75raleqbidv 2641 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  =  ( e  x.  Z )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  n ) ( ( F `  n
)  <  ( ( F `  k )  +  ( C  /  n ) )  /\  ( F `  k )  <  ( ( F `
 n )  +  ( C  /  n
) ) )  <->  A. k  e.  ( ZZ>= `  ( e  x.  Z ) ) ( ( F `  (
e  x.  Z ) )  <  ( ( F `  k )  +  ( C  / 
( e  x.  Z
) ) )  /\  ( F `  k )  <  ( ( F `
 ( e  x.  Z ) )  +  ( C  /  (
e  x.  Z ) ) ) ) ) )
773ad6antr 490 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  NN  /\  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  ( x  /  2
) )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x
)  /  Z )  +  a )  < 
e ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( e  x.  Z
) ) )  ->  A. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( ( F `  n )  <  ( ( F `
 k )  +  ( C  /  n
) )  /\  ( F `  k )  <  ( ( F `  n )  +  ( C  /  n ) ) ) )
7876, 77, 47rspcdva 2797 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  NN  /\  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  ( x  /  2
) )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x
)  /  Z )  +  a )  < 
e ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( e  x.  Z
) ) )  ->  A. k  e.  ( ZZ>=
`  ( e  x.  Z ) ) ( ( F `  (
e  x.  Z ) )  <  ( ( F `  k )  +  ( C  / 
( e  x.  Z
) ) )  /\  ( F `  k )  <  ( ( F `
 ( e  x.  Z ) )  +  ( C  /  (
e  x.  Z ) ) ) ) )
79 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  NN  /\  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  ( x  /  2
) )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x
)  /  Z )  +  a )  < 
e ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( e  x.  Z
) ) )  -> 
i  e.  ( ZZ>= `  ( e  x.  Z
) ) )
8067, 78, 79rspcdva 2797 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  NN  /\  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  ( x  /  2
) )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x
)  /  Z )  +  a )  < 
e ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( e  x.  Z
) ) )  -> 
( ( F `  ( e  x.  Z
) )  <  (
( F `  i
)  +  ( C  /  ( e  x.  Z ) ) )  /\  ( F `  i )  <  (
( F `  (
e  x.  Z ) )  +  ( C  /  ( e  x.  Z ) ) ) ) )
8180simprd 113 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  NN  /\  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  ( x  /  2
) )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x
)  /  Z )  +  a )  < 
e ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( e  x.  Z
) ) )  -> 
( F `  i
)  <  ( ( F `  ( e  x.  Z ) )  +  ( C  /  (
e  x.  Z ) ) ) )
82 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  c )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  RR+ )
8382ad3antrrr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  NN  /\  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  ( x  /  2
) )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x
)  /  Z )  +  a )  < 
e ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( e  x.  Z
) ) )  ->  x  e.  RR+ )
8483rpred 9512 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  NN  /\  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  ( x  /  2
) )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x
)  /  Z )  +  a )  < 
e ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( e  x.  Z
) ) )  ->  x  e.  RR )
8584rehalfcld 8989 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  NN  /\  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  ( x  /  2
) )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x
)  /  Z )  +  a )  < 
e ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( e  x.  Z
) ) )  -> 
( x  /  2
)  e.  RR )
862ad6antr 490 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  NN  /\  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  ( x  /  2
) )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x
)  /  Z )  +  a )  < 
e ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( e  x.  Z
) ) )  ->  C  e.  RR+ )
8736ad2antrr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  NN  /\  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  ( x  /  2
) )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x
)  /  Z )  +  a )  < 
e ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( e  x.  Z
) ) )  -> 
a  e.  NN )
88 simplrr 526 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  NN  /\  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  ( x  /  2
) )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x
)  /  Z )  +  a )  < 
e ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( e  x.  Z
) ) )  -> 
( ( ( ( C  x.  2 )  /  x )  /  Z )  +  a )  <  e )
8986, 83, 46, 45, 87, 88cvg1nlemcxze 10785 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  NN  /\  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  ( x  /  2
) )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x
)  /  Z )  +  a )  < 
e ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( e  x.  Z
) ) )  -> 
( C  /  (
e  x.  Z ) )  <  ( x  /  2 ) )
9061, 85, 89ltled 7904 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  NN  /\  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  ( x  /  2
) )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x
)  /  Z )  +  a )  < 
e ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( e  x.  Z
) ) )  -> 
( C  /  (
e  x.  Z ) )  <_  ( x  /  2 ) )
9161, 54, 51, 90leadd2dd 8345 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  NN  /\  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  ( x  /  2
) )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x
)  /  Z )  +  a )  < 
e ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( e  x.  Z
) ) )  -> 
( ( F `  ( e  x.  Z
) )  +  ( C  /  ( e  x.  Z ) ) )  <_  ( ( F `  ( e  x.  Z ) )  +  ( x  /  2
) ) )
9250, 62, 55, 81, 91ltletrd 8208 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  NN  /\  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  ( x  /  2
) )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x
)  /  Z )  +  a )  < 
e ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( e  x.  Z
) ) )  -> 
( F `  i
)  <  ( ( F `  ( e  x.  Z ) )  +  ( x  /  2
) ) )
93 fveq2 5428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( b  =  e  ->  ( G `  b )  =  ( G `  e ) )
9493breq1d 3946 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( b  =  e  ->  (
( G `  b
)  <  ( y  +  ( x  / 
2 ) )  <->  ( G `  e )  <  (
y  +  ( x  /  2 ) ) ) )
9593oveq1d 5796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( b  =  e  ->  (
( G `  b
)  +  ( x  /  2 ) )  =  ( ( G `
 e )  +  ( x  /  2
) ) )
9695breq2d 3948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( b  =  e  ->  (
y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  / 
2 ) )  <->  y  <  ( ( G `  e
)  +  ( x  /  2 ) ) ) )
9794, 96anbi12d 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( b  =  e  ->  (
( ( G `  b )  <  (
y  +  ( x  /  2 ) )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  ( x  /  2 ) ) )  <->  ( ( G `
 e )  < 
( y  +  ( x  /  2 ) )  /\  y  < 
( ( G `  e )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )
98 simprr 522 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  c )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\ 
A. b  e.  (
ZZ>= `  a ) ( ( G `  b
)  <  ( y  +  ( x  / 
2 ) )  /\  y  <  ( ( G `
 b )  +  ( x  /  2
) ) ) ) )  ->  A. b  e.  ( ZZ>= `  a )
( ( G `  b )  <  (
y  +  ( x  /  2 ) )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  ( x  /  2 ) ) ) )
9998ad2antrr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  NN  /\  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  ( x  /  2
) )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x
)  /  Z )  +  a )  < 
e ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( e  x.  Z
) ) )  ->  A. b  e.  ( ZZ>=
`  a ) ( ( G `  b
)  <  ( y  +  ( x  / 
2 ) )  /\  y  <  ( ( G `
 b )  +  ( x  /  2
) ) ) )
10087nnred 8756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  NN  /\  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  ( x  /  2
) )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x
)  /  Z )  +  a )  < 
e ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( e  x.  Z
) ) )  -> 
a  e.  RR )
10145nnred 8756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  NN  /\  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  ( x  /  2
) )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x
)  /  Z )  +  a )  < 
e ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( e  x.  Z
) ) )  -> 
e  e.  RR )
102 2rp 9474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  2  e.  RR+
103102a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  NN  /\  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  ( x  /  2
) )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x
)  /  Z )  +  a )  < 
e ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( e  x.  Z
) ) )  -> 
2  e.  RR+ )
10486, 103rpmulcld 9529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  NN  /\  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  ( x  /  2
) )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x
)  /  Z )  +  a )  < 
e ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( e  x.  Z
) ) )  -> 
( C  x.  2 )  e.  RR+ )
105104, 83rpdivcld 9530 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  NN  /\  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  ( x  /  2
) )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x
)  /  Z )  +  a )  < 
e ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( e  x.  Z
) ) )  -> 
( ( C  x.  2 )  /  x
)  e.  RR+ )
10646nnrpd 9510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  NN  /\  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  ( x  /  2
) )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x
)  /  Z )  +  a )  < 
e ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( e  x.  Z
) ) )  ->  Z  e.  RR+ )
107105, 106rpdivcld 9530 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  NN  /\  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  ( x  /  2
) )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x
)  /  Z )  +  a )  < 
e ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( e  x.  Z
) ) )  -> 
( ( ( C  x.  2 )  /  x )  /  Z
)  e.  RR+ )
108107rpred 9512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  NN  /\  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  ( x  /  2
) )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x
)  /  Z )  +  a )  < 
e ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( e  x.  Z
) ) )  -> 
( ( ( C  x.  2 )  /  x )  /  Z
)  e.  RR )
109108, 100readdcld 7818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  NN  /\  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  ( x  /  2
) )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x
)  /  Z )  +  a )  < 
e ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( e  x.  Z
) ) )  -> 
( ( ( ( C  x.  2 )  /  x )  /  Z )  +  a )  e.  RR )
110100, 107ltaddrp2d 9547 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  NN  /\  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  ( x  /  2
) )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x
)  /  Z )  +  a )  < 
e ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( e  x.  Z
) ) )  -> 
a  <  ( (
( ( C  x.  2 )  /  x
)  /  Z )  +  a ) )
111100, 109, 101, 110, 88lttrd 7911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  NN  /\  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  ( x  /  2
) )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x
)  /  Z )  +  a )  < 
e ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( e  x.  Z
) ) )  -> 
a  <  e )
112100, 101, 111ltled 7904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  NN  /\  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  ( x  /  2
) )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x
)  /  Z )  +  a )  < 
e ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( e  x.  Z
) ) )  -> 
a  <_  e )
11387nnzd 9195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  NN  /\  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  ( x  /  2
) )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x
)  /  Z )  +  a )  < 
e ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( e  x.  Z
) ) )  -> 
a  e.  ZZ )
11445nnzd 9195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  NN  /\  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  ( x  /  2
) )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x
)  /  Z )  +  a )  < 
e ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( e  x.  Z
) ) )  -> 
e  e.  ZZ )
115 eluz 9362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( a  e.  ZZ  /\  e  e.  ZZ )  ->  ( e  e.  (
ZZ>= `  a )  <->  a  <_  e ) )
116113, 114, 115syl2anc 409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  NN  /\  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  ( x  /  2
) )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x
)  /  Z )  +  a )  < 
e ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( e  x.  Z
) ) )  -> 
( e  e.  (
ZZ>= `  a )  <->  a  <_  e ) )
117112, 116mpbird 166 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  NN  /\  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  ( x  /  2
) )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x
)  /  Z )  +  a )  < 
e ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( e  x.  Z
) ) )  -> 
e  e.  ( ZZ>= `  a ) )
11897, 99, 117rspcdva 2797 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  NN  /\  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  ( x  /  2
) )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x
)  /  Z )  +  a )  < 
e ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( e  x.  Z
) ) )  -> 
( ( G `  e )  <  (
y  +  ( x  /  2 ) )  /\  y  <  (
( G `  e
)  +  ( x  /  2 ) ) ) )
119 oveq1 5788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( j  =  e  ->  (
j  x.  Z )  =  ( e  x.  Z ) )
120119fveq2d 5432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( j  =  e  ->  ( F `  ( j  x.  Z ) )  =  ( F `  (
e  x.  Z ) ) )
121120, 4fvmptg 5504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( e  e.  NN  /\  ( F `  ( e  x.  Z ) )  e.  RR )  -> 
( G `  e
)  =  ( F `
 ( e  x.  Z ) ) )
12245, 51, 121syl2anc 409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  NN  /\  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  ( x  /  2
) )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x
)  /  Z )  +  a )  < 
e ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( e  x.  Z
) ) )  -> 
( G `  e
)  =  ( F `
 ( e  x.  Z ) ) )
123122breq1d 3946 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  NN  /\  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  ( x  /  2
) )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x
)  /  Z )  +  a )  < 
e ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( e  x.  Z
) ) )  -> 
( ( G `  e )  <  (
y  +  ( x  /  2 ) )  <-> 
( F `  (
e  x.  Z ) )  <  ( y  +  ( x  / 
2 ) ) ) )
124122oveq1d 5796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  NN  /\  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  ( x  /  2
) )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x
)  /  Z )  +  a )  < 
e ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( e  x.  Z
) ) )  -> 
( ( G `  e )  +  ( x  /  2 ) )  =  ( ( F `  ( e  x.  Z ) )  +  ( x  / 
2 ) ) )
125124breq2d 3948 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  NN  /\  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  ( x  /  2
) )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x
)  /  Z )  +  a )  < 
e ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( e  x.  Z
) ) )  -> 
( y  <  (
( G `  e
)  +  ( x  /  2 ) )  <-> 
y  <  ( ( F `  ( e  x.  Z ) )  +  ( x  /  2
) ) ) )
126123, 125anbi12d 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  NN  /\  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  ( x  /  2
) )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x
)  /  Z )  +  a )  < 
e ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( e  x.  Z
) ) )  -> 
( ( ( G `
 e )  < 
( y  +  ( x  /  2 ) )  /\  y  < 
( ( G `  e )  +  ( x  /  2 ) ) )  <->  ( ( F `  ( e  x.  Z ) )  < 
( y  +  ( x  /  2 ) )  /\  y  < 
( ( F `  ( e  x.  Z
) )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )
127118, 126mpbid 146 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  NN  /\  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  ( x  /  2
) )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x
)  /  Z )  +  a )  < 
e ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( e  x.  Z
) ) )  -> 
( ( F `  ( e  x.  Z
) )  <  (
y  +  ( x  /  2 ) )  /\  y  <  (
( F `  (
e  x.  Z ) )  +  ( x  /  2 ) ) ) )
128127simpld 111 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  NN  /\  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  ( x  /  2
) )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x
)  /  Z )  +  a )  < 
e ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( e  x.  Z
) ) )  -> 
( F `  (
e  x.  Z ) )  <  ( y  +  ( x  / 
2 ) ) )
12951, 58, 54, 128ltadd1dd 8341 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  NN  /\  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  ( x  /  2
) )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x
)  /  Z )  +  a )  < 
e ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( e  x.  Z
) ) )  -> 
( ( F `  ( e  x.  Z
) )  +  ( x  /  2 ) )  <  ( ( y  +  ( x  /  2 ) )  +  ( x  / 
2 ) ) )
13050, 55, 59, 92, 129lttrd 7911 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  NN  /\  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  ( x  /  2
) )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x
)  /  Z )  +  a )  < 
e ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( e  x.  Z
) ) )  -> 
( F `  i
)  <  ( (
y  +  ( x  /  2 ) )  +  ( x  / 
2 ) ) )
13157recnd 7817 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  NN  /\  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  ( x  /  2
) )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x
)  /  Z )  +  a )  < 
e ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( e  x.  Z
) ) )  -> 
y  e.  CC )
13254recnd 7817 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  NN  /\  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  ( x  /  2
) )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x
)  /  Z )  +  a )  < 
e ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( e  x.  Z
) ) )  -> 
( x  /  2
)  e.  CC )
133131, 132, 132addassd 7811 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  NN  /\  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  ( x  /  2
) )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x
)  /  Z )  +  a )  < 
e ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( e  x.  Z
) ) )  -> 
( ( y  +  ( x  /  2
) )  +  ( x  /  2 ) )  =  ( y  +  ( ( x  /  2 )  +  ( x  /  2
) ) ) )
134130, 133breqtrd 3961 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  NN  /\  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  ( x  /  2
) )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x
)  /  Z )  +  a )  < 
e ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( e  x.  Z
) ) )  -> 
( F `  i
)  <  ( y  +  ( ( x  /  2 )  +  ( x  /  2
) ) ) )
13552rpcnd 9514 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  NN  /\  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  ( x  /  2
) )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x
)  /  Z )  +  a )  < 
e ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( e  x.  Z
) ) )  ->  x  e.  CC )
1361352halvesd 8988 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  NN  /\  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  ( x  /  2
) )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x
)  /  Z )  +  a )  < 
e ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( e  x.  Z
) ) )  -> 
( ( x  / 
2 )  +  ( x  /  2 ) )  =  x )
137136oveq2d 5797 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  NN  /\  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  ( x  /  2
) )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x
)  /  Z )  +  a )  < 
e ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( e  x.  Z
) ) )  -> 
( y  +  ( ( x  /  2
)  +  ( x  /  2 ) ) )  =  ( y  +  x ) )
138134, 137breqtrd 3961 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  NN  /\  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  ( x  /  2
) )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x
)  /  Z )  +  a )  < 
e ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( e  x.  Z
) ) )  -> 
( F `  i
)  <  ( y  +  x ) )
13950, 54readdcld 7818 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  NN  /\  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  ( x  /  2
) )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x
)  /  Z )  +  a )  < 
e ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( e  x.  Z
) ) )  -> 
( ( F `  i )  +  ( x  /  2 ) )  e.  RR )
140139, 54readdcld 7818 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  NN  /\  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  ( x  /  2
) )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x
)  /  Z )  +  a )  < 
e ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( e  x.  Z
) ) )  -> 
( ( ( F `
 i )  +  ( x  /  2
) )  +  ( x  /  2 ) )  e.  RR )
141127simprd 113 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  NN  /\  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  ( x  /  2
) )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x
)  /  Z )  +  a )  < 
e ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( e  x.  Z
) ) )  -> 
y  <  ( ( F `  ( e  x.  Z ) )  +  ( x  /  2
) ) )
14250, 61readdcld 7818 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  NN  /\  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  ( x  /  2
) )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x
)  /  Z )  +  a )  < 
e ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( e  x.  Z
) ) )  -> 
( ( F `  i )  +  ( C  /  ( e  x.  Z ) ) )  e.  RR )
14380simpld 111 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  NN  /\  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  ( x  /  2
) )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x
)  /  Z )  +  a )  < 
e ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( e  x.  Z
) ) )  -> 
( F `  (
e  x.  Z ) )  <  ( ( F `  i )  +  ( C  / 
( e  x.  Z
) ) ) )
14461, 54, 50, 90leadd2dd 8345 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.