Theorem cvg1nlemres 11536

Description: Lemma for cvg1n 11537. The original sequence F has a limit (turns out it is the same as the limit of the modified sequence G). (Contributed by Jim Kingdon, 1-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvg1n.f	|- ( ph -> F : NN --> RR )
cvg1n.c	|- ( ph -> C e. RR+ )
cvg1n.cau	|- ( ph -> A. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` n ) < ( ( F ` k ) + ( C / n ) ) /\ ( F ` k ) < ( ( F ` n ) + ( C / n ) ) ) )
cvg1nlem.g	|- G = ( j e. NN |-> ( F ` ( j x. Z ) ) )
cvg1nlem.z	|- ( ph -> Z e. NN )
cvg1nlem.start	|- ( ph -> C < Z )

Assertion

Ref	Expression
cvg1nlemres	|- ( ph -> E. y e. RR A. x e. RR+ E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( y + x ) /\ y < ( ( F ` i ) + x ) ) )

Distinct variable groups:   C, i, k   C, n, k   j, F, k, n   i, G, y, k   n, G   x, G, i, y   i, Z, j, k   n, Z   ph, i, x, y, j   ph, k, n   x, j, y

Allowed substitution hints:   C( x, y, j)   F( x, y, i)   G( j)   Z( x, y)

Proof of Theorem cvg1nlemres

Dummy variables e a b c w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvg1n.f	. . . 4 |- ( ph -> F : NN --> RR )
2		cvg1n.c	. . . 4 |- ( ph -> C e. RR+ )
3		cvg1n.cau	. . . 4 |- ( ph -> A. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` n ) < ( ( F ` k ) + ( C / n ) ) /\ ( F ` k ) < ( ( F ` n ) + ( C / n ) ) ) )
4		cvg1nlem.g	. . . 4 |- G = ( j e. NN |-> ( F ` ( j x. Z ) ) )
5		cvg1nlem.z	. . . 4 |- ( ph -> Z e. NN )
6		cvg1nlem.start	. . . 4 |- ( ph -> C < Z )
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	cvg1nlemf 11534	. . 3 |- ( ph -> G : NN --> RR )
8	1, 2, 3, 4, 5, 6	cvg1nlemcau 11535	. . 3 |- ( ph -> A. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( G ` n ) < ( ( G ` k ) + ( 1 / n ) ) /\ ( G ` k ) < ( ( G ` n ) + ( 1 / n ) ) ) )
9	7, 8	caucvgre 11532	. 2 |- ( ph -> E. y e. RR A. c e. RR+ E. a e. NN A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) )
10		fveq2 5635	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = w -> ( ZZ>= ` a ) = ( ZZ>= ` w ) )
11	10	raleqdv 2734	. . . . . . . . . 10 |- ( a = w -> ( A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) <-> A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) )
12	11	cbvrexv 2766	. . . . . . . . 9 |- ( E. a e. NN A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) <-> E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) )
13	12	ralbii 2536	. . . . . . . 8 |- ( A. c e. RR+ E. a e. NN A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) <-> A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) )
14	13	anbi2i 457	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. a e. NN A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) <-> ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) )
15	14	anbi1i 458	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. a e. NN A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) <-> ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) )
16		oveq2 6021	. . . . . . . . . . . 12 |- ( c = ( x / 2 ) -> ( y + c ) = ( y + ( x / 2 ) ) )
17	16	breq2d 4098	. . . . . . . . . . 11 |- ( c = ( x / 2 ) -> ( ( G ` b ) < ( y + c ) <-> ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) ) )
18		oveq2 6021	. . . . . . . . . . . 12 |- ( c = ( x / 2 ) -> ( ( G ` b ) + c ) = ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) )
19	18	breq2d 4098	. . . . . . . . . . 11 |- ( c = ( x / 2 ) -> ( y < ( ( G ` b ) + c ) <-> y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) )
20	17, 19	anbi12d 473	. . . . . . . . . 10 |- ( c = ( x / 2 ) -> ( ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) <-> ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) )
21	20	rexralbidv 2556	. . . . . . . . 9 |- ( c = ( x / 2 ) -> ( E. a e. NN A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) <-> E. a e. NN A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) )
22		simplr 528	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. a e. NN A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) -> A. c e. RR+ E. a e. NN A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) )
23		simpr 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. a e. NN A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) -> x e. RR+ )
24	23	rphalfcld 9934	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. a e. NN A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) -> ( x / 2 ) e. RR+ )
25	21, 22, 24	rspcdva 2913	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. a e. NN A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) -> E. a e. NN A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) )
26	15, 25	sylbir 135	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) -> E. a e. NN A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) )
27	2	rpred 9921	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> C e. RR )
28	27	ad4antr 494	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) -> C e. RR )
29		2re 9203	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 e. RR
30	29	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) -> 2 e. RR )
31	28, 30	remulcld 8200	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) -> ( C x. 2 ) e. RR )
32		simplr 528	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) -> x e. RR+ )
33	31, 32	rerpdivcld 9953	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) -> ( ( C x. 2 ) / x ) e. RR )
34	5	ad4antr 494	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) -> Z e. NN )
35	33, 34	nndivred 9183	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) -> ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) e. RR )
36		simprl 529	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) -> a e. NN )
37	36	nnred 9146	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) -> a e. RR )
38	35, 37	readdcld 8199	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) -> ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) e. RR )
39		arch 9389	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) e. RR -> E. e e. NN ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e )
40	38, 39	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) -> E. e e. NN ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e )
41		simprl 529	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) /\ ( e e. NN /\ ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e ) ) -> e e. NN )
42	34	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) /\ ( e e. NN /\ ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e ) ) -> Z e. NN )
43	41, 42	nnmulcld 9182	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) /\ ( e e. NN /\ ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e ) ) -> ( e x. Z ) e. NN )
44	1	ad6antr 498	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) /\ ( e e. NN /\ ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) ) -> F : NN --> RR )
45		simplrl 535	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) /\ ( e e. NN /\ ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) ) -> e e. NN )
46	5	ad6antr 498	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) /\ ( e e. NN /\ ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) ) -> Z e. NN )
47	45, 46	nnmulcld 9182	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) /\ ( e e. NN /\ ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) ) -> ( e x. Z ) e. NN )
48		eluznn 9824	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( e x. Z ) e. NN /\ i e. ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) ) -> i e. NN )
49	47, 48	sylancom 420	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) /\ ( e e. NN /\ ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) ) -> i e. NN )
50	44, 49	ffvelcdmd 5779	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) /\ ( e e. NN /\ ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) ) -> ( F ` i ) e. RR )
51	44, 47	ffvelcdmd 5779	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) /\ ( e e. NN /\ ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) ) -> ( F ` ( e x. Z ) ) e. RR )
52	32	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) /\ ( e e. NN /\ ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) ) -> x e. RR+ )
53	52	rpred 9921	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) /\ ( e e. NN /\ ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) ) -> x e. RR )
54	53	rehalfcld 9381	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) /\ ( e e. NN /\ ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) ) -> ( x / 2 ) e. RR )
55	51, 54	readdcld 8199	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) /\ ( e e. NN /\ ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) ) -> ( ( F ` ( e x. Z ) ) + ( x / 2 ) ) e. RR )
56		simpllr 534	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) -> y e. RR )
57	56	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) /\ ( e e. NN /\ ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) ) -> y e. RR )
58	57, 54	readdcld 8199	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) /\ ( e e. NN /\ ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) ) -> ( y + ( x / 2 ) ) e. RR )
59	58, 54	readdcld 8199	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) /\ ( e e. NN /\ ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) ) -> ( ( y + ( x / 2 ) ) + ( x / 2 ) ) e. RR )
60	27	ad6antr 498	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) /\ ( e e. NN /\ ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) ) -> C e. RR )
61	60, 47	nndivred 9183	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) /\ ( e e. NN /\ ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) ) -> ( C / ( e x. Z ) ) e. RR )
62	51, 61	readdcld 8199	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) /\ ( e e. NN /\ ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) ) -> ( ( F ` ( e x. Z ) ) + ( C / ( e x. Z ) ) ) e. RR )
63		fveq2 5635	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k = i -> ( F ` k ) = ( F ` i ) )
64	63	oveq1d 6028	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k = i -> ( ( F ` k ) + ( C / ( e x. Z ) ) ) = ( ( F ` i ) + ( C / ( e x. Z ) ) ) )
65	64	breq2d 4098	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k = i -> ( ( F ` ( e x. Z ) ) < ( ( F ` k ) + ( C / ( e x. Z ) ) ) <-> ( F ` ( e x. Z ) ) < ( ( F ` i ) + ( C / ( e x. Z ) ) ) ) )
66	63	breq1d 4096	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k = i -> ( ( F ` k ) < ( ( F ` ( e x. Z ) ) + ( C / ( e x. Z ) ) ) <-> ( F ` i ) < ( ( F ` ( e x. Z ) ) + ( C / ( e x. Z ) ) ) ) )
67	65, 66	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = i -> ( ( ( F ` ( e x. Z ) ) < ( ( F ` k ) + ( C / ( e x. Z ) ) ) /\ ( F ` k ) < ( ( F ` ( e x. Z ) ) + ( C / ( e x. Z ) ) ) ) <-> ( ( F ` ( e x. Z ) ) < ( ( F ` i ) + ( C / ( e x. Z ) ) ) /\ ( F ` i ) < ( ( F ` ( e x. Z ) ) + ( C / ( e x. Z ) ) ) ) ) )
68		fveq2 5635	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n = ( e x. Z ) -> ( ZZ>= ` n ) = ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) )
69		fveq2 5635	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( n = ( e x. Z ) -> ( F ` n ) = ( F ` ( e x. Z ) ) )
70		oveq2 6021	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( n = ( e x. Z ) -> ( C / n ) = ( C / ( e x. Z ) ) )
71	70	oveq2d 6029	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( n = ( e x. Z ) -> ( ( F ` k ) + ( C / n ) ) = ( ( F ` k ) + ( C / ( e x. Z ) ) ) )
72	69, 71	breq12d 4099	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( n = ( e x. Z ) -> ( ( F ` n ) < ( ( F ` k ) + ( C / n ) ) <-> ( F ` ( e x. Z ) ) < ( ( F ` k ) + ( C / ( e x. Z ) ) ) ) )
73	69, 70	oveq12d 6031	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( n = ( e x. Z ) -> ( ( F ` n ) + ( C / n ) ) = ( ( F ` ( e x. Z ) ) + ( C / ( e x. Z ) ) ) )
74	73	breq2d 4098	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( n = ( e x. Z ) -> ( ( F ` k ) < ( ( F ` n ) + ( C / n ) ) <-> ( F ` k ) < ( ( F ` ( e x. Z ) ) + ( C / ( e x. Z ) ) ) ) )
75	72, 74	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n = ( e x. Z ) -> ( ( ( F ` n ) < ( ( F ` k ) + ( C / n ) ) /\ ( F ` k ) < ( ( F ` n ) + ( C / n ) ) ) <-> ( ( F ` ( e x. Z ) ) < ( ( F ` k ) + ( C / ( e x. Z ) ) ) /\ ( F ` k ) < ( ( F ` ( e x. Z ) ) + ( C / ( e x. Z ) ) ) ) ) )
76	68, 75	raleqbidv 2744	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n = ( e x. Z ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` n ) < ( ( F ` k ) + ( C / n ) ) /\ ( F ` k ) < ( ( F ` n ) + ( C / n ) ) ) <-> A. k e. ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) ( ( F ` ( e x. Z ) ) < ( ( F ` k ) + ( C / ( e x. Z ) ) ) /\ ( F ` k ) < ( ( F ` ( e x. Z ) ) + ( C / ( e x. Z ) ) ) ) ) )
77	3	ad6antr 498	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) /\ ( e e. NN /\ ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) ) -> A. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` n ) < ( ( F ` k ) + ( C / n ) ) /\ ( F ` k ) < ( ( F ` n ) + ( C / n ) ) ) )
78	76, 77, 47	rspcdva 2913	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) /\ ( e e. NN /\ ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) ( ( F ` ( e x. Z ) ) < ( ( F ` k ) + ( C / ( e x. Z ) ) ) /\ ( F ` k ) < ( ( F ` ( e x. Z ) ) + ( C / ( e x. Z ) ) ) ) )
79		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) /\ ( e e. NN /\ ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) ) -> i e. ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) )
80	67, 78, 79	rspcdva 2913	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) /\ ( e e. NN /\ ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) ) -> ( ( F ` ( e x. Z ) ) < ( ( F ` i ) + ( C / ( e x. Z ) ) ) /\ ( F ` i ) < ( ( F ` ( e x. Z ) ) + ( C / ( e x. Z ) ) ) ) )
81	80	simprd 114	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) /\ ( e e. NN /\ ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) ) -> ( F ` i ) < ( ( F ` ( e x. Z ) ) + ( C / ( e x. Z ) ) ) )
82		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) -> x e. RR+ )
83	82	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) /\ ( e e. NN /\ ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) ) -> x e. RR+ )
84	83	rpred 9921	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) /\ ( e e. NN /\ ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) ) -> x e. RR )
85	84	rehalfcld 9381	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) /\ ( e e. NN /\ ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) ) -> ( x / 2 ) e. RR )
86	2	ad6antr 498	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) /\ ( e e. NN /\ ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) ) -> C e. RR+ )
87	36	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) /\ ( e e. NN /\ ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) ) -> a e. NN )
88		simplrr 536	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) /\ ( e e. NN /\ ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) ) -> ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e )
89	86, 83, 46, 45, 87, 88	cvg1nlemcxze 11533	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) /\ ( e e. NN /\ ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) ) -> ( C / ( e x. Z ) ) < ( x / 2 ) )
90	61, 85, 89	ltled 8288	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) /\ ( e e. NN /\ ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) ) -> ( C / ( e x. Z ) ) <_ ( x / 2 ) )
91	61, 54, 51, 90	leadd2dd 8730	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) /\ ( e e. NN /\ ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) ) -> ( ( F ` ( e x. Z ) ) + ( C / ( e x. Z ) ) ) <_ ( ( F ` ( e x. Z ) ) + ( x / 2 ) ) )
92	50, 62, 55, 81, 91	ltletrd 8593	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) /\ ( e e. NN /\ ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) ) -> ( F ` i ) < ( ( F ` ( e x. Z ) ) + ( x / 2 ) ) )
93		fveq2 5635	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( b = e -> ( G ` b ) = ( G ` e ) )
94	93	breq1d 4096	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( b = e -> ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) <-> ( G ` e ) < ( y + ( x / 2 ) ) ) )
95	93	oveq1d 6028	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( b = e -> ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) = ( ( G ` e ) + ( x / 2 ) ) )
96	95	breq2d 4098	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( b = e -> ( y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) <-> y < ( ( G ` e ) + ( x / 2 ) ) ) )
97	94, 96	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( b = e -> ( ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) <-> ( ( G ` e ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` e ) + ( x / 2 ) ) ) ) )
98		simprr 531	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) -> A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) )
99	98	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) /\ ( e e. NN /\ ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) ) -> A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) )
100	87	nnred 9146	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) /\ ( e e. NN /\ ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) ) -> a e. RR )
101	45	nnred 9146	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) /\ ( e e. NN /\ ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) ) -> e e. RR )
102		2rp 9883	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- 2 e. RR+
103	102	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) /\ ( e e. NN /\ ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) ) -> 2 e. RR+ )
104	86, 103	rpmulcld 9938	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) /\ ( e e. NN /\ ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) ) -> ( C x. 2 ) e. RR+ )
105	104, 83	rpdivcld 9939	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) /\ ( e e. NN /\ ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) ) -> ( ( C x. 2 ) / x ) e. RR+ )
106	46	nnrpd 9919	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) /\ ( e e. NN /\ ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) ) -> Z e. RR+ )
107	105, 106	rpdivcld 9939	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) /\ ( e e. NN /\ ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) ) -> ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) e. RR+ )
108	107	rpred 9921	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) /\ ( e e. NN /\ ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) ) -> ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) e. RR )
109	108, 100	readdcld 8199	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) /\ ( e e. NN /\ ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) ) -> ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) e. RR )
110	100, 107	ltaddrp2d 9956	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) /\ ( e e. NN /\ ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) ) -> a < ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) )
111	100, 109, 101, 110, 88	lttrd 8295	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) /\ ( e e. NN /\ ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) ) -> a < e )
112	100, 101, 111	ltled 8288	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) /\ ( e e. NN /\ ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) ) -> a <_ e )
113	87	nnzd 9591	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) /\ ( e e. NN /\ ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) ) -> a e. ZZ )
114	45	nnzd 9591	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) /\ ( e e. NN /\ ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) ) -> e e. ZZ )
115		eluz 9759	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( a e. ZZ /\ e e. ZZ ) -> ( e e. ( ZZ>= ` a ) <-> a <_ e ) )
116	113, 114, 115	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) /\ ( e e. NN /\ ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) ) -> ( e e. ( ZZ>= ` a ) <-> a <_ e ) )
117	112, 116	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) /\ ( e e. NN /\ ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) ) -> e e. ( ZZ>= ` a ) )
118	97, 99, 117	rspcdva 2913	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) /\ ( e e. NN /\ ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) ) -> ( ( G ` e ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` e ) + ( x / 2 ) ) ) )
119		oveq1 6020	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( j = e -> ( j x. Z ) = ( e x. Z ) )
120	119	fveq2d 5639	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( j = e -> ( F ` ( j x. Z ) ) = ( F ` ( e x. Z ) ) )
121	120, 4	fvmptg 5718	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( e e. NN /\ ( F ` ( e x. Z ) ) e. RR ) -> ( G ` e ) = ( F ` ( e x. Z ) ) )
122	45, 51, 121	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) /\ ( e e. NN /\ ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) ) -> ( G ` e ) = ( F ` ( e x. Z ) ) )
123	122	breq1d 4096	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) /\ ( e e. NN /\ ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) ) -> ( ( G ` e ) < ( y + ( x / 2 ) ) <-> ( F ` ( e x. Z ) ) < ( y + ( x / 2 ) ) ) )
124	122	oveq1d 6028	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) /\ ( e e. NN /\ ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) ) -> ( ( G ` e ) + ( x / 2 ) ) = ( ( F ` ( e x. Z ) ) + ( x / 2 ) ) )
125	124	breq2d 4098	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) /\ ( e e. NN /\ ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) ) -> ( y < ( ( G ` e ) + ( x / 2 ) ) <-> y < ( ( F ` ( e x. Z ) ) + ( x / 2 ) ) ) )
126	123, 125	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) /\ ( e e. NN /\ ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) ) -> ( ( ( G ` e ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` e ) + ( x / 2 ) ) ) <-> ( ( F ` ( e x. Z ) ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( F ` ( e x. Z ) ) + ( x / 2 ) ) ) ) )
127	118, 126	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) /\ ( e e. NN /\ ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) ) -> ( ( F ` ( e x. Z ) ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( F ` ( e x. Z ) ) + ( x / 2 ) ) ) )
128	127	simpld 112	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) /\ ( e e. NN /\ ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) ) -> ( F ` ( e x. Z ) ) < ( y + ( x / 2 ) ) )
129	51, 58, 54, 128	ltadd1dd 8726	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) /\ ( e e. NN /\ ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) ) -> ( ( F ` ( e x. Z ) ) + ( x / 2 ) ) < ( ( y + ( x / 2 ) ) + ( x / 2 ) ) )
130	50, 55, 59, 92, 129	lttrd 8295	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) /\ ( e e. NN /\ ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) ) -> ( F ` i ) < ( ( y + ( x / 2 ) ) + ( x / 2 ) ) )
131	57	recnd 8198	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) /\ ( e e. NN /\ ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) ) -> y e. CC )
132	54	recnd 8198	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) /\ ( e e. NN /\ ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) ) -> ( x / 2 ) e. CC )
133	131, 132, 132	addassd 8192	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) /\ ( e e. NN /\ ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) ) -> ( ( y + ( x / 2 ) ) + ( x / 2 ) ) = ( y + ( ( x / 2 ) + ( x / 2 ) ) ) )
134	130, 133	breqtrd 4112	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) /\ ( e e. NN /\ ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) ) -> ( F ` i ) < ( y + ( ( x / 2 ) + ( x / 2 ) ) ) )
135	52	rpcnd 9923	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) /\ ( e e. NN /\ ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) ) -> x e. CC )
136	135	2halvesd 9380	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) /\ ( e e. NN /\ ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) ) -> ( ( x / 2 ) + ( x / 2 ) ) = x )
137	136	oveq2d 6029	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) /\ ( e e. NN /\ ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) ) -> ( y + ( ( x / 2 ) + ( x / 2 ) ) ) = ( y + x ) )
138	134, 137	breqtrd 4112	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) /\ ( e e. NN /\ ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) ) -> ( F ` i ) < ( y + x ) )
139	50, 54	readdcld 8199	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) /\ ( e e. NN /\ ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) ) -> ( ( F ` i ) + ( x / 2 ) ) e. RR )
140	139, 54	readdcld 8199	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) /\ ( e e. NN /\ ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) ) -> ( ( ( F ` i ) + ( x / 2 ) ) + ( x / 2 ) ) e. RR )
141	127	simprd 114	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) /\ ( e e. NN /\ ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) ) -> y < ( ( F ` ( e x. Z ) ) + ( x / 2 ) ) )
142	50, 61	readdcld 8199	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) /\ ( e e. NN /\ ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) ) -> ( ( F ` i ) + ( C / ( e x. Z ) ) ) e. RR )
143	80	simpld 112	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) /\ ( e e. NN /\ ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) ) -> ( F ` ( e x. Z ) ) < ( ( F ` i ) + ( C / ( e x. Z ) ) ) )
144	61, 54, 50, 90	leadd2dd 8730	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) /\ ( e e. NN /\ ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) ) -> ( ( F ` i ) + ( C / ( e x. Z ) ) ) <_ ( ( F ` i ) + ( x / 2 ) ) )
145	51, 142, 139, 143, 144	ltletrd 8593	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) /\ ( e e. NN /\ ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) ) -> ( F ` ( e x. Z ) ) < ( ( F ` i ) + ( x / 2 ) ) )
146	51, 139, 54, 145	ltadd1dd 8726	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) /\ ( e e. NN /\ ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) ) -> ( ( F ` ( e x. Z ) ) + ( x / 2 ) ) < ( ( ( F ` i ) + ( x / 2 ) ) + ( x / 2 ) ) )
147	57, 55, 140, 141, 146	lttrd 8295	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) /\ ( e e. NN /\ ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) ) -> y < ( ( ( F ` i ) + ( x / 2 ) ) + ( x / 2 ) ) )
148	50	recnd 8198	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) /\ ( e e. NN /\ ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) ) -> ( F ` i ) e. CC )
149	148, 132, 132	addassd 8192	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) /\ ( e e. NN /\ ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) ) -> ( ( ( F ` i ) + ( x / 2 ) ) + ( x / 2 ) ) = ( ( F ` i ) + ( ( x / 2 ) + ( x / 2 ) ) ) )
150	147, 149	breqtrd 4112	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) /\ ( e e. NN /\ ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) ) -> y < ( ( F ` i ) + ( ( x / 2 ) + ( x / 2 ) ) ) )
151	136	oveq2d 6029	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) /\ ( e e. NN /\ ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) ) -> ( ( F ` i ) + ( ( x / 2 ) + ( x / 2 ) ) ) = ( ( F ` i ) + x ) )
152	150, 151	breqtrd 4112	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) /\ ( e e. NN /\ ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) ) -> y < ( ( F ` i ) + x ) )
153	138, 152	jca 306	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) /\ ( e e. NN /\ ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) ) -> ( ( F ` i ) < ( y + x ) /\ y < ( ( F ` i ) + x ) ) )
154	153	ralrimiva 2603	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) /\ ( e e. NN /\ ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e ) ) -> A. i e. ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) ( ( F ` i ) < ( y + x ) /\ y < ( ( F ` i ) + x ) ) )
155		fveq2 5635	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = ( e x. Z ) -> ( ZZ>= ` j ) = ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) )
156	155	raleqdv 2734	. . . . . . . . . 10 |- ( j = ( e x. Z ) -> ( A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( y + x ) /\ y < ( ( F ` i ) + x ) ) <-> A. i e. ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) ( ( F ` i ) < ( y + x ) /\ y < ( ( F ` i ) + x ) ) ) )
157	156	rspcev 2908	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( e x. Z ) e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) ( ( F ` i ) < ( y + x ) /\ y < ( ( F ` i ) + x ) ) ) -> E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( y + x ) /\ y < ( ( F ` i ) + x ) ) )
158	43, 154, 157	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) /\ ( e e. NN /\ ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e ) ) -> E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( y + x ) /\ y < ( ( F ` i ) + x ) ) )
159	40, 158	rexlimddv 2653	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) -> E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( y + x ) /\ y < ( ( F ` i ) + x ) ) )
160	26, 159	rexlimddv 2653	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) -> E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( y + x ) /\ y < ( ( F ` i ) + x ) ) )
161	15, 160	sylbi 121	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. a e. NN A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) -> E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( y + x ) /\ y < ( ( F ` i ) + x ) ) )
162	161	ralrimiva 2603	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. a e. NN A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) -> A. x e. RR+ E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( y + x ) /\ y < ( ( F ` i ) + x ) ) )
163	162	ex 115	. . 3 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( A. c e. RR+ E. a e. NN A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) -> A. x e. RR+ E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( y + x ) /\ y < ( ( F ` i ) + x ) ) ) )
164	163	reximdva 2632	. 2 |- ( ph -> ( E. y e. RR A. c e. RR+ E. a e. NN A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) -> E. y e. RR A. x e. RR+ E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( y + x ) /\ y < ( ( F ` i ) + x ) ) ) )
165	9, 164	mpd 13	1 |- ( ph -> E. y e. RR A. x e. RR+ E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( y + x ) /\ y < ( ( F ` i ) + x ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   E.wrex 2509   class class class wbr 4086   |-> cmpt 4148   -->wf 5320   ` cfv 5324  (class class class)co 6013   RRcr 8021   + caddc 8025   x. cmul 8027   < clt 8204   <_ cle 8205   / cdiv 8842   NNcn 9133   2c2 9184   ZZcz 9469   ZZ>=cuz 9745   RR+crp 9878

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-mulrcl 8121  ax-addcom 8122  ax-mulcom 8123  ax-addass 8124  ax-mulass 8125  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-1rid 8129  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-precex 8132  ax-cnre 8133  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltwlin 8135  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-apti 8137  ax-pre-ltadd 8138  ax-pre-mulgt0 8139  ax-pre-mulext 8140  ax-arch 8141  ax-caucvg 8142

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-po 4391  df-iso 4392  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-sub 8342  df-neg 8343  df-reap 8745  df-ap 8752  df-div 8843  df-inn 9134  df-2 9192  df-n0 9393  df-z 9470  df-uz 9746  df-rp 9879

This theorem is referenced by:  cvg1n  11537