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Theorem cvg1nlemres 10994
Description: Lemma for cvg1n 10995. The original sequence  F has a limit (turns out it is the same as the limit of the modified sequence  G). (Contributed by Jim Kingdon, 1-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
cvg1n.f  |-  ( ph  ->  F : NN --> RR )
cvg1n.c  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
cvg1n.cau  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( ( F `  n )  <  ( ( F `
 k )  +  ( C  /  n
) )  /\  ( F `  k )  <  ( ( F `  n )  +  ( C  /  n ) ) ) )
cvg1nlem.g  |-  G  =  ( j  e.  NN  |->  ( F `  ( j  x.  Z ) ) )
cvg1nlem.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  NN )
cvg1nlem.start  |-  ( ph  ->  C  <  Z )
Assertion
Ref Expression
cvg1nlemres  |-  ( ph  ->  E. y  e.  RR  A. x  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. i  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  i )  <  (
y  +  x )  /\  y  <  (
( F `  i
)  +  x ) ) )
Distinct variable groups:    C, i, k    C, n, k    j, F, k, n    i, G, y, k    n, G   
x, G, i, y   
i, Z, j, k   
n, Z    ph, i, x, y, j    ph, k, n    x, j, y
Allowed substitution hints:    C( x, y, j)    F( x, y, i)    G( j)    Z( x, y)

Proof of Theorem cvg1nlemres
Dummy variables  e  a  b  c  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cvg1n.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F : NN --> RR )
2 cvg1n.c . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
3 cvg1n.cau . . . 4  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( ( F `  n )  <  ( ( F `
 k )  +  ( C  /  n
) )  /\  ( F `  k )  <  ( ( F `  n )  +  ( C  /  n ) ) ) )
4 cvg1nlem.g . . . 4  |-  G  =  ( j  e.  NN  |->  ( F `  ( j  x.  Z ) ) )
5 cvg1nlem.z . . . 4  |-  ( ph  ->  Z  e.  NN )
6 cvg1nlem.start . . . 4  |-  ( ph  ->  C  <  Z )
71, 2, 3, 4, 5, 6cvg1nlemf 10992 . . 3  |-  ( ph  ->  G : NN --> RR )
81, 2, 3, 4, 5, 6cvg1nlemcau 10993 . . 3  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( ( G `  n )  <  ( ( G `
 k )  +  ( 1  /  n
) )  /\  ( G `  k )  <  ( ( G `  n )  +  ( 1  /  n ) ) ) )
97, 8caucvgre 10990 . 2  |-  ( ph  ->  E. y  e.  RR  A. c  e.  RR+  E. a  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  a )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )
10 fveq2 5516 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  w  ->  ( ZZ>=
`  a )  =  ( ZZ>= `  w )
)
1110raleqdv 2679 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  w  ->  ( A. b  e.  ( ZZ>=
`  a ) ( ( G `  b
)  <  ( y  +  c )  /\  y  <  ( ( G `
 b )  +  c ) )  <->  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) ) )
1211cbvrexv 2705 . . . . . . . . 9  |-  ( E. a  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  c )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  c ) )  <->  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )
1312ralbii 2483 . . . . . . . 8  |-  ( A. c  e.  RR+  E. a  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  a )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) )  <->  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  c )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  c ) ) )
1413anbi2i 457 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. a  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  a )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  <->  ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  c )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  c ) ) ) )
1514anbi1i 458 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. a  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  c )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  <->  ( (
( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ ) )
16 oveq2 5883 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  =  ( x  / 
2 )  ->  (
y  +  c )  =  ( y  +  ( x  /  2
) ) )
1716breq2d 4016 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  =  ( x  / 
2 )  ->  (
( G `  b
)  <  ( y  +  c )  <->  ( G `  b )  <  (
y  +  ( x  /  2 ) ) ) )
18 oveq2 5883 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  =  ( x  / 
2 )  ->  (
( G `  b
)  +  c )  =  ( ( G `
 b )  +  ( x  /  2
) ) )
1918breq2d 4016 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  =  ( x  / 
2 )  ->  (
y  <  ( ( G `  b )  +  c )  <->  y  <  ( ( G `  b
)  +  ( x  /  2 ) ) ) )
2017, 19anbi12d 473 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =  ( x  / 
2 )  ->  (
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) )  <->  ( ( G `
 b )  < 
( y  +  ( x  /  2 ) )  /\  y  < 
( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )
2120rexralbidv 2503 . . . . . . . . 9  |-  ( c  =  ( x  / 
2 )  ->  ( E. a  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  c )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  c ) )  <->  E. a  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  a )
( ( G `  b )  <  (
y  +  ( x  /  2 ) )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )
22 simplr 528 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. a  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  c )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  A. c  e.  RR+  E. a  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  a )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )
23 simpr 110 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. a  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  c )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  RR+ )
2423rphalfcld 9709 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. a  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  c )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  -> 
( x  /  2
)  e.  RR+ )
2521, 22, 24rspcdva 2847 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. a  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  c )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. a  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  ( x  /  2
) )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) )
2615, 25sylbir 135 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  c )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. a  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  ( x  /  2
) )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) )
272rpred 9696 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
2827ad4antr 494 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  c )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\ 
A. b  e.  (
ZZ>= `  a ) ( ( G `  b
)  <  ( y  +  ( x  / 
2 ) )  /\  y  <  ( ( G `
 b )  +  ( x  /  2
) ) ) ) )  ->  C  e.  RR )
29 2re 8989 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  RR
3029a1i 9 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  c )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\ 
A. b  e.  (
ZZ>= `  a ) ( ( G `  b
)  <  ( y  +  ( x  / 
2 ) )  /\  y  <  ( ( G `
 b )  +  ( x  /  2
) ) ) ) )  ->  2  e.  RR )
3128, 30remulcld 7988 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  c )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\ 
A. b  e.  (
ZZ>= `  a ) ( ( G `  b
)  <  ( y  +  ( x  / 
2 ) )  /\  y  <  ( ( G `
 b )  +  ( x  /  2
) ) ) ) )  ->  ( C  x.  2 )  e.  RR )
32 simplr 528 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  c )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\ 
A. b  e.  (
ZZ>= `  a ) ( ( G `  b
)  <  ( y  +  ( x  / 
2 ) )  /\  y  <  ( ( G `
 b )  +  ( x  /  2
) ) ) ) )  ->  x  e.  RR+ )
3331, 32rerpdivcld 9728 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  c )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\ 
A. b  e.  (
ZZ>= `  a ) ( ( G `  b
)  <  ( y  +  ( x  / 
2 ) )  /\  y  <  ( ( G `
 b )  +  ( x  /  2
) ) ) ) )  ->  ( ( C  x.  2 )  /  x )  e.  RR )
345ad4antr 494 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  c )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\ 
A. b  e.  (
ZZ>= `  a ) ( ( G `  b
)  <  ( y  +  ( x  / 
2 ) )  /\  y  <  ( ( G `
 b )  +  ( x  /  2
) ) ) ) )  ->  Z  e.  NN )
3533, 34nndivred 8969 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  c )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\ 
A. b  e.  (
ZZ>= `  a ) ( ( G `  b
)  <  ( y  +  ( x  / 
2 ) )  /\  y  <  ( ( G `
 b )  +  ( x  /  2
) ) ) ) )  ->  ( (
( C  x.  2 )  /  x )  /  Z )  e.  RR )
36 simprl 529 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  c )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\ 
A. b  e.  (
ZZ>= `  a ) ( ( G `  b
)  <  ( y  +  ( x  / 
2 ) )  /\  y  <  ( ( G `
 b )  +  ( x  /  2
) ) ) ) )  ->  a  e.  NN )
3736nnred 8932 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  c )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\ 
A. b  e.  (
ZZ>= `  a ) ( ( G `  b
)  <  ( y  +  ( x  / 
2 ) )  /\  y  <  ( ( G `
 b )  +  ( x  /  2
) ) ) ) )  ->  a  e.  RR )
3835, 37readdcld 7987 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  c )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\ 
A. b  e.  (
ZZ>= `  a ) ( ( G `  b
)  <  ( y  +  ( x  / 
2 ) )  /\  y  <  ( ( G `
 b )  +  ( x  /  2
) ) ) ) )  ->  ( (
( ( C  x.  2 )  /  x
)  /  Z )  +  a )  e.  RR )
39 arch 9173 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x )  /  Z
)  +  a )  e.  RR  ->  E. e  e.  NN  ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x )  /  Z )  +  a )  <  e
)
4038, 39syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  c )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\ 
A. b  e.  (
ZZ>= `  a ) ( ( G `  b
)  <  ( y  +  ( x  / 
2 ) )  /\  y  <  ( ( G `
 b )  +  ( x  /  2
) ) ) ) )  ->  E. e  e.  NN  ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x )  /  Z )  +  a )  <  e
)
41 simprl 529 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  NN  /\  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  ( x  /  2
) )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x
)  /  Z )  +  a )  < 
e ) )  -> 
e  e.  NN )
4234adantr 276 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  NN  /\  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  ( x  /  2
) )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x
)  /  Z )  +  a )  < 
e ) )  ->  Z  e.  NN )
4341, 42nnmulcld 8968 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  NN  /\  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  ( x  /  2
) )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x
)  /  Z )  +  a )  < 
e ) )  -> 
( e  x.  Z
)  e.  NN )
441ad6antr 498 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  NN  /\  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  ( x  /  2
) )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x
)  /  Z )  +  a )  < 
e ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( e  x.  Z
) ) )  ->  F : NN --> RR )
45 simplrl 535 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  NN  /\  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  ( x  /  2
) )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x
)  /  Z )  +  a )  < 
e ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( e  x.  Z
) ) )  -> 
e  e.  NN )
465ad6antr 498 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  NN  /\  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  ( x  /  2
) )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x
)  /  Z )  +  a )  < 
e ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( e  x.  Z
) ) )  ->  Z  e.  NN )
4745, 46nnmulcld 8968 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  NN  /\  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  ( x  /  2
) )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x
)  /  Z )  +  a )  < 
e ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( e  x.  Z
) ) )  -> 
( e  x.  Z
)  e.  NN )
48 eluznn 9600 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( e  x.  Z
)  e.  NN  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( e  x.  Z
) ) )  -> 
i  e.  NN )
4947, 48sylancom 420 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  NN  /\  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  ( x  /  2
) )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x
)  /  Z )  +  a )  < 
e ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( e  x.  Z
) ) )  -> 
i  e.  NN )
5044, 49ffvelcdmd 5653 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  NN  /\  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  ( x  /  2
) )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x
)  /  Z )  +  a )  < 
e ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( e  x.  Z
) ) )  -> 
( F `  i
)  e.  RR )
5144, 47ffvelcdmd 5653 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  NN  /\  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  ( x  /  2
) )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x
)  /  Z )  +  a )  < 
e ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( e  x.  Z
) ) )  -> 
( F `  (
e  x.  Z ) )  e.  RR )
5232ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  NN  /\  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  ( x  /  2
) )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x
)  /  Z )  +  a )  < 
e ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( e  x.  Z
) ) )  ->  x  e.  RR+ )
5352rpred 9696 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  NN  /\  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  ( x  /  2
) )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x
)  /  Z )  +  a )  < 
e ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( e  x.  Z
) ) )  ->  x  e.  RR )
5453rehalfcld 9165 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  NN  /\  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  ( x  /  2
) )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x
)  /  Z )  +  a )  < 
e ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( e  x.  Z
) ) )  -> 
( x  /  2
)  e.  RR )
5551, 54readdcld 7987 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  NN  /\  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  ( x  /  2
) )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x
)  /  Z )  +  a )  < 
e ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( e  x.  Z
) ) )  -> 
( ( F `  ( e  x.  Z
) )  +  ( x  /  2 ) )  e.  RR )
56 simpllr 534 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  c )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  -> 
y  e.  RR )
5756ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  NN  /\  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  ( x  /  2
) )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x
)  /  Z )  +  a )  < 
e ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( e  x.  Z
) ) )  -> 
y  e.  RR )
5857, 54readdcld 7987 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  NN  /\  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  ( x  /  2
) )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x
)  /  Z )  +  a )  < 
e ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( e  x.  Z
) ) )  -> 
( y  +  ( x  /  2 ) )  e.  RR )
5958, 54readdcld 7987 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  NN  /\  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  ( x  /  2
) )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x
)  /  Z )  +  a )  < 
e ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( e  x.  Z
) ) )  -> 
( ( y  +  ( x  /  2
) )  +  ( x  /  2 ) )  e.  RR )
6027ad6antr 498 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  NN  /\  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  ( x  /  2
) )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x
)  /  Z )  +  a )  < 
e ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( e  x.  Z
) ) )  ->  C  e.  RR )
6160, 47nndivred 8969 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  NN  /\  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  ( x  /  2
) )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x
)  /  Z )  +  a )  < 
e ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( e  x.  Z
) ) )  -> 
( C  /  (
e  x.  Z ) )  e.  RR )
6251, 61readdcld 7987 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  NN  /\  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  ( x  /  2
) )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x
)  /  Z )  +  a )  < 
e ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( e  x.  Z
) ) )  -> 
( ( F `  ( e  x.  Z
) )  +  ( C  /  ( e  x.  Z ) ) )  e.  RR )
63 fveq2 5516 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  =  i  ->  ( F `  k )  =  ( F `  i ) )
6463oveq1d 5890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  i  ->  (
( F `  k
)  +  ( C  /  ( e  x.  Z ) ) )  =  ( ( F `
 i )  +  ( C  /  (
e  x.  Z ) ) ) )
6564breq2d 4016 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  i  ->  (
( F `  (
e  x.  Z ) )  <  ( ( F `  k )  +  ( C  / 
( e  x.  Z
) ) )  <->  ( F `  ( e  x.  Z
) )  <  (
( F `  i
)  +  ( C  /  ( e  x.  Z ) ) ) ) )
6663breq1d 4014 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  i  ->  (
( F `  k
)  <  ( ( F `  ( e  x.  Z ) )  +  ( C  /  (
e  x.  Z ) ) )  <->  ( F `  i )  <  (
( F `  (
e  x.  Z ) )  +  ( C  /  ( e  x.  Z ) ) ) ) )
6765, 66anbi12d 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  i  ->  (
( ( F `  ( e  x.  Z
) )  <  (
( F `  k
)  +  ( C  /  ( e  x.  Z ) ) )  /\  ( F `  k )  <  (
( F `  (
e  x.  Z ) )  +  ( C  /  ( e  x.  Z ) ) ) )  <->  ( ( F `
 ( e  x.  Z ) )  < 
( ( F `  i )  +  ( C  /  ( e  x.  Z ) ) )  /\  ( F `
 i )  < 
( ( F `  ( e  x.  Z
) )  +  ( C  /  ( e  x.  Z ) ) ) ) ) )
68 fveq2 5516 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  =  ( e  x.  Z )  ->  ( ZZ>=
`  n )  =  ( ZZ>= `  ( e  x.  Z ) ) )
69 fveq2 5516 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  =  ( e  x.  Z )  ->  ( F `  n )  =  ( F `  ( e  x.  Z
) ) )
70 oveq2 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  =  ( e  x.  Z )  ->  ( C  /  n )  =  ( C  /  (
e  x.  Z ) ) )
7170oveq2d 5891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  =  ( e  x.  Z )  ->  (
( F `  k
)  +  ( C  /  n ) )  =  ( ( F `
 k )  +  ( C  /  (
e  x.  Z ) ) ) )
7269, 71breq12d 4017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  =  ( e  x.  Z )  ->  (
( F `  n
)  <  ( ( F `  k )  +  ( C  /  n ) )  <->  ( F `  ( e  x.  Z
) )  <  (
( F `  k
)  +  ( C  /  ( e  x.  Z ) ) ) ) )
7369, 70oveq12d 5893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  =  ( e  x.  Z )  ->  (
( F `  n
)  +  ( C  /  n ) )  =  ( ( F `
 ( e  x.  Z ) )  +  ( C  /  (
e  x.  Z ) ) ) )
7473breq2d 4016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  =  ( e  x.  Z )  ->  (
( F `  k
)  <  ( ( F `  n )  +  ( C  /  n ) )  <->  ( F `  k )  <  (
( F `  (
e  x.  Z ) )  +  ( C  /  ( e  x.  Z ) ) ) ) )
7572, 74anbi12d 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  =  ( e  x.  Z )  ->  (
( ( F `  n )  <  (
( F `  k
)  +  ( C  /  n ) )  /\  ( F `  k )  <  (
( F `  n
)  +  ( C  /  n ) ) )  <->  ( ( F `
 ( e  x.  Z ) )  < 
( ( F `  k )  +  ( C  /  ( e  x.  Z ) ) )  /\  ( F `
 k )  < 
( ( F `  ( e  x.  Z
) )  +  ( C  /  ( e  x.  Z ) ) ) ) ) )
7668, 75raleqbidv 2685 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  =  ( e  x.  Z )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  n ) ( ( F `  n
)  <  ( ( F `  k )  +  ( C  /  n ) )  /\  ( F `  k )  <  ( ( F `
 n )  +  ( C  /  n
) ) )  <->  A. k  e.  ( ZZ>= `  ( e  x.  Z ) ) ( ( F `  (
e  x.  Z ) )  <  ( ( F `  k )  +  ( C  / 
( e  x.  Z
) ) )  /\  ( F `  k )  <  ( ( F `
 ( e  x.  Z ) )  +  ( C  /  (
e  x.  Z ) ) ) ) ) )
773ad6antr 498 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  NN  /\  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  ( x  /  2
) )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x
)  /  Z )  +  a )  < 
e ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( e  x.  Z
) ) )  ->  A. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( ( F `  n )  <  ( ( F `
 k )  +  ( C  /  n
) )  /\  ( F `  k )  <  ( ( F `  n )  +  ( C  /  n ) ) ) )
7876, 77, 47rspcdva 2847 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  NN  /\  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  ( x  /  2
) )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x
)  /  Z )  +  a )  < 
e ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( e  x.  Z
) ) )  ->  A. k  e.  ( ZZ>=
`  ( e  x.  Z ) ) ( ( F `  (
e  x.  Z ) )  <  ( ( F `  k )  +  ( C  / 
( e  x.  Z
) ) )  /\  ( F `  k )  <  ( ( F `
 ( e  x.  Z ) )  +  ( C  /  (
e  x.  Z ) ) ) ) )
79 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  NN  /\  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  ( x  /  2
) )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x
)  /  Z )  +  a )  < 
e ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( e  x.  Z
) ) )  -> 
i  e.  ( ZZ>= `  ( e  x.  Z
) ) )
8067, 78, 79rspcdva 2847 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  NN  /\  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  ( x  /  2
) )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x
)  /  Z )  +  a )  < 
e ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( e  x.  Z
) ) )  -> 
( ( F `  ( e  x.  Z
) )  <  (
( F `  i
)  +  ( C  /  ( e  x.  Z ) ) )  /\  ( F `  i )  <  (
( F `  (
e  x.  Z ) )  +  ( C  /  ( e  x.  Z ) ) ) ) )
8180simprd 114 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  NN  /\  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  ( x  /  2
) )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x
)  /  Z )  +  a )  < 
e ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( e  x.  Z
) ) )  -> 
( F `  i
)  <  ( ( F `  ( e  x.  Z ) )  +  ( C  /  (
e  x.  Z ) ) ) )
82 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  c )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  RR+ )
8382ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  NN  /\  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  ( x  /  2
) )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x
)  /  Z )  +  a )  < 
e ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( e  x.  Z
) ) )  ->  x  e.  RR+ )
8483rpred 9696 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  NN  /\  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  ( x  /  2
) )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x
)  /  Z )  +  a )  < 
e ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( e  x.  Z
) ) )  ->  x  e.  RR )
8584rehalfcld 9165 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  NN  /\  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  ( x  /  2
) )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x
)  /  Z )  +  a )  < 
e ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( e  x.  Z
) ) )  -> 
( x  /  2
)  e.  RR )
862ad6antr 498 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  NN  /\  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  ( x  /  2
) )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x
)  /  Z )  +  a )  < 
e ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( e  x.  Z
) ) )  ->  C  e.  RR+ )
8736ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  NN  /\  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  ( x  /  2
) )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x
)  /  Z )  +  a )  < 
e ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( e  x.  Z
) ) )  -> 
a  e.  NN )
88 simplrr 536 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  NN  /\  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  ( x  /  2
) )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x
)  /  Z )  +  a )  < 
e ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( e  x.  Z
) ) )  -> 
( ( ( ( C  x.  2 )  /  x )  /  Z )  +  a )  <  e )
8986, 83, 46, 45, 87, 88cvg1nlemcxze 10991 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  NN  /\  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  ( x  /  2
) )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x
)  /  Z )  +  a )  < 
e ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( e  x.  Z
) ) )  -> 
( C  /  (
e  x.  Z ) )  <  ( x  /  2 ) )
9061, 85, 89ltled 8076 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  NN  /\  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  ( x  /  2
) )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x
)  /  Z )  +  a )  < 
e ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( e  x.  Z
) ) )  -> 
( C  /  (
e  x.  Z ) )  <_  ( x  /  2 ) )
9161, 54, 51, 90leadd2dd 8517 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  NN  /\  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  ( x  /  2
) )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x
)  /  Z )  +  a )  < 
e ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( e  x.  Z
) ) )  -> 
( ( F `  ( e  x.  Z
) )  +  ( C  /  ( e  x.  Z ) ) )  <_  ( ( F `  ( e  x.  Z ) )  +  ( x  /  2
) ) )
9250, 62, 55, 81, 91ltletrd 8380 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  NN  /\  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  ( x  /  2
) )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x
)  /  Z )  +  a )  < 
e ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( e  x.  Z
) ) )  -> 
( F `  i
)  <  ( ( F `  ( e  x.  Z ) )  +  ( x  /  2
) ) )
93 fveq2 5516 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( b  =  e  ->  ( G `  b )  =  ( G `  e ) )
9493breq1d 4014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( b  =  e  ->  (
( G `  b
)  <  ( y  +  ( x  / 
2 ) )  <->  ( G `  e )  <  (
y  +  ( x  /  2 ) ) ) )
9593oveq1d 5890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( b  =  e  ->  (
( G `  b
)  +  ( x  /  2 ) )  =  ( ( G `
 e )  +  ( x  /  2
) ) )
9695breq2d 4016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( b  =  e  ->  (
y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  / 
2 ) )  <->  y  <  ( ( G `  e
)  +  ( x  /  2 ) ) ) )
9794, 96anbi12d 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( b  =  e  ->  (
( ( G `  b )  <  (
y  +  ( x  /  2 ) )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  ( x  /  2 ) ) )  <->  ( ( G `
 e )  < 
( y  +  ( x  /  2 ) )  /\  y  < 
( ( G `  e )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )
98 simprr 531 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  c )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\ 
A. b  e.  (
ZZ>= `  a ) ( ( G `  b
)  <  ( y  +  ( x  / 
2 ) )  /\  y  <  ( ( G `
 b )  +  ( x  /  2
) ) ) ) )  ->  A. b  e.  ( ZZ>= `  a )
( ( G `  b )  <  (
y  +  ( x  /  2 ) )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  ( x  /  2 ) ) ) )
9998ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  NN  /\  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  ( x  /  2
) )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x
)  /  Z )  +  a )  < 
e ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( e  x.  Z
) ) )  ->  A. b  e.  ( ZZ>=
`  a ) ( ( G `  b
)  <  ( y  +  ( x  / 
2 ) )  /\  y  <  ( ( G `
 b )  +  ( x  /  2
) ) ) )
10087nnred 8932 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  NN  /\  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  ( x  /  2
) )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x
)  /  Z )  +  a )  < 
e ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( e  x.  Z
) ) )  -> 
a  e.  RR )
10145nnred 8932 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  NN  /\  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  ( x  /  2
) )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x
)  /  Z )  +  a )  < 
e ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( e  x.  Z
) ) )  -> 
e  e.  RR )
102 2rp 9658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  2  e.  RR+
103102a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  NN  /\  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  ( x  /  2
) )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x
)  /  Z )  +  a )  < 
e ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( e  x.  Z
) ) )  -> 
2  e.  RR+ )
10486, 103rpmulcld 9713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  NN  /\  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  ( x  /  2
) )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x
)  /  Z )  +  a )  < 
e ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( e  x.  Z
) ) )  -> 
( C  x.  2 )  e.  RR+ )
105104, 83rpdivcld 9714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  NN  /\  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  ( x  /  2
) )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x
)  /  Z )  +  a )  < 
e ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( e  x.  Z
) ) )  -> 
( ( C  x.  2 )  /  x
)  e.  RR+ )
10646nnrpd 9694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  NN  /\  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  ( x  /  2
) )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x
)  /  Z )  +  a )  < 
e ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( e  x.  Z
) ) )  ->  Z  e.  RR+ )
107105, 106rpdivcld 9714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  NN  /\  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  ( x  /  2
) )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x
)  /  Z )  +  a )  < 
e ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( e  x.  Z
) ) )  -> 
( ( ( C  x.  2 )  /  x )  /  Z
)  e.  RR+ )
108107rpred 9696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  NN  /\  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  ( x  /  2
) )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x
)  /  Z )  +  a )  < 
e ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( e  x.  Z
) ) )  -> 
( ( ( C  x.  2 )  /  x )  /  Z
)  e.  RR )
109108, 100readdcld 7987 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  NN  /\  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  ( x  /  2
) )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x
)  /  Z )  +  a )  < 
e ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( e  x.  Z
) ) )  -> 
( ( ( ( C  x.  2 )  /  x )  /  Z )  +  a )  e.  RR )
110100, 107ltaddrp2d 9731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  NN  /\  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  ( x  /  2
) )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x
)  /  Z )  +  a )  < 
e ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( e  x.  Z
) ) )  -> 
a  <  ( (
( ( C  x.  2 )  /  x
)  /  Z )  +  a ) )
111100, 109, 101, 110, 88lttrd 8083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  NN  /\  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  ( x  /  2
) )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x
)  /  Z )  +  a )  < 
e ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( e  x.  Z
) ) )  -> 
a  <  e )
112100, 101, 111ltled 8076 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  NN  /\  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  ( x  /  2
) )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x
)  /  Z )  +  a )  < 
e ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( e  x.  Z
) ) )  -> 
a  <_  e )
11387nnzd 9374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  NN  /\  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  ( x  /  2
) )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x
)  /  Z )  +  a )  < 
e ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( e  x.  Z
) ) )  -> 
a  e.  ZZ )
11445nnzd 9374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  NN  /\  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  ( x  /  2
) )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x
)  /  Z )  +  a )  < 
e ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( e  x.  Z
) ) )  -> 
e  e.  ZZ )
115 eluz 9541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( a  e.  ZZ  /\  e  e.  ZZ )  ->  ( e  e.  (
ZZ>= `  a )  <->  a  <_  e ) )
116113, 114, 115syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  NN  /\  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  ( x  /  2
) )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x
)  /  Z )  +  a )  < 
e ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( e  x.  Z
) ) )  -> 
( e  e.  (
ZZ>= `  a )  <->  a  <_  e ) )
117112, 116mpbird 167 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  NN  /\  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  ( x  /  2
) )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x
)  /  Z )  +  a )  < 
e ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( e  x.  Z
) ) )  -> 
e  e.  ( ZZ>= `  a ) )
11897, 99, 117rspcdva 2847 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  NN  /\  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  ( x  /  2
) )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x
)  /  Z )  +  a )  < 
e ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( e  x.  Z
) ) )  -> 
( ( G `  e )  <  (
y  +  ( x  /  2 ) )  /\  y  <  (
( G `  e
)  +  ( x  /  2 ) ) ) )
119 oveq1 5882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( j  =  e  ->  (
j  x.  Z )  =  ( e  x.  Z ) )
120119fveq2d 5520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( j  =  e  ->  ( F `  ( j  x.  Z ) )  =  ( F `  (
e  x.  Z ) ) )
121120, 4fvmptg 5593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( e  e.  NN  /\  ( F `  ( e  x.  Z ) )  e.  RR )  -> 
( G `  e
)  =  ( F `
 ( e  x.  Z ) ) )
12245, 51, 121syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  NN  /\  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  ( x  /  2
) )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x
)  /  Z )  +  a )  < 
e ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( e  x.  Z
) ) )  -> 
( G `  e
)  =  ( F `
 ( e  x.  Z ) ) )
123122breq1d 4014 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  NN  /\  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  ( x  /  2
) )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x
)  /  Z )  +  a )  < 
e ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( e  x.  Z
) ) )  -> 
( ( G `  e )  <  (
y  +  ( x  /  2 ) )  <-> 
( F `  (
e  x.  Z ) )  <  ( y  +  ( x  / 
2 ) ) ) )
124122oveq1d 5890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  NN  /\  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  ( x  /  2
) )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x
)  /  Z )  +  a )  < 
e ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( e  x.  Z
) ) )  -> 
( ( G `  e )  +  ( x  /  2 ) )  =  ( ( F `  ( e  x.  Z ) )  +  ( x  / 
2 ) ) )
125124breq2d 4016 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  NN  /\  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  ( x  /  2
) )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x
)  /  Z )  +  a )  < 
e ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( e  x.  Z
) ) )  -> 
( y  <  (
( G `  e
)  +  ( x  /  2 ) )  <-> 
y  <  ( ( F `  ( e  x.  Z ) )  +  ( x  /  2
) ) ) )
126123, 125anbi12d 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  NN  /\  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  ( x  /  2
) )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x
)  /  Z )  +  a )  < 
e ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( e  x.  Z
) ) )  -> 
( ( ( G `
 e )  < 
( y  +  ( x  /  2 ) )  /\  y  < 
( ( G `  e )  +  ( x  /  2 ) ) )  <->  ( ( F `  ( e  x.  Z ) )  < 
( y  +  ( x  /  2 ) )  /\  y  < 
( ( F `  ( e  x.  Z
) )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )
127118, 126mpbid 147 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  NN  /\  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  ( x  /  2
) )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x
)  /  Z )  +  a )  < 
e ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( e  x.  Z
) ) )  -> 
( ( F `  ( e  x.  Z
) )  <  (
y  +  ( x  /  2 ) )  /\  y  <  (
( F `  (
e  x.  Z ) )  +  ( x  /  2 ) ) ) )
128127simpld 112 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  NN  /\  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  ( x  /  2
) )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x
)  /  Z )  +  a )  < 
e ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( e  x.  Z
) ) )  -> 
( F `  (
e  x.  Z ) )  <  ( y  +  ( x  / 
2 ) ) )
12951, 58, 54, 128ltadd1dd 8513 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  NN  /\  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  ( x  /  2
) )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x
)  /  Z )  +  a )  < 
e ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( e  x.  Z
) ) )  -> 
( ( F `  ( e  x.  Z
) )  +  ( x  /  2 ) )  <  ( ( y  +  ( x  /  2 ) )  +  ( x  / 
2 ) ) )
13050, 55, 59, 92, 129lttrd 8083 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  NN  /\  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  ( x  /  2
) )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x
)  /  Z )  +  a )  < 
e ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( e  x.  Z
) ) )  -> 
( F `  i
)  <  ( (
y  +  ( x  /  2 ) )  +  ( x  / 
2 ) ) )
13157recnd 7986 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  NN  /\  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  ( x  /  2
) )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x
)  /  Z )  +  a )  < 
e ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( e  x.  Z
) ) )  -> 
y  e.  CC )
13254recnd 7986 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  NN  /\  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  ( x  /  2
) )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x
)  /  Z )  +  a )  < 
e ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( e  x.  Z
) ) )  -> 
( x  /  2
)  e.  CC )
133131, 132, 132addassd 7980 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  NN  /\  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  ( x  /  2
) )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x
)  /  Z )  +  a )  < 
e ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( e  x.  Z
) ) )  -> 
( ( y  +  ( x  /  2
) )  +  ( x  /  2 ) )  =  ( y  +  ( ( x  /  2 )  +  ( x  /  2
) ) ) )
134130, 133breqtrd 4030 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  NN  /\  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  ( x  /  2
) )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x
)  /  Z )  +  a )  < 
e ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( e  x.  Z
) ) )  -> 
( F `  i
)  <  ( y  +  ( ( x  /  2 )  +  ( x  /  2
) ) ) )
13552rpcnd 9698 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  NN  /\  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  ( x  /  2
) )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x
)  /  Z )  +  a )  < 
e ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( e  x.  Z
) ) )  ->  x  e.  CC )
1361352halvesd 9164 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  NN  /\  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  ( x  /  2
) )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x
)  /  Z )  +  a )  < 
e ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( e  x.  Z
) ) )  -> 
( ( x  / 
2 )  +  ( x  /  2 ) )  =  x )
137136oveq2d 5891 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  NN  /\  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  ( x  /  2
) )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x
)  /  Z )  +  a )  < 
e ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( e  x.  Z
) ) )  -> 
( y  +  ( ( x  /  2
)  +  ( x  /  2 ) ) )  =  ( y  +  x ) )
138134, 137breqtrd 4030 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  NN  /\  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  ( x  /  2
) )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x
)  /  Z )  +  a )  < 
e ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( e  x.  Z
) ) )  -> 
( F `  i
)  <  ( y  +  x ) )
13950, 54readdcld 7987 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  NN  /\  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  ( x  /  2
) )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x
)  /  Z )  +  a )  < 
e ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( e  x.  Z
) ) )  -> 
( ( F `  i )  +  ( x  /  2 ) )  e.  RR )
140139, 54readdcld 7987 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  NN  /\  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  ( x  /  2
) )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x
)  /  Z )  +  a )  < 
e ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( e  x.  Z
) ) )  -> 
( ( ( F `
 i )  +  ( x  /  2
) )  +  ( x  /  2 ) )  e.  RR )
141127simprd 114 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  NN  /\  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  ( x  /  2
) )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x
)  /  Z )  +  a )  < 
e ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( e  x.  Z
) ) )  -> 
y  <  ( ( F `  ( e  x.  Z ) )  +  ( x  /  2
) ) )
14250, 61readdcld 7987 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  NN  /\  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  ( x  /  2
) )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x
)  /  Z )  +  a )  < 
e ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( e  x.  Z
) ) )  -> 
( ( F `  i )  +  ( C  /  ( e  x.  Z ) ) )  e.  RR )
14380simpld 112 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  NN  /\  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  ( x  /  2
) )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x
)  /  Z )  +  a )  < 
e ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( e  x.  Z
) ) )  -> 
( F `  (
e  x.  Z ) )  <  ( ( F `  i )  +  ( C  / 
( e  x.  Z
) ) ) )
14461, 54, 50, 90leadd2dd 8517 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  NN  /\  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  ( x  /  2
) )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x
)  /  Z )  +  a )  < 
e ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( e  x.  Z
) ) )  -> 
( ( F `  i )  +  ( C  /  ( e  x.  Z ) ) )  <_  ( ( F `  i )  +  ( x  / 
2 ) ) )
14551, 142, 139, 143, 144ltletrd 8380 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  NN  /\  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  ( x  /  2
) )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x
)  /  Z )  +  a )  < 
e ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( e  x.  Z
) ) )  -> 
( F `  (
e  x.  Z ) )  <  ( ( F `  i )  +  ( x  / 
2 ) ) )
14651, 139, 54, 145ltadd1dd 8513 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  NN  /\  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  ( x  /  2
) )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x
)  /  Z )  +  a )  < 
e ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( e  x.  Z
) ) )  -> 
( ( F `  ( e  x.  Z
) )  +  ( x  /  2 ) )  <  ( ( ( F `  i
)  +  ( x  /  2 ) )  +  ( x  / 
2 ) ) )
14757, 55, 140, 141, 146lttrd 8083 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  NN  /\  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  ( x  /  2
) )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x
)  /  Z )  +  a )  < 
e ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( e  x.  Z
) ) )  -> 
y  <  ( (
( F `  i
)  +  ( x  /  2 ) )  +  ( x  / 
2 ) ) )
14850recnd 7986 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  NN  /\  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  ( x  /  2
) )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x
)  /  Z )  +  a )  < 
e ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( e  x.  Z
) ) )  -> 
( F `  i
)  e.  CC )
149148, 132, 132addassd 7980 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  NN  /\  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  ( x  /  2
) )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x
)  /  Z )  +  a )  < 
e ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( e  x.  Z
) ) )  -> 
( ( ( F `
 i )  +  ( x  /  2
) )  +  ( x  /  2 ) )  =  ( ( F `  i )  +  ( ( x  /  2 )  +  ( x  /  2
) ) ) )
150147, 149breqtrd 4030 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  NN  /\  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  ( x  /  2
) )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x
)  /  Z )  +  a )  < 
e ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( e  x.  Z
) ) )  -> 
y  <  ( ( F `  i )  +  ( ( x  /  2 )  +  ( x  /  2
) ) ) )
151136oveq2d 5891 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  NN  /\  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  ( x  /  2
) )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x
)  /  Z )  +  a )  < 
e ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( e  x.  Z
) ) )  -> 
( ( F `  i )  +  ( ( x  /  2
)  +  ( x  /  2 ) ) )  =  ( ( F `  i )  +  x ) )
152150, 151breqtrd 4030 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  NN  /\  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  ( x  /  2
) )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x
)  /  Z )  +  a )  < 
e ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( e  x.  Z
) ) )  -> 
y  <  ( ( F `  i )  +  x ) )
153138, 152jca 306 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  NN  /\  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  ( x  /  2
) )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x
)  /  Z )  +  a )  < 
e ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( e  x.  Z
) ) )  -> 
( ( F `  i )  <  (
y  +  x )  /\  y  <  (
( F `  i
)  +  x ) ) )
154153ralrimiva 2550 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  NN  /\  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  ( x  /  2
) )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x
)  /  Z )  +  a )  < 
e ) )  ->  A. i  e.  ( ZZ>=
`  ( e  x.  Z ) ) ( ( F `  i
)  <  ( y  +  x )  /\  y  <  ( ( F `  i )  +  x
) ) )
155 fveq2 5516 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  ( e  x.  Z )  ->  ( ZZ>=
`  j )  =  ( ZZ>= `  ( e  x.  Z ) ) )
156155raleqdv 2679 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  ( e  x.  Z )  ->  ( A. i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( F `  i
)  <  ( y  +  x )  /\  y  <  ( ( F `  i )  +  x
) )  <->  A. i  e.  ( ZZ>= `  ( e  x.  Z ) ) ( ( F `  i
)  <  ( y  +  x )  /\  y  <  ( ( F `  i )  +  x
) ) ) )
157156rspcev 2842 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( e  x.  Z
)  e.  NN  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  ( e  x.  Z
) ) ( ( F `  i )  <  ( y  +  x )  /\  y  <  ( ( F `  i )  +  x
) ) )  ->  E. j  e.  NN  A. i  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  i )  <  ( y  +  x )  /\  y  <  ( ( F `  i )  +  x
) ) )
15843, 154, 157syl2anc 411 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  NN  /\  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  ( x  /  2
) )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  ( x  /  2 ) ) ) ) )  /\  ( e  e.  NN  /\  ( ( ( ( C  x.  2 )  /  x
)  /  Z )  +  a )  < 
e ) )  ->  E. j  e.  NN  A. i  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  i )  <  ( y  +  x )  /\  y  <  ( ( F `  i )  +  x
) ) )
15940, 158rexlimddv 2599 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  c )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\ 
A. b  e.  (
ZZ>= `  a ) ( ( G `  b
)  <  ( y  +  ( x  / 
2 ) )  /\  y  <  ( ( G `
 b )  +  ( x  /  2
) ) ) ) )  ->  E. j  e.  NN  A. i  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  i )  <  (
y  +  x )  /\  y  <  (
( F `  i
)  +  x ) ) )
16026, 159rexlimddv 2599 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  w ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  c )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. j  e.  NN  A. i  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  i )  <  ( y  +  x )  /\  y  <  ( ( F `  i )  +  x
) ) )
16115, 160sylbi 121 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. a  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  c )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  c ) ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. j  e.  NN  A. i  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  i )  <  ( y  +  x )  /\  y  <  ( ( F `  i )  +  x
) ) )
162161ralrimiva 2550 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  A. c  e.  RR+  E. a  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  a )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) ) )  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. i  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  i )  <  (
y  +  x )  /\  y  <  (
( F `  i
)  +  x ) ) )
163162ex 115 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( A. c  e.  RR+  E. a  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  a )
( ( G `  b )  <  (
y  +  c )  /\  y  <  (
( G `  b
)  +  c ) )  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. i  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  i )  <  (
y  +  x )  /\  y  <  (
( F `  i
)  +  x ) ) ) )
164163reximdva 2579 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. y  e.  RR  A. c  e.  RR+  E. a  e.  NN  A. b  e.  ( ZZ>= `  a ) ( ( G `  b )  <  ( y  +  c )  /\  y  <  ( ( G `  b )  +  c ) )  ->  E. y  e.  RR  A. x  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. i  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  i )  <  ( y  +  x )  /\  y  <  ( ( F `  i )  +  x
) ) ) )
1659, 164mpd 13 1  |-  ( ph  ->  E. y  e.  RR  A. x  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. i  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  i )  <  (
y  +  x )  /\  y  <  (
( F `  i
)  +  x ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    = wceq 1353    e. wcel 2148   A.wral 2455   E.wrex 2456   class class class wbr 4004    |-> cmpt 4065   -->wf 5213   ` cfv 5217  (class class class)co 5875   RRcr 7810    + caddc 7814    x. cmul 7816    < clt 7992    <_ cle 7993    / cdiv 8629   NNcn 8919   2c2 8970   ZZcz 9253   ZZ>=cuz 9528   RR+crp 9653
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-pre-mulext 7929  ax-arch 7930  ax-caucvg 7931
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539  df-div 8630  df-inn 8920  df-2 8978  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529  df-rp 9654
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