Theorem cvg1nlemres 10597

Description: Lemma for cvg1n 10598. The original sequence F has a limit (turns out it is the same as the limit of the modified sequence G). (Contributed by Jim Kingdon, 1-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvg1n.f	|- ( ph -> F : NN --> RR )
cvg1n.c	|- ( ph -> C e. RR+ )
cvg1n.cau	|- ( ph -> A. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` n ) < ( ( F ` k ) + ( C / n ) ) /\ ( F ` k ) < ( ( F ` n ) + ( C / n ) ) ) )
cvg1nlem.g	|- G = ( j e. NN |-> ( F ` ( j x. Z ) ) )
cvg1nlem.z	|- ( ph -> Z e. NN )
cvg1nlem.start	|- ( ph -> C < Z )

Assertion

Ref	Expression
cvg1nlemres	|- ( ph -> E. y e. RR A. x e. RR+ E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( y + x ) /\ y < ( ( F ` i ) + x ) ) )

Distinct variable groups:   C, i, k   C, n, k   j, F, k, n   i, G, y, k   n, G   x, G, i, y   i, Z, j, k   n, Z   ph, i, x, y, j   ph, k, n   x, j, y

Allowed substitution hints:   C( x, y, j)   F( x, y, i)   G( j)   Z( x, y)

Proof of Theorem cvg1nlemres

Dummy variables e a b c w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvg1n.f	. . . 4 |- ( ph -> F : NN --> RR )
2		cvg1n.c	. . . 4 |- ( ph -> C e. RR+ )
3		cvg1n.cau	. . . 4 |- ( ph -> A. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` n ) < ( ( F ` k ) + ( C / n ) ) /\ ( F ` k ) < ( ( F ` n ) + ( C / n ) ) ) )
4		cvg1nlem.g	. . . 4 |- G = ( j e. NN |-> ( F ` ( j x. Z ) ) )
5		cvg1nlem.z	. . . 4 |- ( ph -> Z e. NN )
6		cvg1nlem.start	. . . 4 |- ( ph -> C < Z )
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	cvg1nlemf 10595	. . 3 |- ( ph -> G : NN --> RR )
8	1, 2, 3, 4, 5, 6	cvg1nlemcau 10596	. . 3 |- ( ph -> A. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( G ` n ) < ( ( G ` k ) + ( 1 / n ) ) /\ ( G ` k ) < ( ( G ` n ) + ( 1 / n ) ) ) )
9	7, 8	caucvgre 10593	. 2 |- ( ph -> E. y e. RR A. c e. RR+ E. a e. NN A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) )
10		fveq2 5353	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = w -> ( ZZ>= ` a ) = ( ZZ>= ` w ) )
11	10	raleqdv 2590	. . . . . . . . . 10 |- ( a = w -> ( A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) <-> A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) )
12	11	cbvrexv 2613	. . . . . . . . 9 |- ( E. a e. NN A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) <-> E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) )
13	12	ralbii 2400	. . . . . . . 8 |- ( A. c e. RR+ E. a e. NN A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) <-> A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) )
14	13	anbi2i 448	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. a e. NN A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) <-> ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) )
15	14	anbi1i 449	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. a e. NN A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) <-> ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) )
16		oveq2 5714	. . . . . . . . . . . 12 |- ( c = ( x / 2 ) -> ( y + c ) = ( y + ( x / 2 ) ) )
17	16	breq2d 3887	. . . . . . . . . . 11 |- ( c = ( x / 2 ) -> ( ( G ` b ) < ( y + c ) <-> ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) ) )
18		oveq2 5714	. . . . . . . . . . . 12 |- ( c = ( x / 2 ) -> ( ( G ` b ) + c ) = ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) )
19	18	breq2d 3887	. . . . . . . . . . 11 |- ( c = ( x / 2 ) -> ( y < ( ( G ` b ) + c ) <-> y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) )
20	17, 19	anbi12d 460	. . . . . . . . . 10 |- ( c = ( x / 2 ) -> ( ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) <-> ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) )
21	20	rexralbidv 2420	. . . . . . . . 9 |- ( c = ( x / 2 ) -> ( E. a e. NN A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) <-> E. a e. NN A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) )
22		simplr 500	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. a e. NN A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) -> A. c e. RR+ E. a e. NN A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) )
23		simpr 109	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. a e. NN A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) -> x e. RR+ )
24	23	rphalfcld 9343	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. a e. NN A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) -> ( x / 2 ) e. RR+ )
25	21, 22, 24	rspcdva 2749	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. a e. NN A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) -> E. a e. NN A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) )
26	15, 25	sylbir 134	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) -> E. a e. NN A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) )
27	2	rpred 9330	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> C e. RR )
28	27	ad4antr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) -> C e. RR )
29		2re 8648	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 e. RR
30	29	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) -> 2 e. RR )
31	28, 30	remulcld 7668	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) -> ( C x. 2 ) e. RR )
32		simplr 500	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) -> x e. RR+ )
33	31, 32	rerpdivcld 9362	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) -> ( ( C x. 2 ) / x ) e. RR )
34	5	ad4antr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) -> Z e. NN )
35	33, 34	nndivred 8628	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) -> ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) e. RR )
36		simprl 501	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) -> a e. NN )
37	36	nnred 8591	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) -> a e. RR )
38	35, 37	readdcld 7667	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) -> ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) e. RR )
39		arch 8826	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) e. RR -> E. e e. NN ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e )
40	38, 39	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) -> E. e e. NN ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e )
41		simprl 501	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) /\ ( e e. NN /\ ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e ) ) -> e e. NN )
42	34	adantr 272	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) /\ ( e e. NN /\ ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e ) ) -> Z e. NN )
43	41, 42	nnmulcld 8627	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) /\ ( e e. NN /\ ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e ) ) -> ( e x. Z ) e. NN )
44	1	ad6antr 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) /\ ( e e. NN /\ ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) ) -> F : NN --> RR )
45		simplrl 505	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) /\ ( e e. NN /\ ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) ) -> e e. NN )
46	5	ad6antr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) /\ ( e e. NN /\ ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) ) -> Z e. NN )
47	45, 46	nnmulcld 8627	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) /\ ( e e. NN /\ ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) ) -> ( e x. Z ) e. NN )
48		eluznn 9244	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( e x. Z ) e. NN /\ i e. ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) ) -> i e. NN )
49	47, 48	sylancom 414	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) /\ ( e e. NN /\ ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) ) -> i e. NN )
50	44, 49	ffvelrnd 5488	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) /\ ( e e. NN /\ ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) ) -> ( F ` i ) e. RR )
51	44, 47	ffvelrnd 5488	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) /\ ( e e. NN /\ ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) ) -> ( F ` ( e x. Z ) ) e. RR )
52	32	ad2antrr 475	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) /\ ( e e. NN /\ ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) ) -> x e. RR+ )
53	52	rpred 9330	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) /\ ( e e. NN /\ ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) ) -> x e. RR )
54	53	rehalfcld 8818	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) /\ ( e e. NN /\ ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) ) -> ( x / 2 ) e. RR )
55	51, 54	readdcld 7667	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) /\ ( e e. NN /\ ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) ) -> ( ( F ` ( e x. Z ) ) + ( x / 2 ) ) e. RR )
56		simpllr 504	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) -> y e. RR )
57	56	ad3antrrr 479	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) /\ ( e e. NN /\ ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) ) -> y e. RR )
58	57, 54	readdcld 7667	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) /\ ( e e. NN /\ ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) ) -> ( y + ( x / 2 ) ) e. RR )
59	58, 54	readdcld 7667	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) /\ ( e e. NN /\ ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) ) -> ( ( y + ( x / 2 ) ) + ( x / 2 ) ) e. RR )
60	27	ad6antr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) /\ ( e e. NN /\ ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) ) -> C e. RR )
61	60, 47	nndivred 8628	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) /\ ( e e. NN /\ ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) ) -> ( C / ( e x. Z ) ) e. RR )
62	51, 61	readdcld 7667	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) /\ ( e e. NN /\ ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) ) -> ( ( F ` ( e x. Z ) ) + ( C / ( e x. Z ) ) ) e. RR )
63		fveq2 5353	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k = i -> ( F ` k ) = ( F ` i ) )
64	63	oveq1d 5721	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k = i -> ( ( F ` k ) + ( C / ( e x. Z ) ) ) = ( ( F ` i ) + ( C / ( e x. Z ) ) ) )
65	64	breq2d 3887	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k = i -> ( ( F ` ( e x. Z ) ) < ( ( F ` k ) + ( C / ( e x. Z ) ) ) <-> ( F ` ( e x. Z ) ) < ( ( F ` i ) + ( C / ( e x. Z ) ) ) ) )
66	63	breq1d 3885	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k = i -> ( ( F ` k ) < ( ( F ` ( e x. Z ) ) + ( C / ( e x. Z ) ) ) <-> ( F ` i ) < ( ( F ` ( e x. Z ) ) + ( C / ( e x. Z ) ) ) ) )
67	65, 66	anbi12d 460	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = i -> ( ( ( F ` ( e x. Z ) ) < ( ( F ` k ) + ( C / ( e x. Z ) ) ) /\ ( F ` k ) < ( ( F ` ( e x. Z ) ) + ( C / ( e x. Z ) ) ) ) <-> ( ( F ` ( e x. Z ) ) < ( ( F ` i ) + ( C / ( e x. Z ) ) ) /\ ( F ` i ) < ( ( F ` ( e x. Z ) ) + ( C / ( e x. Z ) ) ) ) ) )
68		fveq2 5353	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n = ( e x. Z ) -> ( ZZ>= ` n ) = ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) )
69		fveq2 5353	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( n = ( e x. Z ) -> ( F ` n ) = ( F ` ( e x. Z ) ) )
70		oveq2 5714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( n = ( e x. Z ) -> ( C / n ) = ( C / ( e x. Z ) ) )
71	70	oveq2d 5722	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( n = ( e x. Z ) -> ( ( F ` k ) + ( C / n ) ) = ( ( F ` k ) + ( C / ( e x. Z ) ) ) )
72	69, 71	breq12d 3888	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( n = ( e x. Z ) -> ( ( F ` n ) < ( ( F ` k ) + ( C / n ) ) <-> ( F ` ( e x. Z ) ) < ( ( F ` k ) + ( C / ( e x. Z ) ) ) ) )
73	69, 70	oveq12d 5724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( n = ( e x. Z ) -> ( ( F ` n ) + ( C / n ) ) = ( ( F ` ( e x. Z ) ) + ( C / ( e x. Z ) ) ) )
74	73	breq2d 3887	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( n = ( e x. Z ) -> ( ( F ` k ) < ( ( F ` n ) + ( C / n ) ) <-> ( F ` k ) < ( ( F ` ( e x. Z ) ) + ( C / ( e x. Z ) ) ) ) )
75	72, 74	anbi12d 460	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n = ( e x. Z ) -> ( ( ( F ` n ) < ( ( F ` k ) + ( C / n ) ) /\ ( F ` k ) < ( ( F ` n ) + ( C / n ) ) ) <-> ( ( F ` ( e x. Z ) ) < ( ( F ` k ) + ( C / ( e x. Z ) ) ) /\ ( F ` k ) < ( ( F ` ( e x. Z ) ) + ( C / ( e x. Z ) ) ) ) ) )
76	68, 75	raleqbidv 2596	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n = ( e x. Z ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` n ) < ( ( F ` k ) + ( C / n ) ) /\ ( F ` k ) < ( ( F ` n ) + ( C / n ) ) ) <-> A. k e. ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) ( ( F ` ( e x. Z ) ) < ( ( F ` k ) + ( C / ( e x. Z ) ) ) /\ ( F ` k ) < ( ( F ` ( e x. Z ) ) + ( C / ( e x. Z ) ) ) ) ) )
77	3	ad6antr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) /\ ( e e. NN /\ ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) ) -> A. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` n ) < ( ( F ` k ) + ( C / n ) ) /\ ( F ` k ) < ( ( F ` n ) + ( C / n ) ) ) )
78	76, 77, 47	rspcdva 2749	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) /\ ( e e. NN /\ ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) ( ( F ` ( e x. Z ) ) < ( ( F ` k ) + ( C / ( e x. Z ) ) ) /\ ( F ` k ) < ( ( F ` ( e x. Z ) ) + ( C / ( e x. Z ) ) ) ) )
79		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) /\ ( e e. NN /\ ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) ) -> i e. ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) )
80	67, 78, 79	rspcdva 2749	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) /\ ( e e. NN /\ ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) ) -> ( ( F ` ( e x. Z ) ) < ( ( F ` i ) + ( C / ( e x. Z ) ) ) /\ ( F ` i ) < ( ( F ` ( e x. Z ) ) + ( C / ( e x. Z ) ) ) ) )
81	80	simprd 113	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) /\ ( e e. NN /\ ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) ) -> ( F ` i ) < ( ( F ` ( e x. Z ) ) + ( C / ( e x. Z ) ) ) )
82		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) -> x e. RR+ )
83	82	ad3antrrr 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) /\ ( e e. NN /\ ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) ) -> x e. RR+ )
84	83	rpred 9330	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) /\ ( e e. NN /\ ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) ) -> x e. RR )
85	84	rehalfcld 8818	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) /\ ( e e. NN /\ ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) ) -> ( x / 2 ) e. RR )
86	2	ad6antr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) /\ ( e e. NN /\ ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) ) -> C e. RR+ )
87	36	ad2antrr 475	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) /\ ( e e. NN /\ ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) ) -> a e. NN )
88		simplrr 506	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) /\ ( e e. NN /\ ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) ) -> ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e )
89	86, 83, 46, 45, 87, 88	cvg1nlemcxze 10594	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) /\ ( e e. NN /\ ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) ) -> ( C / ( e x. Z ) ) < ( x / 2 ) )
90	61, 85, 89	ltled 7752	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) /\ ( e e. NN /\ ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) ) -> ( C / ( e x. Z ) ) <_ ( x / 2 ) )
91	61, 54, 51, 90	leadd2dd 8188	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) /\ ( e e. NN /\ ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) ) -> ( ( F ` ( e x. Z ) ) + ( C / ( e x. Z ) ) ) <_ ( ( F ` ( e x. Z ) ) + ( x / 2 ) ) )
92	50, 62, 55, 81, 91	ltletrd 8052	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) /\ ( e e. NN /\ ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) ) -> ( F ` i ) < ( ( F ` ( e x. Z ) ) + ( x / 2 ) ) )
93		fveq2 5353	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( b = e -> ( G ` b ) = ( G ` e ) )
94	93	breq1d 3885	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( b = e -> ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) <-> ( G ` e ) < ( y + ( x / 2 ) ) ) )
95	93	oveq1d 5721	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( b = e -> ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) = ( ( G ` e ) + ( x / 2 ) ) )
96	95	breq2d 3887	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( b = e -> ( y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) <-> y < ( ( G ` e ) + ( x / 2 ) ) ) )
97	94, 96	anbi12d 460	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( b = e -> ( ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) <-> ( ( G ` e ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` e ) + ( x / 2 ) ) ) ) )
98		simprr 502	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) -> A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) )
99	98	ad2antrr 475	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) /\ ( e e. NN /\ ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) ) -> A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) )
100	87	nnred 8591	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) /\ ( e e. NN /\ ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) ) -> a e. RR )
101	45	nnred 8591	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) /\ ( e e. NN /\ ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) ) -> e e. RR )
102		2rp 9296	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- 2 e. RR+
103	102	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) /\ ( e e. NN /\ ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) ) -> 2 e. RR+ )
104	86, 103	rpmulcld 9347	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) /\ ( e e. NN /\ ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) ) -> ( C x. 2 ) e. RR+ )
105	104, 83	rpdivcld 9348	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) /\ ( e e. NN /\ ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) ) -> ( ( C x. 2 ) / x ) e. RR+ )
106	46	nnrpd 9329	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) /\ ( e e. NN /\ ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) ) -> Z e. RR+ )
107	105, 106	rpdivcld 9348	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) /\ ( e e. NN /\ ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) ) -> ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) e. RR+ )
108	107	rpred 9330	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) /\ ( e e. NN /\ ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) ) -> ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) e. RR )
109	108, 100	readdcld 7667	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) /\ ( e e. NN /\ ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) ) -> ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) e. RR )
110	100, 107	ltaddrp2d 9365	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) /\ ( e e. NN /\ ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) ) -> a < ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) )
111	100, 109, 101, 110, 88	lttrd 7759	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) /\ ( e e. NN /\ ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) ) -> a < e )
112	100, 101, 111	ltled 7752	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) /\ ( e e. NN /\ ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) ) -> a <_ e )
113	87	nnzd 9024	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) /\ ( e e. NN /\ ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) ) -> a e. ZZ )
114	45	nnzd 9024	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) /\ ( e e. NN /\ ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) ) -> e e. ZZ )
115		eluz 9189	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( a e. ZZ /\ e e. ZZ ) -> ( e e. ( ZZ>= ` a ) <-> a <_ e ) )
116	113, 114, 115	syl2anc 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) /\ ( e e. NN /\ ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) ) -> ( e e. ( ZZ>= ` a ) <-> a <_ e ) )
117	112, 116	mpbird 166	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) /\ ( e e. NN /\ ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) ) -> e e. ( ZZ>= ` a ) )
118	97, 99, 117	rspcdva 2749	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) /\ ( e e. NN /\ ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) ) -> ( ( G ` e ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` e ) + ( x / 2 ) ) ) )
119		oveq1 5713	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( j = e -> ( j x. Z ) = ( e x. Z ) )
120	119	fveq2d 5357	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( j = e -> ( F ` ( j x. Z ) ) = ( F ` ( e x. Z ) ) )
121	120, 4	fvmptg 5429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( e e. NN /\ ( F ` ( e x. Z ) ) e. RR ) -> ( G ` e ) = ( F ` ( e x. Z ) ) )
122	45, 51, 121	syl2anc 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) /\ ( e e. NN /\ ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) ) -> ( G ` e ) = ( F ` ( e x. Z ) ) )
123	122	breq1d 3885	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) /\ ( e e. NN /\ ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) ) -> ( ( G ` e ) < ( y + ( x / 2 ) ) <-> ( F ` ( e x. Z ) ) < ( y + ( x / 2 ) ) ) )
124	122	oveq1d 5721	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) /\ ( e e. NN /\ ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) ) -> ( ( G ` e ) + ( x / 2 ) ) = ( ( F ` ( e x. Z ) ) + ( x / 2 ) ) )
125	124	breq2d 3887	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) /\ ( e e. NN /\ ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) ) -> ( y < ( ( G ` e ) + ( x / 2 ) ) <-> y < ( ( F ` ( e x. Z ) ) + ( x / 2 ) ) ) )
126	123, 125	anbi12d 460	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) /\ ( e e. NN /\ ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) ) -> ( ( ( G ` e ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` e ) + ( x / 2 ) ) ) <-> ( ( F ` ( e x. Z ) ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( F ` ( e x. Z ) ) + ( x / 2 ) ) ) ) )
127	118, 126	mpbid 146	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) /\ ( e e. NN /\ ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) ) -> ( ( F ` ( e x. Z ) ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( F ` ( e x. Z ) ) + ( x / 2 ) ) ) )
128	127	simpld 111	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) /\ ( e e. NN /\ ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) ) -> ( F ` ( e x. Z ) ) < ( y + ( x / 2 ) ) )
129	51, 58, 54, 128	ltadd1dd 8184	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) /\ ( e e. NN /\ ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) ) -> ( ( F ` ( e x. Z ) ) + ( x / 2 ) ) < ( ( y + ( x / 2 ) ) + ( x / 2 ) ) )
130	50, 55, 59, 92, 129	lttrd 7759	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) /\ ( e e. NN /\ ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) ) -> ( F ` i ) < ( ( y + ( x / 2 ) ) + ( x / 2 ) ) )
131	57	recnd 7666	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) /\ ( e e. NN /\ ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) ) -> y e. CC )
132	54	recnd 7666	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) /\ ( e e. NN /\ ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) ) -> ( x / 2 ) e. CC )
133	131, 132, 132	addassd 7660	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) /\ ( e e. NN /\ ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) ) -> ( ( y + ( x / 2 ) ) + ( x / 2 ) ) = ( y + ( ( x / 2 ) + ( x / 2 ) ) ) )
134	130, 133	breqtrd 3899	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) /\ ( e e. NN /\ ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) ) -> ( F ` i ) < ( y + ( ( x / 2 ) + ( x / 2 ) ) ) )
135	52	rpcnd 9332	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) /\ ( e e. NN /\ ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) ) -> x e. CC )
136	135	2halvesd 8817	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) /\ ( e e. NN /\ ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) ) -> ( ( x / 2 ) + ( x / 2 ) ) = x )
137	136	oveq2d 5722	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) /\ ( e e. NN /\ ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) ) -> ( y + ( ( x / 2 ) + ( x / 2 ) ) ) = ( y + x ) )
138	134, 137	breqtrd 3899	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) /\ ( e e. NN /\ ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) ) -> ( F ` i ) < ( y + x ) )
139	50, 54	readdcld 7667	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) /\ ( e e. NN /\ ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) ) -> ( ( F ` i ) + ( x / 2 ) ) e. RR )
140	139, 54	readdcld 7667	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) /\ ( e e. NN /\ ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) ) -> ( ( ( F ` i ) + ( x / 2 ) ) + ( x / 2 ) ) e. RR )
141	127	simprd 113	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) /\ ( e e. NN /\ ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) ) -> y < ( ( F ` ( e x. Z ) ) + ( x / 2 ) ) )
142	50, 61	readdcld 7667	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) /\ ( e e. NN /\ ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) ) -> ( ( F ` i ) + ( C / ( e x. Z ) ) ) e. RR )
143	80	simpld 111	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ A. c e. RR+ E. w e. NN A. b e. ( ZZ>= ` w ) ( ( G ` b ) < ( y + c ) /\ y < ( ( G ` b ) + c ) ) ) /\ x e. RR+ ) /\ ( a e. NN /\ A. b e. ( ZZ>= ` a ) ( ( G ` b ) < ( y + ( x / 2 ) ) /\ y < ( ( G ` b ) + ( x / 2 ) ) ) ) ) /\ ( e e. NN /\ ( ( ( ( C x. 2 ) / x ) / Z ) + a ) < e ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( e x. Z ) ) ) -> ( F ` ( e x. Z ) ) < ( ( F ` i ) + ( C / ( e x. Z ) ) ) )
144	61, 54, 50, 90	leadd2dd 8188	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ y e.