ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltaddrp2d GIF version

Theorem ltaddrp2d 9525
Description: Adding a positive number to another number increases it. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpgecld.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
rpgecld.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
ltaddrp2d (𝜑𝐴 < (𝐵 + 𝐴))

Proof of Theorem ltaddrp2d
StepHypRef Expression
1 rpgecld.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 rpgecld.2 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
31, 2ltaddrpd 9524 . 2 (𝜑𝐴 < (𝐴 + 𝐵))
41recnd 7801 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
52rpcnd 9492 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
64, 5addcomd 7920 . 2 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
73, 6breqtrd 3954 1 (𝜑𝐴 < (𝐵 + 𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1480   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774  cr 7626   + caddc 7630   < clt 7807  +crp 9448
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-1re 7721  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-addcom 7727  ax-addass 7729  ax-i2m1 7732  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-pre-ltadd 7743
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-xp 4545  df-iota 5088  df-fv 5131  df-ov 5777  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-ltxr 7812  df-rp 9449
This theorem is referenced by:  cvg1nlemres  10764
  Copyright terms: Public domain W3C validator