Theorem ltaddrp2d 9966

Description: Adding a positive number to another number increases it. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpgecld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
rpgecld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
ltaddrp2d	⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐵 + 𝐴))

Proof of Theorem ltaddrp2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpgecld.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rpgecld.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
3	1, 2	ltaddrpd 9965	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐴 + 𝐵))
4	1	recnd 8208	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
5	2	rpcnd 9933	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
6	4, 5	addcomd 8330	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
7	3, 6	breqtrd 4114	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐵 + 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4088  (class class class)co 6018  ℝcr 8031   + caddc 8035   < clt 8214  ℝ⁺crp 9888

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-addass 8134  ax-i2m1 8137  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-pre-ltadd 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-xp 4731  df-iota 5286  df-fv 5334  df-ov 6021  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-ltxr 8219  df-rp 9889

This theorem is referenced by:  cvg1nlemres  11550