Theorem rpcnd 10109

Description: A positive real is a complex number. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	|- ( ph -> A e. RR+ )

Assertion

Ref	Expression
rpcnd	|- ( ph -> A e. CC )

Proof of Theorem rpcnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. . 3 |- ( ph -> A e. RR+ )
2	1	rpred 10107	. 2 |- ( ph -> A e. RR )
3	2	recnd 8354	1 |- ( ph -> A e. CC )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   e. wcel 2209   CCcc 8177   RR+crp 10064

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220  ax-resscn 8271

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-rab 2537  df-in 3226  df-ss 3233  df-rp 10065

This theorem is used by:  rpcnne0d  10117  ltaddrp2d  10142  iccf1o  10417  bcp1nk  11214  bcpasc  11218  bcm1n  11221  cvg1nlemcxze  11762  cvg1nlemres  11765  resqrexlemdec  11791  resqrexlemlo  11793  resqrexlemcalc2  11795  resqrexlemcalc3  11796  resqrexlemnm  11798  resqrexlemcvg  11799  resqrexlemoverl  11801  sqrtdiv  11822  absdivap  11850  bdtrilem  12021  isumrpcl  12277  expcnvap0  12285  absgtap  12293  cvgratz  12315  mertenslemi1  12318  effsumlt  12475  bitsmod  12739  pythagtriplem12  13074  pythagtriplem14  13076  pythagtriplem16  13078  limcimolemlt  15814  logfac  16048  rpdivcxp  16066  rpcxple2  16073  rpcxplt2  16074  rpcxpsqrt  16077  rpabscxpbnd  16095  logbgcd1irr  16122  bclbnd  16205  iooref1o  17181  trilpolemclim  17183  trilpolemisumle  17185  trilpolemeq1  17187  trilpolemlt1  17188