Theorem rpcnd 10049

Description: A positive real is a complex number. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	|- ( ph -> A e. RR+ )

Assertion

Ref	Expression
rpcnd	|- ( ph -> A e. CC )

Proof of Theorem rpcnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. . 3 |- ( ph -> A e. RR+ )
2	1	rpred 10047	. 2 |- ( ph -> A e. RR )
3	2	recnd 8318	1 |- ( ph -> A e. CC )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2205   CCcc 8141   RR+crp 10004

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2216  ax-resscn 8235

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-rab 2531  df-in 3220  df-ss 3227  df-rp 10005

This theorem is referenced by:  rpcnne0d  10057  ltaddrp2d  10082  iccf1o  10357  bcp1nk  11149  bcpasc  11153  bcm1n  11156  cvg1nlemcxze  11692  cvg1nlemres  11695  resqrexlemdec  11721  resqrexlemlo  11723  resqrexlemcalc2  11725  resqrexlemcalc3  11726  resqrexlemnm  11728  resqrexlemcvg  11729  resqrexlemoverl  11731  sqrtdiv  11752  absdivap  11780  bdtrilem  11949  isumrpcl  12205  expcnvap0  12213  absgtap  12221  cvgratz  12243  mertenslemi1  12246  effsumlt  12403  bitsmod  12667  pythagtriplem12  12998  pythagtriplem14  13000  pythagtriplem16  13002  limcimolemlt  15655  rpdivcxp  15902  rpcxple2  15909  rpcxplt2  15910  rpcxpsqrt  15913  rpabscxpbnd  15931  logbgcd1irr  15958  iooref1o  16944  trilpolemclim  16946  trilpolemisumle  16948  trilpolemeq1  16950  trilpolemlt1  16951