Theorem rpcnd 9906

Description: A positive real is a complex number. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	|- ( ph -> A e. RR+ )

Assertion

Ref	Expression
rpcnd	|- ( ph -> A e. CC )

Proof of Theorem rpcnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. . 3 |- ( ph -> A e. RR+ )
2	1	rpred 9904	. 2 |- ( ph -> A e. RR )
3	2	recnd 8186	1 |- ( ph -> A e. CC )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2200   CCcc 8008   RR+crp 9861

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211  ax-resscn 8102

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-rab 2517  df-in 3203  df-ss 3210  df-rp 9862

This theorem is referenced by:  rpcnne0d  9914  ltaddrp2d  9939  iccf1o  10212  bcp1nk  10996  bcpasc  11000  cvg1nlemcxze  11508  cvg1nlemres  11511  resqrexlemdec  11537  resqrexlemlo  11539  resqrexlemcalc2  11541  resqrexlemcalc3  11542  resqrexlemnm  11544  resqrexlemcvg  11545  resqrexlemoverl  11547  sqrtdiv  11568  absdivap  11596  bdtrilem  11765  isumrpcl  12020  expcnvap0  12028  absgtap  12036  cvgratz  12058  mertenslemi1  12061  effsumlt  12218  bitsmod  12482  pythagtriplem12  12813  pythagtriplem14  12815  pythagtriplem16  12817  limcimolemlt  15353  rpdivcxp  15600  rpcxple2  15607  rpcxplt2  15608  rpcxpsqrt  15611  rpabscxpbnd  15629  logbgcd1irr  15656  iooref1o  16462  trilpolemclim  16464  trilpolemisumle  16466  trilpolemeq1  16468  trilpolemlt1  16469