Theorem rpcnd 10078

Description: A positive real is a complex number. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	|- ( ph -> A e. RR+ )

Assertion

Ref	Expression
rpcnd	|- ( ph -> A e. CC )

Proof of Theorem rpcnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. . 3 |- ( ph -> A e. RR+ )
2	1	rpred 10076	. 2 |- ( ph -> A e. RR )
3	2	recnd 8344	1 |- ( ph -> A e. CC )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2209   CCcc 8167   RR+crp 10033

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220  ax-resscn 8261

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-rab 2537  df-in 3226  df-ss 3233  df-rp 10034

This theorem is referenced by:  rpcnne0d  10086  ltaddrp2d  10111  iccf1o  10386  bcp1nk  11178  bcpasc  11182  bcm1n  11185  cvg1nlemcxze  11726  cvg1nlemres  11729  resqrexlemdec  11755  resqrexlemlo  11757  resqrexlemcalc2  11759  resqrexlemcalc3  11760  resqrexlemnm  11762  resqrexlemcvg  11763  resqrexlemoverl  11765  sqrtdiv  11786  absdivap  11814  bdtrilem  11983  isumrpcl  12239  expcnvap0  12247  absgtap  12255  cvgratz  12277  mertenslemi1  12280  effsumlt  12437  bitsmod  12701  pythagtriplem12  13032  pythagtriplem14  13034  pythagtriplem16  13036  limcimolemlt  15688  logfac  15918  rpdivcxp  15936  rpcxple2  15943  rpcxplt2  15944  rpcxpsqrt  15947  rpabscxpbnd  15965  logbgcd1irr  15992  iooref1o  16988  trilpolemclim  16990  trilpolemisumle  16992  trilpolemeq1  16994  trilpolemlt1  16995