Theorem rpcnd 9977

Description: A positive real is a complex number. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	|- ( ph -> A e. RR+ )

Assertion

Ref	Expression
rpcnd	|- ( ph -> A e. CC )

Proof of Theorem rpcnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. . 3 |- ( ph -> A e. RR+ )
2	1	rpred 9975	. 2 |- ( ph -> A e. RR )
3	2	recnd 8250	1 |- ( ph -> A e. CC )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2202   CCcc 8073   RR+crp 9932

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2213  ax-resscn 8167

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-rab 2520  df-in 3207  df-ss 3214  df-rp 9933

This theorem is referenced by:  rpcnne0d  9985  ltaddrp2d  10010  iccf1o  10284  bcp1nk  11070  bcpasc  11074  cvg1nlemcxze  11605  cvg1nlemres  11608  resqrexlemdec  11634  resqrexlemlo  11636  resqrexlemcalc2  11638  resqrexlemcalc3  11639  resqrexlemnm  11641  resqrexlemcvg  11642  resqrexlemoverl  11644  sqrtdiv  11665  absdivap  11693  bdtrilem  11862  isumrpcl  12118  expcnvap0  12126  absgtap  12134  cvgratz  12156  mertenslemi1  12159  effsumlt  12316  bitsmod  12580  pythagtriplem12  12911  pythagtriplem14  12913  pythagtriplem16  12915  limcimolemlt  15458  rpdivcxp  15705  rpcxple2  15712  rpcxplt2  15713  rpcxpsqrt  15716  rpabscxpbnd  15734  logbgcd1irr  15761  iooref1o  16749  trilpolemclim  16751  trilpolemisumle  16753  trilpolemeq1  16755  trilpolemlt1  16756