Theorem rpcnd 9923

Description: A positive real is a complex number. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	|- ( ph -> A e. RR+ )

Assertion

Ref	Expression
rpcnd	|- ( ph -> A e. CC )

Proof of Theorem rpcnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. . 3 |- ( ph -> A e. RR+ )
2	1	rpred 9921	. 2 |- ( ph -> A e. RR )
3	2	recnd 8198	1 |- ( ph -> A e. CC )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2200   CCcc 8020   RR+crp 9878

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211  ax-resscn 8114

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-rab 2517  df-in 3204  df-ss 3211  df-rp 9879

This theorem is referenced by:  rpcnne0d  9931  ltaddrp2d  9956  iccf1o  10229  bcp1nk  11014  bcpasc  11018  cvg1nlemcxze  11533  cvg1nlemres  11536  resqrexlemdec  11562  resqrexlemlo  11564  resqrexlemcalc2  11566  resqrexlemcalc3  11567  resqrexlemnm  11569  resqrexlemcvg  11570  resqrexlemoverl  11572  sqrtdiv  11593  absdivap  11621  bdtrilem  11790  isumrpcl  12045  expcnvap0  12053  absgtap  12061  cvgratz  12083  mertenslemi1  12086  effsumlt  12243  bitsmod  12507  pythagtriplem12  12838  pythagtriplem14  12840  pythagtriplem16  12842  limcimolemlt  15378  rpdivcxp  15625  rpcxple2  15632  rpcxplt2  15633  rpcxpsqrt  15636  rpabscxpbnd  15654  logbgcd1irr  15681  iooref1o  16574  trilpolemclim  16576  trilpolemisumle  16578  trilpolemeq1  16580  trilpolemlt1  16581