Theorem rpcnd 10031

Description: A positive real is a complex number. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	|- ( ph -> A e. RR+ )

Assertion

Ref	Expression
rpcnd	|- ( ph -> A e. CC )

Proof of Theorem rpcnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. . 3 |- ( ph -> A e. RR+ )
2	1	rpred 10029	. 2 |- ( ph -> A e. RR )
3	2	recnd 8302	1 |- ( ph -> A e. CC )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2203   CCcc 8125   RR+crp 9986

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2214  ax-resscn 8219

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-rab 2529  df-in 3217  df-ss 3224  df-rp 9987

This theorem is referenced by:  rpcnne0d  10039  ltaddrp2d  10064  iccf1o  10338  bcp1nk  11124  bcpasc  11128  bcm1n  11131  cvg1nlemcxze  11667  cvg1nlemres  11670  resqrexlemdec  11696  resqrexlemlo  11698  resqrexlemcalc2  11700  resqrexlemcalc3  11701  resqrexlemnm  11703  resqrexlemcvg  11704  resqrexlemoverl  11706  sqrtdiv  11727  absdivap  11755  bdtrilem  11924  isumrpcl  12180  expcnvap0  12188  absgtap  12196  cvgratz  12218  mertenslemi1  12221  effsumlt  12378  bitsmod  12642  pythagtriplem12  12973  pythagtriplem14  12975  pythagtriplem16  12977  limcimolemlt  15529  rpdivcxp  15776  rpcxple2  15783  rpcxplt2  15784  rpcxpsqrt  15787  rpabscxpbnd  15805  logbgcd1irr  15832  iooref1o  16818  trilpolemclim  16820  trilpolemisumle  16822  trilpolemeq1  16824  trilpolemlt1  16825