Theorem rpcnd 10099

Description: A positive real is a complex number. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	|- ( ph -> A e. RR+ )

Assertion

Ref	Expression
rpcnd	|- ( ph -> A e. CC )

Proof of Theorem rpcnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. . 3 |- ( ph -> A e. RR+ )
2	1	rpred 10097	. 2 |- ( ph -> A e. RR )
3	2	recnd 8354	1 |- ( ph -> A e. CC )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   e. wcel 2209   CCcc 8177   RR+crp 10054

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220  ax-resscn 8271

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-rab 2537  df-in 3226  df-ss 3233  df-rp 10055

This theorem is used by:  rpcnne0d  10107  ltaddrp2d  10132  iccf1o  10407  bcp1nk  11200  bcpasc  11204  bcm1n  11207  cvg1nlemcxze  11748  cvg1nlemres  11751  resqrexlemdec  11777  resqrexlemlo  11779  resqrexlemcalc2  11781  resqrexlemcalc3  11782  resqrexlemnm  11784  resqrexlemcvg  11785  resqrexlemoverl  11787  sqrtdiv  11808  absdivap  11836  bdtrilem  12005  isumrpcl  12261  expcnvap0  12269  absgtap  12277  cvgratz  12299  mertenslemi1  12302  effsumlt  12459  bitsmod  12723  pythagtriplem12  13054  pythagtriplem14  13056  pythagtriplem16  13058  limcimolemlt  15765  logfac  15995  rpdivcxp  16013  rpcxple2  16020  rpcxplt2  16021  rpcxpsqrt  16024  rpabscxpbnd  16042  logbgcd1irr  16069  iooref1o  17083  trilpolemclim  17085  trilpolemisumle  17087  trilpolemeq1  17089  trilpolemlt1  17090