Theorem ltleletr 8101

Description: Transitive law, weaker form of ( A < B /\ B <_ C ) -> A < C. (Contributed by AV, 14-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
ltleletr	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( A < B /\ B <_ C ) -> A <_ C ) )

Proof of Theorem ltleletr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lttr 8093	. . . . . 6 |- ( ( C e. RR /\ A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( C < A /\ A < B ) -> C < B ) )
2	1	3coml 1212	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( C < A /\ A < B ) -> C < B ) )
3	2	expcomd 1452	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( A < B -> ( C < A -> C < B ) ) )
4		con3 643	. . . 4 |- ( ( C < A -> C < B ) -> ( -. C < B -> -. C < A ) )
5	3, 4	syl6 33	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( A < B -> ( -. C < B -> -. C < A ) ) )
6		lenlt 8095	. . . . 5 |- ( ( B e. RR /\ C e. RR ) -> ( B <_ C <-> -. C < B ) )
7	6	3adant1 1017	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( B <_ C <-> -. C < B ) )
8		lenlt 8095	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ C e. RR ) -> ( A <_ C <-> -. C < A ) )
9	8	3adant2 1018	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( A <_ C <-> -. C < A ) )
10	7, 9	imbi12d 234	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( B <_ C -> A <_ C ) <-> ( -. C < B -> -. C < A ) ) )
11	5, 10	sylibrd 169	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( A < B -> ( B <_ C -> A <_ C ) ) )
12	11	impd 254	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( A < B /\ B <_ C ) -> A <_ C ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   e. wcel 2164   class class class wbr 4029   RRcr 7871   < clt 8054   <_ cle 8055

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-pre-lttrn 7986

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-br 4030  df-opab 4091  df-xp 4665  df-cnv 4667  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060

This theorem is referenced by:  nn0ge2m1nn  9300  lbzbi  9681  iseqf1olemqk  10578  wrdlenge2n0  10949  gausslemma2dlem3  15179  gausslemma2dlem4  15180