ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltleletr GIF version

Theorem ltleletr 8026
Description: Transitive law, weaker form of (𝐴 < 𝐵𝐵𝐶) → 𝐴 < 𝐶. (Contributed by AV, 14-Oct-2018.)
Assertion
Ref Expression
ltleletr ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶))

Proof of Theorem ltleletr
StepHypRef Expression
1 lttr 8018 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐶 < 𝐴𝐴 < 𝐵) → 𝐶 < 𝐵))
213coml 1210 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐶 < 𝐴𝐴 < 𝐵) → 𝐶 < 𝐵))
32expcomd 1441 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → (𝐶 < 𝐴𝐶 < 𝐵)))
4 con3 642 . . . 4 ((𝐶 < 𝐴𝐶 < 𝐵) → (¬ 𝐶 < 𝐵 → ¬ 𝐶 < 𝐴))
53, 4syl6 33 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → (¬ 𝐶 < 𝐵 → ¬ 𝐶 < 𝐴)))
6 lenlt 8020 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵𝐶 ↔ ¬ 𝐶 < 𝐵))
763adant1 1015 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵𝐶 ↔ ¬ 𝐶 < 𝐵))
8 lenlt 8020 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴𝐶 ↔ ¬ 𝐶 < 𝐴))
983adant2 1016 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴𝐶 ↔ ¬ 𝐶 < 𝐴))
107, 9imbi12d 234 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐵𝐶𝐴𝐶) ↔ (¬ 𝐶 < 𝐵 → ¬ 𝐶 < 𝐴)))
115, 10sylibrd 169 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → (𝐵𝐶𝐴𝐶)))
1211impd 254 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104  wb 105  w3a 978  wcel 2148   class class class wbr 4000  cr 7798   < clt 7979  cle 7980
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-cnex 7890  ax-resscn 7891  ax-pre-lttrn 7913
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-br 4001  df-opab 4062  df-xp 4629  df-cnv 4631  df-pnf 7981  df-mnf 7982  df-xr 7983  df-ltxr 7984  df-le 7985
This theorem is referenced by:  nn0ge2m1nn  9222  lbzbi  9602  iseqf1olemqk  10477
  Copyright terms: Public domain W3C validator