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Theorem lbzbi 9525
Description: If a set of reals is bounded below, it is bounded below by an integer. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
lbzbi  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y  <->  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  x  <_  y ) )
Distinct variable group:    x, A, y

Proof of Theorem lbzbi
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1508 . . 3  |-  F/ x  A  C_  RR
2 nfre1 2500 . . 3  |-  F/ x E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  x  <_  y
3 btwnz 9283 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR  ->  ( E. z  e.  ZZ  z  <  x  /\  E. z  e.  ZZ  x  <  z ) )
43simpld 111 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR  ->  E. z  e.  ZZ  z  <  x
)
5 ssel2 3123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( A  C_  RR  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  RR )
6 zre 9171 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( z  e.  ZZ  ->  z  e.  RR )
7 ltleletr 7959 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( z  e.  RR  /\  x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  (
( z  <  x  /\  x  <_  y )  ->  z  <_  y
) )
86, 7syl3an1 1253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  (
( z  <  x  /\  x  <_  y )  ->  z  <_  y
) )
98expd 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  (
z  <  x  ->  ( x  <_  y  ->  z  <_  y ) ) )
1093expia 1187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  x  e.  RR )  ->  ( y  e.  RR  ->  ( z  <  x  ->  ( x  <_  y  ->  z  <_  y )
) ) )
115, 10syl5 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( A  C_  RR  /\  y  e.  A
)  ->  ( z  <  x  ->  ( x  <_  y  ->  z  <_  y ) ) ) )
1211expdimp 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( z  e.  ZZ  /\  x  e.  RR )  /\  A  C_  RR )  ->  ( y  e.  A  ->  ( z  <  x  ->  ( x  <_  y  ->  z  <_  y ) ) ) )
1312com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( z  e.  ZZ  /\  x  e.  RR )  /\  A  C_  RR )  ->  ( z  < 
x  ->  ( y  e.  A  ->  ( x  <_  y  ->  z  <_  y ) ) ) )
1413imp 123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( z  e.  ZZ  /\  x  e.  RR )  /\  A  C_  RR )  /\  z  <  x )  ->  (
y  e.  A  -> 
( x  <_  y  ->  z  <_  y )
) )
1514ralrimiv 2529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( z  e.  ZZ  /\  x  e.  RR )  /\  A  C_  RR )  /\  z  <  x )  ->  A. y  e.  A  ( x  <_  y  ->  z  <_  y ) )
16 ralim 2516 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A. y  e.  A  (
x  <_  y  ->  z  <_  y )  -> 
( A. y  e.  A  x  <_  y  ->  A. y  e.  A  z  <_  y ) )
1715, 16syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( z  e.  ZZ  /\  x  e.  RR )  /\  A  C_  RR )  /\  z  <  x )  ->  ( A. y  e.  A  x  <_  y  ->  A. y  e.  A  z  <_  y ) )
1817ex 114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( z  e.  ZZ  /\  x  e.  RR )  /\  A  C_  RR )  ->  ( z  < 
x  ->  ( A. y  e.  A  x  <_  y  ->  A. y  e.  A  z  <_  y ) ) )
1918anasss 397 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  ( x  e.  RR  /\  A  C_  RR )
)  ->  ( z  <  x  ->  ( A. y  e.  A  x  <_  y  ->  A. y  e.  A  z  <_  y ) ) )
2019expcom 115 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  RR  /\  A  C_  RR )  -> 
( z  e.  ZZ  ->  ( z  <  x  ->  ( A. y  e.  A  x  <_  y  ->  A. y  e.  A  z  <_  y ) ) ) )
2120com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  RR  /\  A  C_  RR )  -> 
( z  <  x  ->  ( z  e.  ZZ  ->  ( A. y  e.  A  x  <_  y  ->  A. y  e.  A  z  <_  y ) ) ) )
2221imp 123 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  A  C_  RR )  /\  z  <  x )  ->  ( z  e.  ZZ  ->  ( A. y  e.  A  x  <_  y  ->  A. y  e.  A  z  <_  y ) ) )
2322imdistand 444 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  A  C_  RR )  /\  z  <  x )  ->  ( ( z  e.  ZZ  /\  A. y  e.  A  x  <_  y )  ->  (
z  e.  ZZ  /\  A. y  e.  A  z  <_  y ) ) )
24 breq1 3968 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  z  ->  (
x  <_  y  <->  z  <_  y ) )
2524ralbidv 2457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  z  ->  ( A. y  e.  A  x  <_  y  <->  A. y  e.  A  z  <_  y ) )
2625rspcev 2816 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  A. y  e.  A  z  <_  y )  ->  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  x  <_  y )
2723, 26syl6 33 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  A  C_  RR )  /\  z  <  x )  ->  ( ( z  e.  ZZ  /\  A. y  e.  A  x  <_  y )  ->  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  x  <_  y
) )
2827ex 114 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR  /\  A  C_  RR )  -> 
( z  <  x  ->  ( ( z  e.  ZZ  /\  A. y  e.  A  x  <_  y )  ->  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  x  <_  y
) ) )
2928com23 78 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR  /\  A  C_  RR )  -> 
( ( z  e.  ZZ  /\  A. y  e.  A  x  <_  y )  ->  ( z  <  x  ->  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  x  <_  y
) ) )
3029ancomsd 267 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR  /\  A  C_  RR )  -> 
( ( A. y  e.  A  x  <_  y  /\  z  e.  ZZ )  ->  ( z  < 
x  ->  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  x  <_  y
) ) )
3130expdimp 257 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  A  C_  RR )  /\  A. y  e.  A  x  <_  y )  -> 
( z  e.  ZZ  ->  ( z  <  x  ->  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  x  <_  y ) ) )
3231rexlimdv 2573 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  A  C_  RR )  /\  A. y  e.  A  x  <_  y )  -> 
( E. z  e.  ZZ  z  <  x  ->  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  x  <_  y ) )
3332anasss 397 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR  /\  ( A  C_  RR  /\  A. y  e.  A  x  <_  y ) )  ->  ( E. z  e.  ZZ  z  <  x  ->  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  x  <_  y ) )
3433expcom 115 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A. y  e.  A  x  <_  y )  ->  (
x  e.  RR  ->  ( E. z  e.  ZZ  z  <  x  ->  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  x  <_  y
) ) )
354, 34mpdi 43 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A. y  e.  A  x  <_  y )  ->  (
x  e.  RR  ->  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  x  <_  y ) )
3635ex 114 . . . 4  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( A. y  e.  A  x  <_  y  ->  ( x  e.  RR  ->  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  x  <_  y
) ) )
3736com23 78 . . 3  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( x  e.  RR  ->  ( A. y  e.  A  x  <_  y  ->  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  x  <_  y
) ) )
381, 2, 37rexlimd 2571 . 2  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y  ->  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  x  <_  y
) )
39 zssre 9174 . . 3  |-  ZZ  C_  RR
40 ssrexv 3193 . . 3  |-  ( ZZ  C_  RR  ->  ( E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  x  <_  y  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y ) )
4139, 40ax-mp 5 . 2  |-  ( E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  x  <_  y  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)
4238, 41impbid1 141 1  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y  <->  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  x  <_  y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 963    e. wcel 2128   A.wral 2435   E.wrex 2436    C_ wss 3102   class class class wbr 3965   RRcr 7731    < clt 7912    <_ cle 7913   ZZcz 9167
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4496  ax-cnex 7823  ax-resscn 7824  ax-1cn 7825  ax-1re 7826  ax-icn 7827  ax-addcl 7828  ax-addrcl 7829  ax-mulcl 7830  ax-addcom 7832  ax-addass 7834  ax-distr 7836  ax-i2m1 7837  ax-0lt1 7838  ax-0id 7840  ax-rnegex 7841  ax-cnre 7843  ax-pre-ltirr 7844  ax-pre-ltwlin 7845  ax-pre-lttrn 7846  ax-pre-ltadd 7848  ax-arch 7851
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-br 3966  df-opab 4026  df-id 4253  df-xp 4592  df-rel 4593  df-cnv 4594  df-co 4595  df-dm 4596  df-iota 5135  df-fun 5172  df-fv 5178  df-riota 5780  df-ov 5827  df-oprab 5828  df-mpo 5829  df-pnf 7914  df-mnf 7915  df-xr 7916  df-ltxr 7917  df-le 7918  df-sub 8048  df-neg 8049  df-inn 8834  df-z 9168
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