Theorem lbzbi 9772

Description: If a set of reals is bounded below, it is bounded below by an integer. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
lbzbi	|- ( A C_ RR -> ( E. x e. RR A. y e. A x <_ y <-> E. x e. ZZ A. y e. A x <_ y ) )

Distinct variable group:   x, A, y

Proof of Theorem lbzbi

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1552	. . 3 |- F/ x A C_ RR
2		nfre1 2551	. . 3 |- F/ x E. x e. ZZ A. y e. A x <_ y
3		btwnz 9527	. . . . . . 7 |- ( x e. RR -> ( E. z e. ZZ z < x /\ E. z e. ZZ x < z ) )
4	3	simpld 112	. . . . . 6 |- ( x e. RR -> E. z e. ZZ z < x )
5		ssel2 3196	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( A C_ RR /\ y e. A ) -> y e. RR )
6		zre 9411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( z e. ZZ -> z e. RR )
7		ltleletr 8189	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( z e. RR /\ x e. RR /\ y e. RR ) -> ( ( z < x /\ x <_ y ) -> z <_ y ) )
8	6, 7	syl3an1 1283	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( z e. ZZ /\ x e. RR /\ y e. RR ) -> ( ( z < x /\ x <_ y ) -> z <_ y ) )
9	8	expd 258	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( z e. ZZ /\ x e. RR /\ y e. RR ) -> ( z < x -> ( x <_ y -> z <_ y ) ) )
10	9	3expia 1208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( z e. ZZ /\ x e. RR ) -> ( y e. RR -> ( z < x -> ( x <_ y -> z <_ y ) ) ) )
11	5, 10	syl5 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( z e. ZZ /\ x e. RR ) -> ( ( A C_ RR /\ y e. A ) -> ( z < x -> ( x <_ y -> z <_ y ) ) ) )
12	11	expdimp 259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( z e. ZZ /\ x e. RR ) /\ A C_ RR ) -> ( y e. A -> ( z < x -> ( x <_ y -> z <_ y ) ) ) )
13	12	com23 78	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( z e. ZZ /\ x e. RR ) /\ A C_ RR ) -> ( z < x -> ( y e. A -> ( x <_ y -> z <_ y ) ) ) )
14	13	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( z e. ZZ /\ x e. RR ) /\ A C_ RR ) /\ z < x ) -> ( y e. A -> ( x <_ y -> z <_ y ) ) )
15	14	ralrimiv 2580	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( z e. ZZ /\ x e. RR ) /\ A C_ RR ) /\ z < x ) -> A. y e. A ( x <_ y -> z <_ y ) )
16		ralim 2567	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( A. y e. A ( x <_ y -> z <_ y ) -> ( A. y e. A x <_ y -> A. y e. A z <_ y ) )
17	15, 16	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( z e. ZZ /\ x e. RR ) /\ A C_ RR ) /\ z < x ) -> ( A. y e. A x <_ y -> A. y e. A z <_ y ) )
18	17	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( z e. ZZ /\ x e. RR ) /\ A C_ RR ) -> ( z < x -> ( A. y e. A x <_ y -> A. y e. A z <_ y ) ) )
19	18	anasss 399	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( z e. ZZ /\ ( x e. RR /\ A C_ RR ) ) -> ( z < x -> ( A. y e. A x <_ y -> A. y e. A z <_ y ) ) )
20	19	expcom 116	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. RR /\ A C_ RR ) -> ( z e. ZZ -> ( z < x -> ( A. y e. A x <_ y -> A. y e. A z <_ y ) ) ) )
21	20	com23 78	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. RR /\ A C_ RR ) -> ( z < x -> ( z e. ZZ -> ( A. y e. A x <_ y -> A. y e. A z <_ y ) ) ) )
22	21	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. RR /\ A C_ RR ) /\ z < x ) -> ( z e. ZZ -> ( A. y e. A x <_ y -> A. y e. A z <_ y ) ) )
23	22	imdistand 447	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. RR /\ A C_ RR ) /\ z < x ) -> ( ( z e. ZZ /\ A. y e. A x <_ y ) -> ( z e. ZZ /\ A. y e. A z <_ y ) ) )
24		breq1 4062	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = z -> ( x <_ y <-> z <_ y ) )
25	24	ralbidv 2508	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = z -> ( A. y e. A x <_ y <-> A. y e. A z <_ y ) )
26	25	rspcev 2884	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z e. ZZ /\ A. y e. A z <_ y ) -> E. x e. ZZ A. y e. A x <_ y )
27	23, 26	syl6 33	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. RR /\ A C_ RR ) /\ z < x ) -> ( ( z e. ZZ /\ A. y e. A x <_ y ) -> E. x e. ZZ A. y e. A x <_ y ) )
28	27	ex 115	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. RR /\ A C_ RR ) -> ( z < x -> ( ( z e. ZZ /\ A. y e. A x <_ y ) -> E. x e. ZZ A. y e. A x <_ y ) ) )
29	28	com23 78	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. RR /\ A C_ RR ) -> ( ( z e. ZZ /\ A. y e. A x <_ y ) -> ( z < x -> E. x e. ZZ A. y e. A x <_ y ) ) )
30	29	ancomsd 269	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. RR /\ A C_ RR ) -> ( ( A. y e. A x <_ y /\ z e. ZZ ) -> ( z < x -> E. x e. ZZ A. y e. A x <_ y ) ) )
31	30	expdimp 259	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. RR /\ A C_ RR ) /\ A. y e. A x <_ y ) -> ( z e. ZZ -> ( z < x -> E. x e. ZZ A. y e. A x <_ y ) ) )
32	31	rexlimdv 2624	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. RR /\ A C_ RR ) /\ A. y e. A x <_ y ) -> ( E. z e. ZZ z < x -> E. x e. ZZ A. y e. A x <_ y ) )
33	32	anasss 399	. . . . . . 7 |- ( ( x e. RR /\ ( A C_ RR /\ A. y e. A x <_ y ) ) -> ( E. z e. ZZ z < x -> E. x e. ZZ A. y e. A x <_ y ) )
34	33	expcom 116	. . . . . 6 |- ( ( A C_ RR /\ A. y e. A x <_ y ) -> ( x e. RR -> ( E. z e. ZZ z < x -> E. x e. ZZ A. y e. A x <_ y ) ) )
35	4, 34	mpdi 43	. . . . 5 |- ( ( A C_ RR /\ A. y e. A x <_ y ) -> ( x e. RR -> E. x e. ZZ A. y e. A x <_ y ) )
36	35	ex 115	. . . 4 |- ( A C_ RR -> ( A. y e. A x <_ y -> ( x e. RR -> E. x e. ZZ A. y e. A x <_ y ) ) )
37	36	com23 78	. . 3 |- ( A C_ RR -> ( x e. RR -> ( A. y e. A x <_ y -> E. x e. ZZ A. y e. A x <_ y ) ) )
38	1, 2, 37	rexlimd 2622	. 2 |- ( A C_ RR -> ( E. x e. RR A. y e. A x <_ y -> E. x e. ZZ A. y e. A x <_ y ) )
39		zssre 9414	. . 3 |- ZZ C_ RR
40		ssrexv 3266	. . 3 |- ( ZZ C_ RR -> ( E. x e. ZZ A. y e. A x <_ y -> E. x e. RR A. y e. A x <_ y ) )
41	39, 40	ax-mp 5	. 2 |- ( E. x e. ZZ A. y e. A x <_ y -> E. x e. RR A. y e. A x <_ y )
42	38, 41	impbid1 142	1 |- ( A C_ RR -> ( E. x e. RR A. y e. A x <_ y <-> E. x e. ZZ A. y e. A x <_ y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 981   e. wcel 2178   A.wral 2486   E.wrex 2487   C_ wss 3174   class class class wbr 4059   RRcr 7959   < clt 8142   <_ cle 8143   ZZcz 9407

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-addcom 8060  ax-addass 8062  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-ltadd 8076  ax-arch 8079

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-br 4060  df-opab 4122  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-inn 9072  df-z 9408

This theorem is referenced by: (None)