Theorem lbzbi 9681

Description: If a set of reals is bounded below, it is bounded below by an integer. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
lbzbi	|- ( A C_ RR -> ( E. x e. RR A. y e. A x <_ y <-> E. x e. ZZ A. y e. A x <_ y ) )

Distinct variable group:   x, A, y

Proof of Theorem lbzbi

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1539	. . 3 |- F/ x A C_ RR
2		nfre1 2537	. . 3 |- F/ x E. x e. ZZ A. y e. A x <_ y
3		btwnz 9436	. . . . . . 7 |- ( x e. RR -> ( E. z e. ZZ z < x /\ E. z e. ZZ x < z ) )
4	3	simpld 112	. . . . . 6 |- ( x e. RR -> E. z e. ZZ z < x )
5		ssel2 3174	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( A C_ RR /\ y e. A ) -> y e. RR )
6		zre 9321	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( z e. ZZ -> z e. RR )
7		ltleletr 8101	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( z e. RR /\ x e. RR /\ y e. RR ) -> ( ( z < x /\ x <_ y ) -> z <_ y ) )
8	6, 7	syl3an1 1282	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( z e. ZZ /\ x e. RR /\ y e. RR ) -> ( ( z < x /\ x <_ y ) -> z <_ y ) )
9	8	expd 258	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( z e. ZZ /\ x e. RR /\ y e. RR ) -> ( z < x -> ( x <_ y -> z <_ y ) ) )
10	9	3expia 1207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( z e. ZZ /\ x e. RR ) -> ( y e. RR -> ( z < x -> ( x <_ y -> z <_ y ) ) ) )
11	5, 10	syl5 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( z e. ZZ /\ x e. RR ) -> ( ( A C_ RR /\ y e. A ) -> ( z < x -> ( x <_ y -> z <_ y ) ) ) )
12	11	expdimp 259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( z e. ZZ /\ x e. RR ) /\ A C_ RR ) -> ( y e. A -> ( z < x -> ( x <_ y -> z <_ y ) ) ) )
13	12	com23 78	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( z e. ZZ /\ x e. RR ) /\ A C_ RR ) -> ( z < x -> ( y e. A -> ( x <_ y -> z <_ y ) ) ) )
14	13	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( z e. ZZ /\ x e. RR ) /\ A C_ RR ) /\ z < x ) -> ( y e. A -> ( x <_ y -> z <_ y ) ) )
15	14	ralrimiv 2566	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( z e. ZZ /\ x e. RR ) /\ A C_ RR ) /\ z < x ) -> A. y e. A ( x <_ y -> z <_ y ) )
16		ralim 2553	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( A. y e. A ( x <_ y -> z <_ y ) -> ( A. y e. A x <_ y -> A. y e. A z <_ y ) )
17	15, 16	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( z e. ZZ /\ x e. RR ) /\ A C_ RR ) /\ z < x ) -> ( A. y e. A x <_ y -> A. y e. A z <_ y ) )
18	17	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( z e. ZZ /\ x e. RR ) /\ A C_ RR ) -> ( z < x -> ( A. y e. A x <_ y -> A. y e. A z <_ y ) ) )
19	18	anasss 399	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( z e. ZZ /\ ( x e. RR /\ A C_ RR ) ) -> ( z < x -> ( A. y e. A x <_ y -> A. y e. A z <_ y ) ) )
20	19	expcom 116	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. RR /\ A C_ RR ) -> ( z e. ZZ -> ( z < x -> ( A. y e. A x <_ y -> A. y e. A z <_ y ) ) ) )
21	20	com23 78	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. RR /\ A C_ RR ) -> ( z < x -> ( z e. ZZ -> ( A. y e. A x <_ y -> A. y e. A z <_ y ) ) ) )
22	21	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. RR /\ A C_ RR ) /\ z < x ) -> ( z e. ZZ -> ( A. y e. A x <_ y -> A. y e. A z <_ y ) ) )
23	22	imdistand 447	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. RR /\ A C_ RR ) /\ z < x ) -> ( ( z e. ZZ /\ A. y e. A x <_ y ) -> ( z e. ZZ /\ A. y e. A z <_ y ) ) )
24		breq1 4032	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = z -> ( x <_ y <-> z <_ y ) )
25	24	ralbidv 2494	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = z -> ( A. y e. A x <_ y <-> A. y e. A z <_ y ) )
26	25	rspcev 2864	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z e. ZZ /\ A. y e. A z <_ y ) -> E. x e. ZZ A. y e. A x <_ y )
27	23, 26	syl6 33	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. RR /\ A C_ RR ) /\ z < x ) -> ( ( z e. ZZ /\ A. y e. A x <_ y ) -> E. x e. ZZ A. y e. A x <_ y ) )
28	27	ex 115	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. RR /\ A C_ RR ) -> ( z < x -> ( ( z e. ZZ /\ A. y e. A x <_ y ) -> E. x e. ZZ A. y e. A x <_ y ) ) )
29	28	com23 78	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. RR /\ A C_ RR ) -> ( ( z e. ZZ /\ A. y e. A x <_ y ) -> ( z < x -> E. x e. ZZ A. y e. A x <_ y ) ) )
30	29	ancomsd 269	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. RR /\ A C_ RR ) -> ( ( A. y e. A x <_ y /\ z e. ZZ ) -> ( z < x -> E. x e. ZZ A. y e. A x <_ y ) ) )
31	30	expdimp 259	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. RR /\ A C_ RR ) /\ A. y e. A x <_ y ) -> ( z e. ZZ -> ( z < x -> E. x e. ZZ A. y e. A x <_ y ) ) )
32	31	rexlimdv 2610	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. RR /\ A C_ RR ) /\ A. y e. A x <_ y ) -> ( E. z e. ZZ z < x -> E. x e. ZZ A. y e. A x <_ y ) )
33	32	anasss 399	. . . . . . 7 |- ( ( x e. RR /\ ( A C_ RR /\ A. y e. A x <_ y ) ) -> ( E. z e. ZZ z < x -> E. x e. ZZ A. y e. A x <_ y ) )
34	33	expcom 116	. . . . . 6 |- ( ( A C_ RR /\ A. y e. A x <_ y ) -> ( x e. RR -> ( E. z e. ZZ z < x -> E. x e. ZZ A. y e. A x <_ y ) ) )
35	4, 34	mpdi 43	. . . . 5 |- ( ( A C_ RR /\ A. y e. A x <_ y ) -> ( x e. RR -> E. x e. ZZ A. y e. A x <_ y ) )
36	35	ex 115	. . . 4 |- ( A C_ RR -> ( A. y e. A x <_ y -> ( x e. RR -> E. x e. ZZ A. y e. A x <_ y ) ) )
37	36	com23 78	. . 3 |- ( A C_ RR -> ( x e. RR -> ( A. y e. A x <_ y -> E. x e. ZZ A. y e. A x <_ y ) ) )
38	1, 2, 37	rexlimd 2608	. 2 |- ( A C_ RR -> ( E. x e. RR A. y e. A x <_ y -> E. x e. ZZ A. y e. A x <_ y ) )
39		zssre 9324	. . 3 |- ZZ C_ RR
40		ssrexv 3244	. . 3 |- ( ZZ C_ RR -> ( E. x e. ZZ A. y e. A x <_ y -> E. x e. RR A. y e. A x <_ y ) )
41	39, 40	ax-mp 5	. 2 |- ( E. x e. ZZ A. y e. A x <_ y -> E. x e. RR A. y e. A x <_ y )
42	38, 41	impbid1 142	1 |- ( A C_ RR -> ( E. x e. RR A. y e. A x <_ y <-> E. x e. ZZ A. y e. A x <_ y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   e. wcel 2164   A.wral 2472   E.wrex 2473   C_ wss 3153   class class class wbr 4029   RRcr 7871   < clt 8054   <_ cle 8055   ZZcz 9317

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-ltadd 7988  ax-arch 7991

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-br 4030  df-opab 4091  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-inn 8983  df-z 9318

This theorem is referenced by: (None)