Theorem lbzbi 9554

Description: If a set of reals is bounded below, it is bounded below by an integer. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
lbzbi	|- ( A C_ RR -> ( E. x e. RR A. y e. A x <_ y <-> E. x e. ZZ A. y e. A x <_ y ) )

Distinct variable group:   x, A, y

Proof of Theorem lbzbi

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1516	. . 3 |- F/ x A C_ RR
2		nfre1 2509	. . 3 |- F/ x E. x e. ZZ A. y e. A x <_ y
3		btwnz 9310	. . . . . . 7 |- ( x e. RR -> ( E. z e. ZZ z < x /\ E. z e. ZZ x < z ) )
4	3	simpld 111	. . . . . 6 |- ( x e. RR -> E. z e. ZZ z < x )
5		ssel2 3137	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( A C_ RR /\ y e. A ) -> y e. RR )
6		zre 9195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( z e. ZZ -> z e. RR )
7		ltleletr 7980	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( z e. RR /\ x e. RR /\ y e. RR ) -> ( ( z < x /\ x <_ y ) -> z <_ y ) )
8	6, 7	syl3an1 1261	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( z e. ZZ /\ x e. RR /\ y e. RR ) -> ( ( z < x /\ x <_ y ) -> z <_ y ) )
9	8	expd 256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( z e. ZZ /\ x e. RR /\ y e. RR ) -> ( z < x -> ( x <_ y -> z <_ y ) ) )
10	9	3expia 1195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( z e. ZZ /\ x e. RR ) -> ( y e. RR -> ( z < x -> ( x <_ y -> z <_ y ) ) ) )
11	5, 10	syl5 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( z e. ZZ /\ x e. RR ) -> ( ( A C_ RR /\ y e. A ) -> ( z < x -> ( x <_ y -> z <_ y ) ) ) )
12	11	expdimp 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( z e. ZZ /\ x e. RR ) /\ A C_ RR ) -> ( y e. A -> ( z < x -> ( x <_ y -> z <_ y ) ) ) )
13	12	com23 78	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( z e. ZZ /\ x e. RR ) /\ A C_ RR ) -> ( z < x -> ( y e. A -> ( x <_ y -> z <_ y ) ) ) )
14	13	imp 123	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( z e. ZZ /\ x e. RR ) /\ A C_ RR ) /\ z < x ) -> ( y e. A -> ( x <_ y -> z <_ y ) ) )
15	14	ralrimiv 2538	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( z e. ZZ /\ x e. RR ) /\ A C_ RR ) /\ z < x ) -> A. y e. A ( x <_ y -> z <_ y ) )
16		ralim 2525	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( A. y e. A ( x <_ y -> z <_ y ) -> ( A. y e. A x <_ y -> A. y e. A z <_ y ) )
17	15, 16	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( z e. ZZ /\ x e. RR ) /\ A C_ RR ) /\ z < x ) -> ( A. y e. A x <_ y -> A. y e. A z <_ y ) )
18	17	ex 114	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( z e. ZZ /\ x e. RR ) /\ A C_ RR ) -> ( z < x -> ( A. y e. A x <_ y -> A. y e. A z <_ y ) ) )
19	18	anasss 397	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( z e. ZZ /\ ( x e. RR /\ A C_ RR ) ) -> ( z < x -> ( A. y e. A x <_ y -> A. y e. A z <_ y ) ) )
20	19	expcom 115	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. RR /\ A C_ RR ) -> ( z e. ZZ -> ( z < x -> ( A. y e. A x <_ y -> A. y e. A z <_ y ) ) ) )
21	20	com23 78	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. RR /\ A C_ RR ) -> ( z < x -> ( z e. ZZ -> ( A. y e. A x <_ y -> A. y e. A z <_ y ) ) ) )
22	21	imp 123	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. RR /\ A C_ RR ) /\ z < x ) -> ( z e. ZZ -> ( A. y e. A x <_ y -> A. y e. A z <_ y ) ) )
23	22	imdistand 444	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. RR /\ A C_ RR ) /\ z < x ) -> ( ( z e. ZZ /\ A. y e. A x <_ y ) -> ( z e. ZZ /\ A. y e. A z <_ y ) ) )
24		breq1 3985	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = z -> ( x <_ y <-> z <_ y ) )
25	24	ralbidv 2466	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = z -> ( A. y e. A x <_ y <-> A. y e. A z <_ y ) )
26	25	rspcev 2830	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z e. ZZ /\ A. y e. A z <_ y ) -> E. x e. ZZ A. y e. A x <_ y )
27	23, 26	syl6 33	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. RR /\ A C_ RR ) /\ z < x ) -> ( ( z e. ZZ /\ A. y e. A x <_ y ) -> E. x e. ZZ A. y e. A x <_ y ) )
28	27	ex 114	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. RR /\ A C_ RR ) -> ( z < x -> ( ( z e. ZZ /\ A. y e. A x <_ y ) -> E. x e. ZZ A. y e. A x <_ y ) ) )
29	28	com23 78	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. RR /\ A C_ RR ) -> ( ( z e. ZZ /\ A. y e. A x <_ y ) -> ( z < x -> E. x e. ZZ A. y e. A x <_ y ) ) )
30	29	ancomsd 267	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. RR /\ A C_ RR ) -> ( ( A. y e. A x <_ y /\ z e. ZZ ) -> ( z < x -> E. x e. ZZ A. y e. A x <_ y ) ) )
31	30	expdimp 257	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. RR /\ A C_ RR ) /\ A. y e. A x <_ y ) -> ( z e. ZZ -> ( z < x -> E. x e. ZZ A. y e. A x <_ y ) ) )
32	31	rexlimdv 2582	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. RR /\ A C_ RR ) /\ A. y e. A x <_ y ) -> ( E. z e. ZZ z < x -> E. x e. ZZ A. y e. A x <_ y ) )
33	32	anasss 397	. . . . . . 7 |- ( ( x e. RR /\ ( A C_ RR /\ A. y e. A x <_ y ) ) -> ( E. z e. ZZ z < x -> E. x e. ZZ A. y e. A x <_ y ) )
34	33	expcom 115	. . . . . 6 |- ( ( A C_ RR /\ A. y e. A x <_ y ) -> ( x e. RR -> ( E. z e. ZZ z < x -> E. x e. ZZ A. y e. A x <_ y ) ) )
35	4, 34	mpdi 43	. . . . 5 |- ( ( A C_ RR /\ A. y e. A x <_ y ) -> ( x e. RR -> E. x e. ZZ A. y e. A x <_ y ) )
36	35	ex 114	. . . 4 |- ( A C_ RR -> ( A. y e. A x <_ y -> ( x e. RR -> E. x e. ZZ A. y e. A x <_ y ) ) )
37	36	com23 78	. . 3 |- ( A C_ RR -> ( x e. RR -> ( A. y e. A x <_ y -> E. x e. ZZ A. y e. A x <_ y ) ) )
38	1, 2, 37	rexlimd 2580	. 2 |- ( A C_ RR -> ( E. x e. RR A. y e. A x <_ y -> E. x e. ZZ A. y e. A x <_ y ) )
39		zssre 9198	. . 3 |- ZZ C_ RR
40		ssrexv 3207	. . 3 |- ( ZZ C_ RR -> ( E. x e. ZZ A. y e. A x <_ y -> E. x e. RR A. y e. A x <_ y ) )
41	39, 40	ax-mp 5	. 2 |- ( E. x e. ZZ A. y e. A x <_ y -> E. x e. RR A. y e. A x <_ y )
42	38, 41	impbid1 141	1 |- ( A C_ RR -> ( E. x e. RR A. y e. A x <_ y <-> E. x e. ZZ A. y e. A x <_ y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 968   e. wcel 2136   A.wral 2444   E.wrex 2445   C_ wss 3116   class class class wbr 3982   RRcr 7752   < clt 7933   <_ cle 7934   ZZcz 9191

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-addcom 7853  ax-addass 7855  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-ltadd 7869  ax-arch 7872

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-br 3983  df-opab 4044  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-inn 8858  df-z 9192

This theorem is referenced by: (None)