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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > lbzbi | Unicode version |
Description: If a set of reals is bounded below, it is bounded below by an integer. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.) |
Ref | Expression |
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lbzbi |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | nfv 1509 |
. . 3
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2 | nfre1 2479 |
. . 3
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3 | btwnz 9194 |
. . . . . . 7
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4 | 3 | simpld 111 |
. . . . . 6
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5 | ssel2 3097 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
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6 | zre 9082 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
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7 | ltleletr 7870 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
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8 | 6, 7 | syl3an1 1250 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
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9 | 8 | expd 256 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
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10 | 9 | 3expia 1184 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
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11 | 5, 10 | syl5 32 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
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12 | 11 | expdimp 257 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
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13 | 12 | com23 78 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
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14 | 13 | imp 123 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
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15 | 14 | ralrimiv 2507 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
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16 | ralim 2494 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
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17 | 15, 16 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
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18 | 17 | ex 114 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
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19 | 18 | anasss 397 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
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20 | 19 | expcom 115 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
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21 | 20 | com23 78 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
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22 | 21 | imp 123 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
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23 | 22 | imdistand 444 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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24 | breq1 3940 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
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25 | 24 | ralbidv 2438 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
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26 | 25 | rspcev 2793 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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27 | 23, 26 | syl6 33 |
. . . . . . . . . . . . 13
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28 | 27 | ex 114 |
. . . . . . . . . . . 12
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29 | 28 | com23 78 |
. . . . . . . . . . 11
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30 | 29 | ancomsd 267 |
. . . . . . . . . 10
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31 | 30 | expdimp 257 |
. . . . . . . . 9
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32 | 31 | rexlimdv 2551 |
. . . . . . . 8
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33 | 32 | anasss 397 |
. . . . . . 7
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34 | 33 | expcom 115 |
. . . . . 6
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35 | 4, 34 | mpdi 43 |
. . . . 5
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36 | 35 | ex 114 |
. . . 4
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37 | 36 | com23 78 |
. . 3
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38 | 1, 2, 37 | rexlimd 2549 |
. 2
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39 | zssre 9085 |
. . 3
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40 | ssrexv 3167 |
. . 3
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41 | 39, 40 | ax-mp 5 |
. 2
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42 | 38, 41 | impbid1 141 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 604 ax-in2 605 ax-io 699 ax-5 1424 ax-7 1425 ax-gen 1426 ax-ie1 1470 ax-ie2 1471 ax-8 1483 ax-10 1484 ax-11 1485 ax-i12 1486 ax-bndl 1487 ax-4 1488 ax-13 1492 ax-14 1493 ax-17 1507 ax-i9 1511 ax-ial 1515 ax-i5r 1516 ax-ext 2122 ax-sep 4054 ax-pow 4106 ax-pr 4139 ax-un 4363 ax-setind 4460 ax-cnex 7735 ax-resscn 7736 ax-1cn 7737 ax-1re 7738 ax-icn 7739 ax-addcl 7740 ax-addrcl 7741 ax-mulcl 7742 ax-addcom 7744 ax-addass 7746 ax-distr 7748 ax-i2m1 7749 ax-0lt1 7750 ax-0id 7752 ax-rnegex 7753 ax-cnre 7755 ax-pre-ltirr 7756 ax-pre-ltwlin 7757 ax-pre-lttrn 7758 ax-pre-ltadd 7760 ax-arch 7763 |
This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-3or 964 df-3an 965 df-tru 1335 df-fal 1338 df-nf 1438 df-sb 1737 df-eu 2003 df-mo 2004 df-clab 2127 df-cleq 2133 df-clel 2136 df-nfc 2271 df-ne 2310 df-nel 2405 df-ral 2422 df-rex 2423 df-reu 2424 df-rab 2426 df-v 2691 df-sbc 2914 df-dif 3078 df-un 3080 df-in 3082 df-ss 3089 df-pw 3517 df-sn 3538 df-pr 3539 df-op 3541 df-uni 3745 df-int 3780 df-br 3938 df-opab 3998 df-id 4223 df-xp 4553 df-rel 4554 df-cnv 4555 df-co 4556 df-dm 4557 df-iota 5096 df-fun 5133 df-fv 5139 df-riota 5738 df-ov 5785 df-oprab 5786 df-mpo 5787 df-pnf 7826 df-mnf 7827 df-xr 7828 df-ltxr 7829 df-le 7830 df-sub 7959 df-neg 7960 df-inn 8745 df-z 9079 |
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