Theorem lbzbi 9618

Description: If a set of reals is bounded below, it is bounded below by an integer. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
lbzbi	|- ( A C_ RR -> ( E. x e. RR A. y e. A x <_ y <-> E. x e. ZZ A. y e. A x <_ y ) )

Distinct variable group:   x, A, y

Proof of Theorem lbzbi

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1528	. . 3 |- F/ x A C_ RR
2		nfre1 2520	. . 3 |- F/ x E. x e. ZZ A. y e. A x <_ y
3		btwnz 9374	. . . . . . 7 |- ( x e. RR -> ( E. z e. ZZ z < x /\ E. z e. ZZ x < z ) )
4	3	simpld 112	. . . . . 6 |- ( x e. RR -> E. z e. ZZ z < x )
5		ssel2 3152	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( A C_ RR /\ y e. A ) -> y e. RR )
6		zre 9259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( z e. ZZ -> z e. RR )
7		ltleletr 8041	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( z e. RR /\ x e. RR /\ y e. RR ) -> ( ( z < x /\ x <_ y ) -> z <_ y ) )
8	6, 7	syl3an1 1271	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( z e. ZZ /\ x e. RR /\ y e. RR ) -> ( ( z < x /\ x <_ y ) -> z <_ y ) )
9	8	expd 258	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( z e. ZZ /\ x e. RR /\ y e. RR ) -> ( z < x -> ( x <_ y -> z <_ y ) ) )
10	9	3expia 1205	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( z e. ZZ /\ x e. RR ) -> ( y e. RR -> ( z < x -> ( x <_ y -> z <_ y ) ) ) )
11	5, 10	syl5 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( z e. ZZ /\ x e. RR ) -> ( ( A C_ RR /\ y e. A ) -> ( z < x -> ( x <_ y -> z <_ y ) ) ) )
12	11	expdimp 259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( z e. ZZ /\ x e. RR ) /\ A C_ RR ) -> ( y e. A -> ( z < x -> ( x <_ y -> z <_ y ) ) ) )
13	12	com23 78	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( z e. ZZ /\ x e. RR ) /\ A C_ RR ) -> ( z < x -> ( y e. A -> ( x <_ y -> z <_ y ) ) ) )
14	13	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( z e. ZZ /\ x e. RR ) /\ A C_ RR ) /\ z < x ) -> ( y e. A -> ( x <_ y -> z <_ y ) ) )
15	14	ralrimiv 2549	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( z e. ZZ /\ x e. RR ) /\ A C_ RR ) /\ z < x ) -> A. y e. A ( x <_ y -> z <_ y ) )
16		ralim 2536	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( A. y e. A ( x <_ y -> z <_ y ) -> ( A. y e. A x <_ y -> A. y e. A z <_ y ) )
17	15, 16	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( z e. ZZ /\ x e. RR ) /\ A C_ RR ) /\ z < x ) -> ( A. y e. A x <_ y -> A. y e. A z <_ y ) )
18	17	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( z e. ZZ /\ x e. RR ) /\ A C_ RR ) -> ( z < x -> ( A. y e. A x <_ y -> A. y e. A z <_ y ) ) )
19	18	anasss 399	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( z e. ZZ /\ ( x e. RR /\ A C_ RR ) ) -> ( z < x -> ( A. y e. A x <_ y -> A. y e. A z <_ y ) ) )
20	19	expcom 116	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. RR /\ A C_ RR ) -> ( z e. ZZ -> ( z < x -> ( A. y e. A x <_ y -> A. y e. A z <_ y ) ) ) )
21	20	com23 78	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. RR /\ A C_ RR ) -> ( z < x -> ( z e. ZZ -> ( A. y e. A x <_ y -> A. y e. A z <_ y ) ) ) )
22	21	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. RR /\ A C_ RR ) /\ z < x ) -> ( z e. ZZ -> ( A. y e. A x <_ y -> A. y e. A z <_ y ) ) )
23	22	imdistand 447	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. RR /\ A C_ RR ) /\ z < x ) -> ( ( z e. ZZ /\ A. y e. A x <_ y ) -> ( z e. ZZ /\ A. y e. A z <_ y ) ) )
24		breq1 4008	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = z -> ( x <_ y <-> z <_ y ) )
25	24	ralbidv 2477	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = z -> ( A. y e. A x <_ y <-> A. y e. A z <_ y ) )
26	25	rspcev 2843	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z e. ZZ /\ A. y e. A z <_ y ) -> E. x e. ZZ A. y e. A x <_ y )
27	23, 26	syl6 33	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. RR /\ A C_ RR ) /\ z < x ) -> ( ( z e. ZZ /\ A. y e. A x <_ y ) -> E. x e. ZZ A. y e. A x <_ y ) )
28	27	ex 115	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. RR /\ A C_ RR ) -> ( z < x -> ( ( z e. ZZ /\ A. y e. A x <_ y ) -> E. x e. ZZ A. y e. A x <_ y ) ) )
29	28	com23 78	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. RR /\ A C_ RR ) -> ( ( z e. ZZ /\ A. y e. A x <_ y ) -> ( z < x -> E. x e. ZZ A. y e. A x <_ y ) ) )
30	29	ancomsd 269	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. RR /\ A C_ RR ) -> ( ( A. y e. A x <_ y /\ z e. ZZ ) -> ( z < x -> E. x e. ZZ A. y e. A x <_ y ) ) )
31	30	expdimp 259	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. RR /\ A C_ RR ) /\ A. y e. A x <_ y ) -> ( z e. ZZ -> ( z < x -> E. x e. ZZ A. y e. A x <_ y ) ) )
32	31	rexlimdv 2593	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. RR /\ A C_ RR ) /\ A. y e. A x <_ y ) -> ( E. z e. ZZ z < x -> E. x e. ZZ A. y e. A x <_ y ) )
33	32	anasss 399	. . . . . . 7 |- ( ( x e. RR /\ ( A C_ RR /\ A. y e. A x <_ y ) ) -> ( E. z e. ZZ z < x -> E. x e. ZZ A. y e. A x <_ y ) )
34	33	expcom 116	. . . . . 6 |- ( ( A C_ RR /\ A. y e. A x <_ y ) -> ( x e. RR -> ( E. z e. ZZ z < x -> E. x e. ZZ A. y e. A x <_ y ) ) )
35	4, 34	mpdi 43	. . . . 5 |- ( ( A C_ RR /\ A. y e. A x <_ y ) -> ( x e. RR -> E. x e. ZZ A. y e. A x <_ y ) )
36	35	ex 115	. . . 4 |- ( A C_ RR -> ( A. y e. A x <_ y -> ( x e. RR -> E. x e. ZZ A. y e. A x <_ y ) ) )
37	36	com23 78	. . 3 |- ( A C_ RR -> ( x e. RR -> ( A. y e. A x <_ y -> E. x e. ZZ A. y e. A x <_ y ) ) )
38	1, 2, 37	rexlimd 2591	. 2 |- ( A C_ RR -> ( E. x e. RR A. y e. A x <_ y -> E. x e. ZZ A. y e. A x <_ y ) )
39		zssre 9262	. . 3 |- ZZ C_ RR
40		ssrexv 3222	. . 3 |- ( ZZ C_ RR -> ( E. x e. ZZ A. y e. A x <_ y -> E. x e. RR A. y e. A x <_ y ) )
41	39, 40	ax-mp 5	. 2 |- ( E. x e. ZZ A. y e. A x <_ y -> E. x e. RR A. y e. A x <_ y )
42	38, 41	impbid1 142	1 |- ( A C_ RR -> ( E. x e. RR A. y e. A x <_ y <-> E. x e. ZZ A. y e. A x <_ y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 978   e. wcel 2148   A.wral 2455   E.wrex 2456   C_ wss 3131   class class class wbr 4005   RRcr 7812   < clt 7994   <_ cle 7995   ZZcz 9255

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-addcom 7913  ax-addass 7915  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-ltadd 7929  ax-arch 7932

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-inn 8922  df-z 9256

This theorem is referenced by: (None)