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Theorem lbzbi 9575
Description: If a set of reals is bounded below, it is bounded below by an integer. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
lbzbi  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y  <->  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  x  <_  y ) )
Distinct variable group:    x, A, y

Proof of Theorem lbzbi
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1521 . . 3  |-  F/ x  A  C_  RR
2 nfre1 2513 . . 3  |-  F/ x E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  x  <_  y
3 btwnz 9331 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR  ->  ( E. z  e.  ZZ  z  <  x  /\  E. z  e.  ZZ  x  <  z ) )
43simpld 111 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR  ->  E. z  e.  ZZ  z  <  x
)
5 ssel2 3142 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( A  C_  RR  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  RR )
6 zre 9216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( z  e.  ZZ  ->  z  e.  RR )
7 ltleletr 8001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( z  e.  RR  /\  x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  (
( z  <  x  /\  x  <_  y )  ->  z  <_  y
) )
86, 7syl3an1 1266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  (
( z  <  x  /\  x  <_  y )  ->  z  <_  y
) )
98expd 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  (
z  <  x  ->  ( x  <_  y  ->  z  <_  y ) ) )
1093expia 1200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  x  e.  RR )  ->  ( y  e.  RR  ->  ( z  <  x  ->  ( x  <_  y  ->  z  <_  y )
) ) )
115, 10syl5 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( A  C_  RR  /\  y  e.  A
)  ->  ( z  <  x  ->  ( x  <_  y  ->  z  <_  y ) ) ) )
1211expdimp 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( z  e.  ZZ  /\  x  e.  RR )  /\  A  C_  RR )  ->  ( y  e.  A  ->  ( z  <  x  ->  ( x  <_  y  ->  z  <_  y ) ) ) )
1312com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( z  e.  ZZ  /\  x  e.  RR )  /\  A  C_  RR )  ->  ( z  < 
x  ->  ( y  e.  A  ->  ( x  <_  y  ->  z  <_  y ) ) ) )
1413imp 123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( z  e.  ZZ  /\  x  e.  RR )  /\  A  C_  RR )  /\  z  <  x )  ->  (
y  e.  A  -> 
( x  <_  y  ->  z  <_  y )
) )
1514ralrimiv 2542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( z  e.  ZZ  /\  x  e.  RR )  /\  A  C_  RR )  /\  z  <  x )  ->  A. y  e.  A  ( x  <_  y  ->  z  <_  y ) )
16 ralim 2529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A. y  e.  A  (
x  <_  y  ->  z  <_  y )  -> 
( A. y  e.  A  x  <_  y  ->  A. y  e.  A  z  <_  y ) )
1715, 16syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( z  e.  ZZ  /\  x  e.  RR )  /\  A  C_  RR )  /\  z  <  x )  ->  ( A. y  e.  A  x  <_  y  ->  A. y  e.  A  z  <_  y ) )
1817ex 114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( z  e.  ZZ  /\  x  e.  RR )  /\  A  C_  RR )  ->  ( z  < 
x  ->  ( A. y  e.  A  x  <_  y  ->  A. y  e.  A  z  <_  y ) ) )
1918anasss 397 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  ( x  e.  RR  /\  A  C_  RR )
)  ->  ( z  <  x  ->  ( A. y  e.  A  x  <_  y  ->  A. y  e.  A  z  <_  y ) ) )
2019expcom 115 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  RR  /\  A  C_  RR )  -> 
( z  e.  ZZ  ->  ( z  <  x  ->  ( A. y  e.  A  x  <_  y  ->  A. y  e.  A  z  <_  y ) ) ) )
2120com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  RR  /\  A  C_  RR )  -> 
( z  <  x  ->  ( z  e.  ZZ  ->  ( A. y  e.  A  x  <_  y  ->  A. y  e.  A  z  <_  y ) ) ) )
2221imp 123 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  A  C_  RR )  /\  z  <  x )  ->  ( z  e.  ZZ  ->  ( A. y  e.  A  x  <_  y  ->  A. y  e.  A  z  <_  y ) ) )
2322imdistand 445 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  A  C_  RR )  /\  z  <  x )  ->  ( ( z  e.  ZZ  /\  A. y  e.  A  x  <_  y )  ->  (
z  e.  ZZ  /\  A. y  e.  A  z  <_  y ) ) )
24 breq1 3992 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  z  ->  (
x  <_  y  <->  z  <_  y ) )
2524ralbidv 2470 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  z  ->  ( A. y  e.  A  x  <_  y  <->  A. y  e.  A  z  <_  y ) )
2625rspcev 2834 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  A. y  e.  A  z  <_  y )  ->  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  x  <_  y )
2723, 26syl6 33 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  A  C_  RR )  /\  z  <  x )  ->  ( ( z  e.  ZZ  /\  A. y  e.  A  x  <_  y )  ->  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  x  <_  y
) )
2827ex 114 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR  /\  A  C_  RR )  -> 
( z  <  x  ->  ( ( z  e.  ZZ  /\  A. y  e.  A  x  <_  y )  ->  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  x  <_  y
) ) )
2928com23 78 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR  /\  A  C_  RR )  -> 
( ( z  e.  ZZ  /\  A. y  e.  A  x  <_  y )  ->  ( z  <  x  ->  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  x  <_  y
) ) )
3029ancomsd 267 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR  /\  A  C_  RR )  -> 
( ( A. y  e.  A  x  <_  y  /\  z  e.  ZZ )  ->  ( z  < 
x  ->  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  x  <_  y
) ) )
3130expdimp 257 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  A  C_  RR )  /\  A. y  e.  A  x  <_  y )  -> 
( z  e.  ZZ  ->  ( z  <  x  ->  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  x  <_  y ) ) )
3231rexlimdv 2586 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  A  C_  RR )  /\  A. y  e.  A  x  <_  y )  -> 
( E. z  e.  ZZ  z  <  x  ->  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  x  <_  y ) )
3332anasss 397 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR  /\  ( A  C_  RR  /\  A. y  e.  A  x  <_  y ) )  ->  ( E. z  e.  ZZ  z  <  x  ->  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  x  <_  y ) )
3433expcom 115 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A. y  e.  A  x  <_  y )  ->  (
x  e.  RR  ->  ( E. z  e.  ZZ  z  <  x  ->  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  x  <_  y
) ) )
354, 34mpdi 43 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A. y  e.  A  x  <_  y )  ->  (
x  e.  RR  ->  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  x  <_  y ) )
3635ex 114 . . . 4  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( A. y  e.  A  x  <_  y  ->  ( x  e.  RR  ->  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  x  <_  y
) ) )
3736com23 78 . . 3  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( x  e.  RR  ->  ( A. y  e.  A  x  <_  y  ->  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  x  <_  y
) ) )
381, 2, 37rexlimd 2584 . 2  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y  ->  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  x  <_  y
) )
39 zssre 9219 . . 3  |-  ZZ  C_  RR
40 ssrexv 3212 . . 3  |-  ( ZZ  C_  RR  ->  ( E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  x  <_  y  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y ) )
4139, 40ax-mp 5 . 2  |-  ( E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  x  <_  y  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y
)
4238, 41impbid1 141 1  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( E. x  e.  RR  A. y  e.  A  x  <_  y  <->  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  x  <_  y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 973    e. wcel 2141   A.wral 2448   E.wrex 2449    C_ wss 3121   class class class wbr 3989   RRcr 7773    < clt 7954    <_ cle 7955   ZZcz 9212
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-addcom 7874  ax-addass 7876  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-ltadd 7890  ax-arch 7893
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-br 3990  df-opab 4051  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-inn 8879  df-z 9213
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