Theorem lbzbi 9575

Description: If a set of reals is bounded below, it is bounded below by an integer. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
lbzbi	|- ( A C_ RR -> ( E. x e. RR A. y e. A x <_ y <-> E. x e. ZZ A. y e. A x <_ y ) )

Distinct variable group:   x, A, y

Proof of Theorem lbzbi

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1521	. . 3 |- F/ x A C_ RR
2		nfre1 2513	. . 3 |- F/ x E. x e. ZZ A. y e. A x <_ y
3		btwnz 9331	. . . . . . 7 |- ( x e. RR -> ( E. z e. ZZ z < x /\ E. z e. ZZ x < z ) )
4	3	simpld 111	. . . . . 6 |- ( x e. RR -> E. z e. ZZ z < x )
5		ssel2 3142	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( A C_ RR /\ y e. A ) -> y e. RR )
6		zre 9216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( z e. ZZ -> z e. RR )
7		ltleletr 8001	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( z e. RR /\ x e. RR /\ y e. RR ) -> ( ( z < x /\ x <_ y ) -> z <_ y ) )
8	6, 7	syl3an1 1266	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( z e. ZZ /\ x e. RR /\ y e. RR ) -> ( ( z < x /\ x <_ y ) -> z <_ y ) )
9	8	expd 256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( z e. ZZ /\ x e. RR /\ y e. RR ) -> ( z < x -> ( x <_ y -> z <_ y ) ) )
10	9	3expia 1200	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( z e. ZZ /\ x e. RR ) -> ( y e. RR -> ( z < x -> ( x <_ y -> z <_ y ) ) ) )
11	5, 10	syl5 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( z e. ZZ /\ x e. RR ) -> ( ( A C_ RR /\ y e. A ) -> ( z < x -> ( x <_ y -> z <_ y ) ) ) )
12	11	expdimp 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( z e. ZZ /\ x e. RR ) /\ A C_ RR ) -> ( y e. A -> ( z < x -> ( x <_ y -> z <_ y ) ) ) )
13	12	com23 78	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( z e. ZZ /\ x e. RR ) /\ A C_ RR ) -> ( z < x -> ( y e. A -> ( x <_ y -> z <_ y ) ) ) )
14	13	imp 123	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( z e. ZZ /\ x e. RR ) /\ A C_ RR ) /\ z < x ) -> ( y e. A -> ( x <_ y -> z <_ y ) ) )
15	14	ralrimiv 2542	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( z e. ZZ /\ x e. RR ) /\ A C_ RR ) /\ z < x ) -> A. y e. A ( x <_ y -> z <_ y ) )
16		ralim 2529	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( A. y e. A ( x <_ y -> z <_ y ) -> ( A. y e. A x <_ y -> A. y e. A z <_ y ) )
17	15, 16	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( z e. ZZ /\ x e. RR ) /\ A C_ RR ) /\ z < x ) -> ( A. y e. A x <_ y -> A. y e. A z <_ y ) )
18	17	ex 114	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( z e. ZZ /\ x e. RR ) /\ A C_ RR ) -> ( z < x -> ( A. y e. A x <_ y -> A. y e. A z <_ y ) ) )
19	18	anasss 397	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( z e. ZZ /\ ( x e. RR /\ A C_ RR ) ) -> ( z < x -> ( A. y e. A x <_ y -> A. y e. A z <_ y ) ) )
20	19	expcom 115	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. RR /\ A C_ RR ) -> ( z e. ZZ -> ( z < x -> ( A. y e. A x <_ y -> A. y e. A z <_ y ) ) ) )
21	20	com23 78	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. RR /\ A C_ RR ) -> ( z < x -> ( z e. ZZ -> ( A. y e. A x <_ y -> A. y e. A z <_ y ) ) ) )
22	21	imp 123	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. RR /\ A C_ RR ) /\ z < x ) -> ( z e. ZZ -> ( A. y e. A x <_ y -> A. y e. A z <_ y ) ) )
23	22	imdistand 445	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. RR /\ A C_ RR ) /\ z < x ) -> ( ( z e. ZZ /\ A. y e. A x <_ y ) -> ( z e. ZZ /\ A. y e. A z <_ y ) ) )
24		breq1 3992	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = z -> ( x <_ y <-> z <_ y ) )
25	24	ralbidv 2470	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = z -> ( A. y e. A x <_ y <-> A. y e. A z <_ y ) )
26	25	rspcev 2834	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z e. ZZ /\ A. y e. A z <_ y ) -> E. x e. ZZ A. y e. A x <_ y )
27	23, 26	syl6 33	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. RR /\ A C_ RR ) /\ z < x ) -> ( ( z e. ZZ /\ A. y e. A x <_ y ) -> E. x e. ZZ A. y e. A x <_ y ) )
28	27	ex 114	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. RR /\ A C_ RR ) -> ( z < x -> ( ( z e. ZZ /\ A. y e. A x <_ y ) -> E. x e. ZZ A. y e. A x <_ y ) ) )
29	28	com23 78	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. RR /\ A C_ RR ) -> ( ( z e. ZZ /\ A. y e. A x <_ y ) -> ( z < x -> E. x e. ZZ A. y e. A x <_ y ) ) )
30	29	ancomsd 267	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. RR /\ A C_ RR ) -> ( ( A. y e. A x <_ y /\ z e. ZZ ) -> ( z < x -> E. x e. ZZ A. y e. A x <_ y ) ) )
31	30	expdimp 257	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. RR /\ A C_ RR ) /\ A. y e. A x <_ y ) -> ( z e. ZZ -> ( z < x -> E. x e. ZZ A. y e. A x <_ y ) ) )
32	31	rexlimdv 2586	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. RR /\ A C_ RR ) /\ A. y e. A x <_ y ) -> ( E. z e. ZZ z < x -> E. x e. ZZ A. y e. A x <_ y ) )
33	32	anasss 397	. . . . . . 7 |- ( ( x e. RR /\ ( A C_ RR /\ A. y e. A x <_ y ) ) -> ( E. z e. ZZ z < x -> E. x e. ZZ A. y e. A x <_ y ) )
34	33	expcom 115	. . . . . 6 |- ( ( A C_ RR /\ A. y e. A x <_ y ) -> ( x e. RR -> ( E. z e. ZZ z < x -> E. x e. ZZ A. y e. A x <_ y ) ) )
35	4, 34	mpdi 43	. . . . 5 |- ( ( A C_ RR /\ A. y e. A x <_ y ) -> ( x e. RR -> E. x e. ZZ A. y e. A x <_ y ) )
36	35	ex 114	. . . 4 |- ( A C_ RR -> ( A. y e. A x <_ y -> ( x e. RR -> E. x e. ZZ A. y e. A x <_ y ) ) )
37	36	com23 78	. . 3 |- ( A C_ RR -> ( x e. RR -> ( A. y e. A x <_ y -> E. x e. ZZ A. y e. A x <_ y ) ) )
38	1, 2, 37	rexlimd 2584	. 2 |- ( A C_ RR -> ( E. x e. RR A. y e. A x <_ y -> E. x e. ZZ A. y e. A x <_ y ) )
39		zssre 9219	. . 3 |- ZZ C_ RR
40		ssrexv 3212	. . 3 |- ( ZZ C_ RR -> ( E. x e. ZZ A. y e. A x <_ y -> E. x e. RR A. y e. A x <_ y ) )
41	39, 40	ax-mp 5	. 2 |- ( E. x e. ZZ A. y e. A x <_ y -> E. x e. RR A. y e. A x <_ y )
42	38, 41	impbid1 141	1 |- ( A C_ RR -> ( E. x e. RR A. y e. A x <_ y <-> E. x e. ZZ A. y e. A x <_ y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 973   e. wcel 2141   A.wral 2448   E.wrex 2449   C_ wss 3121   class class class wbr 3989   RRcr 7773   < clt 7954   <_ cle 7955   ZZcz 9212

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-addcom 7874  ax-addass 7876  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-ltadd 7890  ax-arch 7893

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-br 3990  df-opab 4051  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-inn 8879  df-z 9213

This theorem is referenced by: (None)