Theorem ltnsymd 8018

Description: 'Less than' implies 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	|- ( ph -> A e. RR )
ltd.2	|- ( ph -> B e. RR )
ltled.1	|- ( ph -> A < B )

Assertion

Ref	Expression
ltnsymd	|- ( ph -> -. B < A )

Proof of Theorem ltnsymd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltd.1	. . 3 |- ( ph -> A e. RR )
2		ltd.2	. . 3 |- ( ph -> B e. RR )
3		ltled.1	. . 3 |- ( ph -> A < B )
4	1, 2, 3	ltled 8017	. 2 |- ( ph -> A <_ B )
5	1, 2	lenltd 8016	. 2 |- ( ph -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )
6	4, 5	mpbid 146	1 |- ( ph -> -. B < A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   e. wcel 2136   class class class wbr 3982   RRcr 7752   < clt 7933   <_ cle 7934

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-lttrn 7867

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-rab 2453  df-v 2728  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-br 3983  df-opab 4044  df-xp 4610  df-cnv 4612  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939

This theorem is referenced by:  frec2uzlt2d  10339  resqrexlemgt0  10962  resqrexlemoverl  10963  cvgratz  11473  ivthinclemuopn  13256  ivthinclemdisj  13258  cnplimclemle  13277  efltlemlt  13335