Theorem frec2uzlt2d 10407

Description: The mapping G (see frec2uz0d 10402) preserves order. (Contributed by Jim Kingdon, 16-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
frec2uz.1	|- ( ph -> C e. ZZ )
frec2uz.2	|- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C )
frec2uzzd.a	|- ( ph -> A e. om )
frec2uzltd.b	|- ( ph -> B e. om )

Assertion

Ref	Expression
frec2uzlt2d	|- ( ph -> ( A e. B <-> ( G ` A ) < ( G ` B ) ) )

Distinct variable group:   x, C

Allowed substitution hints:   ph( x)   A( x)   B( x)   G( x)

Proof of Theorem frec2uzlt2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frec2uz.1	. . 3 |- ( ph -> C e. ZZ )
2		frec2uz.2	. . 3 |- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C )
3		frec2uzzd.a	. . 3 |- ( ph -> A e. om )
4		frec2uzltd.b	. . 3 |- ( ph -> B e. om )
5	1, 2, 3, 4	frec2uzltd 10406	. 2 |- ( ph -> ( A e. B -> ( G ` A ) < ( G ` B ) ) )
6		nntri3or 6497	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A e. B \/ A = B \/ B e. A ) )
7	3, 4, 6	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> ( A e. B \/ A = B \/ B e. A ) )
8		ax-1 6	. . . . 5 |- ( A e. B -> ( ( G ` A ) < ( G ` B ) -> A e. B ) )
9	8	a1i 9	. . . 4 |- ( ph -> ( A e. B -> ( ( G ` A ) < ( G ` B ) -> A e. B ) ) )
10		fveq2 5517	. . . . . . . . . 10 |- ( A = B -> ( G ` A ) = ( G ` B ) )
11	10	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ A = B ) -> ( G ` A ) = ( G ` B ) )
12	11	breq2d 4017	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ A = B ) -> ( ( G ` A ) < ( G ` A ) <-> ( G ` A ) < ( G ` B ) ) )
13	12	biimpar 297	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ A = B ) /\ ( G ` A ) < ( G ` B ) ) -> ( G ` A ) < ( G ` A ) )
14	1, 2, 3	frec2uzzd 10403	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( G ` A ) e. ZZ )
15	14	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ A = B ) -> ( G ` A ) e. ZZ )
16	15	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ A = B ) /\ ( G ` A ) < ( G ` B ) ) -> ( G ` A ) e. ZZ )
17	16	zred 9378	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ A = B ) /\ ( G ` A ) < ( G ` B ) ) -> ( G ` A ) e. RR )
18	17	ltnrd 8072	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ A = B ) /\ ( G ` A ) < ( G ` B ) ) -> -. ( G ` A ) < ( G ` A ) )
19	13, 18	pm2.21dd 620	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ A = B ) /\ ( G ` A ) < ( G ` B ) ) -> A e. B )
20	19	ex 115	. . . . 5 |- ( ( ph /\ A = B ) -> ( ( G ` A ) < ( G ` B ) -> A e. B ) )
21	20	ex 115	. . . 4 |- ( ph -> ( A = B -> ( ( G ` A ) < ( G ` B ) -> A e. B ) ) )
22	1, 2, 4	frec2uzzd 10403	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( G ` B ) e. ZZ )
23	22	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ B e. A ) -> ( G ` B ) e. ZZ )
24	23	zred 9378	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ B e. A ) -> ( G ` B ) e. RR )
25	14	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ B e. A ) -> ( G ` A ) e. ZZ )
26	25	zred 9378	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ B e. A ) -> ( G ` A ) e. RR )
27	1, 2, 4, 3	frec2uzltd 10406	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( B e. A -> ( G ` B ) < ( G ` A ) ) )
28	27	imp 124	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ B e. A ) -> ( G ` B ) < ( G ` A ) )
29	24, 26, 28	ltnsymd 8080	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ B e. A ) -> -. ( G ` A ) < ( G ` B ) )
30	29	pm2.21d 619	. . . . 5 |- ( ( ph /\ B e. A ) -> ( ( G ` A ) < ( G ` B ) -> A e. B ) )
31	30	ex 115	. . . 4 |- ( ph -> ( B e. A -> ( ( G ` A ) < ( G ` B ) -> A e. B ) ) )
32	9, 21, 31	3jaod 1304	. . 3 |- ( ph -> ( ( A e. B \/ A = B \/ B e. A ) -> ( ( G ` A ) < ( G ` B ) -> A e. B ) ) )
33	7, 32	mpd 13	. 2 |- ( ph -> ( ( G ` A ) < ( G ` B ) -> A e. B ) )
34	5, 33	impbid 129	1 |- ( ph -> ( A e. B <-> ( G ` A ) < ( G ` B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ w3o 977   = wceq 1353   e. wcel 2148   class class class wbr 4005   |-> cmpt 4066   omcom 4591   ` cfv 5218  (class class class)co 5878  freccfrec 6394   1c1 7815   + caddc 7817   < clt 7995   ZZcz 9256

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1cn 7907  ax-1re 7908  ax-icn 7909  ax-addcl 7910  ax-addrcl 7911  ax-mulcl 7912  ax-addcom 7914  ax-addass 7916  ax-distr 7918  ax-i2m1 7919  ax-0lt1 7920  ax-0id 7922  ax-rnegex 7923  ax-cnre 7925  ax-pre-ltirr 7926  ax-pre-ltwlin 7927  ax-pre-lttrn 7928  ax-pre-ltadd 7930

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5834  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-recs 6309  df-frec 6395  df-pnf 7997  df-mnf 7998  df-xr 7999  df-ltxr 8000  df-le 8001  df-sub 8133  df-neg 8134  df-inn 8923  df-n0 9180  df-z 9257  df-uz 9532

This theorem is referenced by:  frec2uzisod  10410  frec2uzled  10432