ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  frec2uzlt2d Unicode version

Theorem frec2uzlt2d 10191
Description: The mapping  G (see frec2uz0d 10186) preserves order. (Contributed by Jim Kingdon, 16-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
frec2uz.1  |-  ( ph  ->  C  e.  ZZ )
frec2uz.2  |-  G  = frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  C )
frec2uzzd.a  |-  ( ph  ->  A  e.  om )
frec2uzltd.b  |-  ( ph  ->  B  e.  om )
Assertion
Ref Expression
frec2uzlt2d  |-  ( ph  ->  ( A  e.  B  <->  ( G `  A )  <  ( G `  B ) ) )
Distinct variable group:    x, C
Allowed substitution hints:    ph( x)    A( x)    B( x)    G( x)

Proof of Theorem frec2uzlt2d
StepHypRef Expression
1 frec2uz.1 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  ZZ )
2 frec2uz.2 . . 3  |-  G  = frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  C )
3 frec2uzzd.a . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  om )
4 frec2uzltd.b . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  om )
51, 2, 3, 4frec2uzltd 10190 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  e.  B  ->  ( G `  A
)  <  ( G `  B ) ) )
6 nntri3or 6389 . . . 4  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  e.  B  \/  A  =  B  \/  B  e.  A
) )
73, 4, 6syl2anc 408 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  e.  B  \/  A  =  B  \/  B  e.  A
) )
8 ax-1 6 . . . . 5  |-  ( A  e.  B  ->  (
( G `  A
)  <  ( G `  B )  ->  A  e.  B ) )
98a1i 9 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  e.  B  ->  ( ( G `  A )  <  ( G `  B )  ->  A  e.  B ) ) )
10 fveq2 5421 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  =  B  ->  ( G `  A )  =  ( G `  B ) )
1110adantl 275 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  =  B )  ->  ( G `  A )  =  ( G `  B ) )
1211breq2d 3941 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  =  B )  ->  (
( G `  A
)  <  ( G `  A )  <->  ( G `  A )  <  ( G `  B )
) )
1312biimpar 295 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  B )  /\  ( G `  A )  <  ( G `  B
) )  ->  ( G `  A )  <  ( G `  A
) )
141, 2, 3frec2uzzd 10187 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( G `  A
)  e.  ZZ )
1514adantr 274 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  A  =  B )  ->  ( G `  A )  e.  ZZ )
1615adantr 274 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  B )  /\  ( G `  A )  <  ( G `  B
) )  ->  ( G `  A )  e.  ZZ )
1716zred 9187 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  B )  /\  ( G `  A )  <  ( G `  B
) )  ->  ( G `  A )  e.  RR )
1817ltnrd 7889 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  B )  /\  ( G `  A )  <  ( G `  B
) )  ->  -.  ( G `  A )  <  ( G `  A ) )
1913, 18pm2.21dd 609 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  B )  /\  ( G `  A )  <  ( G `  B
) )  ->  A  e.  B )
2019ex 114 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  =  B )  ->  (
( G `  A
)  <  ( G `  B )  ->  A  e.  B ) )
2120ex 114 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  =  B  ->  ( ( G `
 A )  < 
( G `  B
)  ->  A  e.  B ) ) )
221, 2, 4frec2uzzd 10187 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( G `  B
)  e.  ZZ )
2322adantr 274 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  B  e.  A )  ->  ( G `  B )  e.  ZZ )
2423zred 9187 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  B  e.  A )  ->  ( G `  B )  e.  RR )
2514adantr 274 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  B  e.  A )  ->  ( G `  A )  e.  ZZ )
2625zred 9187 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  B  e.  A )  ->  ( G `  A )  e.  RR )
271, 2, 4, 3frec2uzltd 10190 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( B  e.  A  ->  ( G `  B
)  <  ( G `  A ) ) )
2827imp 123 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  B  e.  A )  ->  ( G `  B )  <  ( G `  A
) )
2924, 26, 28ltnsymd 7896 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  B  e.  A )  ->  -.  ( G `  A )  <  ( G `  B ) )
3029pm2.21d 608 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  B  e.  A )  ->  (
( G `  A
)  <  ( G `  B )  ->  A  e.  B ) )
3130ex 114 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( B  e.  A  ->  ( ( G `  A )  <  ( G `  B )  ->  A  e.  B ) ) )
329, 21, 313jaod 1282 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A  e.  B  \/  A  =  B  \/  B  e.  A )  ->  (
( G `  A
)  <  ( G `  B )  ->  A  e.  B ) ) )
337, 32mpd 13 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( G `  A )  <  ( G `  B )  ->  A  e.  B ) )
345, 33impbid 128 1  |-  ( ph  ->  ( A  e.  B  <->  ( G `  A )  <  ( G `  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ w3o 961    = wceq 1331    e. wcel 1480   class class class wbr 3929    |-> cmpt 3989   omcom 4504   ` cfv 5123  (class class class)co 5774  freccfrec 6287   1c1 7635    + caddc 7637    < clt 7814   ZZcz 9068
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7725  ax-resscn 7726  ax-1cn 7727  ax-1re 7728  ax-icn 7729  ax-addcl 7730  ax-addrcl 7731  ax-mulcl 7732  ax-addcom 7734  ax-addass 7736  ax-distr 7738  ax-i2m1 7739  ax-0lt1 7740  ax-0id 7742  ax-rnegex 7743  ax-cnre 7745  ax-pre-ltirr 7746  ax-pre-ltwlin 7747  ax-pre-lttrn 7748  ax-pre-ltadd 7750
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-recs 6202  df-frec 6288  df-pnf 7816  df-mnf 7817  df-xr 7818  df-ltxr 7819  df-le 7820  df-sub 7949  df-neg 7950  df-inn 8735  df-n0 8992  df-z 9069  df-uz 9341
This theorem is referenced by:  frec2uzisod  10194  frec2uzled  10216
  Copyright terms: Public domain W3C validator