Theorem frec2uzlt2d 10064

Description: The mapping G (see frec2uz0d 10059) preserves order. (Contributed by Jim Kingdon, 16-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
frec2uz.1	|- ( ph -> C e. ZZ )
frec2uz.2	|- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C )
frec2uzzd.a	|- ( ph -> A e. om )
frec2uzltd.b	|- ( ph -> B e. om )

Assertion

Ref	Expression
frec2uzlt2d	|- ( ph -> ( A e. B <-> ( G ` A ) < ( G ` B ) ) )

Distinct variable group:   x, C

Allowed substitution hints:   ph( x)   A( x)   B( x)   G( x)

Proof of Theorem frec2uzlt2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frec2uz.1	. . 3 |- ( ph -> C e. ZZ )
2		frec2uz.2	. . 3 |- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C )
3		frec2uzzd.a	. . 3 |- ( ph -> A e. om )
4		frec2uzltd.b	. . 3 |- ( ph -> B e. om )
5	1, 2, 3, 4	frec2uzltd 10063	. 2 |- ( ph -> ( A e. B -> ( G ` A ) < ( G ` B ) ) )
6		nntri3or 6341	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A e. B \/ A = B \/ B e. A ) )
7	3, 4, 6	syl2anc 406	. . 3 |- ( ph -> ( A e. B \/ A = B \/ B e. A ) )
8		ax-1 5	. . . . 5 |- ( A e. B -> ( ( G ` A ) < ( G ` B ) -> A e. B ) )
9	8	a1i 9	. . . 4 |- ( ph -> ( A e. B -> ( ( G ` A ) < ( G ` B ) -> A e. B ) ) )
10		fveq2 5373	. . . . . . . . . 10 |- ( A = B -> ( G ` A ) = ( G ` B ) )
11	10	adantl 273	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ A = B ) -> ( G ` A ) = ( G ` B ) )
12	11	breq2d 3905	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ A = B ) -> ( ( G ` A ) < ( G ` A ) <-> ( G ` A ) < ( G ` B ) ) )
13	12	biimpar 293	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ A = B ) /\ ( G ` A ) < ( G ` B ) ) -> ( G ` A ) < ( G ` A ) )
14	1, 2, 3	frec2uzzd 10060	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( G ` A ) e. ZZ )
15	14	adantr 272	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ A = B ) -> ( G ` A ) e. ZZ )
16	15	adantr 272	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ A = B ) /\ ( G ` A ) < ( G ` B ) ) -> ( G ` A ) e. ZZ )
17	16	zred 9071	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ A = B ) /\ ( G ` A ) < ( G ` B ) ) -> ( G ` A ) e. RR )
18	17	ltnrd 7792	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ A = B ) /\ ( G ` A ) < ( G ` B ) ) -> -. ( G ` A ) < ( G ` A ) )
19	13, 18	pm2.21dd 592	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ A = B ) /\ ( G ` A ) < ( G ` B ) ) -> A e. B )
20	19	ex 114	. . . . 5 |- ( ( ph /\ A = B ) -> ( ( G ` A ) < ( G ` B ) -> A e. B ) )
21	20	ex 114	. . . 4 |- ( ph -> ( A = B -> ( ( G ` A ) < ( G ` B ) -> A e. B ) ) )
22	1, 2, 4	frec2uzzd 10060	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( G ` B ) e. ZZ )
23	22	adantr 272	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ B e. A ) -> ( G ` B ) e. ZZ )
24	23	zred 9071	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ B e. A ) -> ( G ` B ) e. RR )
25	14	adantr 272	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ B e. A ) -> ( G ` A ) e. ZZ )
26	25	zred 9071	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ B e. A ) -> ( G ` A ) e. RR )
27	1, 2, 4, 3	frec2uzltd 10063	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( B e. A -> ( G ` B ) < ( G ` A ) ) )
28	27	imp 123	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ B e. A ) -> ( G ` B ) < ( G ` A ) )
29	24, 26, 28	ltnsymd 7799	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ B e. A ) -> -. ( G ` A ) < ( G ` B ) )
30	29	pm2.21d 591	. . . . 5 |- ( ( ph /\ B e. A ) -> ( ( G ` A ) < ( G ` B ) -> A e. B ) )
31	30	ex 114	. . . 4 |- ( ph -> ( B e. A -> ( ( G ` A ) < ( G ` B ) -> A e. B ) ) )
32	9, 21, 31	3jaod 1263	. . 3 |- ( ph -> ( ( A e. B \/ A = B \/ B e. A ) -> ( ( G ` A ) < ( G ` B ) -> A e. B ) ) )
33	7, 32	mpd 13	. 2 |- ( ph -> ( ( G ` A ) < ( G ` B ) -> A e. B ) )
34	5, 33	impbid 128	1 |- ( ph -> ( A e. B <-> ( G ` A ) < ( G ` B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ w3o 942   = wceq 1312   e. wcel 1461   class class class wbr 3893   |-> cmpt 3947   omcom 4462   ` cfv 5079  (class class class)co 5726  freccfrec 6239   1c1 7542   + caddc 7544   < clt 7718   ZZcz 8952

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1404  ax-7 1405  ax-gen 1406  ax-ie1 1450  ax-ie2 1451  ax-8 1463  ax-10 1464  ax-11 1465  ax-i12 1466  ax-bndl 1467  ax-4 1468  ax-13 1472  ax-14 1473  ax-17 1487  ax-i9 1491  ax-ial 1495  ax-i5r 1496  ax-ext 2095  ax-coll 4001  ax-sep 4004  ax-nul 4012  ax-pow 4056  ax-pr 4089  ax-un 4313  ax-setind 4410  ax-iinf 4460  ax-cnex 7630  ax-resscn 7631  ax-1cn 7632  ax-1re 7633  ax-icn 7634  ax-addcl 7635  ax-addrcl 7636  ax-mulcl 7637  ax-addcom 7639  ax-addass 7641  ax-distr 7643  ax-i2m1 7644  ax-0lt1 7645  ax-0id 7647  ax-rnegex 7648  ax-cnre 7650  ax-pre-ltirr 7651  ax-pre-ltwlin 7652  ax-pre-lttrn 7653  ax-pre-ltadd 7655

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 944  df-3an 945  df-tru 1315  df-fal 1318  df-nf 1418  df-sb 1717  df-eu 1976  df-mo 1977  df-clab 2100  df-cleq 2106  df-clel 2109  df-nfc 2242  df-ne 2281  df-nel 2376  df-ral 2393  df-rex 2394  df-reu 2395  df-rab 2397  df-v 2657  df-sbc 2877  df-csb 2970  df-dif 3037  df-un 3039  df-in 3041  df-ss 3048  df-nul 3328  df-pw 3476  df-sn 3497  df-pr 3498  df-op 3500  df-uni 3701  df-int 3736  df-iun 3779  df-br 3894  df-opab 3948  df-mpt 3949  df-tr 3985  df-id 4173  df-iord 4246  df-on 4248  df-ilim 4249  df-suc 4251  df-iom 4463  df-xp 4503  df-rel 4504  df-cnv 4505  df-co 4506  df-dm 4507  df-rn 4508  df-res 4509  df-ima 4510  df-iota 5044  df-fun 5081  df-fn 5082  df-f 5083  df-f1 5084  df-fo 5085  df-f1o 5086  df-fv 5087  df-riota 5682  df-ov 5729  df-oprab 5730  df-mpo 5731  df-recs 6154  df-frec 6240  df-pnf 7720  df-mnf 7721  df-xr 7722  df-ltxr 7723  df-le 7724  df-sub 7852  df-neg 7853  df-inn 8625  df-n0 8876  df-z 8953  df-uz 9223

This theorem is referenced by:  frec2uzisod  10067  frec2uzled  10089