Theorem frec2uzlt2d 10422

Description: The mapping G (see frec2uz0d 10417) preserves order. (Contributed by Jim Kingdon, 16-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
frec2uz.1	|- ( ph -> C e. ZZ )
frec2uz.2	|- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C )
frec2uzzd.a	|- ( ph -> A e. om )
frec2uzltd.b	|- ( ph -> B e. om )

Assertion

Ref	Expression
frec2uzlt2d	|- ( ph -> ( A e. B <-> ( G ` A ) < ( G ` B ) ) )

Distinct variable group:   x, C

Allowed substitution hints:   ph( x)   A( x)   B( x)   G( x)

Proof of Theorem frec2uzlt2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frec2uz.1	. . 3 |- ( ph -> C e. ZZ )
2		frec2uz.2	. . 3 |- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C )
3		frec2uzzd.a	. . 3 |- ( ph -> A e. om )
4		frec2uzltd.b	. . 3 |- ( ph -> B e. om )
5	1, 2, 3, 4	frec2uzltd 10421	. 2 |- ( ph -> ( A e. B -> ( G ` A ) < ( G ` B ) ) )
6		nntri3or 6512	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A e. B \/ A = B \/ B e. A ) )
7	3, 4, 6	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> ( A e. B \/ A = B \/ B e. A ) )
8		ax-1 6	. . . . 5 |- ( A e. B -> ( ( G ` A ) < ( G ` B ) -> A e. B ) )
9	8	a1i 9	. . . 4 |- ( ph -> ( A e. B -> ( ( G ` A ) < ( G ` B ) -> A e. B ) ) )
10		fveq2 5530	. . . . . . . . . 10 |- ( A = B -> ( G ` A ) = ( G ` B ) )
11	10	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ A = B ) -> ( G ` A ) = ( G ` B ) )
12	11	breq2d 4030	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ A = B ) -> ( ( G ` A ) < ( G ` A ) <-> ( G ` A ) < ( G ` B ) ) )
13	12	biimpar 297	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ A = B ) /\ ( G ` A ) < ( G ` B ) ) -> ( G ` A ) < ( G ` A ) )
14	1, 2, 3	frec2uzzd 10418	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( G ` A ) e. ZZ )
15	14	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ A = B ) -> ( G ` A ) e. ZZ )
16	15	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ A = B ) /\ ( G ` A ) < ( G ` B ) ) -> ( G ` A ) e. ZZ )
17	16	zred 9393	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ A = B ) /\ ( G ` A ) < ( G ` B ) ) -> ( G ` A ) e. RR )
18	17	ltnrd 8087	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ A = B ) /\ ( G ` A ) < ( G ` B ) ) -> -. ( G ` A ) < ( G ` A ) )
19	13, 18	pm2.21dd 621	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ A = B ) /\ ( G ` A ) < ( G ` B ) ) -> A e. B )
20	19	ex 115	. . . . 5 |- ( ( ph /\ A = B ) -> ( ( G ` A ) < ( G ` B ) -> A e. B ) )
21	20	ex 115	. . . 4 |- ( ph -> ( A = B -> ( ( G ` A ) < ( G ` B ) -> A e. B ) ) )
22	1, 2, 4	frec2uzzd 10418	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( G ` B ) e. ZZ )
23	22	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ B e. A ) -> ( G ` B ) e. ZZ )
24	23	zred 9393	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ B e. A ) -> ( G ` B ) e. RR )
25	14	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ B e. A ) -> ( G ` A ) e. ZZ )
26	25	zred 9393	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ B e. A ) -> ( G ` A ) e. RR )
27	1, 2, 4, 3	frec2uzltd 10421	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( B e. A -> ( G ` B ) < ( G ` A ) ) )
28	27	imp 124	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ B e. A ) -> ( G ` B ) < ( G ` A ) )
29	24, 26, 28	ltnsymd 8095	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ B e. A ) -> -. ( G ` A ) < ( G ` B ) )
30	29	pm2.21d 620	. . . . 5 |- ( ( ph /\ B e. A ) -> ( ( G ` A ) < ( G ` B ) -> A e. B ) )
31	30	ex 115	. . . 4 |- ( ph -> ( B e. A -> ( ( G ` A ) < ( G ` B ) -> A e. B ) ) )
32	9, 21, 31	3jaod 1315	. . 3 |- ( ph -> ( ( A e. B \/ A = B \/ B e. A ) -> ( ( G ` A ) < ( G ` B ) -> A e. B ) ) )
33	7, 32	mpd 13	. 2 |- ( ph -> ( ( G ` A ) < ( G ` B ) -> A e. B ) )
34	5, 33	impbid 129	1 |- ( ph -> ( A e. B <-> ( G ` A ) < ( G ` B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ w3o 979   = wceq 1364   e. wcel 2160   class class class wbr 4018   |-> cmpt 4079   omcom 4604   ` cfv 5231  (class class class)co 5891  freccfrec 6409   1c1 7830   + caddc 7832   < clt 8010   ZZcz 9271

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-iinf 4602  ax-cnex 7920  ax-resscn 7921  ax-1cn 7922  ax-1re 7923  ax-icn 7924  ax-addcl 7925  ax-addrcl 7926  ax-mulcl 7927  ax-addcom 7929  ax-addass 7931  ax-distr 7933  ax-i2m1 7934  ax-0lt1 7935  ax-0id 7937  ax-rnegex 7938  ax-cnre 7940  ax-pre-ltirr 7941  ax-pre-ltwlin 7942  ax-pre-lttrn 7943  ax-pre-ltadd 7945

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4308  df-iord 4381  df-on 4383  df-ilim 4384  df-suc 4386  df-iom 4605  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-f1 5236  df-fo 5237  df-f1o 5238  df-fv 5239  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-recs 6324  df-frec 6410  df-pnf 8012  df-mnf 8013  df-xr 8014  df-ltxr 8015  df-le 8016  df-sub 8148  df-neg 8149  df-inn 8938  df-n0 9195  df-z 9272  df-uz 9547

This theorem is referenced by:  frec2uzisod  10425  frec2uzled  10447