ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  frec2uzlt2d Unicode version

Theorem frec2uzlt2d 10422
Description: The mapping  G (see frec2uz0d 10417) preserves order. (Contributed by Jim Kingdon, 16-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
frec2uz.1  |-  ( ph  ->  C  e.  ZZ )
frec2uz.2  |-  G  = frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  C )
frec2uzzd.a  |-  ( ph  ->  A  e.  om )
frec2uzltd.b  |-  ( ph  ->  B  e.  om )
Assertion
Ref Expression
frec2uzlt2d  |-  ( ph  ->  ( A  e.  B  <->  ( G `  A )  <  ( G `  B ) ) )
Distinct variable group:    x, C
Allowed substitution hints:    ph( x)    A( x)    B( x)    G( x)

Proof of Theorem frec2uzlt2d
StepHypRef Expression
1 frec2uz.1 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  ZZ )
2 frec2uz.2 . . 3  |-  G  = frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  C )
3 frec2uzzd.a . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  om )
4 frec2uzltd.b . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  om )
51, 2, 3, 4frec2uzltd 10421 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  e.  B  ->  ( G `  A
)  <  ( G `  B ) ) )
6 nntri3or 6512 . . . 4  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  e.  B  \/  A  =  B  \/  B  e.  A
) )
73, 4, 6syl2anc 411 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  e.  B  \/  A  =  B  \/  B  e.  A
) )
8 ax-1 6 . . . . 5  |-  ( A  e.  B  ->  (
( G `  A
)  <  ( G `  B )  ->  A  e.  B ) )
98a1i 9 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  e.  B  ->  ( ( G `  A )  <  ( G `  B )  ->  A  e.  B ) ) )
10 fveq2 5530 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  =  B  ->  ( G `  A )  =  ( G `  B ) )
1110adantl 277 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  =  B )  ->  ( G `  A )  =  ( G `  B ) )
1211breq2d 4030 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  =  B )  ->  (
( G `  A
)  <  ( G `  A )  <->  ( G `  A )  <  ( G `  B )
) )
1312biimpar 297 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  B )  /\  ( G `  A )  <  ( G `  B
) )  ->  ( G `  A )  <  ( G `  A
) )
141, 2, 3frec2uzzd 10418 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( G `  A
)  e.  ZZ )
1514adantr 276 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  A  =  B )  ->  ( G `  A )  e.  ZZ )
1615adantr 276 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  B )  /\  ( G `  A )  <  ( G `  B
) )  ->  ( G `  A )  e.  ZZ )
1716zred 9393 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  B )  /\  ( G `  A )  <  ( G `  B
) )  ->  ( G `  A )  e.  RR )
1817ltnrd 8087 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  B )  /\  ( G `  A )  <  ( G `  B
) )  ->  -.  ( G `  A )  <  ( G `  A ) )
1913, 18pm2.21dd 621 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  B )  /\  ( G `  A )  <  ( G `  B
) )  ->  A  e.  B )
2019ex 115 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  =  B )  ->  (
( G `  A
)  <  ( G `  B )  ->  A  e.  B ) )
2120ex 115 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  =  B  ->  ( ( G `
 A )  < 
( G `  B
)  ->  A  e.  B ) ) )
221, 2, 4frec2uzzd 10418 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( G `  B
)  e.  ZZ )
2322adantr 276 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  B  e.  A )  ->  ( G `  B )  e.  ZZ )
2423zred 9393 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  B  e.  A )  ->  ( G `  B )  e.  RR )
2514adantr 276 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  B  e.  A )  ->  ( G `  A )  e.  ZZ )
2625zred 9393 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  B  e.  A )  ->  ( G `  A )  e.  RR )
271, 2, 4, 3frec2uzltd 10421 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( B  e.  A  ->  ( G `  B
)  <  ( G `  A ) ) )
2827imp 124 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  B  e.  A )  ->  ( G `  B )  <  ( G `  A
) )
2924, 26, 28ltnsymd 8095 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  B  e.  A )  ->  -.  ( G `  A )  <  ( G `  B ) )
3029pm2.21d 620 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  B  e.  A )  ->  (
( G `  A
)  <  ( G `  B )  ->  A  e.  B ) )
3130ex 115 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( B  e.  A  ->  ( ( G `  A )  <  ( G `  B )  ->  A  e.  B ) ) )
329, 21, 313jaod 1315 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A  e.  B  \/  A  =  B  \/  B  e.  A )  ->  (
( G `  A
)  <  ( G `  B )  ->  A  e.  B ) ) )
337, 32mpd 13 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( G `  A )  <  ( G `  B )  ->  A  e.  B ) )
345, 33impbid 129 1  |-  ( ph  ->  ( A  e.  B  <->  ( G `  A )  <  ( G `  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    \/ w3o 979    = wceq 1364    e. wcel 2160   class class class wbr 4018    |-> cmpt 4079   omcom 4604   ` cfv 5231  (class class class)co 5891  freccfrec 6409   1c1 7830    + caddc 7832    < clt 8010   ZZcz 9271
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-iinf 4602  ax-cnex 7920  ax-resscn 7921  ax-1cn 7922  ax-1re 7923  ax-icn 7924  ax-addcl 7925  ax-addrcl 7926  ax-mulcl 7927  ax-addcom 7929  ax-addass 7931  ax-distr 7933  ax-i2m1 7934  ax-0lt1 7935  ax-0id 7937  ax-rnegex 7938  ax-cnre 7940  ax-pre-ltirr 7941  ax-pre-ltwlin 7942  ax-pre-lttrn 7943  ax-pre-ltadd 7945
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4308  df-iord 4381  df-on 4383  df-ilim 4384  df-suc 4386  df-iom 4605  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-f1 5236  df-fo 5237  df-f1o 5238  df-fv 5239  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-recs 6324  df-frec 6410  df-pnf 8012  df-mnf 8013  df-xr 8014  df-ltxr 8015  df-le 8016  df-sub 8148  df-neg 8149  df-inn 8938  df-n0 9195  df-z 9272  df-uz 9547
This theorem is referenced by:  frec2uzisod  10425  frec2uzled  10447
  Copyright terms: Public domain W3C validator