ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  frec2uzlt2d Unicode version

Theorem frec2uzlt2d 10064
Description: The mapping  G (see frec2uz0d 10059) preserves order. (Contributed by Jim Kingdon, 16-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
frec2uz.1  |-  ( ph  ->  C  e.  ZZ )
frec2uz.2  |-  G  = frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  C )
frec2uzzd.a  |-  ( ph  ->  A  e.  om )
frec2uzltd.b  |-  ( ph  ->  B  e.  om )
Assertion
Ref Expression
frec2uzlt2d  |-  ( ph  ->  ( A  e.  B  <->  ( G `  A )  <  ( G `  B ) ) )
Distinct variable group:    x, C
Allowed substitution hints:    ph( x)    A( x)    B( x)    G( x)

Proof of Theorem frec2uzlt2d
StepHypRef Expression
1 frec2uz.1 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  ZZ )
2 frec2uz.2 . . 3  |-  G  = frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  C )
3 frec2uzzd.a . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  om )
4 frec2uzltd.b . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  om )
51, 2, 3, 4frec2uzltd 10063 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  e.  B  ->  ( G `  A
)  <  ( G `  B ) ) )
6 nntri3or 6341 . . . 4  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  e.  B  \/  A  =  B  \/  B  e.  A
) )
73, 4, 6syl2anc 406 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  e.  B  \/  A  =  B  \/  B  e.  A
) )
8 ax-1 5 . . . . 5  |-  ( A  e.  B  ->  (
( G `  A
)  <  ( G `  B )  ->  A  e.  B ) )
98a1i 9 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  e.  B  ->  ( ( G `  A )  <  ( G `  B )  ->  A  e.  B ) ) )
10 fveq2 5373 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  =  B  ->  ( G `  A )  =  ( G `  B ) )
1110adantl 273 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  =  B )  ->  ( G `  A )  =  ( G `  B ) )
1211breq2d 3905 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  =  B )  ->  (
( G `  A
)  <  ( G `  A )  <->  ( G `  A )  <  ( G `  B )
) )
1312biimpar 293 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  B )  /\  ( G `  A )  <  ( G `  B
) )  ->  ( G `  A )  <  ( G `  A
) )
141, 2, 3frec2uzzd 10060 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( G `  A
)  e.  ZZ )
1514adantr 272 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  A  =  B )  ->  ( G `  A )  e.  ZZ )
1615adantr 272 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  B )  /\  ( G `  A )  <  ( G `  B
) )  ->  ( G `  A )  e.  ZZ )
1716zred 9071 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  B )  /\  ( G `  A )  <  ( G `  B
) )  ->  ( G `  A )  e.  RR )
1817ltnrd 7792 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  B )  /\  ( G `  A )  <  ( G `  B
) )  ->  -.  ( G `  A )  <  ( G `  A ) )
1913, 18pm2.21dd 592 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  B )  /\  ( G `  A )  <  ( G `  B
) )  ->  A  e.  B )
2019ex 114 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  =  B )  ->  (
( G `  A
)  <  ( G `  B )  ->  A  e.  B ) )
2120ex 114 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  =  B  ->  ( ( G `
 A )  < 
( G `  B
)  ->  A  e.  B ) ) )
221, 2, 4frec2uzzd 10060 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( G `  B
)  e.  ZZ )
2322adantr 272 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  B  e.  A )  ->  ( G `  B )  e.  ZZ )
2423zred 9071 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  B  e.  A )  ->  ( G `  B )  e.  RR )
2514adantr 272 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  B  e.  A )  ->  ( G `  A )  e.  ZZ )
2625zred 9071 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  B  e.  A )  ->  ( G `  A )  e.  RR )
271, 2, 4, 3frec2uzltd 10063 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( B  e.  A  ->  ( G `  B
)  <  ( G `  A ) ) )
2827imp 123 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  B  e.  A )  ->  ( G `  B )  <  ( G `  A
) )
2924, 26, 28ltnsymd 7799 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  B  e.  A )  ->  -.  ( G `  A )  <  ( G `  B ) )
3029pm2.21d 591 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  B  e.  A )  ->  (
( G `  A
)  <  ( G `  B )  ->  A  e.  B ) )
3130ex 114 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( B  e.  A  ->  ( ( G `  A )  <  ( G `  B )  ->  A  e.  B ) ) )
329, 21, 313jaod 1263 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A  e.  B  \/  A  =  B  \/  B  e.  A )  ->  (
( G `  A
)  <  ( G `  B )  ->  A  e.  B ) ) )
337, 32mpd 13 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( G `  A )  <  ( G `  B )  ->  A  e.  B ) )
345, 33impbid 128 1  |-  ( ph  ->  ( A  e.  B  <->  ( G `  A )  <  ( G `  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ w3o 942    = wceq 1312    e. wcel 1461   class class class wbr 3893    |-> cmpt 3947   omcom 4462   ` cfv 5079  (class class class)co 5726  freccfrec 6239   1c1 7542    + caddc 7544    < clt 7718   ZZcz 8952
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1404  ax-7 1405  ax-gen 1406  ax-ie1 1450  ax-ie2 1451  ax-8 1463  ax-10 1464  ax-11 1465  ax-i12 1466  ax-bndl 1467  ax-4 1468  ax-13 1472  ax-14 1473  ax-17 1487  ax-i9 1491  ax-ial 1495  ax-i5r 1496  ax-ext 2095  ax-coll 4001  ax-sep 4004  ax-nul 4012  ax-pow 4056  ax-pr 4089  ax-un 4313  ax-setind 4410  ax-iinf 4460  ax-cnex 7630  ax-resscn 7631  ax-1cn 7632  ax-1re 7633  ax-icn 7634  ax-addcl 7635  ax-addrcl 7636  ax-mulcl 7637  ax-addcom 7639  ax-addass 7641  ax-distr 7643  ax-i2m1 7644  ax-0lt1 7645  ax-0id 7647  ax-rnegex 7648  ax-cnre 7650  ax-pre-ltirr 7651  ax-pre-ltwlin 7652  ax-pre-lttrn 7653  ax-pre-ltadd 7655
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 944  df-3an 945  df-tru 1315  df-fal 1318  df-nf 1418  df-sb 1717  df-eu 1976  df-mo 1977  df-clab 2100  df-cleq 2106  df-clel 2109  df-nfc 2242  df-ne 2281  df-nel 2376  df-ral 2393  df-rex 2394  df-reu 2395  df-rab 2397  df-v 2657  df-sbc 2877  df-csb 2970  df-dif 3037  df-un 3039  df-in 3041  df-ss 3048  df-nul 3328  df-pw 3476  df-sn 3497  df-pr 3498  df-op 3500  df-uni 3701  df-int 3736  df-iun 3779  df-br 3894  df-opab 3948  df-mpt 3949  df-tr 3985  df-id 4173  df-iord 4246  df-on 4248  df-ilim 4249  df-suc 4251  df-iom 4463  df-xp 4503  df-rel 4504  df-cnv 4505  df-co 4506  df-dm 4507  df-rn 4508  df-res 4509  df-ima 4510  df-iota 5044  df-fun 5081  df-fn 5082  df-f 5083  df-f1 5084  df-fo 5085  df-f1o 5086  df-fv 5087  df-riota 5682  df-ov 5729  df-oprab 5730  df-mpo 5731  df-recs 6154  df-frec 6240  df-pnf 7720  df-mnf 7721  df-xr 7722  df-ltxr 7723  df-le 7724  df-sub 7852  df-neg 7853  df-inn 8625  df-n0 8876  df-z 8953  df-uz 9223
This theorem is referenced by:  frec2uzisod  10067  frec2uzled  10089
  Copyright terms: Public domain W3C validator