Theorem lenltd 8144

Description: 'Less than or equal to' in terms of 'less than'. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	|- ( ph -> A e. RR )
ltd.2	|- ( ph -> B e. RR )

Assertion

Ref	Expression
lenltd	|- ( ph -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )

Proof of Theorem lenltd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltd.1	. 2 |- ( ph -> A e. RR )
2		ltd.2	. 2 |- ( ph -> B e. RR )
3		lenlt 8102	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 |- ( ph -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 105   e. wcel 2167   class class class wbr 4033   RRcr 7878   < clt 8061   <_ cle 8062

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-br 4034  df-opab 4095  df-xp 4669  df-cnv 4671  df-xr 8065  df-le 8067

This theorem is referenced by:  ltnsymd  8146  nltled  8147  lensymd  8148  leadd1  8457  lemul1  8620  leltap  8652  ap0gt0  8667  prodgt0  8879  prodge0  8881  lediv1  8896  lemuldiv  8908  lerec  8911  lt2msq  8913  le2msq  8928  squeeze0  8931  suprleubex  8981  0mnnnnn0  9281  elnn0z  9339  uzm1  9632  infregelbex  9672  fztri3or  10114  fzdisj  10127  uzdisj  10168  nn0disj  10213  fzouzdisj  10256  elfzonelfzo  10306  qdcle  10336  flqeqceilz  10410  modifeq2int  10478  modsumfzodifsn  10488  nn0leexp2  10802  expcanlem  10807  fimaxq  10919  resqrexlemoverl  11186  leabs  11239  absle  11254  maxleast  11378  minmax  11395  climge0  11490  pcfac  12519  gsumfzz  13127  cxple  15153  gausslemma2dlem1a  15299