Theorem lenltd 7601

Description: 'Less than or equal to' in terms of 'less than'. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	|- ( ph -> A e. RR )
ltd.2	|- ( ph -> B e. RR )

Assertion

Ref	Expression
lenltd	|- ( ph -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )

Proof of Theorem lenltd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltd.1	. 2 |- ( ph -> A e. RR )
2		ltd.2	. 2 |- ( ph -> B e. RR )
3		lenlt 7561	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )
4	1, 2, 3	syl2anc 403	1 |- ( ph -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 103   e. wcel 1438   class class class wbr 3845   RRcr 7349   < clt 7522   <_ cle 7523

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-pr 4036

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-v 2621  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-br 3846  df-opab 3900  df-xp 4444  df-cnv 4446  df-xr 7526  df-le 7528

This theorem is referenced by:  ltnsymd  7603  nltled  7604  lensymd  7605  leadd1  7908  lemul1  8070  leltap  8101  ap0gt0  8115  prodgt0  8313  prodge0  8315  lediv1  8330  lemuldiv  8342  lerec  8345  lt2msq  8347  le2msq  8362  squeeze0  8365  suprleubex  8415  0mnnnnn0  8705  elnn0z  8763  uzm1  9049  fztri3or  9453  fzdisj  9466  uzdisj  9507  nn0disj  9549  fzouzdisj  9591  elfzonelfzo  9641  flqeqceilz  9725  modifeq2int  9793  modsumfzodifsn  9803  expcanlem  10124  fimaxq  10235  resqrexlemoverl  10454  leabs  10507  absle  10522  maxleast  10646  minmax  10661  climge0  10713  efler  10989