Theorem lenltd 8356

Description: 'Less than or equal to' in terms of 'less than'. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	|- ( ph -> A e. RR )
ltd.2	|- ( ph -> B e. RR )

Assertion

Ref	Expression
lenltd	|- ( ph -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )

Proof of Theorem lenltd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltd.1	. 2 |- ( ph -> A e. RR )
2		ltd.2	. 2 |- ( ph -> B e. RR )
3		lenlt 8314	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 |- ( ph -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 105   e. wcel 2202   class class class wbr 4093   RRcr 8091   < clt 8273   <_ cle 8274

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-v 2805  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-br 4094  df-opab 4156  df-xp 4737  df-cnv 4739  df-xr 8277  df-le 8279

This theorem is referenced by:  ltnsymd  8358  nltled  8359  lensymd  8360  leadd1  8669  lemul1  8832  leltap  8864  ap0gt0  8879  prodgt0  9091  prodge0  9093  lediv1  9108  lemuldiv  9120  lerec  9123  lt2msq  9125  le2msq  9140  squeeze0  9143  suprleubex  9193  0mnnnnn0  9493  elnn0z  9553  uzm1  9848  infregelbex  9893  fztri3or  10336  fzdisj  10349  uzdisj  10390  nn0disj  10435  fzouzdisj  10479  elfzonelfzo  10538  qdcle  10569  flqeqceilz  10643  modifeq2int  10711  modsumfzodifsn  10721  nn0leexp2  11035  expcanlem  11040  fimaxq  11154  swrdccatin2  11376  resqrexlemoverl  11661  leabs  11714  absle  11729  maxleast  11853  minmax  11870  climge0  11965  pcfac  13003  gsumfzz  13658  cxple  15728  gausslemma2dlem1a  15877