Theorem lenltd 8264

Description: 'Less than or equal to' in terms of 'less than'. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	|- ( ph -> A e. RR )
ltd.2	|- ( ph -> B e. RR )

Assertion

Ref	Expression
lenltd	|- ( ph -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )

Proof of Theorem lenltd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltd.1	. 2 |- ( ph -> A e. RR )
2		ltd.2	. 2 |- ( ph -> B e. RR )
3		lenlt 8222	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 |- ( ph -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 105   e. wcel 2200   class class class wbr 4083   RRcr 7998   < clt 8181   <_ cle 8182

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-br 4084  df-opab 4146  df-xp 4725  df-cnv 4727  df-xr 8185  df-le 8187

This theorem is referenced by:  ltnsymd  8266  nltled  8267  lensymd  8268  leadd1  8577  lemul1  8740  leltap  8772  ap0gt0  8787  prodgt0  8999  prodge0  9001  lediv1  9016  lemuldiv  9028  lerec  9031  lt2msq  9033  le2msq  9048  squeeze0  9051  suprleubex  9101  0mnnnnn0  9401  elnn0z  9459  uzm1  9753  infregelbex  9793  fztri3or  10235  fzdisj  10248  uzdisj  10289  nn0disj  10334  fzouzdisj  10378  elfzonelfzo  10436  qdcle  10466  flqeqceilz  10540  modifeq2int  10608  modsumfzodifsn  10618  nn0leexp2  10932  expcanlem  10937  fimaxq  11049  swrdccatin2  11261  resqrexlemoverl  11532  leabs  11585  absle  11600  maxleast  11724  minmax  11741  climge0  11836  pcfac  12873  gsumfzz  13528  cxple  15591  gausslemma2dlem1a  15737