Theorem lenltd 8147

Description: 'Less than or equal to' in terms of 'less than'. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	|- ( ph -> A e. RR )
ltd.2	|- ( ph -> B e. RR )

Assertion

Ref	Expression
lenltd	|- ( ph -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )

Proof of Theorem lenltd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltd.1	. 2 |- ( ph -> A e. RR )
2		ltd.2	. 2 |- ( ph -> B e. RR )
3		lenlt 8105	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 |- ( ph -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 105   e. wcel 2167   class class class wbr 4034   RRcr 7881   < clt 8064   <_ cle 8065

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-br 4035  df-opab 4096  df-xp 4670  df-cnv 4672  df-xr 8068  df-le 8070

This theorem is referenced by:  ltnsymd  8149  nltled  8150  lensymd  8151  leadd1  8460  lemul1  8623  leltap  8655  ap0gt0  8670  prodgt0  8882  prodge0  8884  lediv1  8899  lemuldiv  8911  lerec  8914  lt2msq  8916  le2msq  8931  squeeze0  8934  suprleubex  8984  0mnnnnn0  9284  elnn0z  9342  uzm1  9635  infregelbex  9675  fztri3or  10117  fzdisj  10130  uzdisj  10171  nn0disj  10216  fzouzdisj  10259  elfzonelfzo  10309  qdcle  10339  flqeqceilz  10413  modifeq2int  10481  modsumfzodifsn  10491  nn0leexp2  10805  expcanlem  10810  fimaxq  10922  resqrexlemoverl  11189  leabs  11242  absle  11257  maxleast  11381  minmax  11398  climge0  11493  pcfac  12530  gsumfzz  13153  cxple  15179  gausslemma2dlem1a  15325