Theorem lenltd 8192

Description: 'Less than or equal to' in terms of 'less than'. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	|- ( ph -> A e. RR )
ltd.2	|- ( ph -> B e. RR )

Assertion

Ref	Expression
lenltd	|- ( ph -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )

Proof of Theorem lenltd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltd.1	. 2 |- ( ph -> A e. RR )
2		ltd.2	. 2 |- ( ph -> B e. RR )
3		lenlt 8150	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 |- ( ph -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 105   e. wcel 2176   class class class wbr 4045   RRcr 7926   < clt 8109   <_ cle 8110

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-pow 4219  ax-pr 4254

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-v 2774  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-br 4046  df-opab 4107  df-xp 4682  df-cnv 4684  df-xr 8113  df-le 8115

This theorem is referenced by:  ltnsymd  8194  nltled  8195  lensymd  8196  leadd1  8505  lemul1  8668  leltap  8700  ap0gt0  8715  prodgt0  8927  prodge0  8929  lediv1  8944  lemuldiv  8956  lerec  8959  lt2msq  8961  le2msq  8976  squeeze0  8979  suprleubex  9029  0mnnnnn0  9329  elnn0z  9387  uzm1  9681  infregelbex  9721  fztri3or  10163  fzdisj  10176  uzdisj  10217  nn0disj  10262  fzouzdisj  10306  elfzonelfzo  10361  qdcle  10391  flqeqceilz  10465  modifeq2int  10533  modsumfzodifsn  10543  nn0leexp2  10857  expcanlem  10862  fimaxq  10974  resqrexlemoverl  11365  leabs  11418  absle  11433  maxleast  11557  minmax  11574  climge0  11669  pcfac  12706  gsumfzz  13360  cxple  15422  gausslemma2dlem1a  15568