Theorem lenltd 8012

Description: 'Less than or equal to' in terms of 'less than'. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	|- ( ph -> A e. RR )
ltd.2	|- ( ph -> B e. RR )

Assertion

Ref	Expression
lenltd	|- ( ph -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )

Proof of Theorem lenltd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltd.1	. 2 |- ( ph -> A e. RR )
2		ltd.2	. 2 |- ( ph -> B e. RR )
3		lenlt 7970	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )
4	1, 2, 3	syl2anc 409	1 |- ( ph -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 104   e. wcel 2136   class class class wbr 3981   RRcr 7748   < clt 7929   <_ cle 7930

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4099  ax-pow 4152  ax-pr 4186

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2296  df-ral 2448  df-rex 2449  df-v 2727  df-dif 3117  df-un 3119  df-in 3121  df-ss 3128  df-pw 3560  df-sn 3581  df-pr 3582  df-op 3584  df-br 3982  df-opab 4043  df-xp 4609  df-cnv 4611  df-xr 7933  df-le 7935

This theorem is referenced by:  ltnsymd  8014  nltled  8015  lensymd  8016  leadd1  8324  lemul1  8487  leltap  8519  ap0gt0  8534  prodgt0  8743  prodge0  8745  lediv1  8760  lemuldiv  8772  lerec  8775  lt2msq  8777  le2msq  8792  squeeze0  8795  suprleubex  8845  0mnnnnn0  9142  elnn0z  9200  uzm1  9492  infregelbex  9532  fztri3or  9970  fzdisj  9983  uzdisj  10024  nn0disj  10069  fzouzdisj  10111  elfzonelfzo  10161  flqeqceilz  10249  modifeq2int  10317  modsumfzodifsn  10327  nn0leexp2  10620  expcanlem  10624  fimaxq  10736  resqrexlemoverl  10959  leabs  11012  absle  11027  maxleast  11151  minmax  11167  climge0  11262  pcfac  12276  cxple  13437