Theorem lenltd 8407

Description: 'Less than or equal to' in terms of 'less than'. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	|- ( ph -> A e. RR )
ltd.2	|- ( ph -> B e. RR )

Assertion

Ref	Expression
lenltd	|- ( ph -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )

Proof of Theorem lenltd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltd.1	. 2 |- ( ph -> A e. RR )
2		ltd.2	. 2 |- ( ph -> B e. RR )
3		lenlt 8365	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 |- ( ph -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 105   e. wcel 2205   class class class wbr 4114   RRcr 8142   < clt 8324   <_ cle 8325

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-v 2817  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-br 4115  df-opab 4177  df-xp 4760  df-cnv 4762  df-xr 8328  df-le 8330

This theorem is referenced by:  ltnsymd  8409  nltled  8410  lensymd  8411  leadd1  8721  lemul1  8884  leltap  8916  ap0gt0  8931  prodgt0  9143  prodge0  9145  lediv1  9160  lemuldiv  9172  lerec  9175  lt2msq  9177  le2msq  9192  squeeze0  9195  suprleubex  9245  0mnnnnn0  9545  elnn0z  9607  uzm1  9903  infregelbex  9948  fztri3or  10393  fzdisj  10406  uzdisj  10449  nn0disj  10494  fzouzdisj  10538  elfzonelfzo  10597  qdcle  10630  flqeqceilz  10704  modifeq2int  10772  modsumfzodifsn  10782  nn0leexp2  11097  expcanlem  11102  fimaxq  11219  swrdccatin2  11446  resqrexlemoverl  11731  leabs  11784  absle  11799  maxleast  11923  minmax  11940  climge0  12035  pcfac  13073  gsumfzz  13750  cxple  15908  gausslemma2dlem1a  16057