Theorem lenltd 7993

Description: 'Less than or equal to' in terms of 'less than'. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	|- ( ph -> A e. RR )
ltd.2	|- ( ph -> B e. RR )

Assertion

Ref	Expression
lenltd	|- ( ph -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )

Proof of Theorem lenltd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltd.1	. 2 |- ( ph -> A e. RR )
2		ltd.2	. 2 |- ( ph -> B e. RR )
3		lenlt 7953	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )
4	1, 2, 3	syl2anc 409	1 |- ( ph -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 104   e. wcel 2128   class class class wbr 3965   RRcr 7731   < clt 7912   <_ cle 7913

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ral 2440  df-rex 2441  df-v 2714  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-br 3966  df-opab 4026  df-xp 4592  df-cnv 4594  df-xr 7916  df-le 7918

This theorem is referenced by:  ltnsymd  7995  nltled  7996  lensymd  7997  leadd1  8305  lemul1  8468  leltap  8500  ap0gt0  8515  prodgt0  8723  prodge0  8725  lediv1  8740  lemuldiv  8752  lerec  8755  lt2msq  8757  le2msq  8772  squeeze0  8775  suprleubex  8825  0mnnnnn0  9122  elnn0z  9180  uzm1  9469  infregelbex  9509  fztri3or  9941  fzdisj  9954  uzdisj  9995  nn0disj  10037  fzouzdisj  10079  elfzonelfzo  10129  flqeqceilz  10217  modifeq2int  10285  modsumfzodifsn  10295  expcanlem  10589  fimaxq  10701  resqrexlemoverl  10921  leabs  10974  absle  10989  maxleast  11113  minmax  11129  climge0  11222  cxple  13237