Theorem lenltd 8451

Description: 'Less than or equal to' in terms of 'less than'. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	|- ( ph -> A e. RR )
ltd.2	|- ( ph -> B e. RR )

Assertion

Ref	Expression
lenltd	|- ( ph -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )

Proof of Theorem lenltd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltd.1	. 2 |- ( ph -> A e. RR )
2		ltd.2	. 2 |- ( ph -> B e. RR )
3		lenlt 8407	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )
4	1, 2, 3	syl2anc 415	1 |- ( ph -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )

This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 105   e. wcel 2209   class class class wbr 4131   RRcr 8184   < clt 8366   <_ cle 8367

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-br 4132  df-opab 4194  df-xp 4782  df-cnv 4784  df-xr 8370  df-le 8372

This theorem is used by:  ltnsymd  8453  nltled  8454  lensymd  8455  leadd1  8765  lemul1  8929  leltap  8961  ap0gt0  8976  prodgt0  9190  prodge0  9192  lediv1  9207  lemuldiv  9219  lerec  9222  lt2msq  9224  le2msq  9239  squeeze0  9242  suprleubex  9292  0mnnnnn0  9606  elnn0z  9668  uzm1  9969  infregelbex  10014  fztri3or  10460  fzdisj  10474  uzdisj  10517  nn0disj  10562  fzouzdisj  10606  elfzonelfzo  10665  qdcle  10698  flqeqceilz  10776  modifeq2int  10844  modsumfzodifsn  10854  nn0leexp2  11170  expcanlem  11175  fimaxq  11292  hashf1  11309  swrdccatin2  11523  resqrexlemoverl  11809  leabs  11862  absle  11878  maxleast  12002  minmax  12020  climge0  12116  pcfac  13158  logdivlt  16124  logdivle  16125  cxple  16152  gausslemma2dlem1a  16382