Theorem resqrexlemgt0 11446

Description: Lemma for resqrex 11452. A limit is nonnegative. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
resqrexlemex.seq	|- F = seq 1 ( ( y e. RR+ , z e. RR+ |-> ( ( y + ( A / y ) ) / 2 ) ) , ( NN X. { ( 1 + A ) } ) )
resqrexlemex.a	|- ( ph -> A e. RR )
resqrexlemex.agt0	|- ( ph -> 0 <_ A )
resqrexlemgt0.rr	|- ( ph -> L e. RR )
resqrexlemgt0.lim	|- ( ph -> A. e e. RR+ E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + e ) /\ L < ( ( F ` i ) + e ) ) )

Assertion

Ref	Expression
resqrexlemgt0	|- ( ph -> 0 <_ L )

Distinct variable groups:   y, A, z   e, F   e, L, i, j   ph, i, j   z, j, ph   ph, y

Allowed substitution hints:   ph( e)   A( e, i, j)   F( y, z, i, j)   L( y, z)

Proof of Theorem resqrexlemgt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 5975	. . . . . . . . 9 |- ( e = -u L -> ( L + e ) = ( L + -u L ) )
2	1	breq2d 4071	. . . . . . . 8 |- ( e = -u L -> ( ( F ` i ) < ( L + e ) <-> ( F ` i ) < ( L + -u L ) ) )
3		oveq2 5975	. . . . . . . . 9 |- ( e = -u L -> ( ( F ` i ) + e ) = ( ( F ` i ) + -u L ) )
4	3	breq2d 4071	. . . . . . . 8 |- ( e = -u L -> ( L < ( ( F ` i ) + e ) <-> L < ( ( F ` i ) + -u L ) ) )
5	2, 4	anbi12d 473	. . . . . . 7 |- ( e = -u L -> ( ( ( F ` i ) < ( L + e ) /\ L < ( ( F ` i ) + e ) ) <-> ( ( F ` i ) < ( L + -u L ) /\ L < ( ( F ` i ) + -u L ) ) ) )
6	5	rexralbidv 2534	. . . . . 6 |- ( e = -u L -> ( E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + e ) /\ L < ( ( F ` i ) + e ) ) <-> E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + -u L ) /\ L < ( ( F ` i ) + -u L ) ) ) )
7		resqrexlemgt0.lim	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. e e. RR+ E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + e ) /\ L < ( ( F ` i ) + e ) ) )
8	7	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ L < 0 ) -> A. e e. RR+ E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + e ) /\ L < ( ( F ` i ) + e ) ) )
9		resqrexlemgt0.rr	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> L e. RR )
10	9	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ L < 0 ) -> L e. RR )
11	10	renegcld 8487	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ L < 0 ) -> -u L e. RR )
12	9	lt0neg1d 8623	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( L < 0 <-> 0 < -u L ) )
13	12	biimpa 296	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ L < 0 ) -> 0 < -u L )
14	11, 13	elrpd 9850	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ L < 0 ) -> -u L e. RR+ )
15	6, 8, 14	rspcdva 2889	. . . . 5 |- ( ( ph /\ L < 0 ) -> E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + -u L ) /\ L < ( ( F ` i ) + -u L ) ) )
16		simpl 109	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F ` i ) < ( L + -u L ) /\ L < ( ( F ` i ) + -u L ) ) -> ( F ` i ) < ( L + -u L ) )
17	10	recnd 8136	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ L < 0 ) -> L e. CC )
18	17	negidd 8408	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ L < 0 ) -> ( L + -u L ) = 0 )
19	18	breq2d 4071	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ L < 0 ) -> ( ( F ` i ) < ( L + -u L ) <-> ( F ` i ) < 0 ) )
20	16, 19	imbitrid 154	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ L < 0 ) -> ( ( ( F ` i ) < ( L + -u L ) /\ L < ( ( F ` i ) + -u L ) ) -> ( F ` i ) < 0 ) )
21	20	ralimdv 2576	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ L < 0 ) -> ( A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + -u L ) /\ L < ( ( F ` i ) + -u L ) ) -> A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` i ) < 0 ) )
22	21	reximdv 2609	. . . . 5 |- ( ( ph /\ L < 0 ) -> ( E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + -u L ) /\ L < ( ( F ` i ) + -u L ) ) -> E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` i ) < 0 ) )
23	15, 22	mpd 13	. . . 4 |- ( ( ph /\ L < 0 ) -> E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` i ) < 0 )
24		0red 8108	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( j e. NN /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> 0 e. RR )
25		eluznn 9756	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( j e. NN /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) -> i e. NN )
26		resqrexlemex.seq	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F = seq 1 ( ( y e. RR+ , z e. RR+ |-> ( ( y + ( A / y ) ) / 2 ) ) , ( NN X. { ( 1 + A ) } ) )
27		resqrexlemex.a	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A e. RR )
28		resqrexlemex.agt0	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> 0 <_ A )
29	26, 27, 28	resqrexlemf 11433	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> F : NN --> RR+ )
30	29	ffvelcdmda 5738	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. NN ) -> ( F ` i ) e. RR+ )
31	25, 30	sylan2 286	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( j e. NN /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( F ` i ) e. RR+ )
32	31	rpred 9853	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( j e. NN /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( F ` i ) e. RR )
33	31	rpgt0d 9856	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( j e. NN /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> 0 < ( F ` i ) )
34	24, 32, 33	ltnsymd 8227	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( j e. NN /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> -. ( F ` i ) < 0 )
35	34	pm2.21d 620	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( j e. NN /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( ( F ` i ) < 0 -> F. ) )
36	35	anassrs 400	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( F ` i ) < 0 -> F. ) )
37	36	ralimdva 2575	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` i ) < 0 -> A. i e. ( ZZ>= ` j ) F. ) )
38		nnz 9426	. . . . . . . . 9 |- ( j e. NN -> j e. ZZ )
39		uzid 9697	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. ZZ -> j e. ( ZZ>= ` j ) )
40		elex2 2793	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. ( ZZ>= ` j ) -> E. z z e. ( ZZ>= ` j ) )
41		r19.3rmv 3559	. . . . . . . . . 10 |- ( E. z z e. ( ZZ>= ` j ) -> ( F. <-> A. i e. ( ZZ>= ` j ) F. ) )
42	39, 40, 41	3syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( j e. ZZ -> ( F. <-> A. i e. ( ZZ>= ` j ) F. ) )
43	38, 42	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( j e. NN -> ( F. <-> A. i e. ( ZZ>= ` j ) F. ) )
44	43	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( F. <-> A. i e. ( ZZ>= ` j ) F. ) )
45	37, 44	sylibrd 169	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` i ) < 0 -> F. ) )
46	45	rexlimdva 2625	. . . . 5 |- ( ph -> ( E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` i ) < 0 -> F. ) )
47	46	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ L < 0 ) -> ( E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` i ) < 0 -> F. ) )
48	23, 47	mpd 13	. . 3 |- ( ( ph /\ L < 0 ) -> F. )
49	48	inegd 1392	. 2 |- ( ph -> -. L < 0 )
50		0re 8107	. . 3 |- 0 e. RR
51		lenlt 8183	. . 3 |- ( ( 0 e. RR /\ L e. RR ) -> ( 0 <_ L <-> -. L < 0 ) )
52	50, 9, 51	sylancr 414	. 2 |- ( ph -> ( 0 <_ L <-> -. L < 0 ) )
53	49, 52	mpbird 167	1 |- ( ph -> 0 <_ L )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1373   F. wfal 1378   E.wex 1516   e. wcel 2178   A.wral 2486   E.wrex 2487   {csn 3643   class class class wbr 4059   X. cxp 4691   ` cfv 5290  (class class class)co 5967   e. cmpo 5969   RRcr 7959   0cc0 7960   1c1 7961   + caddc 7963   < clt 8142   <_ cle 8143   -ucneg 8279   / cdiv 8780   NNcn 9071   2c2 9122   ZZcz 9407   ZZ>=cuz 9683   RR+crp 9810   seqcseq 10629

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-iinf 4654  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-mulrcl 8059  ax-addcom 8060  ax-mulcom 8061  ax-addass 8062  ax-mulass 8063  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-1rid 8067  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-precex 8070  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-apti 8075  ax-pre-ltadd 8076  ax-pre-mulgt0 8077  ax-pre-mulext 8078

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rmo 2494  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-tr 4159  df-id 4358  df-po 4361  df-iso 4362  df-iord 4431  df-on 4433  df-ilim 4434  df-suc 4436  df-iom 4657  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-recs 6414  df-frec 6500  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-reap 8683  df-ap 8690  df-div 8781  df-inn 9072  df-2 9130  df-n0 9331  df-z 9408  df-uz 9684  df-rp 9811  df-seqfrec 10630

This theorem is referenced by:  resqrexlemglsq  11448  resqrexlemex  11451