Theorem resqrexlemgt0 11202

Description: Lemma for resqrex 11208. A limit is nonnegative. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
resqrexlemex.seq	|- F = seq 1 ( ( y e. RR+ , z e. RR+ |-> ( ( y + ( A / y ) ) / 2 ) ) , ( NN X. { ( 1 + A ) } ) )
resqrexlemex.a	|- ( ph -> A e. RR )
resqrexlemex.agt0	|- ( ph -> 0 <_ A )
resqrexlemgt0.rr	|- ( ph -> L e. RR )
resqrexlemgt0.lim	|- ( ph -> A. e e. RR+ E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + e ) /\ L < ( ( F ` i ) + e ) ) )

Assertion

Ref	Expression
resqrexlemgt0	|- ( ph -> 0 <_ L )

Distinct variable groups:   y, A, z   e, F   e, L, i, j   ph, i, j   z, j, ph   ph, y

Allowed substitution hints:   ph( e)   A( e, i, j)   F( y, z, i, j)   L( y, z)

Proof of Theorem resqrexlemgt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 5933	. . . . . . . . 9 |- ( e = -u L -> ( L + e ) = ( L + -u L ) )
2	1	breq2d 4046	. . . . . . . 8 |- ( e = -u L -> ( ( F ` i ) < ( L + e ) <-> ( F ` i ) < ( L + -u L ) ) )
3		oveq2 5933	. . . . . . . . 9 |- ( e = -u L -> ( ( F ` i ) + e ) = ( ( F ` i ) + -u L ) )
4	3	breq2d 4046	. . . . . . . 8 |- ( e = -u L -> ( L < ( ( F ` i ) + e ) <-> L < ( ( F ` i ) + -u L ) ) )
5	2, 4	anbi12d 473	. . . . . . 7 |- ( e = -u L -> ( ( ( F ` i ) < ( L + e ) /\ L < ( ( F ` i ) + e ) ) <-> ( ( F ` i ) < ( L + -u L ) /\ L < ( ( F ` i ) + -u L ) ) ) )
6	5	rexralbidv 2523	. . . . . 6 |- ( e = -u L -> ( E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + e ) /\ L < ( ( F ` i ) + e ) ) <-> E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + -u L ) /\ L < ( ( F ` i ) + -u L ) ) ) )
7		resqrexlemgt0.lim	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. e e. RR+ E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + e ) /\ L < ( ( F ` i ) + e ) ) )
8	7	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ L < 0 ) -> A. e e. RR+ E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + e ) /\ L < ( ( F ` i ) + e ) ) )
9		resqrexlemgt0.rr	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> L e. RR )
10	9	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ L < 0 ) -> L e. RR )
11	10	renegcld 8423	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ L < 0 ) -> -u L e. RR )
12	9	lt0neg1d 8559	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( L < 0 <-> 0 < -u L ) )
13	12	biimpa 296	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ L < 0 ) -> 0 < -u L )
14	11, 13	elrpd 9785	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ L < 0 ) -> -u L e. RR+ )
15	6, 8, 14	rspcdva 2873	. . . . 5 |- ( ( ph /\ L < 0 ) -> E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + -u L ) /\ L < ( ( F ` i ) + -u L ) ) )
16		simpl 109	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F ` i ) < ( L + -u L ) /\ L < ( ( F ` i ) + -u L ) ) -> ( F ` i ) < ( L + -u L ) )
17	10	recnd 8072	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ L < 0 ) -> L e. CC )
18	17	negidd 8344	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ L < 0 ) -> ( L + -u L ) = 0 )
19	18	breq2d 4046	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ L < 0 ) -> ( ( F ` i ) < ( L + -u L ) <-> ( F ` i ) < 0 ) )
20	16, 19	imbitrid 154	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ L < 0 ) -> ( ( ( F ` i ) < ( L + -u L ) /\ L < ( ( F ` i ) + -u L ) ) -> ( F ` i ) < 0 ) )
21	20	ralimdv 2565	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ L < 0 ) -> ( A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + -u L ) /\ L < ( ( F ` i ) + -u L ) ) -> A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` i ) < 0 ) )
22	21	reximdv 2598	. . . . 5 |- ( ( ph /\ L < 0 ) -> ( E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + -u L ) /\ L < ( ( F ` i ) + -u L ) ) -> E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` i ) < 0 ) )
23	15, 22	mpd 13	. . . 4 |- ( ( ph /\ L < 0 ) -> E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` i ) < 0 )
24		0red 8044	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( j e. NN /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> 0 e. RR )
25		eluznn 9691	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( j e. NN /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) -> i e. NN )
26		resqrexlemex.seq	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F = seq 1 ( ( y e. RR+ , z e. RR+ |-> ( ( y + ( A / y ) ) / 2 ) ) , ( NN X. { ( 1 + A ) } ) )
27		resqrexlemex.a	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A e. RR )
28		resqrexlemex.agt0	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> 0 <_ A )
29	26, 27, 28	resqrexlemf 11189	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> F : NN --> RR+ )
30	29	ffvelcdmda 5700	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. NN ) -> ( F ` i ) e. RR+ )
31	25, 30	sylan2 286	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( j e. NN /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( F ` i ) e. RR+ )
32	31	rpred 9788	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( j e. NN /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( F ` i ) e. RR )
33	31	rpgt0d 9791	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( j e. NN /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> 0 < ( F ` i ) )
34	24, 32, 33	ltnsymd 8163	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( j e. NN /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> -. ( F ` i ) < 0 )
35	34	pm2.21d 620	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( j e. NN /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( ( F ` i ) < 0 -> F. ) )
36	35	anassrs 400	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( F ` i ) < 0 -> F. ) )
37	36	ralimdva 2564	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` i ) < 0 -> A. i e. ( ZZ>= ` j ) F. ) )
38		nnz 9362	. . . . . . . . 9 |- ( j e. NN -> j e. ZZ )
39		uzid 9632	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. ZZ -> j e. ( ZZ>= ` j ) )
40		elex2 2779	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. ( ZZ>= ` j ) -> E. z z e. ( ZZ>= ` j ) )
41		r19.3rmv 3542	. . . . . . . . . 10 |- ( E. z z e. ( ZZ>= ` j ) -> ( F. <-> A. i e. ( ZZ>= ` j ) F. ) )
42	39, 40, 41	3syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( j e. ZZ -> ( F. <-> A. i e. ( ZZ>= ` j ) F. ) )
43	38, 42	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( j e. NN -> ( F. <-> A. i e. ( ZZ>= ` j ) F. ) )
44	43	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( F. <-> A. i e. ( ZZ>= ` j ) F. ) )
45	37, 44	sylibrd 169	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` i ) < 0 -> F. ) )
46	45	rexlimdva 2614	. . . . 5 |- ( ph -> ( E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` i ) < 0 -> F. ) )
47	46	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ L < 0 ) -> ( E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` i ) < 0 -> F. ) )
48	23, 47	mpd 13	. . 3 |- ( ( ph /\ L < 0 ) -> F. )
49	48	inegd 1383	. 2 |- ( ph -> -. L < 0 )
50		0re 8043	. . 3 |- 0 e. RR
51		lenlt 8119	. . 3 |- ( ( 0 e. RR /\ L e. RR ) -> ( 0 <_ L <-> -. L < 0 ) )
52	50, 9, 51	sylancr 414	. 2 |- ( ph -> ( 0 <_ L <-> -. L < 0 ) )
53	49, 52	mpbird 167	1 |- ( ph -> 0 <_ L )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   F. wfal 1369   E.wex 1506   e. wcel 2167   A.wral 2475   E.wrex 2476   {csn 3623   class class class wbr 4034   X. cxp 4662   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   e. cmpo 5927   RRcr 7895   0cc0 7896   1c1 7897   + caddc 7899   < clt 8078   <_ cle 8079   -ucneg 8215   / cdiv 8716   NNcn 9007   2c2 9058   ZZcz 9343   ZZ>=cuz 9618   RR+crp 9745   seqcseq 10556

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-mulrcl 7995  ax-addcom 7996  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-1rid 8003  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-precex 8006  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012  ax-pre-mulgt0 8013  ax-pre-mulext 8014

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-frec 6458  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-reap 8619  df-ap 8626  df-div 8717  df-inn 9008  df-2 9066  df-n0 9267  df-z 9344  df-uz 9619  df-rp 9746  df-seqfrec 10557

This theorem is referenced by:  resqrexlemglsq  11204  resqrexlemex  11207