Theorem resqrexlemgt0 10984

Description: Lemma for resqrex 10990. A limit is nonnegative. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
resqrexlemex.seq	|- F = seq 1 ( ( y e. RR+ , z e. RR+ |-> ( ( y + ( A / y ) ) / 2 ) ) , ( NN X. { ( 1 + A ) } ) )
resqrexlemex.a	|- ( ph -> A e. RR )
resqrexlemex.agt0	|- ( ph -> 0 <_ A )
resqrexlemgt0.rr	|- ( ph -> L e. RR )
resqrexlemgt0.lim	|- ( ph -> A. e e. RR+ E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + e ) /\ L < ( ( F ` i ) + e ) ) )

Assertion

Ref	Expression
resqrexlemgt0	|- ( ph -> 0 <_ L )

Distinct variable groups:   y, A, z   e, F   e, L, i, j   ph, i, j   z, j, ph   ph, y

Allowed substitution hints:   ph( e)   A( e, i, j)   F( y, z, i, j)   L( y, z)

Proof of Theorem resqrexlemgt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 5861	. . . . . . . . 9 |- ( e = -u L -> ( L + e ) = ( L + -u L ) )
2	1	breq2d 4001	. . . . . . . 8 |- ( e = -u L -> ( ( F ` i ) < ( L + e ) <-> ( F ` i ) < ( L + -u L ) ) )
3		oveq2 5861	. . . . . . . . 9 |- ( e = -u L -> ( ( F ` i ) + e ) = ( ( F ` i ) + -u L ) )
4	3	breq2d 4001	. . . . . . . 8 |- ( e = -u L -> ( L < ( ( F ` i ) + e ) <-> L < ( ( F ` i ) + -u L ) ) )
5	2, 4	anbi12d 470	. . . . . . 7 |- ( e = -u L -> ( ( ( F ` i ) < ( L + e ) /\ L < ( ( F ` i ) + e ) ) <-> ( ( F ` i ) < ( L + -u L ) /\ L < ( ( F ` i ) + -u L ) ) ) )
6	5	rexralbidv 2496	. . . . . 6 |- ( e = -u L -> ( E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + e ) /\ L < ( ( F ` i ) + e ) ) <-> E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + -u L ) /\ L < ( ( F ` i ) + -u L ) ) ) )
7		resqrexlemgt0.lim	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. e e. RR+ E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + e ) /\ L < ( ( F ` i ) + e ) ) )
8	7	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ L < 0 ) -> A. e e. RR+ E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + e ) /\ L < ( ( F ` i ) + e ) ) )
9		resqrexlemgt0.rr	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> L e. RR )
10	9	adantr 274	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ L < 0 ) -> L e. RR )
11	10	renegcld 8299	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ L < 0 ) -> -u L e. RR )
12	9	lt0neg1d 8434	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( L < 0 <-> 0 < -u L ) )
13	12	biimpa 294	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ L < 0 ) -> 0 < -u L )
14	11, 13	elrpd 9650	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ L < 0 ) -> -u L e. RR+ )
15	6, 8, 14	rspcdva 2839	. . . . 5 |- ( ( ph /\ L < 0 ) -> E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + -u L ) /\ L < ( ( F ` i ) + -u L ) ) )
16		simpl 108	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F ` i ) < ( L + -u L ) /\ L < ( ( F ` i ) + -u L ) ) -> ( F ` i ) < ( L + -u L ) )
17	10	recnd 7948	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ L < 0 ) -> L e. CC )
18	17	negidd 8220	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ L < 0 ) -> ( L + -u L ) = 0 )
19	18	breq2d 4001	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ L < 0 ) -> ( ( F ` i ) < ( L + -u L ) <-> ( F ` i ) < 0 ) )
20	16, 19	syl5ib 153	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ L < 0 ) -> ( ( ( F ` i ) < ( L + -u L ) /\ L < ( ( F ` i ) + -u L ) ) -> ( F ` i ) < 0 ) )
21	20	ralimdv 2538	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ L < 0 ) -> ( A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + -u L ) /\ L < ( ( F ` i ) + -u L ) ) -> A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` i ) < 0 ) )
22	21	reximdv 2571	. . . . 5 |- ( ( ph /\ L < 0 ) -> ( E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + -u L ) /\ L < ( ( F ` i ) + -u L ) ) -> E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` i ) < 0 ) )
23	15, 22	mpd 13	. . . 4 |- ( ( ph /\ L < 0 ) -> E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` i ) < 0 )
24		0red 7921	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( j e. NN /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> 0 e. RR )
25		eluznn 9559	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( j e. NN /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) -> i e. NN )
26		resqrexlemex.seq	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F = seq 1 ( ( y e. RR+ , z e. RR+ |-> ( ( y + ( A / y ) ) / 2 ) ) , ( NN X. { ( 1 + A ) } ) )
27		resqrexlemex.a	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A e. RR )
28		resqrexlemex.agt0	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> 0 <_ A )
29	26, 27, 28	resqrexlemf 10971	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> F : NN --> RR+ )
30	29	ffvelrnda 5631	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. NN ) -> ( F ` i ) e. RR+ )
31	25, 30	sylan2 284	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( j e. NN /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( F ` i ) e. RR+ )
32	31	rpred 9653	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( j e. NN /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( F ` i ) e. RR )
33	31	rpgt0d 9656	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( j e. NN /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> 0 < ( F ` i ) )
34	24, 32, 33	ltnsymd 8039	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( j e. NN /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> -. ( F ` i ) < 0 )
35	34	pm2.21d 614	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( j e. NN /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( ( F ` i ) < 0 -> F. ) )
36	35	anassrs 398	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( F ` i ) < 0 -> F. ) )
37	36	ralimdva 2537	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` i ) < 0 -> A. i e. ( ZZ>= ` j ) F. ) )
38		nnz 9231	. . . . . . . . 9 |- ( j e. NN -> j e. ZZ )
39		uzid 9501	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. ZZ -> j e. ( ZZ>= ` j ) )
40		elex2 2746	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. ( ZZ>= ` j ) -> E. z z e. ( ZZ>= ` j ) )
41		r19.3rmv 3505	. . . . . . . . . 10 |- ( E. z z e. ( ZZ>= ` j ) -> ( F. <-> A. i e. ( ZZ>= ` j ) F. ) )
42	39, 40, 41	3syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( j e. ZZ -> ( F. <-> A. i e. ( ZZ>= ` j ) F. ) )
43	38, 42	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( j e. NN -> ( F. <-> A. i e. ( ZZ>= ` j ) F. ) )
44	43	adantl 275	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( F. <-> A. i e. ( ZZ>= ` j ) F. ) )
45	37, 44	sylibrd 168	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` i ) < 0 -> F. ) )
46	45	rexlimdva 2587	. . . . 5 |- ( ph -> ( E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` i ) < 0 -> F. ) )
47	46	adantr 274	. . . 4 |- ( ( ph /\ L < 0 ) -> ( E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` i ) < 0 -> F. ) )
48	23, 47	mpd 13	. . 3 |- ( ( ph /\ L < 0 ) -> F. )
49	48	inegd 1367	. 2 |- ( ph -> -. L < 0 )
50		0re 7920	. . 3 |- 0 e. RR
51		lenlt 7995	. . 3 |- ( ( 0 e. RR /\ L e. RR ) -> ( 0 <_ L <-> -. L < 0 ) )
52	50, 9, 51	sylancr 412	. 2 |- ( ph -> ( 0 <_ L <-> -. L < 0 ) )
53	49, 52	mpbird 166	1 |- ( ph -> 0 <_ L )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1348   F. wfal 1353   E.wex 1485   e. wcel 2141   A.wral 2448   E.wrex 2449   {csn 3583   class class class wbr 3989   X. cxp 4609   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   e. cmpo 5855   RRcr 7773   0cc0 7774   1c1 7775   + caddc 7777   < clt 7954   <_ cle 7955   -ucneg 8091   / cdiv 8589   NNcn 8878   2c2 8929   ZZcz 9212   ZZ>=cuz 9487   RR+crp 9610   seqcseq 10401

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-frec 6370  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-rp 9611  df-seqfrec 10402

This theorem is referenced by:  resqrexlemglsq  10986  resqrexlemex  10989