Theorem cvgratz 11473

Description: Ratio test for convergence of a complex infinite series. If the ratio A of the absolute values of successive terms in an infinite sequence F is less than 1 for all terms, then the infinite sum of the terms of F converges to a complex number. (Contributed by NM, 26-Apr-2005.) (Revised by Jim Kingdon, 11-Nov-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvgratz.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )
cvgratz.m	|- ( ph -> M e. ZZ )
cvgratz.3	|- ( ph -> A e. RR )
cvgratz.4	|- ( ph -> A < 1 )
cvgratz.gt0	|- ( ph -> 0 < A )
cvgratz.6	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) e. CC )
cvgratz.7	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( A x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
cvgratz	|- ( ph -> seq M ( + , F ) e. dom ~~> )

Distinct variable groups:   A, k   k, F   k, M   k, Z   ph, k

Proof of Theorem cvgratz

Dummy variables i x y a are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvgratz.m	. . . . 5 |- ( ph -> M e. ZZ )
2	1	adantr 274	. . . 4 |- ( ( ph /\ 1 <_ M ) -> M e. ZZ )
3		fveq2 5486	. . . . . 6 |- ( k = x -> ( F ` k ) = ( F ` x ) )
4	3	eleq1d 2235	. . . . 5 |- ( k = x -> ( ( F ` k ) e. CC <-> ( F ` x ) e. CC ) )
5		cvgratz.6	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) e. CC )
6	5	ralrimiva 2539	. . . . . 6 |- ( ph -> A. k e. Z ( F ` k ) e. CC )
7	6	ad2antrr 480	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> A. k e. Z ( F ` k ) e. CC )
8		cvgratz.1	. . . . . . . 8 |- Z = ( ZZ>= ` M )
9	8	eleq2i 2233	. . . . . . 7 |- ( x e. Z <-> x e. ( ZZ>= ` M ) )
10	9	biimpri 132	. . . . . 6 |- ( x e. ( ZZ>= ` M ) -> x e. Z )
11	10	adantl 275	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> x e. Z )
12	4, 7, 11	rspcdva 2835	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` x ) e. CC )
13		eluzelz 9475	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> k e. ZZ )
14	13	adantl 275	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> k e. ZZ )
15		1red 7914	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> 1 e. RR )
16	1	zred 9313	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> M e. RR )
17	16	ad2antrr 480	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> M e. RR )
18	14	zred 9313	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> k e. RR )
19		simplr 520	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> 1 <_ M )
20		eluzle 9478	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> M <_ k )
21	20	adantl 275	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> M <_ k )
22	15, 17, 18, 19, 21	letrd 8022	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> 1 <_ k )
23		elnnz1 9214	. . . . . . 7 |- ( k e. NN <-> ( k e. ZZ /\ 1 <_ k ) )
24	14, 22, 23	sylanbrc 414	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> k e. NN )
25		elnnuz 9502	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN <-> k e. ( ZZ>= ` 1 ) )
26		fveq2 5486	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = M -> ( F ` k ) = ( F ` M ) )
27	26	eleq1d 2235	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = M -> ( ( F ` k ) e. CC <-> ( F ` M ) e. CC ) )
28		uzid 9480	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( M e. ZZ -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
29	1, 28	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
30	29, 8	eleqtrrdi 2260	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> M e. Z )
31	27, 6, 30	rspcdva 2835	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( F ` M ) e. CC )
32	31	ad3antrrr 484	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ k < M ) -> ( F ` M ) e. CC )
33		cvgratz.3	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A e. RR )
34		cvgratz.gt0	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> 0 < A )
35	33, 34	elrpd 9629	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A e. RR+ )
36	35	ad3antrrr 484	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ k < M ) -> A e. RR+ )
37	2	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> M e. ZZ )
38	37	adantr 274	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ k < M ) -> M e. ZZ )
39	25	biimpri 132	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. ( ZZ>= ` 1 ) -> k e. NN )
40	39	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> k e. NN )
41	40	nnzd 9312	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> k e. ZZ )
42	41	adantr 274	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ k < M ) -> k e. ZZ )
43	38, 42	zsubcld 9318	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ k < M ) -> ( M - k ) e. ZZ )
44	36, 43	rpexpcld 10612	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ k < M ) -> ( A ^ ( M - k ) ) e. RR+ )
45	44	rpcnd 9634	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ k < M ) -> ( A ^ ( M - k ) ) e. CC )
46	44	rpap0d 9638	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ k < M ) -> ( A ^ ( M - k ) ) # 0 )
47	32, 45, 46	divclapd 8686	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ k < M ) -> ( ( F ` M ) / ( A ^ ( M - k ) ) ) e. CC )
48		simplll 523	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ -. k < M ) -> ph )
49	37	adantr 274	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ -. k < M ) -> M e. ZZ )
50	41	adantr 274	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ -. k < M ) -> k e. ZZ )
51	16	ad3antrrr 484	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ -. k < M ) -> M e. RR )
52	50	zred 9313	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ -. k < M ) -> k e. RR )
53		simpr 109	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ -. k < M ) -> -. k < M )
54	51, 52, 53	nltled 8019	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ -. k < M ) -> M <_ k )
55		eluz2 9472	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ k e. ZZ /\ M <_ k ) )
56	49, 50, 54, 55	syl3anbrc 1171	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ -. k < M ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
57	56, 8	eleqtrrdi 2260	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ -. k < M ) -> k e. Z )
58	48, 57, 5	syl2anc 409	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ -. k < M ) -> ( F ` k ) e. CC )
59		zdclt 9268	. . . . . . . . . 10 |- ( ( k e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> DECID k < M )
60	41, 37, 59	syl2anc 409	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> DECID k < M )
61	47, 58, 60	ifcldadc 3549	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> if ( k < M , ( ( F ` M ) / ( A ^ ( M - k ) ) ) , ( F ` k ) ) e. CC )
62	25, 61	sylan2b 285	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. NN ) -> if ( k < M , ( ( F ` M ) / ( A ^ ( M - k ) ) ) , ( F ` k ) ) e. CC )
63	24, 62	syldan 280	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> if ( k < M , ( ( F ` M ) / ( A ^ ( M - k ) ) ) , ( F ` k ) ) e. CC )
64		breq1 3985	. . . . . . . 8 |- ( i = k -> ( i < M <-> k < M ) )
65		oveq2 5850	. . . . . . . . . 10 |- ( i = k -> ( M - i ) = ( M - k ) )
66	65	oveq2d 5858	. . . . . . . . 9 |- ( i = k -> ( A ^ ( M - i ) ) = ( A ^ ( M - k ) ) )
67	66	oveq2d 5858	. . . . . . . 8 |- ( i = k -> ( ( F ` M ) / ( A ^ ( M - i ) ) ) = ( ( F ` M ) / ( A ^ ( M - k ) ) ) )
68		fveq2 5486	. . . . . . . 8 |- ( i = k -> ( F ` i ) = ( F ` k ) )
69	64, 67, 68	ifbieq12d 3546	. . . . . . 7 |- ( i = k -> if ( i < M , ( ( F ` M ) / ( A ^ ( M - i ) ) ) , ( F ` i ) ) = if ( k < M , ( ( F ` M ) / ( A ^ ( M - k ) ) ) , ( F ` k ) ) )
70		eqid 2165	. . . . . . 7 |- ( i e. NN |-> if ( i < M , ( ( F ` M ) / ( A ^ ( M - i ) ) ) , ( F ` i ) ) ) = ( i e. NN |-> if ( i < M , ( ( F ` M ) / ( A ^ ( M - i ) ) ) , ( F ` i ) ) )
71	69, 70	fvmptg 5562	. . . . . 6 |- ( ( k e. NN /\ if ( k < M , ( ( F ` M ) / ( A ^ ( M - k ) ) ) , ( F ` k ) ) e. CC ) -> ( ( i e. NN |-> if ( i < M , ( ( F ` M ) / ( A ^ ( M - i ) ) ) , ( F ` i ) ) ) ` k ) = if ( k < M , ( ( F ` M ) / ( A ^ ( M - k ) ) ) , ( F ` k ) ) )
72	24, 63, 71	syl2anc 409	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( i e. NN |-> if ( i < M , ( ( F ` M ) / ( A ^ ( M - i ) ) ) , ( F ` i ) ) ) ` k ) = if ( k < M , ( ( F ` M ) / ( A ^ ( M - k ) ) ) , ( F ` k ) ) )
73	17, 18, 21	lensymd 8020	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> -. k < M )
74	73	iffalsed 3530	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> if ( k < M , ( ( F ` M ) / ( A ^ ( M - k ) ) ) , ( F ` k ) ) = ( F ` k ) )
75	72, 74	eqtr2d 2199	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` k ) = ( ( i e. NN |-> if ( i < M , ( ( F ` M ) / ( A ^ ( M - i ) ) ) , ( F ` i ) ) ) ` k ) )
76		addcl 7878	. . . . 5 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( x + y ) e. CC )
77	76	adantl 275	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ ( x e. CC /\ y e. CC ) ) -> ( x + y ) e. CC )
78	2, 12, 75, 77	seq3feq 10407	. . 3 |- ( ( ph /\ 1 <_ M ) -> seq M ( + , F ) = seq M ( + , ( i e. NN |-> if ( i < M , ( ( F ` M ) / ( A ^ ( M - i ) ) ) , ( F ` i ) ) ) ) )
79	33	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( ph /\ 1 <_ M ) -> A e. RR )
80		cvgratz.4	. . . . . 6 |- ( ph -> A < 1 )
81	80	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( ph /\ 1 <_ M ) -> A < 1 )
82	34	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( ph /\ 1 <_ M ) -> 0 < A )
83	71	eleq1d 2235	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. NN /\ if ( k < M , ( ( F ` M ) / ( A ^ ( M - k ) ) ) , ( F ` k ) ) e. CC ) -> ( ( ( i e. NN |-> if ( i < M , ( ( F ` M ) / ( A ^ ( M - i ) ) ) , ( F ` i ) ) ) ` k ) e. CC <-> if ( k < M , ( ( F ` M ) / ( A ^ ( M - k ) ) ) , ( F ` k ) ) e. CC ) )
84	40, 61, 83	syl2anc 409	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( ( ( i e. NN |-> if ( i < M , ( ( F ` M ) / ( A ^ ( M - i ) ) ) , ( F ` i ) ) ) ` k ) e. CC <-> if ( k < M , ( ( F ` M ) / ( A ^ ( M - k ) ) ) , ( F ` k ) ) e. CC ) )
85	61, 84	mpbird 166	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( ( i e. NN |-> if ( i < M , ( ( F ` M ) / ( A ^ ( M - i ) ) ) , ( F ` i ) ) ) ` k ) e. CC )
86	25, 85	sylan2b 285	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. NN ) -> ( ( i e. NN |-> if ( i < M , ( ( F ` M ) / ( A ^ ( M - i ) ) ) , ( F ` i ) ) ) ` k ) e. CC )
87	31	ad3antrrr 484	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) < M ) -> ( F ` M ) e. CC )
88	35	ad3antrrr 484	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) < M ) -> A e. RR+ )
89	2	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) < M ) -> M e. ZZ )
90	25, 41	sylan2b 285	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. NN ) -> k e. ZZ )
91	90	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) < M ) -> k e. ZZ )
92	91	peano2zd 9316	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) < M ) -> ( k + 1 ) e. ZZ )
93	89, 92	zsubcld 9318	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) < M ) -> ( M - ( k + 1 ) ) e. ZZ )
94	88, 93	rpexpcld 10612	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) < M ) -> ( A ^ ( M - ( k + 1 ) ) ) e. RR+ )
95	94	rpcnd 9634	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) < M ) -> ( A ^ ( M - ( k + 1 ) ) ) e. CC )
96	94	rpap0d 9638	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) < M ) -> ( A ^ ( M - ( k + 1 ) ) ) # 0 )
97	87, 95, 96	divclapd 8686	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) < M ) -> ( ( F ` M ) / ( A ^ ( M - ( k + 1 ) ) ) ) e. CC )
98		fveq2 5486	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = ( k + 1 ) -> ( F ` a ) = ( F ` ( k + 1 ) ) )
99	98	eleq1d 2235	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = ( k + 1 ) -> ( ( F ` a ) e. CC <-> ( F ` ( k + 1 ) ) e. CC ) )
100		fveq2 5486	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = a -> ( F ` k ) = ( F ` a ) )
101	100	eleq1d 2235	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = a -> ( ( F ` k ) e. CC <-> ( F ` a ) e. CC ) )
102	101	cbvralv 2692	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. k e. Z ( F ` k ) e. CC <-> A. a e. Z ( F ` a ) e. CC )
103	6, 102	sylib 121	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. a e. Z ( F ` a ) e. CC )
104	103	ad3antrrr 484	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. NN ) /\ -. ( k + 1 ) < M ) -> A. a e. Z ( F ` a ) e. CC )
105	2	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. NN ) /\ -. ( k + 1 ) < M ) -> M e. ZZ )
106		peano2nn 8869	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. NN -> ( k + 1 ) e. NN )
107	106	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. NN ) -> ( k + 1 ) e. NN )
108	107	nnzd 9312	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. NN ) -> ( k + 1 ) e. ZZ )
109	108	adantr 274	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. NN ) /\ -. ( k + 1 ) < M ) -> ( k + 1 ) e. ZZ )
110	16	ad3antrrr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. NN ) /\ -. ( k + 1 ) < M ) -> M e. RR )
111	107	nnred 8870	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. NN ) -> ( k + 1 ) e. RR )
112	111	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. NN ) /\ -. ( k + 1 ) < M ) -> ( k + 1 ) e. RR )
113		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. NN ) /\ -. ( k + 1 ) < M ) -> -. ( k + 1 ) < M )
114	110, 112, 113	nltled 8019	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. NN ) /\ -. ( k + 1 ) < M ) -> M <_ ( k + 1 ) )
115		eluz2 9472	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( k + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ ( k + 1 ) e. ZZ /\ M <_ ( k + 1 ) ) )
116	105, 109, 114, 115	syl3anbrc 1171	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. NN ) /\ -. ( k + 1 ) < M ) -> ( k + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
117	116, 8	eleqtrrdi 2260	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. NN ) /\ -. ( k + 1 ) < M ) -> ( k + 1 ) e. Z )
118	99, 104, 117	rspcdva 2835	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. NN ) /\ -. ( k + 1 ) < M ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) e. CC )
119	2	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. NN ) -> M e. ZZ )
120		zdclt 9268	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( k + 1 ) e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> DECID ( k + 1 ) < M )
121	108, 119, 120	syl2anc 409	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. NN ) -> DECID ( k + 1 ) < M )
122	97, 118, 121	ifcldadc 3549	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. NN ) -> if ( ( k + 1 ) < M , ( ( F ` M ) / ( A ^ ( M - ( k + 1 ) ) ) ) , ( F ` ( k + 1 ) ) ) e. CC )
123	122	abscld 11123	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. NN ) -> ( abs ` if ( ( k + 1 ) < M , ( ( F ` M ) / ( A ^ ( M - ( k + 1 ) ) ) ) , ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) e. RR )
124	16	recnd 7927	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> M e. CC )
125	124	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. NN ) -> M e. CC )
126		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. NN ) -> k e. NN )
127	126	nncnd 8871	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. NN ) -> k e. CC )
128		1cnd 7915	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. NN ) -> 1 e. CC )
129	125, 127, 128	subsub4d 8240	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. NN ) -> ( ( M - k ) - 1 ) = ( M - ( k + 1 ) ) )
130	129	oveq2d 5858	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. NN ) -> ( A ^ ( ( M - k ) - 1 ) ) = ( A ^ ( M - ( k + 1 ) ) ) )
131	33	recnd 7927	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> A e. CC )
132	131	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. NN ) -> A e. CC )
133	33, 34	gt0ap0d 8527	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> A # 0 )
134	133	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. NN ) -> A # 0 )
135	119, 90	zsubcld 9318	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. NN ) -> ( M - k ) e. ZZ )
136	132, 134, 135	expm1apd 10598	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. NN ) -> ( A ^ ( ( M - k ) - 1 ) ) = ( ( A ^ ( M - k ) ) / A ) )
137	130, 136	eqtr3d 2200	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. NN ) -> ( A ^ ( M - ( k + 1 ) ) ) = ( ( A ^ ( M - k ) ) / A ) )
138	137	oveq2d 5858	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. NN ) -> ( ( F ` M ) / ( A ^ ( M - ( k + 1 ) ) ) ) = ( ( F ` M ) / ( ( A ^ ( M - k ) ) / A ) ) )
139	138	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) < M ) -> ( ( F ` M ) / ( A ^ ( M - ( k + 1 ) ) ) ) = ( ( F ` M ) / ( ( A ^ ( M - k ) ) / A ) ) )
140		simpr 109	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) < M ) -> ( k + 1 ) < M )
141	140	iftrued 3527	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) < M ) -> if ( ( k + 1 ) < M , ( ( F ` M ) / ( A ^ ( M - ( k + 1 ) ) ) ) , ( F ` ( k + 1 ) ) ) = ( ( F ` M ) / ( A ^ ( M - ( k + 1 ) ) ) ) )
142	126	nnred 8870	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. NN ) -> k e. RR )
143	142	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) < M ) -> k e. RR )
144		peano2re 8034	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. RR -> ( k + 1 ) e. RR )
145	143, 144	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) < M ) -> ( k + 1 ) e. RR )
146	16	ad3antrrr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) < M ) -> M e. RR )
147	143	ltp1d 8825	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) < M ) -> k < ( k + 1 ) )
148	143, 145, 146, 147, 140	lttrd 8024	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) < M ) -> k < M )
149	148	iftrued 3527	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) < M ) -> if ( k < M , ( ( F ` M ) / ( A ^ ( M - k ) ) ) , ( F ` k ) ) = ( ( F ` M ) / ( A ^ ( M - k ) ) ) )
150	149	oveq2d 5858	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) < M ) -> ( A x. if ( k < M , ( ( F ` M ) / ( A ^ ( M - k ) ) ) , ( F ` k ) ) ) = ( A x. ( ( F ` M ) / ( A ^ ( M - k ) ) ) ) )
151	31	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. NN ) -> ( F ` M ) e. CC )
152	132, 134, 135	expclzapd 10593	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. NN ) -> ( A ^ ( M - k ) ) e. CC )
153	132, 134, 135	expap0d 10594	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. NN ) -> ( A ^ ( M - k ) ) # 0 )
154	151, 152, 132, 153, 134	divdivap2d 8719	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. NN ) -> ( ( F ` M ) / ( ( A ^ ( M - k ) ) / A ) ) = ( ( ( F ` M ) x. A ) / ( A ^ ( M - k ) ) ) )
155	151, 132	mulcomd 7920	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. NN ) -> ( ( F ` M ) x. A ) = ( A x. ( F ` M ) ) )
156	155	oveq1d 5857	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. NN ) -> ( ( ( F ` M ) x. A ) / ( A ^ ( M - k ) ) ) = ( ( A x. ( F ` M ) ) / ( A ^ ( M - k ) ) ) )
157	132, 151, 152, 153	divassapd 8722	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. NN ) -> ( ( A x. ( F ` M ) ) / ( A ^ ( M - k ) ) ) = ( A x. ( ( F ` M ) / ( A ^ ( M - k ) ) ) ) )
158	154, 156, 157	3eqtrd 2202	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. NN ) -> ( ( F ` M ) / ( ( A ^ ( M - k ) ) / A ) ) = ( A x. ( ( F ` M ) / ( A ^ ( M - k ) ) ) ) )
159	158	adantr 274	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) < M ) -> ( ( F ` M ) / ( ( A ^ ( M - k ) ) / A ) ) = ( A x. ( ( F ` M ) / ( A ^ ( M - k ) ) ) ) )
160	150, 159	eqtr4d 2201	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) < M ) -> ( A x. if ( k < M , ( ( F ` M ) / ( A ^ ( M - k ) ) ) , ( F ` k ) ) ) = ( ( F ` M ) / ( ( A ^ ( M - k ) ) / A ) ) )
161	139, 141, 160	3eqtr4d 2208	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) < M ) -> if ( ( k + 1 ) < M , ( ( F ` M ) / ( A ^ ( M - ( k + 1 ) ) ) ) , ( F ` ( k + 1 ) ) ) = ( A x. if ( k < M , ( ( F ` M ) / ( A ^ ( M - k ) ) ) , ( F ` k ) ) ) )
162	161	fveq2d 5490	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) < M ) -> ( abs ` if ( ( k + 1 ) < M , ( ( F ` M ) / ( A ^ ( M - ( k + 1 ) ) ) ) , ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) = ( abs ` ( A x. if ( k < M , ( ( F ` M ) / ( A ^ ( M - k ) ) ) , ( F ` k ) ) ) ) )
163	132, 62	absmuld 11136	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. NN ) -> ( abs ` ( A x. if ( k < M , ( ( F ` M ) / ( A ^ ( M - k ) ) ) , ( F ` k ) ) ) ) = ( ( abs ` A ) x. ( abs ` if ( k < M , ( ( F ` M ) / ( A ^ ( M - k ) ) ) , ( F ` k ) ) ) ) )
164	163	adantr 274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) < M ) -> ( abs ` ( A x. if ( k < M , ( ( F ` M ) / ( A ^ ( M - k ) ) ) , ( F ` k ) ) ) ) = ( ( abs ` A ) x. ( abs ` if ( k < M , ( ( F ` M ) / ( A ^ ( M - k ) ) ) , ( F ` k ) ) ) ) )
165	35	rpge0d 9636	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 0 <_ A )
166	33, 165	absidd 11109	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( abs ` A ) = A )
167	166	oveq1d 5857	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( abs ` A ) x. ( abs ` if ( k < M , ( ( F ` M ) / ( A ^ ( M - k ) ) ) , ( F ` k ) ) ) ) = ( A x. ( abs ` if ( k < M , ( ( F ` M ) / ( A ^ ( M - k ) ) ) , ( F ` k ) ) ) ) )
168	167	ad3antrrr 484	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) < M ) -> ( ( abs ` A ) x. ( abs ` if ( k < M , ( ( F ` M ) / ( A ^ ( M - k ) ) ) , ( F ` k ) ) ) ) = ( A x. ( abs ` if ( k < M , ( ( F ` M ) / ( A ^ ( M - k ) ) ) , ( F ` k ) ) ) ) )
169	162, 164, 168	3eqtrd 2202	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) < M ) -> ( abs ` if ( ( k + 1 ) < M , ( ( F ` M ) / ( A ^ ( M - ( k + 1 ) ) ) ) , ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) = ( A x. ( abs ` if ( k < M , ( ( F ` M ) / ( A ^ ( M - k ) ) ) , ( F ` k ) ) ) ) )
170		eqle 7990	. . . . . . . 8 |- ( ( ( abs ` if ( ( k + 1 ) < M , ( ( F ` M ) / ( A ^ ( M - ( k + 1 ) ) ) ) , ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) e. RR /\ ( abs ` if ( ( k + 1 ) < M , ( ( F ` M ) / ( A ^ ( M - ( k + 1 ) ) ) ) , ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) = ( A x. ( abs ` if ( k < M , ( ( F ` M ) / ( A ^ ( M - k ) ) ) , ( F ` k ) ) ) ) ) -> ( abs ` if ( ( k + 1 ) < M , ( ( F ` M ) / ( A ^ ( M - ( k + 1 ) ) ) ) , ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) <_ ( A x. ( abs ` if ( k < M , ( ( F ` M ) / ( A ^ ( M - k ) ) ) , ( F ` k ) ) ) ) )
171	123, 169, 170	syl2an2r 585	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) < M ) -> ( abs ` if ( ( k + 1 ) < M , ( ( F ` M ) / ( A ^ ( M - ( k + 1 ) ) ) ) , ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) <_ ( A x. ( abs ` if ( k < M , ( ( F ` M ) / ( A ^ ( M - k ) ) ) , ( F ` k ) ) ) ) )
172	16	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. NN ) -> M e. RR )
173	111, 172	lttri3d 8013	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. NN ) -> ( ( k + 1 ) = M <-> ( -. ( k + 1 ) < M /\ -. M < ( k + 1 ) ) ) )
174	173	simprbda 381	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) = M ) -> -. ( k + 1 ) < M )
175	174	iffalsed 3530	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) = M ) -> if ( ( k + 1 ) < M , ( ( F ` M ) / ( A ^ ( M - ( k + 1 ) ) ) ) , ( F ` ( k + 1 ) ) ) = ( F ` ( k + 1 ) ) )
176		simpr 109	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) = M ) -> ( k + 1 ) = M )
177	176	fveq2d 5490	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) = M ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) = ( F ` M ) )
178	175, 177	eqtrd 2198	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) = M ) -> if ( ( k + 1 ) < M , ( ( F ` M ) / ( A ^ ( M - ( k + 1 ) ) ) ) , ( F ` ( k + 1 ) ) ) = ( F ` M ) )
179	178	fveq2d 5490	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) = M ) -> ( abs ` if ( ( k + 1 ) < M , ( ( F ` M ) / ( A ^ ( M - ( k + 1 ) ) ) ) , ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) = ( abs ` ( F ` M ) ) )
180	142	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) = M ) -> k e. RR )
181	180	ltp1d 8825	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) = M ) -> k < ( k + 1 ) )
182		breq2 3986	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( k + 1 ) = M -> ( k < ( k + 1 ) <-> k < M ) )
183	182	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) = M ) -> ( k < ( k + 1 ) <-> k < M ) )
184	181, 183	mpbid 146	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) = M ) -> k < M )
185	184	iftrued 3527	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) = M ) -> if ( k < M , ( ( F ` M ) / ( A ^ ( M - k ) ) ) , ( F ` k ) ) = ( ( F ` M ) / ( A ^ ( M - k ) ) ) )
186	176	oveq1d 5857	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) = M ) -> ( ( k + 1 ) - k ) = ( M - k ) )
187	127	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) = M ) -> k e. CC )
188		1cnd 7915	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) = M ) -> 1 e. CC )
189	187, 188	pncan2d 8211	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) = M ) -> ( ( k + 1 ) - k ) = 1 )
190	186, 189	eqtr3d 2200	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) = M ) -> ( M - k ) = 1 )
191	190	oveq2d 5858	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) = M ) -> ( A ^ ( M - k ) ) = ( A ^ 1 ) )
192	132	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) = M ) -> A e. CC )
193	192	exp1d 10583	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) = M ) -> ( A ^ 1 ) = A )
194	191, 193	eqtrd 2198	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) = M ) -> ( A ^ ( M - k ) ) = A )
195	194	oveq2d 5858	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) = M ) -> ( ( F ` M ) / ( A ^ ( M - k ) ) ) = ( ( F ` M ) / A ) )
196	185, 195	eqtrd 2198	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) = M ) -> if ( k < M , ( ( F ` M ) / ( A ^ ( M - k ) ) ) , ( F ` k ) ) = ( ( F ` M ) / A ) )
197	196	oveq2d 5858	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) = M ) -> ( A x. if ( k < M , ( ( F ` M ) / ( A ^ ( M - k ) ) ) , ( F ` k ) ) ) = ( A x. ( ( F ` M ) / A ) ) )
198	31, 131, 133	divcanap2d 8688	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( A x. ( ( F ` M ) / A ) ) = ( F ` M ) )
199	198	ad3antrrr 484	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) = M ) -> ( A x. ( ( F ` M ) / A ) ) = ( F ` M ) )
200	197, 199	eqtrd 2198	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) = M ) -> ( A x. if ( k < M , ( ( F ` M ) / ( A ^ ( M - k ) ) ) , ( F ` k ) ) ) = ( F ` M ) )
201	200	fveq2d 5490	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) = M ) -> ( abs ` ( A x. if ( k < M , ( ( F ` M ) / ( A ^ ( M - k ) ) ) , ( F ` k ) ) ) ) = ( abs ` ( F ` M ) ) )
202	167	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. NN ) -> ( ( abs ` A ) x. ( abs ` if ( k < M , ( ( F ` M ) / ( A ^ ( M - k ) ) ) , ( F ` k ) ) ) ) = ( A x. ( abs ` if ( k < M , ( ( F ` M ) / ( A ^ ( M - k ) ) ) , ( F ` k ) ) ) ) )
203	163, 202	eqtrd 2198	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. NN ) -> ( abs ` ( A x. if ( k < M , ( ( F ` M ) / ( A ^ ( M - k ) ) ) , ( F ` k ) ) ) ) = ( A x. ( abs ` if ( k < M , ( ( F ` M ) / ( A ^ ( M - k ) ) ) , ( F ` k ) ) ) ) )
204	203	adantr 274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) = M ) -> ( abs ` ( A x. if ( k < M , ( ( F ` M ) / ( A ^ ( M - k ) ) ) , ( F ` k ) ) ) ) = ( A x. ( abs ` if ( k < M , ( ( F ` M ) / ( A ^ ( M - k ) ) ) , ( F ` k ) ) ) ) )
205	179, 201, 204	3eqtr2d 2204	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) = M ) -> ( abs ` if ( ( k + 1 ) < M , ( ( F ` M ) / ( A ^ ( M - ( k + 1 ) ) ) ) , ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) = ( A x. ( abs ` if ( k < M , ( ( F ` M ) / ( A ^ ( M - k ) ) ) , ( F ` k ) ) ) ) )
206	123, 205, 170	syl2an2r 585	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) = M ) -> ( abs ` if ( ( k + 1 ) < M , ( ( F ` M ) / ( A ^ ( M - ( k + 1 ) ) ) ) , ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) <_ ( A x. ( abs ` if ( k < M , ( ( F ` M ) / ( A ^ ( M - k ) ) ) , ( F ` k ) ) ) ) )
207		simplll 523	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. NN ) /\ M < ( k + 1 ) ) -> ph )
208	119	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. NN ) /\ M < ( k + 1 ) ) -> M e. ZZ )
209	90	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. NN ) /\ M < ( k + 1 ) ) -> k e. ZZ )
210		simpr 109	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. NN ) /\ M < ( k + 1 ) ) -> M < ( k + 1 ) )
211		zleltp1 9246	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( M <_ k <-> M < ( k + 1 ) ) )
212	119, 209, 211	syl2an2r 585	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. NN ) /\ M < ( k + 1 ) ) -> ( M <_ k <-> M < ( k + 1 ) ) )
213	210, 212	mpbird 166	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. NN ) /\ M < ( k + 1 ) ) -> M <_ k )
214	208, 209, 213, 55	syl3anbrc 1171	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. NN ) /\ M < ( k + 1 ) ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
215	214, 8	eleqtrrdi 2260	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. NN ) /\ M < ( k + 1 ) ) -> k e. Z )
216		cvgratz.7	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( A x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) )
217	207, 215, 216	syl2anc 409	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. NN ) /\ M < ( k + 1 ) ) -> ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( A x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) )
218	172	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. NN ) /\ M < ( k + 1 ) ) -> M e. RR )
219	111	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. NN ) /\ M < ( k + 1 ) ) -> ( k + 1 ) e. RR )
220	218, 219, 210	ltnsymd 8018	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. NN ) /\ M < ( k + 1 ) ) -> -. ( k + 1 ) < M )
221	220	iffalsed 3530	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. NN ) /\ M < ( k + 1 ) ) -> if ( ( k + 1 ) < M , ( ( F ` M ) / ( A ^ ( M - ( k + 1 ) ) ) ) , ( F ` ( k + 1 ) ) ) = ( F ` ( k + 1 ) ) )
222	221	fveq2d 5490	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. NN ) /\ M < ( k + 1 ) ) -> ( abs ` if ( ( k + 1 ) < M , ( ( F ` M ) / ( A ^ ( M - ( k + 1 ) ) ) ) , ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) = ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) )
223	142	adantr 274	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. NN ) /\ M < ( k + 1 ) ) -> k e. RR )
224	218, 223, 213	lensymd 8020	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. NN ) /\ M < ( k + 1 ) ) -> -. k < M )
225	224	iffalsed 3530	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. NN ) /\ M < ( k + 1 ) ) -> if ( k < M , ( ( F ` M ) / ( A ^ ( M - k ) ) ) , ( F ` k ) ) = ( F ` k ) )
226	225	fveq2d 5490	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. NN ) /\ M < ( k + 1 ) ) -> ( abs ` if ( k < M , ( ( F ` M ) / ( A ^ ( M - k ) ) ) , ( F ` k ) ) ) = ( abs ` ( F ` k ) ) )
227	226	oveq2d 5858	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. NN ) /\ M < ( k + 1 ) ) -> ( A x. ( abs ` if ( k < M , ( ( F ` M ) / ( A ^ ( M - k ) ) ) , ( F ` k ) ) ) ) = ( A x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) )
228	217, 222, 227	3brtr4d 4014	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. NN ) /\ M < ( k + 1 ) ) -> ( abs ` if ( ( k + 1 ) < M , ( ( F ` M ) / ( A ^ ( M - ( k + 1 ) ) ) ) , ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) <_ ( A x. ( abs ` if ( k < M , ( ( F ` M ) / ( A ^ ( M - k ) ) ) , ( F ` k ) ) ) ) )
229		ztri3or 9234	. . . . . . . 8 |- ( ( ( k + 1 ) e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( ( k + 1 ) < M \/ ( k + 1 ) = M \/ M < ( k + 1 ) ) )
230	108, 119, 229	syl2anc 409	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. NN ) -> ( ( k + 1 ) < M \/ ( k + 1 ) = M \/ M < ( k + 1 ) ) )
231	171, 206, 228, 230	mpjao3dan 1297	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. NN ) -> ( abs ` if ( ( k + 1 ) < M , ( ( F ` M ) / ( A ^ ( M - ( k + 1 ) ) ) ) , ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) <_ ( A x. ( abs ` if ( k < M , ( ( F ` M ) / ( A ^ ( M - k ) ) ) , ( F ` k ) ) ) ) )
232		breq1 3985	. . . . . . . . . 10 |- ( i = ( k + 1 ) -> ( i < M <-> ( k + 1 ) < M ) )
233		oveq2 5850	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = ( k + 1 ) -> ( M - i ) = ( M - ( k + 1 ) ) )
234	233	oveq2d 5858	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = ( k + 1 ) -> ( A ^ ( M - i ) ) = ( A ^ ( M - ( k + 1 ) ) ) )
235	234	oveq2d 5858	. . . . . . . . . 10 |- ( i = ( k + 1 ) -> ( ( F ` M ) / ( A ^ ( M - i ) ) ) = ( ( F ` M ) / ( A ^ ( M - ( k + 1 ) ) ) ) )
236		fveq2 5486	. . . . . . . . . 10 |- ( i = ( k + 1 ) -> ( F ` i ) = ( F ` ( k + 1 ) ) )
237	232, 235, 236	ifbieq12d 3546	. . . . . . . . 9 |- ( i = ( k + 1 ) -> if ( i < M , ( ( F ` M ) / ( A ^ ( M - i ) ) ) , ( F ` i ) ) = if ( ( k + 1 ) < M , ( ( F ` M ) / ( A ^ ( M - ( k + 1 ) ) ) ) , ( F ` ( k + 1 ) ) ) )
238	237, 70	fvmptg 5562	. . . . . . . 8 |- ( ( ( k + 1 ) e. NN /\ if ( ( k + 1 ) < M , ( ( F ` M ) / ( A ^ ( M - ( k + 1 ) ) ) ) , ( F ` ( k + 1 ) ) ) e. CC ) -> ( ( i e. NN |-> if ( i < M , ( ( F ` M ) / ( A ^ ( M - i ) ) ) , ( F ` i ) ) ) ` ( k + 1 ) ) = if ( ( k + 1 ) < M , ( ( F ` M ) / ( A ^ ( M - ( k + 1 ) ) ) ) , ( F ` ( k + 1 ) ) ) )
239	107, 122, 238	syl2anc 409	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. NN ) -> ( ( i e. NN |-> if ( i < M , ( ( F ` M ) / ( A ^ ( M - i ) ) ) , ( F ` i ) ) ) ` ( k + 1 ) ) = if ( ( k + 1 ) < M , ( ( F ` M ) / ( A ^ ( M - ( k + 1 ) ) ) ) , ( F ` ( k + 1 ) ) ) )
240	239	fveq2d 5490	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. NN ) -> ( abs ` ( ( i e. NN |-> if ( i < M , ( ( F ` M ) / ( A ^ ( M - i ) ) ) , ( F ` i ) ) ) ` ( k + 1 ) ) ) = ( abs ` if ( ( k + 1 ) < M , ( ( F ` M ) / ( A ^ ( M - ( k + 1 ) ) ) ) , ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) )
241	126, 62, 71	syl2anc 409	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. NN ) -> ( ( i e. NN |-> if ( i < M , ( ( F ` M ) / ( A ^ ( M - i ) ) ) , ( F ` i ) ) ) ` k ) = if ( k < M , ( ( F ` M ) / ( A ^ ( M - k ) ) ) , ( F ` k ) ) )
242	241	fveq2d 5490	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. NN ) -> ( abs ` ( ( i e. NN |-> if ( i < M , ( ( F ` M ) / ( A ^ ( M - i ) ) ) , ( F ` i ) ) ) ` k ) ) = ( abs ` if ( k < M , ( ( F ` M ) / ( A ^ ( M - k ) ) ) , ( F ` k ) ) ) )
243	242	oveq2d 5858	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. NN ) -> ( A x. ( abs ` ( ( i e. NN |-> if ( i < M , ( ( F ` M ) / ( A ^ ( M - i ) ) ) , ( F ` i ) ) ) ` k ) ) ) = ( A x. ( abs ` if ( k < M , ( ( F ` M ) / ( A ^ ( M - k ) ) ) , ( F ` k ) ) ) ) )
244	231, 240, 243	3brtr4d 4014	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ 1 <_ M ) /\ k e. NN ) -> ( abs ` ( ( i e. NN |-> if ( i < M , ( ( F ` M ) / ( A ^ ( M - i ) ) ) , ( F ` i ) ) ) ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( A x. ( abs ` ( ( i e. NN |-> if ( i < M , ( ( F ` M ) / ( A ^ ( M - i ) ) ) , ( F ` i ) ) ) ` k ) ) ) )
245	79, 81, 82, 86, 244	cvgratnn 11472	. . . 4 |- ( ( ph /\ 1 <_ M ) -> seq 1 ( + , ( i e. NN |-> if ( i < M , ( ( F ` M ) / ( A ^ ( M - i ) ) ) , ( F ` i ) ) ) ) e. dom ~~> )
246		eqid 2165	. . . . 5 |- ( ZZ>= ` 1 ) = ( ZZ>= ` 1 )
247		1zzd 9218	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ 1 <_ M ) -> 1 e. ZZ )
248		simpr 109	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ 1 <_ M ) -> 1 <_ M )
249		eluz2 9472	. . . . . 6 |- ( M e. ( ZZ>= ` 1 ) <-> ( 1 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ 1 <_ M ) )
250	247, 2, 248, 249	syl3anbrc 1171	. . . . 5 |- ( ( ph /\ 1 <_ M ) -> M e. ( ZZ>= ` 1 ) )
251	246, 250, 85	iserex 11280	. . . 4 |- ( ( ph /\ 1 <_ M ) -> ( seq 1 ( + , ( i e. NN |-> if ( i < M , ( ( F ` M ) / ( A ^ ( M - i ) ) ) , ( F ` i ) ) ) ) e. dom ~~> <-> seq M ( + , ( i e. NN |-> if ( i < M , ( ( F ` M ) / ( A ^ ( M - i ) ) ) , ( F ` i ) ) ) ) e. dom ~~> ) )
252	245, 251	mpbid 146	. . 3 |- ( ( ph /\ 1 <_ M ) -> seq M ( + , ( i e. NN |-> if ( i < M , ( ( F ` M ) / ( A ^ ( M - i ) ) ) , ( F ` i ) ) ) ) e. dom ~~> )
253	78, 252	eqeltrd 2243	. 2 |- ( ( ph /\ 1 <_ M ) -> seq M ( + , F ) e. dom ~~> )
254	33	adantr 274	. . . 4 |- ( ( ph /\ M <_ 1 ) -> A e. RR )
255	80	adantr 274	. . . 4 |- ( ( ph /\ M <_ 1 ) -> A < 1 )
256	34	adantr 274	. . . 4 |- ( ( ph /\ M <_ 1 ) -> 0 < A )
257	1	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ M <_ 1 ) -> M e. ZZ )
258	257	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ M <_ 1 ) /\ k e. NN ) -> M e. ZZ )
259		nnz 9210	. . . . . . 7 |- ( k e. NN -> k e. ZZ )
260	259	adantl 275	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ M <_ 1 ) /\ k e. NN ) -> k e. ZZ )
261	258	zred 9313	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ M <_ 1 ) /\ k e. NN ) -> M e. RR )
262		1red 7914	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ M <_ 1 ) /\ k e. NN ) -> 1 e. RR )
263	260	zred 9313	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ M <_ 1 ) /\ k e. NN ) -> k e. RR )
264		simplr 520	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ M <_ 1 ) /\ k e. NN ) -> M <_ 1 )
265		nnge1 8880	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN -> 1 <_ k )
266	265	adantl 275	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ M <_ 1 ) /\ k e. NN ) -> 1 <_ k )
267	261, 262, 263, 264, 266	letrd 8022	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ M <_ 1 ) /\ k e. NN ) -> M <_ k )
268	258, 260, 267, 55	syl3anbrc 1171	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ M <_ 1 ) /\ k e. NN ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
269	8	eleq2i 2233	. . . . . . 7 |- ( k e. Z <-> k e. ( ZZ>= ` M ) )
270	269, 5	sylan2br 286	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` k ) e. CC )
271	270	adantlr 469	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ M <_ 1 ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` k ) e. CC )
272	268, 271	syldan 280	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ M <_ 1 ) /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) e. CC )
273	269, 216	sylan2br 286	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( A x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) )
274	273	adantlr 469	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ M <_ 1 ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( A x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) )
275	268, 274	syldan 280	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ M <_ 1 ) /\ k e. NN ) -> ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( A x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) )
276	254, 255, 256, 272, 275	cvgratnn 11472	. . 3 |- ( ( ph /\ M <_ 1 ) -> seq 1 ( + , F ) e. dom ~~> )
277		eqid 2165	. . . 4 |- ( ZZ>= ` M ) = ( ZZ>= ` M )
278		1zzd 9218	. . . . 5 |- ( ( ph /\ M <_ 1 ) -> 1 e. ZZ )
279		simpr 109	. . . . 5 |- ( ( ph /\ M <_ 1 ) -> M <_ 1 )
280		eluz2 9472	. . . . 5 |- ( 1 e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ 1 e. ZZ /\ M <_ 1 ) )
281	257, 278, 279, 280	syl3anbrc 1171	. . . 4 |- ( ( ph /\ M <_ 1 ) -> 1 e. ( ZZ>= ` M ) )
282	277, 281, 271	iserex 11280	. . 3 |- ( ( ph /\ M <_ 1 ) -> ( seq M ( + , F ) e. dom ~~> <-> seq 1 ( + , F ) e. dom ~~> ) )
283	276, 282	mpbird 166	. 2 |- ( ( ph /\ M <_ 1 ) -> seq M ( + , F ) e. dom ~~> )
284		1z 9217	. . 3 |- 1 e. ZZ
285		zletric 9235	. . 3 |- ( ( 1 e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( 1 <_ M \/ M <_ 1 ) )
286	284, 1, 285	sylancr 411	. 2 |- ( ph -> ( 1 <_ M \/ M <_ 1 ) )
287	253, 283, 286	mpjaodan 788	1 |- ( ph -> seq M ( + , F ) e. dom ~~> )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 698  DECID wdc 824   \/ w3o 967   = wceq 1343   e. wcel 2136   A.wral 2444   ifcif 3520   class class class wbr 3982   |-> cmpt 4043   dom cdm 4604   ` cfv 5188  (class class class)co 5842   CCcc 7751   RRcr 7752   0cc0 7753   1c1 7754   + caddc 7756   x. cmul 7758   < clt 7933   <_ cle 7934   - cmin 8069   # cap 8479   / cdiv 8568   NNcn 8857   ZZcz 9191   ZZ>=cuz 9466   RR+crp 9589   seqcseq 10380   ^cexp 10454   abscabs 10939   ~~> cli 11219

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871  ax-arch 7872  ax-caucvg 7873

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-isom 5197  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-irdg 6338  df-frec 6359  df-1o 6384  df-oadd 6388  df-er 6501  df-en 6707  df-dom 6708  df-fin 6709  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-2 8916  df-3 8917  df-4 8918  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-q 9558  df-rp 9590  df-ico 9830  df-fz 9945  df-fzo 10078  df-seqfrec 10381  df-exp 10455  df-ihash 10689  df-cj 10784  df-re 10785  df-im 10786  df-rsqrt 10940  df-abs 10941  df-clim 11220  df-sumdc 11295

This theorem is referenced by:  cvgratgt0  11474