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Theorem cvgratz 10926
Description: Ratio test for convergence of a complex infinite series. If the ratio  A of the absolute values of successive terms in an infinite sequence  F is less than 1 for all terms, then the infinite sum of the terms of  F converges to a complex number. (Contributed by NM, 26-Apr-2005.) (Revised by Jim Kingdon, 11-Nov-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
cvgratz.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
cvgratz.m  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
cvgratz.3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
cvgratz.4  |-  ( ph  ->  A  <  1 )
cvgratz.gt0  |-  ( ph  ->  0  <  A )
cvgratz.6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
cvgratz.7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( abs `  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  <_ 
( A  x.  ( abs `  ( F `  k ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
cvgratz  |-  ( ph  ->  seq M (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  )
Distinct variable groups:    A, k    k, F    k, M    k, Z    ph, k

Proof of Theorem cvgratz
Dummy variables  i  x  y  a are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cvgratz.m . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
21adantr 270 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  1  <_  M )  ->  M  e.  ZZ )
3 fveq2 5305 . . . . . 6  |-  ( k  =  x  ->  ( F `  k )  =  ( F `  x ) )
43eleq1d 2156 . . . . 5  |-  ( k  =  x  ->  (
( F `  k
)  e.  CC  <->  ( F `  x )  e.  CC ) )
5 cvgratz.6 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
65ralrimiva 2446 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. k  e.  Z  ( F `  k )  e.  CC )
76ad2antrr 472 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  A. k  e.  Z  ( F `  k )  e.  CC )
8 cvgratz.1 . . . . . . . 8  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
98eleq2i 2154 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  Z  <->  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)
109biimpri 131 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  x  e.  Z )
1110adantl 271 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  x  e.  Z )
124, 7, 11rspcdva 2727 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  x )  e.  CC )
13 eluzelz 9028 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  k  e.  ZZ )
1413adantl 271 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  k  e.  ZZ )
15 1red 7503 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  1  e.  RR )
161zred 8868 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
1716ad2antrr 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  M  e.  RR )
1814zred 8868 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  k  e.  RR )
19 simplr 497 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  1  <_  M )
20 eluzle 9031 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  <_  k )
2120adantl 271 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  M  <_  k )
2215, 17, 18, 19, 21letrd 7607 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  1  <_  k )
23 elnnz1 8773 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  <->  ( k  e.  ZZ  /\  1  <_ 
k ) )
2414, 22, 23sylanbrc 408 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  k  e.  NN )
25 elnnuz 9055 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  <->  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
26 fveq2 5305 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  M  ->  ( F `  k )  =  ( F `  M ) )
2726eleq1d 2156 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  M  ->  (
( F `  k
)  e.  CC  <->  ( F `  M )  e.  CC ) )
28 uzid 9033 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M )
)
291, 28syl 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M ) )
3029, 8syl6eleqr 2181 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  M  e.  Z )
3127, 6, 30rspcdva 2727 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( F `  M
)  e.  CC )
3231ad3antrrr 476 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )  /\  k  <  M )  -> 
( F `  M
)  e.  CC )
33 cvgratz.3 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
34 cvgratz.gt0 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  0  <  A )
3533, 34elrpd 9171 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
3635ad3antrrr 476 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )  /\  k  <  M )  ->  A  e.  RR+ )
372adantr 270 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  M  e.  ZZ )
3837adantr 270 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )  /\  k  <  M )  ->  M  e.  ZZ )
3925biimpri 131 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  k  e.  NN )
4039adantl 271 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  k  e.  NN )
4140nnzd 8867 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  k  e.  ZZ )
4241adantr 270 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )  /\  k  <  M )  -> 
k  e.  ZZ )
4338, 42zsubcld 8873 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )  /\  k  <  M )  -> 
( M  -  k
)  e.  ZZ )
4436, 43rpexpcld 10110 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )  /\  k  <  M )  -> 
( A ^ ( M  -  k )
)  e.  RR+ )
4544rpcnd 9175 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )  /\  k  <  M )  -> 
( A ^ ( M  -  k )
)  e.  CC )
4644rpap0d 9179 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )  /\  k  <  M )  -> 
( A ^ ( M  -  k )
) #  0 )
4732, 45, 46divclapd 8257 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )  /\  k  <  M )  -> 
( ( F `  M )  /  ( A ^ ( M  -  k ) ) )  e.  CC )
48 simplll 500 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )  /\  -.  k  <  M )  ->  ph )
4937adantr 270 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )  /\  -.  k  <  M )  ->  M  e.  ZZ )
5041adantr 270 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )  /\  -.  k  <  M )  ->  k  e.  ZZ )
5116ad3antrrr 476 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )  /\  -.  k  <  M )  ->  M  e.  RR )
5250zred 8868 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )  /\  -.  k  <  M )  ->  k  e.  RR )
53 simpr 108 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )  /\  -.  k  <  M )  ->  -.  k  <  M )
5451, 52, 53nltled 7604 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )  /\  -.  k  <  M )  ->  M  <_  k
)
55 eluz2 9025 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  <->  ( M  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ  /\  M  <_ 
k ) )
5649, 50, 54, 55syl3anbrc 1127 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )  /\  -.  k  <  M )  ->  k  e.  (
ZZ>= `  M ) )
5756, 8syl6eleqr 2181 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )  /\  -.  k  <  M )  ->  k  e.  Z
)
5848, 57, 5syl2anc 403 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )  /\  -.  k  <  M )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
59 zdclt 8824 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  -> DECID  k  <  M )
6041, 37, 59syl2anc 403 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  -> DECID  k  <  M )
6147, 58, 60ifcldadc 3420 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  if (
k  <  M , 
( ( F `  M )  /  ( A ^ ( M  -  k ) ) ) ,  ( F `  k ) )  e.  CC )
6225, 61sylan2b 281 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  NN )  ->  if ( k  <  M ,  ( ( F `
 M )  / 
( A ^ ( M  -  k )
) ) ,  ( F `  k ) )  e.  CC )
6324, 62syldan 276 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  if (
k  <  M , 
( ( F `  M )  /  ( A ^ ( M  -  k ) ) ) ,  ( F `  k ) )  e.  CC )
64 breq1 3848 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  k  ->  (
i  <  M  <->  k  <  M ) )
65 oveq2 5660 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  k  ->  ( M  -  i )  =  ( M  -  k ) )
6665oveq2d 5668 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  k  ->  ( A ^ ( M  -  i ) )  =  ( A ^ ( M  -  k )
) )
6766oveq2d 5668 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  k  ->  (
( F `  M
)  /  ( A ^ ( M  -  i ) ) )  =  ( ( F `
 M )  / 
( A ^ ( M  -  k )
) ) )
68 fveq2 5305 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  k  ->  ( F `  i )  =  ( F `  k ) )
6964, 67, 68ifbieq12d 3417 . . . . . . 7  |-  ( i  =  k  ->  if ( i  <  M ,  ( ( F `
 M )  / 
( A ^ ( M  -  i )
) ) ,  ( F `  i ) )  =  if ( k  <  M , 
( ( F `  M )  /  ( A ^ ( M  -  k ) ) ) ,  ( F `  k ) ) )
70 eqid 2088 . . . . . . 7  |-  ( i  e.  NN  |->  if ( i  <  M , 
( ( F `  M )  /  ( A ^ ( M  -  i ) ) ) ,  ( F `  i ) ) )  =  ( i  e.  NN  |->  if ( i  <  M ,  ( ( F `  M
)  /  ( A ^ ( M  -  i ) ) ) ,  ( F `  i ) ) )
7169, 70fvmptg 5380 . . . . . 6  |-  ( ( k  e.  NN  /\  if ( k  <  M ,  ( ( F `
 M )  / 
( A ^ ( M  -  k )
) ) ,  ( F `  k ) )  e.  CC )  ->  ( ( i  e.  NN  |->  if ( i  <  M , 
( ( F `  M )  /  ( A ^ ( M  -  i ) ) ) ,  ( F `  i ) ) ) `
 k )  =  if ( k  < 
M ,  ( ( F `  M )  /  ( A ^
( M  -  k
) ) ) ,  ( F `  k
) ) )
7224, 63, 71syl2anc 403 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
i  e.  NN  |->  if ( i  <  M ,  ( ( F `
 M )  / 
( A ^ ( M  -  i )
) ) ,  ( F `  i ) ) ) `  k
)  =  if ( k  <  M , 
( ( F `  M )  /  ( A ^ ( M  -  k ) ) ) ,  ( F `  k ) ) )
7317, 18, 21lensymd 7605 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  -.  k  <  M )
7473iffalsed 3403 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  if (
k  <  M , 
( ( F `  M )  /  ( A ^ ( M  -  k ) ) ) ,  ( F `  k ) )  =  ( F `  k
) )
7572, 74eqtr2d 2121 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  k )  =  ( ( i  e.  NN  |->  if ( i  <  M ,  ( ( F `
 M )  / 
( A ^ ( M  -  i )
) ) ,  ( F `  i ) ) ) `  k
) )
76 addcl 7467 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x  +  y )  e.  CC )
7776adantl 271 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  (
x  e.  CC  /\  y  e.  CC )
)  ->  ( x  +  y )  e.  CC )
782, 12, 75, 77seq3feq 9897 . . 3  |-  ( (
ph  /\  1  <_  M )  ->  seq M (  +  ,  F )  =  seq M (  +  ,  ( i  e.  NN  |->  if ( i  <  M , 
( ( F `  M )  /  ( A ^ ( M  -  i ) ) ) ,  ( F `  i ) ) ) ) )
7933adantr 270 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  1  <_  M )  ->  A  e.  RR )
80 cvgratz.4 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  <  1 )
8180adantr 270 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  1  <_  M )  ->  A  <  1 )
8234adantr 270 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  1  <_  M )  ->  0  <  A )
8371eleq1d 2156 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  NN  /\  if ( k  <  M ,  ( ( F `
 M )  / 
( A ^ ( M  -  k )
) ) ,  ( F `  k ) )  e.  CC )  ->  ( ( ( i  e.  NN  |->  if ( i  <  M ,  ( ( F `
 M )  / 
( A ^ ( M  -  i )
) ) ,  ( F `  i ) ) ) `  k
)  e.  CC  <->  if (
k  <  M , 
( ( F `  M )  /  ( A ^ ( M  -  k ) ) ) ,  ( F `  k ) )  e.  CC ) )
8440, 61, 83syl2anc 403 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ( (
( i  e.  NN  |->  if ( i  <  M ,  ( ( F `
 M )  / 
( A ^ ( M  -  i )
) ) ,  ( F `  i ) ) ) `  k
)  e.  CC  <->  if (
k  <  M , 
( ( F `  M )  /  ( A ^ ( M  -  k ) ) ) ,  ( F `  k ) )  e.  CC ) )
8561, 84mpbird 165 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ( (
i  e.  NN  |->  if ( i  <  M ,  ( ( F `
 M )  / 
( A ^ ( M  -  i )
) ) ,  ( F `  i ) ) ) `  k
)  e.  CC )
8625, 85sylan2b 281 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( i  e.  NN  |->  if ( i  <  M ,  ( ( F `
 M )  / 
( A ^ ( M  -  i )
) ) ,  ( F `  i ) ) ) `  k
)  e.  CC )
8731ad3antrrr 476 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  NN )  /\  ( k  +  1 )  <  M )  ->  ( F `  M )  e.  CC )
8835ad3antrrr 476 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  NN )  /\  ( k  +  1 )  <  M )  ->  A  e.  RR+ )
892ad2antrr 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  NN )  /\  ( k  +  1 )  <  M )  ->  M  e.  ZZ )
9025, 41sylan2b 281 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  ZZ )
9190adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  NN )  /\  ( k  +  1 )  <  M )  ->  k  e.  ZZ )
9291peano2zd 8871 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  NN )  /\  ( k  +  1 )  <  M )  ->  ( k  +  1 )  e.  ZZ )
9389, 92zsubcld 8873 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  NN )  /\  ( k  +  1 )  <  M )  ->  ( M  -  ( k  +  1 ) )  e.  ZZ )
9488, 93rpexpcld 10110 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  NN )  /\  ( k  +  1 )  <  M )  ->  ( A ^
( M  -  (
k  +  1 ) ) )  e.  RR+ )
9594rpcnd 9175 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  NN )  /\  ( k  +  1 )  <  M )  ->  ( A ^
( M  -  (
k  +  1 ) ) )  e.  CC )
9694rpap0d 9179 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  NN )  /\  ( k  +  1 )  <  M )  ->  ( A ^
( M  -  (
k  +  1 ) ) ) #  0 )
9787, 95, 96divclapd 8257 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  NN )  /\  ( k  +  1 )  <  M )  ->  ( ( F `
 M )  / 
( A ^ ( M  -  ( k  +  1 ) ) ) )  e.  CC )
98 fveq2 5305 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  ( k  +  1 )  ->  ( F `  a )  =  ( F `  ( k  +  1 ) ) )
9998eleq1d 2156 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  ( k  +  1 )  ->  (
( F `  a
)  e.  CC  <->  ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  CC ) )
100 fveq2 5305 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  a  ->  ( F `  k )  =  ( F `  a ) )
101100eleq1d 2156 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  a  ->  (
( F `  k
)  e.  CC  <->  ( F `  a )  e.  CC ) )
102101cbvralv 2590 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. k  e.  Z  ( F `  k )  e.  CC  <->  A. a  e.  Z  ( F `  a )  e.  CC )
1036, 102sylib 120 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. a  e.  Z  ( F `  a )  e.  CC )
104103ad3antrrr 476 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  NN )  /\  -.  ( k  +  1 )  <  M
)  ->  A. a  e.  Z  ( F `  a )  e.  CC )
1052ad2antrr 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  NN )  /\  -.  ( k  +  1 )  <  M
)  ->  M  e.  ZZ )
106 peano2nn 8434 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  +  1 )  e.  NN )
107106adantl 271 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  NN )  ->  (
k  +  1 )  e.  NN )
108107nnzd 8867 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  NN )  ->  (
k  +  1 )  e.  ZZ )
109108adantr 270 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  NN )  /\  -.  ( k  +  1 )  <  M
)  ->  ( k  +  1 )  e.  ZZ )
11016ad3antrrr 476 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  NN )  /\  -.  ( k  +  1 )  <  M
)  ->  M  e.  RR )
111107nnred 8435 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  NN )  ->  (
k  +  1 )  e.  RR )
112111adantr 270 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  NN )  /\  -.  ( k  +  1 )  <  M
)  ->  ( k  +  1 )  e.  RR )
113 simpr 108 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  NN )  /\  -.  ( k  +  1 )  <  M
)  ->  -.  (
k  +  1 )  <  M )
114110, 112, 113nltled 7604 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  NN )  /\  -.  ( k  +  1 )  <  M
)  ->  M  <_  ( k  +  1 ) )
115 eluz2 9025 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M
)  <->  ( M  e.  ZZ  /\  ( k  +  1 )  e.  ZZ  /\  M  <_ 
( k  +  1 ) ) )
116105, 109, 114, 115syl3anbrc 1127 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  NN )  /\  -.  ( k  +  1 )  <  M
)  ->  ( k  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
117116, 8syl6eleqr 2181 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  NN )  /\  -.  ( k  +  1 )  <  M
)  ->  ( k  +  1 )  e.  Z )
11899, 104, 117rspcdva 2727 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  NN )  /\  -.  ( k  +  1 )  <  M
)  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  CC )
1192adantr 270 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  NN )  ->  M  e.  ZZ )
120 zdclt 8824 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( k  +  1 )  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  -> DECID  ( k  +  1 )  <  M )
121108, 119, 120syl2anc 403 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  NN )  -> DECID  ( k  +  1 )  <  M )
12297, 118, 121ifcldadc 3420 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  NN )  ->  if ( ( k  +  1 )  <  M ,  ( ( F `
 M )  / 
( A ^ ( M  -  ( k  +  1 ) ) ) ) ,  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  e.  CC )
123122abscld 10614 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  NN )  ->  ( abs `  if ( ( k  +  1 )  <  M ,  ( ( F `  M
)  /  ( A ^ ( M  -  ( k  +  1 ) ) ) ) ,  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )  e.  RR )
12416recnd 7516 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
125124ad2antrr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  NN )  ->  M  e.  CC )
126 simpr 108 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  NN )
127126nncnd 8436 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  CC )
128 1cnd 7504 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  NN )  ->  1  e.  CC )
129125, 127, 128subsub4d 7824 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( M  -  k
)  -  1 )  =  ( M  -  ( k  +  1 ) ) )
130129oveq2d 5668 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  NN )  ->  ( A ^ ( ( M  -  k )  - 
1 ) )  =  ( A ^ ( M  -  ( k  +  1 ) ) ) )
13133recnd 7516 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
132131ad2antrr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  CC )
13333, 34gt0ap0d 8105 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  A #  0 )
134133ad2antrr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  NN )  ->  A #  0 )
135119, 90zsubcld 8873 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  NN )  ->  ( M  -  k )  e.  ZZ )
136132, 134, 135expm1apd 10096 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  NN )  ->  ( A ^ ( ( M  -  k )  - 
1 ) )  =  ( ( A ^
( M  -  k
) )  /  A
) )
137130, 136eqtr3d 2122 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  NN )  ->  ( A ^ ( M  -  ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( A ^
( M  -  k
) )  /  A
) )
138137oveq2d 5668 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( F `  M
)  /  ( A ^ ( M  -  ( k  +  1 ) ) ) )  =  ( ( F `
 M )  / 
( ( A ^
( M  -  k
) )  /  A
) ) )
139138adantr 270 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  NN )  /\  ( k  +  1 )  <  M )  ->  ( ( F `
 M )  / 
( A ^ ( M  -  ( k  +  1 ) ) ) )  =  ( ( F `  M
)  /  ( ( A ^ ( M  -  k ) )  /  A ) ) )
140 simpr 108 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  NN )  /\  ( k  +  1 )  <  M )  ->  ( k  +  1 )  <  M
)
141140iftrued 3400 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  NN )  /\  ( k  +  1 )  <  M )  ->  if ( ( k  +  1 )  <  M ,  ( ( F `  M
)  /  ( A ^ ( M  -  ( k  +  1 ) ) ) ) ,  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( F `  M )  /  ( A ^ ( M  -  ( k  +  1 ) ) ) ) )
142126nnred 8435 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  RR )
143142adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  NN )  /\  ( k  +  1 )  <  M )  ->  k  e.  RR )
144 peano2re 7618 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  RR  ->  (
k  +  1 )  e.  RR )
145143, 144syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  NN )  /\  ( k  +  1 )  <  M )  ->  ( k  +  1 )  e.  RR )
14616ad3antrrr 476 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  NN )  /\  ( k  +  1 )  <  M )  ->  M  e.  RR )
147143ltp1d 8391 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  NN )  /\  ( k  +  1 )  <  M )  ->  k  <  (
k  +  1 ) )
148143, 145, 146, 147, 140lttrd 7609 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  NN )  /\  ( k  +  1 )  <  M )  ->  k  <  M
)
149148iftrued 3400 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  NN )  /\  ( k  +  1 )  <  M )  ->  if ( k  <  M ,  ( ( F `  M
)  /  ( A ^ ( M  -  k ) ) ) ,  ( F `  k ) )  =  ( ( F `  M )  /  ( A ^ ( M  -  k ) ) ) )
150149oveq2d 5668 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  NN )  /\  ( k  +  1 )  <  M )  ->  ( A  x.  if ( k  <  M ,  ( ( F `
 M )  / 
( A ^ ( M  -  k )
) ) ,  ( F `  k ) ) )  =  ( A  x.  ( ( F `  M )  /  ( A ^
( M  -  k
) ) ) ) )
15131ad2antrr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  M )  e.  CC )
152132, 134, 135expclzapd 10091 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  NN )  ->  ( A ^ ( M  -  k ) )  e.  CC )
153132, 134, 135expap0d 10092 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  NN )  ->  ( A ^ ( M  -  k ) ) #  0 )
154151, 152, 132, 153, 134divdivap2d 8290 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( F `  M
)  /  ( ( A ^ ( M  -  k ) )  /  A ) )  =  ( ( ( F `  M )  x.  A )  / 
( A ^ ( M  -  k )
) ) )
155151, 132mulcomd 7509 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( F `  M
)  x.  A )  =  ( A  x.  ( F `  M ) ) )
156155oveq1d 5667 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( F `  M )  x.  A
)  /  ( A ^ ( M  -  k ) ) )  =  ( ( A  x.  ( F `  M ) )  / 
( A ^ ( M  -  k )
) ) )
157132, 151, 152, 153divassapd 8293 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( A  x.  ( F `  M )
)  /  ( A ^ ( M  -  k ) ) )  =  ( A  x.  ( ( F `  M )  /  ( A ^ ( M  -  k ) ) ) ) )
158154, 156, 1573eqtrd 2124 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( F `  M
)  /  ( ( A ^ ( M  -  k ) )  /  A ) )  =  ( A  x.  ( ( F `  M )  /  ( A ^ ( M  -  k ) ) ) ) )
159158adantr 270 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  NN )  /\  ( k  +  1 )  <  M )  ->  ( ( F `
 M )  / 
( ( A ^
( M  -  k
) )  /  A
) )  =  ( A  x.  ( ( F `  M )  /  ( A ^
( M  -  k
) ) ) ) )
160150, 159eqtr4d 2123 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  NN )  /\  ( k  +  1 )  <  M )  ->  ( A  x.  if ( k  <  M ,  ( ( F `
 M )  / 
( A ^ ( M  -  k )
) ) ,  ( F `  k ) ) )  =  ( ( F `  M
)  /  ( ( A ^ ( M  -  k ) )  /  A ) ) )
161139, 141, 1603eqtr4d 2130 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  NN )  /\  ( k  +  1 )  <  M )  ->  if ( ( k  +  1 )  <  M ,  ( ( F `  M
)  /  ( A ^ ( M  -  ( k  +  1 ) ) ) ) ,  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  =  ( A  x.  if ( k  <  M ,  ( ( F `
 M )  / 
( A ^ ( M  -  k )
) ) ,  ( F `  k ) ) ) )
162161fveq2d 5309 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  NN )  /\  ( k  +  1 )  <  M )  ->  ( abs `  if ( ( k  +  1 )  <  M ,  ( ( F `
 M )  / 
( A ^ ( M  -  ( k  +  1 ) ) ) ) ,  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )  =  ( abs `  ( A  x.  if ( k  <  M ,  ( ( F `  M
)  /  ( A ^ ( M  -  k ) ) ) ,  ( F `  k ) ) ) ) )
163132, 62absmuld 10627 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  NN )  ->  ( abs `  ( A  x.  if ( k  <  M ,  ( ( F `
 M )  / 
( A ^ ( M  -  k )
) ) ,  ( F `  k ) ) ) )  =  ( ( abs `  A
)  x.  ( abs `  if ( k  < 
M ,  ( ( F `  M )  /  ( A ^
( M  -  k
) ) ) ,  ( F `  k
) ) ) ) )
164163adantr 270 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  NN )  /\  ( k  +  1 )  <  M )  ->  ( abs `  ( A  x.  if (
k  <  M , 
( ( F `  M )  /  ( A ^ ( M  -  k ) ) ) ,  ( F `  k ) ) ) )  =  ( ( abs `  A )  x.  ( abs `  if ( k  <  M ,  ( ( F `
 M )  / 
( A ^ ( M  -  k )
) ) ,  ( F `  k ) ) ) ) )
16535rpge0d 9177 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
16633, 165absidd 10600 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( abs `  A
)  =  A )
167166oveq1d 5667 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  A
)  x.  ( abs `  if ( k  < 
M ,  ( ( F `  M )  /  ( A ^
( M  -  k
) ) ) ,  ( F `  k
) ) ) )  =  ( A  x.  ( abs `  if ( k  <  M , 
( ( F `  M )  /  ( A ^ ( M  -  k ) ) ) ,  ( F `  k ) ) ) ) )
168167ad3antrrr 476 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  NN )  /\  ( k  +  1 )  <  M )  ->  ( ( abs `  A )  x.  ( abs `  if ( k  <  M ,  ( ( F `  M
)  /  ( A ^ ( M  -  k ) ) ) ,  ( F `  k ) ) ) )  =  ( A  x.  ( abs `  if ( k  <  M ,  ( ( F `
 M )  / 
( A ^ ( M  -  k )
) ) ,  ( F `  k ) ) ) ) )
169162, 164, 1683eqtrd 2124 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  NN )  /\  ( k  +  1 )  <  M )  ->  ( abs `  if ( ( k  +  1 )  <  M ,  ( ( F `
 M )  / 
( A ^ ( M  -  ( k  +  1 ) ) ) ) ,  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )  =  ( A  x.  ( abs `  if ( k  < 
M ,  ( ( F `  M )  /  ( A ^
( M  -  k
) ) ) ,  ( F `  k
) ) ) ) )
170 eqle 7576 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( abs `  if ( ( k  +  1 )  <  M ,  ( ( F `
 M )  / 
( A ^ ( M  -  ( k  +  1 ) ) ) ) ,  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )  e.  RR  /\  ( abs `  if ( ( k  +  1 )  <  M ,  ( ( F `
 M )  / 
( A ^ ( M  -  ( k  +  1 ) ) ) ) ,  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )  =  ( A  x.  ( abs `  if ( k  < 
M ,  ( ( F `  M )  /  ( A ^
( M  -  k
) ) ) ,  ( F `  k
) ) ) ) )  ->  ( abs `  if ( ( k  +  1 )  < 
M ,  ( ( F `  M )  /  ( A ^
( M  -  (
k  +  1 ) ) ) ) ,  ( F `  (
k  +  1 ) ) ) )  <_ 
( A  x.  ( abs `  if ( k  <  M ,  ( ( F `  M
)  /  ( A ^ ( M  -  k ) ) ) ,  ( F `  k ) ) ) ) )
171123, 169, 170syl2an2r 562 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  NN )  /\  ( k  +  1 )  <  M )  ->  ( abs `  if ( ( k  +  1 )  <  M ,  ( ( F `
 M )  / 
( A ^ ( M  -  ( k  +  1 ) ) ) ) ,  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )  <_  ( A  x.  ( abs `  if ( k  < 
M ,  ( ( F `  M )  /  ( A ^
( M  -  k
) ) ) ,  ( F `  k
) ) ) ) )
17216ad2antrr 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  NN )  ->  M  e.  RR )
173111, 172lttri3d 7599 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( k  +  1 )  =  M  <->  ( -.  ( k  +  1 )  <  M  /\  -.  M  <  ( k  +  1 ) ) ) )
174173simprbda 375 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  NN )  /\  ( k  +  1 )  =  M )  ->  -.  ( k  +  1 )  < 
M )
175174iffalsed 3403 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  NN )  /\  ( k  +  1 )  =  M )  ->  if ( ( k  +  1 )  <  M ,  ( ( F `  M
)  /  ( A ^ ( M  -  ( k  +  1 ) ) ) ) ,  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  =  ( F `  (
k  +  1 ) ) )
176 simpr 108 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  NN )  /\  ( k  +  1 )  =  M )  ->  ( k  +  1 )  =  M )
177176fveq2d 5309 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  NN )  /\  ( k  +  1 )  =  M )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  =  ( F `  M ) )
178175, 177eqtrd 2120 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  NN )  /\  ( k  +  1 )  =  M )  ->  if ( ( k  +  1 )  <  M ,  ( ( F `  M
)  /  ( A ^ ( M  -  ( k  +  1 ) ) ) ) ,  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  =  ( F `  M
) )
179178fveq2d 5309 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  NN )  /\  ( k  +  1 )  =  M )  ->  ( abs `  if ( ( k  +  1 )  <  M ,  ( ( F `
 M )  / 
( A ^ ( M  -  ( k  +  1 ) ) ) ) ,  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )  =  ( abs `  ( F `
 M ) ) )
180142adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  NN )  /\  ( k  +  1 )  =  M )  ->  k  e.  RR )
181180ltp1d 8391 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  NN )  /\  ( k  +  1 )  =  M )  ->  k  <  (
k  +  1 ) )
182 breq2 3849 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  +  1 )  =  M  ->  (
k  <  ( k  +  1 )  <->  k  <  M ) )
183182adantl 271 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  NN )  /\  ( k  +  1 )  =  M )  ->  ( k  < 
( k  +  1 )  <->  k  <  M
) )
184181, 183mpbid 145 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  NN )  /\  ( k  +  1 )  =  M )  ->  k  <  M
)
185184iftrued 3400 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  NN )  /\  ( k  +  1 )  =  M )  ->  if ( k  <  M ,  ( ( F `  M
)  /  ( A ^ ( M  -  k ) ) ) ,  ( F `  k ) )  =  ( ( F `  M )  /  ( A ^ ( M  -  k ) ) ) )
186176oveq1d 5667 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  NN )  /\  ( k  +  1 )  =  M )  ->  ( ( k  +  1 )  -  k )  =  ( M  -  k ) )
187127adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  NN )  /\  ( k  +  1 )  =  M )  ->  k  e.  CC )
188 1cnd 7504 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  NN )  /\  ( k  +  1 )  =  M )  ->  1  e.  CC )
189187, 188pncan2d 7795 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  NN )  /\  ( k  +  1 )  =  M )  ->  ( ( k  +  1 )  -  k )  =  1 )
190186, 189eqtr3d 2122 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  NN )  /\  ( k  +  1 )  =  M )  ->  ( M  -  k )  =  1 )
191190oveq2d 5668 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  NN )  /\  ( k  +  1 )  =  M )  ->  ( A ^
( M  -  k
) )  =  ( A ^ 1 ) )
192132adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  NN )  /\  ( k  +  1 )  =  M )  ->  A  e.  CC )
193192exp1d 10081 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  NN )  /\  ( k  +  1 )  =  M )  ->  ( A ^
1 )  =  A )
194191, 193eqtrd 2120 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  NN )  /\  ( k  +  1 )  =  M )  ->  ( A ^
( M  -  k
) )  =  A )
195194oveq2d 5668 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  NN )  /\  ( k  +  1 )  =  M )  ->  ( ( F `
 M )  / 
( A ^ ( M  -  k )
) )  =  ( ( F `  M
)  /  A ) )
196185, 195eqtrd 2120 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  NN )  /\  ( k  +  1 )  =  M )  ->  if ( k  <  M ,  ( ( F `  M
)  /  ( A ^ ( M  -  k ) ) ) ,  ( F `  k ) )  =  ( ( F `  M )  /  A
) )
197196oveq2d 5668 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  NN )  /\  ( k  +  1 )  =  M )  ->  ( A  x.  if ( k  <  M ,  ( ( F `
 M )  / 
( A ^ ( M  -  k )
) ) ,  ( F `  k ) ) )  =  ( A  x.  ( ( F `  M )  /  A ) ) )
19831, 131, 133divcanap2d 8259 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A  x.  (
( F `  M
)  /  A ) )  =  ( F `
 M ) )
199198ad3antrrr 476 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  NN )  /\  ( k  +  1 )  =  M )  ->  ( A  x.  ( ( F `  M )  /  A
) )  =  ( F `  M ) )
200197, 199eqtrd 2120 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  NN )  /\  ( k  +  1 )  =  M )  ->  ( A  x.  if ( k  <  M ,  ( ( F `
 M )  / 
( A ^ ( M  -  k )
) ) ,  ( F `  k ) ) )  =  ( F `  M ) )
201200fveq2d 5309 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  NN )  /\  ( k  +  1 )  =  M )  ->  ( abs `  ( A  x.  if (
k  <  M , 
( ( F `  M )  /  ( A ^ ( M  -  k ) ) ) ,  ( F `  k ) ) ) )  =  ( abs `  ( F `  M
) ) )
202167ad2antrr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( abs `  A
)  x.  ( abs `  if ( k  < 
M ,  ( ( F `  M )  /  ( A ^
( M  -  k
) ) ) ,  ( F `  k
) ) ) )  =  ( A  x.  ( abs `  if ( k  <  M , 
( ( F `  M )  /  ( A ^ ( M  -  k ) ) ) ,  ( F `  k ) ) ) ) )
203163, 202eqtrd 2120 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  NN )  ->  ( abs `  ( A  x.  if ( k  <  M ,  ( ( F `
 M )  / 
( A ^ ( M  -  k )
) ) ,  ( F `  k ) ) ) )  =  ( A  x.  ( abs `  if ( k  <  M ,  ( ( F `  M
)  /  ( A ^ ( M  -  k ) ) ) ,  ( F `  k ) ) ) ) )
204203adantr 270 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  NN )  /\  ( k  +  1 )  =  M )  ->  ( abs `  ( A  x.  if (
k  <  M , 
( ( F `  M )  /  ( A ^ ( M  -  k ) ) ) ,  ( F `  k ) ) ) )  =  ( A  x.  ( abs `  if ( k  <  M ,  ( ( F `
 M )  / 
( A ^ ( M  -  k )
) ) ,  ( F `  k ) ) ) ) )
205179, 201, 2043eqtr2d 2126 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  NN )  /\  ( k  +  1 )  =  M )  ->  ( abs `  if ( ( k  +  1 )  <  M ,  ( ( F `
 M )  / 
( A ^ ( M  -  ( k  +  1 ) ) ) ) ,  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )  =  ( A  x.  ( abs `  if ( k  < 
M ,  ( ( F `  M )  /  ( A ^
( M  -  k
) ) ) ,  ( F `  k
) ) ) ) )
206123, 205, 170syl2an2r 562 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  NN )  /\  ( k  +  1 )  =  M )  ->  ( abs `  if ( ( k  +  1 )  <  M ,  ( ( F `
 M )  / 
( A ^ ( M  -  ( k  +  1 ) ) ) ) ,  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )  <_  ( A  x.  ( abs `  if ( k  < 
M ,  ( ( F `  M )  /  ( A ^
( M  -  k
) ) ) ,  ( F `  k
) ) ) ) )
207 simplll 500 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  NN )  /\  M  <  ( k  +  1 ) )  ->  ph )
208119adantr 270 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  NN )  /\  M  <  ( k  +  1 ) )  ->  M  e.  ZZ )
20990adantr 270 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  NN )  /\  M  <  ( k  +  1 ) )  ->  k  e.  ZZ )
210 simpr 108 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  NN )  /\  M  <  ( k  +  1 ) )  ->  M  <  (
k  +  1 ) )
211 zleltp1 8805 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( M  <_  k  <->  M  <  ( k  +  1 ) ) )
212119, 209, 211syl2an2r 562 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  NN )  /\  M  <  ( k  +  1 ) )  ->  ( M  <_ 
k  <->  M  <  ( k  +  1 ) ) )
213210, 212mpbird 165 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  NN )  /\  M  <  ( k  +  1 ) )  ->  M  <_  k
)
214208, 209, 213, 55syl3anbrc 1127 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  NN )  /\  M  <  ( k  +  1 ) )  ->  k  e.  (
ZZ>= `  M ) )
215214, 8syl6eleqr 2181 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  NN )  /\  M  <  ( k  +  1 ) )  ->  k  e.  Z
)
216 cvgratz.7 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( abs `  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  <_ 
( A  x.  ( abs `  ( F `  k ) ) ) )
217207, 215, 216syl2anc 403 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  NN )  /\  M  <  ( k  +  1 ) )  ->  ( abs `  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  <_  ( A  x.  ( abs `  ( F `  k )
) ) )
218172adantr 270 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  NN )  /\  M  <  ( k  +  1 ) )  ->  M  e.  RR )
219111adantr 270 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  NN )  /\  M  <  ( k  +  1 ) )  ->  ( k  +  1 )  e.  RR )
220218, 219, 210ltnsymd 7603 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  NN )  /\  M  <  ( k  +  1 ) )  ->  -.  ( k  +  1 )  < 
M )
221220iffalsed 3403 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  NN )  /\  M  <  ( k  +  1 ) )  ->  if ( ( k  +  1 )  <  M ,  ( ( F `  M
)  /  ( A ^ ( M  -  ( k  +  1 ) ) ) ) ,  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  =  ( F `  (
k  +  1 ) ) )
222221fveq2d 5309 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  NN )  /\  M  <  ( k  +  1 ) )  ->  ( abs `  if ( ( k  +  1 )  <  M ,  ( ( F `
 M )  / 
( A ^ ( M  -  ( k  +  1 ) ) ) ) ,  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )  =  ( abs `  ( F `
 ( k  +  1 ) ) ) )
223142adantr 270 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  NN )  /\  M  <  ( k  +  1 ) )  ->  k  e.  RR )
224218, 223, 213lensymd 7605 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  NN )  /\  M  <  ( k  +  1 ) )  ->  -.  k  <  M )
225224iffalsed 3403 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  NN )  /\  M  <  ( k  +  1 ) )  ->  if ( k  <  M ,  ( ( F `  M
)  /  ( A ^ ( M  -  k ) ) ) ,  ( F `  k ) )  =  ( F `  k
) )
226225fveq2d 5309 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  NN )  /\  M  <  ( k  +  1 ) )  ->  ( abs `  if ( k  <  M ,  ( ( F `
 M )  / 
( A ^ ( M  -  k )
) ) ,  ( F `  k ) ) )  =  ( abs `  ( F `
 k ) ) )
227226oveq2d 5668 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  NN )  /\  M  <  ( k  +  1 ) )  ->  ( A  x.  ( abs `  if ( k  <  M , 
( ( F `  M )  /  ( A ^ ( M  -  k ) ) ) ,  ( F `  k ) ) ) )  =  ( A  x.  ( abs `  ( F `  k )
) ) )
228217, 222, 2273brtr4d 3875 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  NN )  /\  M  <  ( k  +  1 ) )  ->  ( abs `  if ( ( k  +  1 )  <  M ,  ( ( F `
 M )  / 
( A ^ ( M  -  ( k  +  1 ) ) ) ) ,  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )  <_  ( A  x.  ( abs `  if ( k  < 
M ,  ( ( F `  M )  /  ( A ^
( M  -  k
) ) ) ,  ( F `  k
) ) ) ) )
229 ztri3or 8793 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( k  +  1 )  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( ( k  +  1 )  <  M  \/  ( k  +  1 )  =  M  \/  M  <  ( k  +  1 ) ) )
230108, 119, 229syl2anc 403 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( k  +  1 )  <  M  \/  ( k  +  1 )  =  M  \/  M  <  ( k  +  1 ) ) )
231171, 206, 228, 230mpjao3dan 1243 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  NN )  ->  ( abs `  if ( ( k  +  1 )  <  M ,  ( ( F `  M
)  /  ( A ^ ( M  -  ( k  +  1 ) ) ) ) ,  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )  <_  ( A  x.  ( abs `  if ( k  <  M , 
( ( F `  M )  /  ( A ^ ( M  -  k ) ) ) ,  ( F `  k ) ) ) ) )
232 breq1 3848 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  ( k  +  1 )  ->  (
i  <  M  <->  ( k  +  1 )  < 
M ) )
233 oveq2 5660 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  ( k  +  1 )  ->  ( M  -  i )  =  ( M  -  ( k  +  1 ) ) )
234233oveq2d 5668 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  ( k  +  1 )  ->  ( A ^ ( M  -  i ) )  =  ( A ^ ( M  -  ( k  +  1 ) ) ) )
235234oveq2d 5668 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  ( k  +  1 )  ->  (
( F `  M
)  /  ( A ^ ( M  -  i ) ) )  =  ( ( F `
 M )  / 
( A ^ ( M  -  ( k  +  1 ) ) ) ) )
236 fveq2 5305 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  ( k  +  1 )  ->  ( F `  i )  =  ( F `  ( k  +  1 ) ) )
237232, 235, 236ifbieq12d 3417 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  ( k  +  1 )  ->  if ( i  <  M ,  ( ( F `
 M )  / 
( A ^ ( M  -  i )
) ) ,  ( F `  i ) )  =  if ( ( k  +  1 )  <  M , 
( ( F `  M )  /  ( A ^ ( M  -  ( k  +  1 ) ) ) ) ,  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )
238237, 70fvmptg 5380 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( k  +  1 )  e.  NN  /\  if ( ( k  +  1 )  <  M ,  ( ( F `
 M )  / 
( A ^ ( M  -  ( k  +  1 ) ) ) ) ,  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  e.  CC )  ->  ( ( i  e.  NN  |->  if ( i  <  M , 
( ( F `  M )  /  ( A ^ ( M  -  i ) ) ) ,  ( F `  i ) ) ) `
 ( k  +  1 ) )  =  if ( ( k  +  1 )  < 
M ,  ( ( F `  M )  /  ( A ^
( M  -  (
k  +  1 ) ) ) ) ,  ( F `  (
k  +  1 ) ) ) )
239107, 122, 238syl2anc 403 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( i  e.  NN  |->  if ( i  <  M ,  ( ( F `
 M )  / 
( A ^ ( M  -  i )
) ) ,  ( F `  i ) ) ) `  (
k  +  1 ) )  =  if ( ( k  +  1 )  <  M , 
( ( F `  M )  /  ( A ^ ( M  -  ( k  +  1 ) ) ) ) ,  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )
240239fveq2d 5309 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  NN )  ->  ( abs `  ( ( i  e.  NN  |->  if ( i  <  M , 
( ( F `  M )  /  ( A ^ ( M  -  i ) ) ) ,  ( F `  i ) ) ) `
 ( k  +  1 ) ) )  =  ( abs `  if ( ( k  +  1 )  <  M ,  ( ( F `
 M )  / 
( A ^ ( M  -  ( k  +  1 ) ) ) ) ,  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
241126, 62, 71syl2anc 403 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( i  e.  NN  |->  if ( i  <  M ,  ( ( F `
 M )  / 
( A ^ ( M  -  i )
) ) ,  ( F `  i ) ) ) `  k
)  =  if ( k  <  M , 
( ( F `  M )  /  ( A ^ ( M  -  k ) ) ) ,  ( F `  k ) ) )
242241fveq2d 5309 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  NN )  ->  ( abs `  ( ( i  e.  NN  |->  if ( i  <  M , 
( ( F `  M )  /  ( A ^ ( M  -  i ) ) ) ,  ( F `  i ) ) ) `
 k ) )  =  ( abs `  if ( k  <  M ,  ( ( F `
 M )  / 
( A ^ ( M  -  k )
) ) ,  ( F `  k ) ) ) )
243242oveq2d 5668 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  NN )  ->  ( A  x.  ( abs `  ( ( i  e.  NN  |->  if ( i  <  M ,  ( ( F `  M
)  /  ( A ^ ( M  -  i ) ) ) ,  ( F `  i ) ) ) `
 k ) ) )  =  ( A  x.  ( abs `  if ( k  <  M ,  ( ( F `
 M )  / 
( A ^ ( M  -  k )
) ) ,  ( F `  k ) ) ) ) )
244231, 240, 2433brtr4d 3875 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  1  <_  M )  /\  k  e.  NN )  ->  ( abs `  ( ( i  e.  NN  |->  if ( i  <  M , 
( ( F `  M )  /  ( A ^ ( M  -  i ) ) ) ,  ( F `  i ) ) ) `
 ( k  +  1 ) ) )  <_  ( A  x.  ( abs `  ( ( i  e.  NN  |->  if ( i  <  M ,  ( ( F `
 M )  / 
( A ^ ( M  -  i )
) ) ,  ( F `  i ) ) ) `  k
) ) ) )
24579, 81, 82, 86, 244cvgratnn 10925 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  1  <_  M )  ->  seq 1
(  +  ,  ( i  e.  NN  |->  if ( i  <  M ,  ( ( F `
 M )  / 
( A ^ ( M  -  i )
) ) ,  ( F `  i ) ) ) )  e. 
dom 
~~>  )
246 eqid 2088 . . . . 5  |-  ( ZZ>= ` 
1 )  =  (
ZZ>= `  1 )
247 1zzd 8777 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  1  <_  M )  ->  1  e.  ZZ )
248 simpr 108 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  1  <_  M )  ->  1  <_  M )
249 eluz2 9025 . . . . . 6  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  1
)  <->  ( 1  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  1  <_  M ) )
250247, 2, 248, 249syl3anbrc 1127 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  1  <_  M )  ->  M  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
251246, 250, 85iserex 10727 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  1  <_  M )  ->  (  seq 1 (  +  , 
( i  e.  NN  |->  if ( i  <  M ,  ( ( F `
 M )  / 
( A ^ ( M  -  i )
) ) ,  ( F `  i ) ) ) )  e. 
dom 
~~> 
<->  seq M (  +  ,  ( i  e.  NN  |->  if ( i  <  M ,  ( ( F `  M
)  /  ( A ^ ( M  -  i ) ) ) ,  ( F `  i ) ) ) )  e.  dom  ~~>  ) )
252245, 251mpbid 145 . . 3  |-  ( (
ph  /\  1  <_  M )  ->  seq M (  +  ,  ( i  e.  NN  |->  if ( i  <  M , 
( ( F `  M )  /  ( A ^ ( M  -  i ) ) ) ,  ( F `  i ) ) ) )  e.  dom  ~~>  )
25378, 252eqeltrd 2164 . 2  |-  ( (
ph  /\  1  <_  M )  ->  seq M (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )
25433adantr 270 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  M  <_  1 )  ->  A  e.  RR )
25580adantr 270 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  M  <_  1 )  ->  A  <  1 )
25634adantr 270 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  M  <_  1 )  ->  0  <  A )
2571adantr 270 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  M  <_  1 )  ->  M  e.  ZZ )
258257adantr 270 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  M  <_  1 )  /\  k  e.  NN )  ->  M  e.  ZZ )
259 nnz 8769 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  ZZ )
260259adantl 271 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  M  <_  1 )  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  ZZ )
261258zred 8868 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  M  <_  1 )  /\  k  e.  NN )  ->  M  e.  RR )
262 1red 7503 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  M  <_  1 )  /\  k  e.  NN )  ->  1  e.  RR )
263260zred 8868 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  M  <_  1 )  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  RR )
264 simplr 497 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  M  <_  1 )  /\  k  e.  NN )  ->  M  <_  1 )
265 nnge1 8445 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  1  <_  k )
266265adantl 271 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  M  <_  1 )  /\  k  e.  NN )  ->  1  <_  k )
267261, 262, 263, 264, 266letrd 7607 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  M  <_  1 )  /\  k  e.  NN )  ->  M  <_  k )
268258, 260, 267, 55syl3anbrc 1127 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  M  <_  1 )  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
2698eleq2i 2154 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  Z  <->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
270269, 5sylan2br 282 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  k )  e.  CC )
271270adantlr 461 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  M  <_  1 )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  k )  e.  CC )
272268, 271syldan 276 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  M  <_  1 )  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
273269, 216sylan2br 282 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( abs `  ( F `  (
k  +  1 ) ) )  <_  ( A  x.  ( abs `  ( F `  k
) ) ) )
274273adantlr 461 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  M  <_  1 )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( abs `  ( F `  (
k  +  1 ) ) )  <_  ( A  x.  ( abs `  ( F `  k
) ) ) )
275268, 274syldan 276 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  M  <_  1 )  /\  k  e.  NN )  ->  ( abs `  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  <_ 
( A  x.  ( abs `  ( F `  k ) ) ) )
276254, 255, 256, 272, 275cvgratnn 10925 . . 3  |-  ( (
ph  /\  M  <_  1 )  ->  seq 1
(  +  ,  F
)  e.  dom  ~~>  )
277 eqid 2088 . . . 4  |-  ( ZZ>= `  M )  =  (
ZZ>= `  M )
278 1zzd 8777 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  M  <_  1 )  ->  1  e.  ZZ )
279 simpr 108 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  M  <_  1 )  ->  M  <_  1 )
280 eluz2 9025 . . . . 5  |-  ( 1  e.  ( ZZ>= `  M
)  <->  ( M  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ  /\  M  <_ 
1 ) )
281257, 278, 279, 280syl3anbrc 1127 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  M  <_  1 )  ->  1  e.  ( ZZ>= `  M )
)
282277, 281, 271iserex 10727 . . 3  |-  ( (
ph  /\  M  <_  1 )  ->  (  seq M (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  <->  seq 1 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  ) )
283276, 282mpbird 165 . 2  |-  ( (
ph  /\  M  <_  1 )  ->  seq M (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )
284 1z 8776 . . 3  |-  1  e.  ZZ
285 zletric 8794 . . 3  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( 1  <_  M  \/  M  <_  1 ) )
286284, 1, 285sylancr 405 . 2  |-  ( ph  ->  ( 1  <_  M  \/  M  <_  1 ) )
287253, 283, 286mpjaodan 747 1  |-  ( ph  ->  seq M (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    \/ wo 664  DECID wdc 780    \/ w3o 923    = wceq 1289    e. wcel 1438   A.wral 2359   ifcif 3393   class class class wbr 3845    |-> cmpt 3899   dom cdm 4438   ` cfv 5015  (class class class)co 5652   CCcc 7348   RRcr 7349   0cc0 7350   1c1 7351    + caddc 7353    x. cmul 7355    < clt 7522    <_ cle 7523    - cmin 7653   # cap 8058    / cdiv 8139   NNcn 8422   ZZcz 8750   ZZ>=cuz 9019   RR+crp 9134    seqcseq 9852   ^cexp 9954   abscabs 10430    ~~> cli 10666
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3954  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-iinf 4403  ax-cnex 7436  ax-resscn 7437  ax-1cn 7438  ax-1re 7439  ax-icn 7440  ax-addcl 7441  ax-addrcl 7442  ax-mulcl 7443  ax-mulrcl 7444  ax-addcom 7445  ax-mulcom 7446  ax-addass 7447  ax-mulass 7448  ax-distr 7449  ax-i2m1 7450  ax-0lt1 7451  ax-1rid 7452  ax-0id 7453  ax-rnegex 7454  ax-precex 7455  ax-cnre 7456  ax-pre-ltirr 7457  ax-pre-ltwlin 7458  ax-pre-lttrn 7459  ax-pre-apti 7460  ax-pre-ltadd 7461  ax-pre-mulgt0 7462  ax-pre-mulext 7463  ax-arch 7464  ax-caucvg 7465
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-if 3394  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-iun 3732  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-tr 3937  df-id 4120  df-po 4123  df-iso 4124  df-iord 4193  df-on 4195  df-ilim 4196  df-suc 4198  df-iom 4406  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023  df-isom 5024  df-riota 5608  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-1st 5911  df-2nd 5912  df-recs 6070  df-irdg 6135  df-frec 6156  df-1o 6181  df-oadd 6185  df-er 6292  df-en 6458  df-dom 6459  df-fin 6460  df-pnf 7524  df-mnf 7525  df-xr 7526  df-ltxr 7527  df-le 7528  df-sub 7655  df-neg 7656  df-reap 8052  df-ap 8059  df-div 8140  df-inn 8423  df-2 8481  df-3 8482  df-4 8483  df-n0 8674  df-z 8751  df-uz 9020  df-q 9105  df-rp 9135  df-ico 9312  df-fz 9425  df-fzo 9554  df-iseq 9853  df-seq3 9854  df-exp 9955  df-ihash 10184  df-cj 10276  df-re 10277  df-im 10278  df-rsqrt 10431  df-abs 10432  df-clim 10667  df-isum 10743
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