Theorem ltled 8445

Description: 'Less than' implies 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	|- ( ph -> A e. RR )
ltd.2	|- ( ph -> B e. RR )
ltled.1	|- ( ph -> A < B )

Assertion

Ref	Expression
ltled	|- ( ph -> A <_ B )

Proof of Theorem ltled

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltled.1	. 2 |- ( ph -> A < B )
2		ltd.1	. . 3 |- ( ph -> A e. RR )
3		ltd.2	. . 3 |- ( ph -> B e. RR )
4		ltle 8413	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B -> A <_ B ) )
5	2, 3, 4	syl2anc 415	. 2 |- ( ph -> ( A < B -> A <_ B ) )
6	1, 5	mpd 13	1 |- ( ph -> A <_ B )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   e. wcel 2209   class class class wbr 4130   RRcr 8178   < clt 8360   <_ cle 8361

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-lttrn 8293

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-xp 4780  df-cnv 4782  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366

This theorem is used by:  ltnsymd  8446  addgt0d  8849  lt2addd  8895  lt2msq1  9215  lediv12a  9224  ledivp1  9233  nn2ge  9337  fznatpl1  10483  exbtwnzlemex  10684  apbtwnz  10709  iseqf1olemkle  10934  expnbnd  11101  nn0ltexp2  11147  bcm1n  11207  iswrdiz  11311  cvg1nlemres  11751  resqrexlemnm  11784  resqrexlemcvg  11785  resqrexlemglsq  11788  sqrtgt0  11800  leabs  11840  ltabs  11853  abslt  11854  absle  11855  maxabslemab  11972  2zsupmax  11992  2zinfmin  12009  xrmaxiflemab  12013  fsum3cvg3  12163  divcnv  12264  expcnvre  12270  absltap  12276  cvgratnnlemnexp  12291  cvgratnnlemmn  12292  cvgratnnlemfm  12296  mertenslemi1  12302  sinltxirr  12528  cos12dec  12535  dvdslelemd  12610  divalglemnn  12685  divalglemeuneg  12690  bitsfzo  12722  bitsmod  12723  lcmgcdlem  12855  isprm5lem  12919  znege1  12956  sqrt2irraplemnn  12957  eulerthlemrprm  13007  eulerthlema  13008  4sqlem7  13163  ballotfilemonn  13221  ballotfilemfc0  13232  ballotfilemfcc  13233  ballotfilemimin  13249  ballotfilemsgt1  13254  ballotfilemfrcn0  13273  ennnfonelemex  13305  strleund  13457  suplociccreex  15725  ivthinclemlm  15735  ivthinclemum  15736  ivthinclemlopn  15737  ivthinclemuopn  15739  ivthdec  15745  hoverlt1  15750  hovergt0  15751  dveflem  15827  efltlemlt  15875  sin0pilem1  15882  sin0pilem2  15883  coseq0negpitopi  15937  tangtx  15939  cosq34lt1  15951  cos02pilt1  15952  pellexlem2  16092  lgseisenlem1  16189  lgsquadlem1  16196  lgsquadlem2  16197  lgsquadlem3  16198  apdifflemf  17095