Theorem ltled 7905

Description: 'Less than' implies 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	|- ( ph -> A e. RR )
ltd.2	|- ( ph -> B e. RR )
ltled.1	|- ( ph -> A < B )

Assertion

Ref	Expression
ltled	|- ( ph -> A <_ B )

Proof of Theorem ltled

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltled.1	. 2 |- ( ph -> A < B )
2		ltd.1	. . 3 |- ( ph -> A e. RR )
3		ltd.2	. . 3 |- ( ph -> B e. RR )
4		ltle 7875	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B -> A <_ B ) )
5	2, 3, 4	syl2anc 409	. 2 |- ( ph -> ( A < B -> A <_ B ) )
6	1, 5	mpd 13	1 |- ( ph -> A <_ B )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1481   class class class wbr 3937   RRcr 7643   < clt 7824   <_ cle 7825

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-lttrn 7758

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-rab 2426  df-v 2691  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-br 3938  df-opab 3998  df-xp 4553  df-cnv 4555  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830

This theorem is referenced by:  ltnsymd  7906  addgt0d  8307  lt2addd  8353  lt2msq1  8667  lediv12a  8676  ledivp1  8685  nn2ge  8777  fznatpl1  9887  exbtwnzlemex  10058  apbtwnz  10078  iseqf1olemkle  10288  expnbnd  10446  cvg1nlemres  10789  resqrexlemnm  10822  resqrexlemcvg  10823  resqrexlemglsq  10826  sqrtgt0  10838  leabs  10878  ltabs  10891  abslt  10892  absle  10893  maxabslemab  11010  2zsupmax  11029  xrmaxiflemab  11048  fsum3cvg3  11197  divcnv  11298  expcnvre  11304  absltap  11310  cvgratnnlemnexp  11325  cvgratnnlemmn  11326  cvgratnnlemfm  11330  mertenslemi1  11336  cos12dec  11510  dvdslelemd  11577  divalglemnn  11651  divalglemeuneg  11656  lcmgcdlem  11794  znege1  11892  sqrt2irraplemnn  11893  ennnfonelemex  11963  strleund  12086  suplociccreex  12810  ivthinclemlm  12820  ivthinclemum  12821  ivthinclemlopn  12822  ivthinclemuopn  12824  ivthdec  12830  dveflem  12895  efltlemlt  12903  sin0pilem1  12910  sin0pilem2  12911  coseq0negpitopi  12965  tangtx  12967  cosq34lt1  12979  cos02pilt1  12980  apdifflemf  13414