Theorem ltled 8193

Description: 'Less than' implies 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	|- ( ph -> A e. RR )
ltd.2	|- ( ph -> B e. RR )
ltled.1	|- ( ph -> A < B )

Assertion

Ref	Expression
ltled	|- ( ph -> A <_ B )

Proof of Theorem ltled

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltled.1	. 2 |- ( ph -> A < B )
2		ltd.1	. . 3 |- ( ph -> A e. RR )
3		ltd.2	. . 3 |- ( ph -> B e. RR )
4		ltle 8162	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B -> A <_ B ) )
5	2, 3, 4	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> ( A < B -> A <_ B ) )
6	1, 5	mpd 13	1 |- ( ph -> A <_ B )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2176   class class class wbr 4045   RRcr 7926   < clt 8109   <_ cle 8110

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-setind 4586  ax-cnex 8018  ax-resscn 8019  ax-pre-ltirr 8039  ax-pre-lttrn 8041

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-rab 2493  df-v 2774  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-br 4046  df-opab 4107  df-xp 4682  df-cnv 4684  df-pnf 8111  df-mnf 8112  df-xr 8113  df-ltxr 8114  df-le 8115

This theorem is referenced by:  ltnsymd  8194  addgt0d  8596  lt2addd  8642  lt2msq1  8960  lediv12a  8969  ledivp1  8978  nn2ge  9071  fznatpl1  10200  exbtwnzlemex  10394  apbtwnz  10419  iseqf1olemkle  10644  expnbnd  10810  nn0ltexp2  10856  iswrdiz  11003  cvg1nlemres  11329  resqrexlemnm  11362  resqrexlemcvg  11363  resqrexlemglsq  11366  sqrtgt0  11378  leabs  11418  ltabs  11431  abslt  11432  absle  11433  maxabslemab  11550  2zsupmax  11570  2zinfmin  11587  xrmaxiflemab  11591  fsum3cvg3  11740  divcnv  11841  expcnvre  11847  absltap  11853  cvgratnnlemnexp  11868  cvgratnnlemmn  11869  cvgratnnlemfm  11873  mertenslemi1  11879  sinltxirr  12105  cos12dec  12112  dvdslelemd  12187  divalglemnn  12262  divalglemeuneg  12267  bitsfzo  12299  bitsmod  12300  lcmgcdlem  12432  isprm5lem  12496  znege1  12533  sqrt2irraplemnn  12534  eulerthlemrprm  12584  eulerthlema  12585  4sqlem7  12740  ennnfonelemex  12818  strleund  12968  suplociccreex  15129  ivthinclemlm  15139  ivthinclemum  15140  ivthinclemlopn  15141  ivthinclemuopn  15143  ivthdec  15149  hoverlt1  15154  hovergt0  15155  dveflem  15231  efltlemlt  15279  sin0pilem1  15286  sin0pilem2  15287  coseq0negpitopi  15341  tangtx  15343  cosq34lt1  15355  cos02pilt1  15356  lgseisenlem1  15580  lgsquadlem1  15587  lgsquadlem2  15588  lgsquadlem3  15589  apdifflemf  16022