Theorem ltled 7665

Description: 'Less than' implies 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	|- ( ph -> A e. RR )
ltd.2	|- ( ph -> B e. RR )
ltled.1	|- ( ph -> A < B )

Assertion

Ref	Expression
ltled	|- ( ph -> A <_ B )

Proof of Theorem ltled

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltled.1	. 2 |- ( ph -> A < B )
2		ltd.1	. . 3 |- ( ph -> A e. RR )
3		ltd.2	. . 3 |- ( ph -> B e. RR )
4		ltle 7635	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B -> A <_ B ) )
5	2, 3, 4	syl2anc 404	. 2 |- ( ph -> ( A < B -> A <_ B ) )
6	1, 5	mpd 13	1 |- ( ph -> A <_ B )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1439   class class class wbr 3853   RRcr 7412   < clt 7585   <_ cle 7586

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3965  ax-pow 4017  ax-pr 4047  ax-un 4271  ax-setind 4368  ax-cnex 7499  ax-resscn 7500  ax-pre-ltirr 7520  ax-pre-lttrn 7522

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-rab 2369  df-v 2624  df-dif 3004  df-un 3006  df-in 3008  df-ss 3015  df-pw 3437  df-sn 3458  df-pr 3459  df-op 3461  df-uni 3662  df-br 3854  df-opab 3908  df-xp 4460  df-cnv 4462  df-pnf 7587  df-mnf 7588  df-xr 7589  df-ltxr 7590  df-le 7591

This theorem is referenced by:  ltnsymd  7666  addgt0d  8061  lt2addd  8107  lt2msq1  8409  lediv12a  8418  ledivp1  8427  nn2ge  8518  fznatpl1  9553  exbtwnzlemex  9724  apbtwnz  9744  iseqf1olemkle  9976  expnbnd  10140  cvg1nlemres  10481  resqrexlemnm  10514  resqrexlemcvg  10515  resqrexlemglsq  10518  sqrtgt0  10530  leabs  10570  ltabs  10583  abslt  10584  absle  10585  maxabslemab  10702  2zsupmax  10720  fsum3cvg3  10852  divcnv  10954  expcnvre  10960  absltap  10966  cvgratnnlemnexp  10981  cvgratnnlemmn  10982  cvgratnnlemfm  10986  mertenslemi1  10992  dvdslelemd  11185  divalglemnn  11259  divalglemeuneg  11264  lcmgcdlem  11400  znege1  11497  sqrt2irraplemnn  11498  strleund  11645