ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltled Unicode version

Theorem ltled 7849
Description: 'Less than' implies 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ltd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ltd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
ltled.1  |-  ( ph  ->  A  <  B )
Assertion
Ref Expression
ltled  |-  ( ph  ->  A  <_  B )

Proof of Theorem ltled
StepHypRef Expression
1 ltled.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  <  B )
2 ltd.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
3 ltd.2 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
4 ltle 7819 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <  B  ->  A  <_  B )
)
52, 3, 4syl2anc 408 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  <  B  ->  A  <_  B )
)
61, 5mpd 13 1  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1465   class class class wbr 3899   RRcr 7587    < clt 7768    <_ cle 7769
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-lttrn 7702
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-rab 2402  df-v 2662  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-br 3900  df-opab 3960  df-xp 4515  df-cnv 4517  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774
This theorem is referenced by:  ltnsymd  7850  addgt0d  8251  lt2addd  8297  lt2msq1  8611  lediv12a  8620  ledivp1  8629  nn2ge  8721  fznatpl1  9824  exbtwnzlemex  9995  apbtwnz  10015  iseqf1olemkle  10225  expnbnd  10383  cvg1nlemres  10725  resqrexlemnm  10758  resqrexlemcvg  10759  resqrexlemglsq  10762  sqrtgt0  10774  leabs  10814  ltabs  10827  abslt  10828  absle  10829  maxabslemab  10946  2zsupmax  10965  xrmaxiflemab  10984  fsum3cvg3  11133  divcnv  11234  expcnvre  11240  absltap  11246  cvgratnnlemnexp  11261  cvgratnnlemmn  11262  cvgratnnlemfm  11266  mertenslemi1  11272  cos12dec  11401  dvdslelemd  11468  divalglemnn  11542  divalglemeuneg  11547  lcmgcdlem  11685  znege1  11783  sqrt2irraplemnn  11784  ennnfonelemex  11854  strleund  11974  suplociccreex  12698  ivthinclemlm  12708  ivthinclemum  12709  ivthinclemlopn  12710  ivthinclemuopn  12712  ivthdec  12718  dveflem  12782  sin0pilem1  12789  sin0pilem2  12790  coseq0negpitopi  12844  tangtx  12846  cosq34lt1  12858  cos02pilt1  12859
  Copyright terms: Public domain W3C validator