Theorem ltled 8452

Description: 'Less than' implies 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	|- ( ph -> A e. RR )
ltd.2	|- ( ph -> B e. RR )
ltled.1	|- ( ph -> A < B )

Assertion

Ref	Expression
ltled	|- ( ph -> A <_ B )

Proof of Theorem ltled

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltled.1	. 2 |- ( ph -> A < B )
2		ltd.1	. . 3 |- ( ph -> A e. RR )
3		ltd.2	. . 3 |- ( ph -> B e. RR )
4		ltle 8419	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B -> A <_ B ) )
5	2, 3, 4	syl2anc 415	. 2 |- ( ph -> ( A < B -> A <_ B ) )
6	1, 5	mpd 13	1 |- ( ph -> A <_ B )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   e. wcel 2209   class class class wbr 4131   RRcr 8184   < clt 8366   <_ cle 8367

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-lttrn 8299

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-opab 4194  df-xp 4782  df-cnv 4784  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372

This theorem is used by:  ltnsymd  8453  addgt0d  8856  lt2addd  8903  lt2msq1  9223  lediv12a  9232  ledivp1  9241  nn2ge  9346  fznatpl1  10500  exbtwnzlemex  10701  apbtwnz  10726  iseqf1olemkle  10955  expnbnd  11122  nn0ltexp2  11169  bcm1n  11229  iswrdiz  11333  cvg1nlemres  11773  resqrexlemnm  11806  resqrexlemcvg  11807  resqrexlemglsq  11810  sqrtgt0  11822  leabs  11862  ltabs  11876  abslt  11877  absle  11878  maxabslemab  11995  2zsupmax  12015  2zinfmin  12034  xrmaxiflemab  12038  fsum3cvg3  12188  divcnv  12289  expcnvre  12295  absltap  12301  cvgratnnlemnexp  12316  cvgratnnlemmn  12317  cvgratnnlemfm  12321  mertenslemi1  12327  sinltxirr  12553  cos12dec  12560  dvdslelemd  12635  divalglemnn  12710  divalglemeuneg  12715  bitsfzo  12747  bitsmod  12748  lcmgcdlem  12880  isprm5lem  12945  znege1  12983  sqrt2irraplemnn  12984  eulerthlemrprm  13036  eulerthlema  13037  4sqlem7  13192  ballotfilemonn  13279  ballotfilemfc0  13290  ballotfilemfcc  13291  ballotfilemimin  13307  ballotfilemsgt1  13312  ballotfilemfrcn0  13331  ennnfonelemex  13363  strleund  13516  suplociccreex  15850  ivthinclemlm  15860  ivthinclemum  15861  ivthinclemlopn  15862  ivthinclemuopn  15864  ivthdec  15870  hoverlt1  15875  hovergt0  15876  dveflem  15952  efltlemlt  16000  sin0pilem1  16008  sin0pilem2  16009  coseq0negpitopi  16063  tangtx  16065  cosq34lt1  16078  cos02pilt1  16079  pellexlem2  16230  ppiqltx  16281  bposlem1  16311  lgseisenlem1  16394  lgsquadlem1  16401  lgsquadlem2  16402  lgsquadlem3  16403  apdifflemf  17302