Theorem ltled 8276

Description: 'Less than' implies 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	|- ( ph -> A e. RR )
ltd.2	|- ( ph -> B e. RR )
ltled.1	|- ( ph -> A < B )

Assertion

Ref	Expression
ltled	|- ( ph -> A <_ B )

Proof of Theorem ltled

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltled.1	. 2 |- ( ph -> A < B )
2		ltd.1	. . 3 |- ( ph -> A e. RR )
3		ltd.2	. . 3 |- ( ph -> B e. RR )
4		ltle 8245	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B -> A <_ B ) )
5	2, 3, 4	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> ( A < B -> A <_ B ) )
6	1, 5	mpd 13	1 |- ( ph -> A <_ B )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2200   class class class wbr 4083   RRcr 8009   < clt 8192   <_ cle 8193

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-lttrn 8124

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-xp 4725  df-cnv 4727  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-xr 8196  df-ltxr 8197  df-le 8198

This theorem is referenced by:  ltnsymd  8277  addgt0d  8679  lt2addd  8725  lt2msq1  9043  lediv12a  9052  ledivp1  9061  nn2ge  9154  fznatpl1  10284  exbtwnzlemex  10481  apbtwnz  10506  iseqf1olemkle  10731  expnbnd  10897  nn0ltexp2  10943  iswrdiz  11091  cvg1nlemres  11512  resqrexlemnm  11545  resqrexlemcvg  11546  resqrexlemglsq  11549  sqrtgt0  11561  leabs  11601  ltabs  11614  abslt  11615  absle  11616  maxabslemab  11733  2zsupmax  11753  2zinfmin  11770  xrmaxiflemab  11774  fsum3cvg3  11923  divcnv  12024  expcnvre  12030  absltap  12036  cvgratnnlemnexp  12051  cvgratnnlemmn  12052  cvgratnnlemfm  12056  mertenslemi1  12062  sinltxirr  12288  cos12dec  12295  dvdslelemd  12370  divalglemnn  12445  divalglemeuneg  12450  bitsfzo  12482  bitsmod  12483  lcmgcdlem  12615  isprm5lem  12679  znege1  12716  sqrt2irraplemnn  12717  eulerthlemrprm  12767  eulerthlema  12768  4sqlem7  12923  ennnfonelemex  13001  strleund  13152  suplociccreex  15314  ivthinclemlm  15324  ivthinclemum  15325  ivthinclemlopn  15326  ivthinclemuopn  15328  ivthdec  15334  hoverlt1  15339  hovergt0  15340  dveflem  15416  efltlemlt  15464  sin0pilem1  15471  sin0pilem2  15472  coseq0negpitopi  15526  tangtx  15528  cosq34lt1  15540  cos02pilt1  15541  lgseisenlem1  15765  lgsquadlem1  15772  lgsquadlem2  15773  lgsquadlem3  15774  apdifflemf  16502