Theorem ltled 8226

Description: 'Less than' implies 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	|- ( ph -> A e. RR )
ltd.2	|- ( ph -> B e. RR )
ltled.1	|- ( ph -> A < B )

Assertion

Ref	Expression
ltled	|- ( ph -> A <_ B )

Proof of Theorem ltled

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltled.1	. 2 |- ( ph -> A < B )
2		ltd.1	. . 3 |- ( ph -> A e. RR )
3		ltd.2	. . 3 |- ( ph -> B e. RR )
4		ltle 8195	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B -> A <_ B ) )
5	2, 3, 4	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> ( A < B -> A <_ B ) )
6	1, 5	mpd 13	1 |- ( ph -> A <_ B )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2178   class class class wbr 4059   RRcr 7959   < clt 8142   <_ cle 8143

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-lttrn 8074

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-rab 2495  df-v 2778  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-br 4060  df-opab 4122  df-xp 4699  df-cnv 4701  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148

This theorem is referenced by:  ltnsymd  8227  addgt0d  8629  lt2addd  8675  lt2msq1  8993  lediv12a  9002  ledivp1  9011  nn2ge  9104  fznatpl1  10233  exbtwnzlemex  10429  apbtwnz  10454  iseqf1olemkle  10679  expnbnd  10845  nn0ltexp2  10891  iswrdiz  11038  cvg1nlemres  11411  resqrexlemnm  11444  resqrexlemcvg  11445  resqrexlemglsq  11448  sqrtgt0  11460  leabs  11500  ltabs  11513  abslt  11514  absle  11515  maxabslemab  11632  2zsupmax  11652  2zinfmin  11669  xrmaxiflemab  11673  fsum3cvg3  11822  divcnv  11923  expcnvre  11929  absltap  11935  cvgratnnlemnexp  11950  cvgratnnlemmn  11951  cvgratnnlemfm  11955  mertenslemi1  11961  sinltxirr  12187  cos12dec  12194  dvdslelemd  12269  divalglemnn  12344  divalglemeuneg  12349  bitsfzo  12381  bitsmod  12382  lcmgcdlem  12514  isprm5lem  12578  znege1  12615  sqrt2irraplemnn  12616  eulerthlemrprm  12666  eulerthlema  12667  4sqlem7  12822  ennnfonelemex  12900  strleund  13050  suplociccreex  15211  ivthinclemlm  15221  ivthinclemum  15222  ivthinclemlopn  15223  ivthinclemuopn  15225  ivthdec  15231  hoverlt1  15236  hovergt0  15237  dveflem  15313  efltlemlt  15361  sin0pilem1  15368  sin0pilem2  15369  coseq0negpitopi  15423  tangtx  15425  cosq34lt1  15437  cos02pilt1  15438  lgseisenlem1  15662  lgsquadlem1  15669  lgsquadlem2  15670  lgsquadlem3  15671  apdifflemf  16187