Theorem ltled 8446

Description: 'Less than' implies 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	|- ( ph -> A e. RR )
ltd.2	|- ( ph -> B e. RR )
ltled.1	|- ( ph -> A < B )

Assertion

Ref	Expression
ltled	|- ( ph -> A <_ B )

Proof of Theorem ltled

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltled.1	. 2 |- ( ph -> A < B )
2		ltd.1	. . 3 |- ( ph -> A e. RR )
3		ltd.2	. . 3 |- ( ph -> B e. RR )
4		ltle 8413	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B -> A <_ B ) )
5	2, 3, 4	syl2anc 415	. 2 |- ( ph -> ( A < B -> A <_ B ) )
6	1, 5	mpd 13	1 |- ( ph -> A <_ B )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   e. wcel 2209   class class class wbr 4130   RRcr 8178   < clt 8360   <_ cle 8361

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-lttrn 8293

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-xp 4780  df-cnv 4782  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366

This theorem is used by:  ltnsymd  8447  addgt0d  8850  lt2addd  8897  lt2msq1  9217  lediv12a  9226  ledivp1  9235  nn2ge  9339  fznatpl1  10493  exbtwnzlemex  10694  apbtwnz  10719  iseqf1olemkle  10947  expnbnd  11114  nn0ltexp2  11161  bcm1n  11221  iswrdiz  11325  cvg1nlemres  11765  resqrexlemnm  11798  resqrexlemcvg  11799  resqrexlemglsq  11802  sqrtgt0  11814  leabs  11854  ltabs  11868  abslt  11869  absle  11870  maxabslemab  11987  2zsupmax  12007  2zinfmin  12025  xrmaxiflemab  12029  fsum3cvg3  12179  divcnv  12280  expcnvre  12286  absltap  12292  cvgratnnlemnexp  12307  cvgratnnlemmn  12308  cvgratnnlemfm  12312  mertenslemi1  12318  sinltxirr  12544  cos12dec  12551  dvdslelemd  12626  divalglemnn  12701  divalglemeuneg  12706  bitsfzo  12738  bitsmod  12739  lcmgcdlem  12871  isprm5lem  12936  znege1  12974  sqrt2irraplemnn  12975  eulerthlemrprm  13027  eulerthlema  13028  4sqlem7  13183  ballotfilemonn  13270  ballotfilemfc0  13281  ballotfilemfcc  13282  ballotfilemimin  13298  ballotfilemsgt1  13303  ballotfilemfrcn0  13322  ennnfonelemex  13354  strleund  13506  suplociccreex  15774  ivthinclemlm  15784  ivthinclemum  15785  ivthinclemlopn  15786  ivthinclemuopn  15788  ivthdec  15794  hoverlt1  15799  hovergt0  15800  dveflem  15876  efltlemlt  15924  sin0pilem1  15932  sin0pilem2  15933  coseq0negpitopi  15987  tangtx  15989  cosq34lt1  16001  cos02pilt1  16002  pellexlem2  16149  ppiqltx  16183  bposlem1  16209  lgseisenlem1  16287  lgsquadlem1  16294  lgsquadlem2  16295  lgsquadlem3  16296  apdifflemf  17193