Theorem ltled 8191

Description: 'Less than' implies 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	|- ( ph -> A e. RR )
ltd.2	|- ( ph -> B e. RR )
ltled.1	|- ( ph -> A < B )

Assertion

Ref	Expression
ltled	|- ( ph -> A <_ B )

Proof of Theorem ltled

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltled.1	. 2 |- ( ph -> A < B )
2		ltd.1	. . 3 |- ( ph -> A e. RR )
3		ltd.2	. . 3 |- ( ph -> B e. RR )
4		ltle 8160	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B -> A <_ B ) )
5	2, 3, 4	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> ( A < B -> A <_ B ) )
6	1, 5	mpd 13	1 |- ( ph -> A <_ B )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2176   class class class wbr 4044   RRcr 7924   < clt 8107   <_ cle 8108

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-lttrn 8039

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-rab 2493  df-v 2774  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-br 4045  df-opab 4106  df-xp 4681  df-cnv 4683  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-ltxr 8112  df-le 8113

This theorem is referenced by:  ltnsymd  8192  addgt0d  8594  lt2addd  8640  lt2msq1  8958  lediv12a  8967  ledivp1  8976  nn2ge  9069  fznatpl1  10198  exbtwnzlemex  10392  apbtwnz  10417  iseqf1olemkle  10642  expnbnd  10808  nn0ltexp2  10854  iswrdiz  11001  cvg1nlemres  11296  resqrexlemnm  11329  resqrexlemcvg  11330  resqrexlemglsq  11333  sqrtgt0  11345  leabs  11385  ltabs  11398  abslt  11399  absle  11400  maxabslemab  11517  2zsupmax  11537  2zinfmin  11554  xrmaxiflemab  11558  fsum3cvg3  11707  divcnv  11808  expcnvre  11814  absltap  11820  cvgratnnlemnexp  11835  cvgratnnlemmn  11836  cvgratnnlemfm  11840  mertenslemi1  11846  sinltxirr  12072  cos12dec  12079  dvdslelemd  12154  divalglemnn  12229  divalglemeuneg  12234  bitsfzo  12266  bitsmod  12267  lcmgcdlem  12399  isprm5lem  12463  znege1  12500  sqrt2irraplemnn  12501  eulerthlemrprm  12551  eulerthlema  12552  4sqlem7  12707  ennnfonelemex  12785  strleund  12935  suplociccreex  15096  ivthinclemlm  15106  ivthinclemum  15107  ivthinclemlopn  15108  ivthinclemuopn  15110  ivthdec  15116  hoverlt1  15121  hovergt0  15122  dveflem  15198  efltlemlt  15246  sin0pilem1  15253  sin0pilem2  15254  coseq0negpitopi  15308  tangtx  15310  cosq34lt1  15322  cos02pilt1  15323  lgseisenlem1  15547  lgsquadlem1  15554  lgsquadlem2  15555  lgsquadlem3  15556  apdifflemf  15985