Theorem ltled 8357

Description: 'Less than' implies 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	|- ( ph -> A e. RR )
ltd.2	|- ( ph -> B e. RR )
ltled.1	|- ( ph -> A < B )

Assertion

Ref	Expression
ltled	|- ( ph -> A <_ B )

Proof of Theorem ltled

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltled.1	. 2 |- ( ph -> A < B )
2		ltd.1	. . 3 |- ( ph -> A e. RR )
3		ltd.2	. . 3 |- ( ph -> B e. RR )
4		ltle 8326	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B -> A <_ B ) )
5	2, 3, 4	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> ( A < B -> A <_ B ) )
6	1, 5	mpd 13	1 |- ( ph -> A <_ B )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2202   class class class wbr 4093   RRcr 8091   < clt 8273   <_ cle 8274

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-lttrn 8206

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-rab 2520  df-v 2805  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-xp 4737  df-cnv 4739  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-ltxr 8278  df-le 8279

This theorem is referenced by:  ltnsymd  8358  addgt0d  8760  lt2addd  8806  lt2msq1  9124  lediv12a  9133  ledivp1  9142  nn2ge  9235  fznatpl1  10373  exbtwnzlemex  10572  apbtwnz  10597  iseqf1olemkle  10822  expnbnd  10988  nn0ltexp2  11034  iswrdiz  11186  cvg1nlemres  11625  resqrexlemnm  11658  resqrexlemcvg  11659  resqrexlemglsq  11662  sqrtgt0  11674  leabs  11714  ltabs  11727  abslt  11728  absle  11729  maxabslemab  11846  2zsupmax  11866  2zinfmin  11883  xrmaxiflemab  11887  fsum3cvg3  12037  divcnv  12138  expcnvre  12144  absltap  12150  cvgratnnlemnexp  12165  cvgratnnlemmn  12166  cvgratnnlemfm  12170  mertenslemi1  12176  sinltxirr  12402  cos12dec  12409  dvdslelemd  12484  divalglemnn  12559  divalglemeuneg  12564  bitsfzo  12596  bitsmod  12597  lcmgcdlem  12729  isprm5lem  12793  znege1  12830  sqrt2irraplemnn  12831  eulerthlemrprm  12881  eulerthlema  12882  4sqlem7  13037  ennnfonelemex  13115  strleund  13266  suplociccreex  15435  ivthinclemlm  15445  ivthinclemum  15446  ivthinclemlopn  15447  ivthinclemuopn  15449  ivthdec  15455  hoverlt1  15460  hovergt0  15461  dveflem  15537  efltlemlt  15585  sin0pilem1  15592  sin0pilem2  15593  coseq0negpitopi  15647  tangtx  15649  cosq34lt1  15661  cos02pilt1  15662  pellexlem2  15792  lgseisenlem1  15889  lgsquadlem1  15896  lgsquadlem2  15897  lgsquadlem3  15898  apdifflemf  16778