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Theorem resqrexlemoverl 11062
Description: Lemma for resqrex 11067. Every term in the sequence is an overestimate compared with the limit 
L. Although this theorem is stated in terms of a particular sequence the proof could be adapted for any decreasing convergent sequence. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
resqrexlemex.seq  |-  F  =  seq 1 ( ( y  e.  RR+ ,  z  e.  RR+  |->  ( ( y  +  ( A  /  y ) )  /  2 ) ) ,  ( NN  X.  { ( 1  +  A ) } ) )
resqrexlemex.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
resqrexlemex.agt0  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
resqrexlemgt0.rr  |-  ( ph  ->  L  e.  RR )
resqrexlemgt0.lim  |-  ( ph  ->  A. e  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. i  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  i )  <  ( L  +  e )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  e ) ) )
resqrexlemoverl.k  |-  ( ph  ->  K  e.  NN )
Assertion
Ref Expression
resqrexlemoverl  |-  ( ph  ->  L  <_  ( F `  K ) )
Distinct variable groups:    y, A, z   
e, F, i, j   
y, F, z, i, j    e, K, i, j    y, K, z   
e, L, i, j   
y, L, z    ph, y,
z
Allowed substitution hints:    ph( e, i, j)    A( e, i, j)

Proof of Theorem resqrexlemoverl
Dummy variable  b is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 5904 . . . . . . . . 9  |-  ( e  =  ( L  -  ( F `  K ) )  ->  ( L  +  e )  =  ( L  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) )
21breq2d 4030 . . . . . . . 8  |-  ( e  =  ( L  -  ( F `  K ) )  ->  ( ( F `  i )  <  ( L  +  e )  <->  ( F `  i )  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K ) ) ) ) )
3 oveq2 5904 . . . . . . . . 9  |-  ( e  =  ( L  -  ( F `  K ) )  ->  ( ( F `  i )  +  e )  =  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) )
43breq2d 4030 . . . . . . . 8  |-  ( e  =  ( L  -  ( F `  K ) )  ->  ( L  <  ( ( F `  i )  +  e )  <->  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `  K ) ) ) ) )
52, 4anbi12d 473 . . . . . . 7  |-  ( e  =  ( L  -  ( F `  K ) )  ->  ( (
( F `  i
)  <  ( L  +  e )  /\  L  <  ( ( F `
 i )  +  e ) )  <->  ( ( F `  i )  <  ( L  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) )  /\  L  < 
( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )
65rexralbidv 2516 . . . . . 6  |-  ( e  =  ( L  -  ( F `  K ) )  ->  ( E. j  e.  NN  A. i  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  i )  <  ( L  +  e )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  e ) )  <->  E. j  e.  NN  A. i  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  i )  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K )
) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )
7 resqrexlemgt0.lim . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. e  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. i  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  i )  <  ( L  +  e )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  e ) ) )
87adantr 276 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( F `  K )  <  L
)  ->  A. e  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. i  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  i )  <  ( L  +  e )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  e ) ) )
9 resqrexlemex.seq . . . . . . . . . . 11  |-  F  =  seq 1 ( ( y  e.  RR+ ,  z  e.  RR+  |->  ( ( y  +  ( A  /  y ) )  /  2 ) ) ,  ( NN  X.  { ( 1  +  A ) } ) )
10 resqrexlemex.a . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
11 resqrexlemex.agt0 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
129, 10, 11resqrexlemf 11048 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F : NN --> RR+ )
13 resqrexlemoverl.k . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  K  e.  NN )
1412, 13ffvelcdmd 5673 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( F `  K
)  e.  RR+ )
1514rpred 9726 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F `  K
)  e.  RR )
16 resqrexlemgt0.rr . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  L  e.  RR )
17 difrp 9722 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F `  K
)  e.  RR  /\  L  e.  RR )  ->  ( ( F `  K )  <  L  <->  ( L  -  ( F `
 K ) )  e.  RR+ ) )
1815, 16, 17syl2anc 411 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( F `  K )  <  L  <->  ( L  -  ( F `
 K ) )  e.  RR+ ) )
1918biimpa 296 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( F `  K )  <  L
)  ->  ( L  -  ( F `  K ) )  e.  RR+ )
206, 8, 19rspcdva 2861 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( F `  K )  <  L
)  ->  E. j  e.  NN  A. i  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  i )  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K ) ) )  /\  L  <  (
( F `  i
)  +  ( L  -  ( F `  K ) ) ) ) )
21 fveq2 5534 . . . . . . 7  |-  ( j  =  b  ->  ( ZZ>=
`  j )  =  ( ZZ>= `  b )
)
2221raleqdv 2692 . . . . . 6  |-  ( j  =  b  ->  ( A. i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( F `  i
)  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K ) ) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) )  <->  A. i  e.  ( ZZ>= `  b )
( ( F `  i )  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K ) ) )  /\  L  <  (
( F `  i
)  +  ( L  -  ( F `  K ) ) ) ) ) )
2322cbvrexv 2719 . . . . 5  |-  ( E. j  e.  NN  A. i  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  i )  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K )
) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) )  <->  E. b  e.  NN  A. i  e.  ( ZZ>= `  b )
( ( F `  i )  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K ) ) )  /\  L  <  (
( F `  i
)  +  ( L  -  ( F `  K ) ) ) ) )
2420, 23sylib 122 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( F `  K )  <  L
)  ->  E. b  e.  NN  A. i  e.  ( ZZ>= `  b )
( ( F `  i )  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K ) ) )  /\  L  <  (
( F `  i
)  +  ( L  -  ( F `  K ) ) ) ) )
25 fveq2 5534 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  K  ->  ( F `  i )  =  ( F `  K ) )
2625breq1d 4028 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  K  ->  (
( F `  i
)  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K ) ) )  <->  ( F `  K )  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K ) ) ) ) )
2725oveq1d 5911 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  K  ->  (
( F `  i
)  +  ( L  -  ( F `  K ) ) )  =  ( ( F `
 K )  +  ( L  -  ( F `  K )
) ) )
2827breq2d 4030 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  K  ->  ( L  <  ( ( F `
 i )  +  ( L  -  ( F `  K )
) )  <->  L  <  ( ( F `  K
)  +  ( L  -  ( F `  K ) ) ) ) )
2926, 28anbi12d 473 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  K  ->  (
( ( F `  i )  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K ) ) )  /\  L  <  (
( F `  i
)  +  ( L  -  ( F `  K ) ) ) )  <->  ( ( F `
 K )  < 
( L  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) )  /\  L  < 
( ( F `  K )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )
30 simprr 531 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  (
b  e.  NN  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  b ) ( ( F `  i )  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K )
) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  ->  A. i  e.  (
ZZ>= `  b ) ( ( F `  i
)  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K ) ) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) )
3130adantr 276 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  ( b  e.  NN  /\ 
A. i  e.  (
ZZ>= `  b ) ( ( F `  i
)  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K ) ) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  /\  b  <_  K
)  ->  A. i  e.  ( ZZ>= `  b )
( ( F `  i )  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K ) ) )  /\  L  <  (
( F `  i
)  +  ( L  -  ( F `  K ) ) ) ) )
32 simprl 529 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  (
b  e.  NN  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  b ) ( ( F `  i )  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K )
) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  ->  b  e.  NN )
3332nnzd 9404 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  (
b  e.  NN  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  b ) ( ( F `  i )  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K )
) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  ->  b  e.  ZZ )
3433adantr 276 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  ( b  e.  NN  /\ 
A. i  e.  (
ZZ>= `  b ) ( ( F `  i
)  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K ) ) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  /\  b  <_  K
)  ->  b  e.  ZZ )
3513ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  (
b  e.  NN  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  b ) ( ( F `  i )  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K )
) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  ->  K  e.  NN )
3635nnzd 9404 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  (
b  e.  NN  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  b ) ( ( F `  i )  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K )
) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  ->  K  e.  ZZ )
3736adantr 276 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  ( b  e.  NN  /\ 
A. i  e.  (
ZZ>= `  b ) ( ( F `  i
)  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K ) ) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  /\  b  <_  K
)  ->  K  e.  ZZ )
38 simpr 110 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  ( b  e.  NN  /\ 
A. i  e.  (
ZZ>= `  b ) ( ( F `  i
)  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K ) ) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  /\  b  <_  K
)  ->  b  <_  K )
39 eluz2 9564 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  b
)  <->  ( b  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  b  <_  K ) )
4034, 37, 38, 39syl3anbrc 1183 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  ( b  e.  NN  /\ 
A. i  e.  (
ZZ>= `  b ) ( ( F `  i
)  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K ) ) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  /\  b  <_  K
)  ->  K  e.  ( ZZ>= `  b )
)
4129, 31, 40rspcdva 2861 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  ( b  e.  NN  /\ 
A. i  e.  (
ZZ>= `  b ) ( ( F `  i
)  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K ) ) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  /\  b  <_  K
)  ->  ( ( F `  K )  <  ( L  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) )  /\  L  < 
( ( F `  K )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) )
4241simprd 114 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  ( b  e.  NN  /\ 
A. i  e.  (
ZZ>= `  b ) ( ( F `  i
)  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K ) ) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  /\  b  <_  K
)  ->  L  <  ( ( F `  K
)  +  ( L  -  ( F `  K ) ) ) )
4314ad2antrr 488 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  (
b  e.  NN  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  b ) ( ( F `  i )  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K )
) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  ->  ( F `  K )  e.  RR+ )
4443rpcnd 9728 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  (
b  e.  NN  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  b ) ( ( F `  i )  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K )
) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  ->  ( F `  K )  e.  CC )
4544adantr 276 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  ( b  e.  NN  /\ 
A. i  e.  (
ZZ>= `  b ) ( ( F `  i
)  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K ) ) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  /\  b  <_  K
)  ->  ( F `  K )  e.  CC )
4616ad2antrr 488 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  (
b  e.  NN  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  b ) ( ( F `  i )  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K )
) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  ->  L  e.  RR )
4746recnd 8016 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  (
b  e.  NN  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  b ) ( ( F `  i )  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K )
) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  ->  L  e.  CC )
4847adantr 276 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  ( b  e.  NN  /\ 
A. i  e.  (
ZZ>= `  b ) ( ( F `  i
)  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K ) ) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  /\  b  <_  K
)  ->  L  e.  CC )
4945, 48pncan3d 8301 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  ( b  e.  NN  /\ 
A. i  e.  (
ZZ>= `  b ) ( ( F `  i
)  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K ) ) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  /\  b  <_  K
)  ->  ( ( F `  K )  +  ( L  -  ( F `  K ) ) )  =  L )
5042, 49breqtrd 4044 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  ( b  e.  NN  /\ 
A. i  e.  (
ZZ>= `  b ) ( ( F `  i
)  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K ) ) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  /\  b  <_  K
)  ->  L  <  L )
5116ad3antrrr 492 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  ( b  e.  NN  /\ 
A. i  e.  (
ZZ>= `  b ) ( ( F `  i
)  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K ) ) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  /\  b  <_  K
)  ->  L  e.  RR )
5251ltnrd 8099 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  ( b  e.  NN  /\ 
A. i  e.  (
ZZ>= `  b ) ( ( F `  i
)  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K ) ) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  /\  b  <_  K
)  ->  -.  L  <  L )
5350, 52pm2.21fal 1384 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  ( b  e.  NN  /\ 
A. i  e.  (
ZZ>= `  b ) ( ( F `  i
)  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K ) ) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  /\  b  <_  K
)  -> F.  )
5410ad3antrrr 492 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  ( b  e.  NN  /\ 
A. i  e.  (
ZZ>= `  b ) ( ( F `  i
)  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K ) ) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  /\  K  <  b
)  ->  A  e.  RR )
5511ad3antrrr 492 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  ( b  e.  NN  /\ 
A. i  e.  (
ZZ>= `  b ) ( ( F `  i
)  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K ) ) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  /\  K  <  b
)  ->  0  <_  A )
5613ad3antrrr 492 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  ( b  e.  NN  /\ 
A. i  e.  (
ZZ>= `  b ) ( ( F `  i
)  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K ) ) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  /\  K  <  b
)  ->  K  e.  NN )
5732adantr 276 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  ( b  e.  NN  /\ 
A. i  e.  (
ZZ>= `  b ) ( ( F `  i
)  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K ) ) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  /\  K  <  b
)  ->  b  e.  NN )
58 simpr 110 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  ( b  e.  NN  /\ 
A. i  e.  (
ZZ>= `  b ) ( ( F `  i
)  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K ) ) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  /\  K  <  b
)  ->  K  <  b )
599, 54, 55, 56, 57, 58resqrexlemdecn 11053 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  ( b  e.  NN  /\ 
A. i  e.  (
ZZ>= `  b ) ( ( F `  i
)  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K ) ) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  /\  K  <  b
)  ->  ( F `  b )  <  ( F `  K )
)
6015ad3antrrr 492 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  ( b  e.  NN  /\ 
A. i  e.  (
ZZ>= `  b ) ( ( F `  i
)  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K ) ) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  /\  K  <  b
)  ->  ( F `  K )  e.  RR )
6112ad2antrr 488 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  (
b  e.  NN  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  b ) ( ( F `  i )  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K )
) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  ->  F : NN --> RR+ )
6261, 32ffvelcdmd 5673 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  (
b  e.  NN  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  b ) ( ( F `  i )  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K )
) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  ->  ( F `  b )  e.  RR+ )
6362rpred 9726 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  (
b  e.  NN  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  b ) ( ( F `  i )  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K )
) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  ->  ( F `  b )  e.  RR )
6463adantr 276 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  ( b  e.  NN  /\ 
A. i  e.  (
ZZ>= `  b ) ( ( F `  i
)  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K ) ) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  /\  K  <  b
)  ->  ( F `  b )  e.  RR )
65 fveq2 5534 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  =  b  ->  ( F `  i )  =  ( F `  b ) )
6665breq1d 4028 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  =  b  ->  (
( F `  i
)  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K ) ) )  <->  ( F `  b )  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K ) ) ) ) )
6765oveq1d 5911 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  =  b  ->  (
( F `  i
)  +  ( L  -  ( F `  K ) ) )  =  ( ( F `
 b )  +  ( L  -  ( F `  K )
) ) )
6867breq2d 4030 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  =  b  ->  ( L  <  ( ( F `
 i )  +  ( L  -  ( F `  K )
) )  <->  L  <  ( ( F `  b
)  +  ( L  -  ( F `  K ) ) ) ) )
6966, 68anbi12d 473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  =  b  ->  (
( ( F `  i )  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K ) ) )  /\  L  <  (
( F `  i
)  +  ( L  -  ( F `  K ) ) ) )  <->  ( ( F `
 b )  < 
( L  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) )  /\  L  < 
( ( F `  b )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )
70 uzid 9572 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  e.  ZZ  ->  b  e.  ( ZZ>= `  b )
)
7133, 70syl 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  (
b  e.  NN  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  b ) ( ( F `  i )  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K )
) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  ->  b  e.  (
ZZ>= `  b ) )
7269, 30, 71rspcdva 2861 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  (
b  e.  NN  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  b ) ( ( F `  i )  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K )
) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  ->  ( ( F `
 b )  < 
( L  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) )  /\  L  < 
( ( F `  b )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) )
7372simprd 114 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  (
b  e.  NN  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  b ) ( ( F `  i )  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K )
) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  ->  L  <  (
( F `  b
)  +  ( L  -  ( F `  K ) ) ) )
7462rpcnd 9728 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  (
b  e.  NN  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  b ) ( ( F `  i )  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K )
) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  ->  ( F `  b )  e.  CC )
7574, 47, 44addsubassd 8318 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  (
b  e.  NN  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  b ) ( ( F `  i )  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K )
) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  ->  ( ( ( F `  b )  +  L )  -  ( F `  K ) )  =  ( ( F `  b )  +  ( L  -  ( F `  K ) ) ) )
7673, 75breqtrrd 4046 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  (
b  e.  NN  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  b ) ( ( F `  i )  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K )
) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  ->  L  <  (
( ( F `  b )  +  L
)  -  ( F `
 K ) ) )
7715ad2antrr 488 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  (
b  e.  NN  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  b ) ( ( F `  i )  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K )
) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  ->  ( F `  K )  e.  RR )
7863, 46readdcld 8017 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  (
b  e.  NN  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  b ) ( ( F `  i )  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K )
) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  ->  ( ( F `
 b )  +  L )  e.  RR )
7977, 46, 78ltaddsub2d 8533 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  (
b  e.  NN  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  b ) ( ( F `  i )  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K )
) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  ->  ( ( ( F `  K )  +  L )  < 
( ( F `  b )  +  L
)  <->  L  <  ( ( ( F `  b
)  +  L )  -  ( F `  K ) ) ) )
8076, 79mpbird 167 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  (
b  e.  NN  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  b ) ( ( F `  i )  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K )
) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  ->  ( ( F `
 K )  +  L )  <  (
( F `  b
)  +  L ) )
8177, 63, 46ltadd1d 8525 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  (
b  e.  NN  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  b ) ( ( F `  i )  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K )
) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  ->  ( ( F `
 K )  < 
( F `  b
)  <->  ( ( F `
 K )  +  L )  <  (
( F `  b
)  +  L ) ) )
8280, 81mpbird 167 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  (
b  e.  NN  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  b ) ( ( F `  i )  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K )
) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  ->  ( F `  K )  <  ( F `  b )
)
8382adantr 276 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  ( b  e.  NN  /\ 
A. i  e.  (
ZZ>= `  b ) ( ( F `  i
)  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K ) ) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  /\  K  <  b
)  ->  ( F `  K )  <  ( F `  b )
)
8460, 64, 83ltnsymd 8107 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  ( b  e.  NN  /\ 
A. i  e.  (
ZZ>= `  b ) ( ( F `  i
)  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K ) ) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  /\  K  <  b
)  ->  -.  ( F `  b )  <  ( F `  K
) )
8559, 84pm2.21fal 1384 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  ( b  e.  NN  /\ 
A. i  e.  (
ZZ>= `  b ) ( ( F `  i
)  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K ) ) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  /\  K  <  b
)  -> F.  )
86 zlelttric 9328 . . . . . 6  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( b  <_  K  \/  K  <  b ) )
8733, 36, 86syl2anc 411 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  (
b  e.  NN  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  b ) ( ( F `  i )  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K )
) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  ->  ( b  <_  K  \/  K  <  b ) )
8853, 85, 87mpjaodan 799 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  (
b  e.  NN  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  b ) ( ( F `  i )  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K )
) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  -> F.  )
8924, 88rexlimddv 2612 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( F `  K )  <  L
)  -> F.  )
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)
9116, 15lenltd 8105 . 2  |-  ( ph  ->  ( L  <_  ( F `  K )  <->  -.  ( F `  K
)  <  L )
)
9290, 91mpbird 167 1  |-  ( ph  ->  L  <_  ( F `  K ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    \/ wo 709    = wceq 1364   F. wfal 1369    e. wcel 2160   A.wral 2468   E.wrex 2469   {csn 3607   class class class wbr 4018    X. cxp 4642   -->wf 5231   ` cfv 5235  (class class class)co 5896    e. cmpo 5898   CCcc 7839   RRcr 7840   0cc0 7841   1c1 7842    + caddc 7844    < clt 8022    <_ cle 8023    - cmin 8158    / cdiv 8659   NNcn 8949   2c2 9000   ZZcz 9283   ZZ>=cuz 9558   RR+crp 9683    seqcseq 10476
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605  ax-cnex 7932  ax-resscn 7933  ax-1cn 7934  ax-1re 7935  ax-icn 7936  ax-addcl 7937  ax-addrcl 7938  ax-mulcl 7939  ax-mulrcl 7940  ax-addcom 7941  ax-mulcom 7942  ax-addass 7943  ax-mulass 7944  ax-distr 7945  ax-i2m1 7946  ax-0lt1 7947  ax-1rid 7948  ax-0id 7949  ax-rnegex 7950  ax-precex 7951  ax-cnre 7952  ax-pre-ltirr 7953  ax-pre-ltwlin 7954  ax-pre-lttrn 7955  ax-pre-apti 7956  ax-pre-ltadd 7957  ax-pre-mulgt0 7958  ax-pre-mulext 7959
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-iord 4384  df-on 4386  df-ilim 4387  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5899  df-oprab 5900  df-mpo 5901  df-1st 6165  df-2nd 6166  df-recs 6330  df-frec 6416  df-pnf 8024  df-mnf 8025  df-xr 8026  df-ltxr 8027  df-le 8028  df-sub 8160  df-neg 8161  df-reap 8562  df-ap 8569  df-div 8660  df-inn 8950  df-2 9008  df-3 9009  df-4 9010  df-n0 9207  df-z 9284  df-uz 9559  df-rp 9684  df-seqfrec 10477  df-exp 10551
This theorem is referenced by:  resqrexlemglsq  11063
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