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Theorem resqrexlemoverl 10508
Description: Lemma for resqrex 10513. Every term in the sequence is an overestimate compared with the limit 
L. Although this theorem is stated in terms of a particular sequence the proof could be adapted for any decreasing convergent sequence. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
resqrexlemex.seq  |-  F  =  seq 1 ( ( y  e.  RR+ ,  z  e.  RR+  |->  ( ( y  +  ( A  /  y ) )  /  2 ) ) ,  ( NN  X.  { ( 1  +  A ) } ) )
resqrexlemex.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
resqrexlemex.agt0  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
resqrexlemgt0.rr  |-  ( ph  ->  L  e.  RR )
resqrexlemgt0.lim  |-  ( ph  ->  A. e  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. i  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  i )  <  ( L  +  e )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  e ) ) )
resqrexlemoverl.k  |-  ( ph  ->  K  e.  NN )
Assertion
Ref Expression
resqrexlemoverl  |-  ( ph  ->  L  <_  ( F `  K ) )
Distinct variable groups:    y, A, z   
e, F, i, j   
y, F, z, i, j    e, K, i, j    y, K, z   
e, L, i, j   
y, L, z    ph, y,
z
Allowed substitution hints:    ph( e, i, j)    A( e, i, j)

Proof of Theorem resqrexlemoverl
Dummy variable  b is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 5674 . . . . . . . . 9  |-  ( e  =  ( L  -  ( F `  K ) )  ->  ( L  +  e )  =  ( L  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) )
21breq2d 3863 . . . . . . . 8  |-  ( e  =  ( L  -  ( F `  K ) )  ->  ( ( F `  i )  <  ( L  +  e )  <->  ( F `  i )  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K ) ) ) ) )
3 oveq2 5674 . . . . . . . . 9  |-  ( e  =  ( L  -  ( F `  K ) )  ->  ( ( F `  i )  +  e )  =  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) )
43breq2d 3863 . . . . . . . 8  |-  ( e  =  ( L  -  ( F `  K ) )  ->  ( L  <  ( ( F `  i )  +  e )  <->  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `  K ) ) ) ) )
52, 4anbi12d 458 . . . . . . 7  |-  ( e  =  ( L  -  ( F `  K ) )  ->  ( (
( F `  i
)  <  ( L  +  e )  /\  L  <  ( ( F `
 i )  +  e ) )  <->  ( ( F `  i )  <  ( L  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) )  /\  L  < 
( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )
65rexralbidv 2405 . . . . . 6  |-  ( e  =  ( L  -  ( F `  K ) )  ->  ( E. j  e.  NN  A. i  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  i )  <  ( L  +  e )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  e ) )  <->  E. j  e.  NN  A. i  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  i )  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K )
) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )
7 resqrexlemgt0.lim . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. e  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. i  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  i )  <  ( L  +  e )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  e ) ) )
87adantr 271 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( F `  K )  <  L
)  ->  A. e  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. i  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  i )  <  ( L  +  e )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  e ) ) )
9 resqrexlemex.seq . . . . . . . . . . 11  |-  F  =  seq 1 ( ( y  e.  RR+ ,  z  e.  RR+  |->  ( ( y  +  ( A  /  y ) )  /  2 ) ) ,  ( NN  X.  { ( 1  +  A ) } ) )
10 resqrexlemex.a . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
11 resqrexlemex.agt0 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
129, 10, 11resqrexlemf 10494 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F : NN --> RR+ )
13 resqrexlemoverl.k . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  K  e.  NN )
1412, 13ffvelrnd 5449 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( F `  K
)  e.  RR+ )
1514rpred 9227 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F `  K
)  e.  RR )
16 resqrexlemgt0.rr . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  L  e.  RR )
17 difrp 9224 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F `  K
)  e.  RR  /\  L  e.  RR )  ->  ( ( F `  K )  <  L  <->  ( L  -  ( F `
 K ) )  e.  RR+ ) )
1815, 16, 17syl2anc 404 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( F `  K )  <  L  <->  ( L  -  ( F `
 K ) )  e.  RR+ ) )
1918biimpa 291 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( F `  K )  <  L
)  ->  ( L  -  ( F `  K ) )  e.  RR+ )
206, 8, 19rspcdva 2728 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( F `  K )  <  L
)  ->  E. j  e.  NN  A. i  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  i )  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K ) ) )  /\  L  <  (
( F `  i
)  +  ( L  -  ( F `  K ) ) ) ) )
21 fveq2 5318 . . . . . . 7  |-  ( j  =  b  ->  ( ZZ>=
`  j )  =  ( ZZ>= `  b )
)
2221raleqdv 2569 . . . . . 6  |-  ( j  =  b  ->  ( A. i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( F `  i
)  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K ) ) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) )  <->  A. i  e.  ( ZZ>= `  b )
( ( F `  i )  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K ) ) )  /\  L  <  (
( F `  i
)  +  ( L  -  ( F `  K ) ) ) ) ) )
2322cbvrexv 2592 . . . . 5  |-  ( E. j  e.  NN  A. i  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  i )  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K )
) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) )  <->  E. b  e.  NN  A. i  e.  ( ZZ>= `  b )
( ( F `  i )  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K ) ) )  /\  L  <  (
( F `  i
)  +  ( L  -  ( F `  K ) ) ) ) )
2420, 23sylib 121 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( F `  K )  <  L
)  ->  E. b  e.  NN  A. i  e.  ( ZZ>= `  b )
( ( F `  i )  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K ) ) )  /\  L  <  (
( F `  i
)  +  ( L  -  ( F `  K ) ) ) ) )
25 fveq2 5318 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  K  ->  ( F `  i )  =  ( F `  K ) )
2625breq1d 3861 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  K  ->  (
( F `  i
)  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K ) ) )  <->  ( F `  K )  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K ) ) ) ) )
2725oveq1d 5681 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  K  ->  (
( F `  i
)  +  ( L  -  ( F `  K ) ) )  =  ( ( F `
 K )  +  ( L  -  ( F `  K )
) ) )
2827breq2d 3863 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  K  ->  ( L  <  ( ( F `
 i )  +  ( L  -  ( F `  K )
) )  <->  L  <  ( ( F `  K
)  +  ( L  -  ( F `  K ) ) ) ) )
2926, 28anbi12d 458 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  K  ->  (
( ( F `  i )  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K ) ) )  /\  L  <  (
( F `  i
)  +  ( L  -  ( F `  K ) ) ) )  <->  ( ( F `
 K )  < 
( L  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) )  /\  L  < 
( ( F `  K )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )
30 simprr 500 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  (
b  e.  NN  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  b ) ( ( F `  i )  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K )
) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  ->  A. i  e.  (
ZZ>= `  b ) ( ( F `  i
)  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K ) ) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) )
3130adantr 271 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  ( b  e.  NN  /\ 
A. i  e.  (
ZZ>= `  b ) ( ( F `  i
)  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K ) ) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  /\  b  <_  K
)  ->  A. i  e.  ( ZZ>= `  b )
( ( F `  i )  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K ) ) )  /\  L  <  (
( F `  i
)  +  ( L  -  ( F `  K ) ) ) ) )
32 simprl 499 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  (
b  e.  NN  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  b ) ( ( F `  i )  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K )
) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  ->  b  e.  NN )
3332nnzd 8921 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  (
b  e.  NN  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  b ) ( ( F `  i )  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K )
) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  ->  b  e.  ZZ )
3433adantr 271 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  ( b  e.  NN  /\ 
A. i  e.  (
ZZ>= `  b ) ( ( F `  i
)  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K ) ) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  /\  b  <_  K
)  ->  b  e.  ZZ )
3513ad2antrr 473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  (
b  e.  NN  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  b ) ( ( F `  i )  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K )
) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  ->  K  e.  NN )
3635nnzd 8921 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  (
b  e.  NN  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  b ) ( ( F `  i )  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K )
) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  ->  K  e.  ZZ )
3736adantr 271 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  ( b  e.  NN  /\ 
A. i  e.  (
ZZ>= `  b ) ( ( F `  i
)  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K ) ) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  /\  b  <_  K
)  ->  K  e.  ZZ )
38 simpr 109 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  ( b  e.  NN  /\ 
A. i  e.  (
ZZ>= `  b ) ( ( F `  i
)  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K ) ) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  /\  b  <_  K
)  ->  b  <_  K )
39 eluz2 9079 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  b
)  <->  ( b  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  b  <_  K ) )
4034, 37, 38, 39syl3anbrc 1128 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  ( b  e.  NN  /\ 
A. i  e.  (
ZZ>= `  b ) ( ( F `  i
)  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K ) ) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  /\  b  <_  K
)  ->  K  e.  ( ZZ>= `  b )
)
4129, 31, 40rspcdva 2728 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  ( b  e.  NN  /\ 
A. i  e.  (
ZZ>= `  b ) ( ( F `  i
)  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K ) ) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  /\  b  <_  K
)  ->  ( ( F `  K )  <  ( L  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) )  /\  L  < 
( ( F `  K )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) )
4241simprd 113 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  ( b  e.  NN  /\ 
A. i  e.  (
ZZ>= `  b ) ( ( F `  i
)  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K ) ) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  /\  b  <_  K
)  ->  L  <  ( ( F `  K
)  +  ( L  -  ( F `  K ) ) ) )
4314ad2antrr 473 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  (
b  e.  NN  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  b ) ( ( F `  i )  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K )
) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  ->  ( F `  K )  e.  RR+ )
4443rpcnd 9229 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  (
b  e.  NN  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  b ) ( ( F `  i )  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K )
) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  ->  ( F `  K )  e.  CC )
4544adantr 271 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  ( b  e.  NN  /\ 
A. i  e.  (
ZZ>= `  b ) ( ( F `  i
)  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K ) ) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  /\  b  <_  K
)  ->  ( F `  K )  e.  CC )
4616ad2antrr 473 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  (
b  e.  NN  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  b ) ( ( F `  i )  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K )
) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  ->  L  e.  RR )
4746recnd 7570 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  (
b  e.  NN  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  b ) ( ( F `  i )  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K )
) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  ->  L  e.  CC )
4847adantr 271 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  ( b  e.  NN  /\ 
A. i  e.  (
ZZ>= `  b ) ( ( F `  i
)  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K ) ) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  /\  b  <_  K
)  ->  L  e.  CC )
4945, 48pncan3d 7850 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  ( b  e.  NN  /\ 
A. i  e.  (
ZZ>= `  b ) ( ( F `  i
)  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K ) ) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  /\  b  <_  K
)  ->  ( ( F `  K )  +  ( L  -  ( F `  K ) ) )  =  L )
5042, 49breqtrd 3875 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  ( b  e.  NN  /\ 
A. i  e.  (
ZZ>= `  b ) ( ( F `  i
)  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K ) ) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  /\  b  <_  K
)  ->  L  <  L )
5116ad3antrrr 477 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  ( b  e.  NN  /\ 
A. i  e.  (
ZZ>= `  b ) ( ( F `  i
)  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K ) ) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  /\  b  <_  K
)  ->  L  e.  RR )
5251ltnrd 7650 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  ( b  e.  NN  /\ 
A. i  e.  (
ZZ>= `  b ) ( ( F `  i
)  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K ) ) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  /\  b  <_  K
)  ->  -.  L  <  L )
5350, 52pm2.21fal 1310 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  ( b  e.  NN  /\ 
A. i  e.  (
ZZ>= `  b ) ( ( F `  i
)  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K ) ) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  /\  b  <_  K
)  -> F.  )
5410ad3antrrr 477 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  ( b  e.  NN  /\ 
A. i  e.  (
ZZ>= `  b ) ( ( F `  i
)  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K ) ) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  /\  K  <  b
)  ->  A  e.  RR )
5511ad3antrrr 477 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  ( b  e.  NN  /\ 
A. i  e.  (
ZZ>= `  b ) ( ( F `  i
)  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K ) ) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  /\  K  <  b
)  ->  0  <_  A )
5613ad3antrrr 477 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  ( b  e.  NN  /\ 
A. i  e.  (
ZZ>= `  b ) ( ( F `  i
)  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K ) ) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  /\  K  <  b
)  ->  K  e.  NN )
5732adantr 271 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  ( b  e.  NN  /\ 
A. i  e.  (
ZZ>= `  b ) ( ( F `  i
)  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K ) ) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  /\  K  <  b
)  ->  b  e.  NN )
58 simpr 109 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  ( b  e.  NN  /\ 
A. i  e.  (
ZZ>= `  b ) ( ( F `  i
)  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K ) ) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  /\  K  <  b
)  ->  K  <  b )
599, 54, 55, 56, 57, 58resqrexlemdecn 10499 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  ( b  e.  NN  /\ 
A. i  e.  (
ZZ>= `  b ) ( ( F `  i
)  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K ) ) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  /\  K  <  b
)  ->  ( F `  b )  <  ( F `  K )
)
6015ad3antrrr 477 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  ( b  e.  NN  /\ 
A. i  e.  (
ZZ>= `  b ) ( ( F `  i
)  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K ) ) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  /\  K  <  b
)  ->  ( F `  K )  e.  RR )
6112ad2antrr 473 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  (
b  e.  NN  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  b ) ( ( F `  i )  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K )
) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  ->  F : NN --> RR+ )
6261, 32ffvelrnd 5449 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  (
b  e.  NN  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  b ) ( ( F `  i )  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K )
) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  ->  ( F `  b )  e.  RR+ )
6362rpred 9227 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  (
b  e.  NN  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  b ) ( ( F `  i )  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K )
) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  ->  ( F `  b )  e.  RR )
6463adantr 271 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  ( b  e.  NN  /\ 
A. i  e.  (
ZZ>= `  b ) ( ( F `  i
)  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K ) ) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  /\  K  <  b
)  ->  ( F `  b )  e.  RR )
65 fveq2 5318 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  =  b  ->  ( F `  i )  =  ( F `  b ) )
6665breq1d 3861 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  =  b  ->  (
( F `  i
)  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K ) ) )  <->  ( F `  b )  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K ) ) ) ) )
6765oveq1d 5681 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  =  b  ->  (
( F `  i
)  +  ( L  -  ( F `  K ) ) )  =  ( ( F `
 b )  +  ( L  -  ( F `  K )
) ) )
6867breq2d 3863 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  =  b  ->  ( L  <  ( ( F `
 i )  +  ( L  -  ( F `  K )
) )  <->  L  <  ( ( F `  b
)  +  ( L  -  ( F `  K ) ) ) ) )
6966, 68anbi12d 458 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  =  b  ->  (
( ( F `  i )  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K ) ) )  /\  L  <  (
( F `  i
)  +  ( L  -  ( F `  K ) ) ) )  <->  ( ( F `
 b )  < 
( L  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) )  /\  L  < 
( ( F `  b )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )
70 uzid 9087 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  e.  ZZ  ->  b  e.  ( ZZ>= `  b )
)
7133, 70syl 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  (
b  e.  NN  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  b ) ( ( F `  i )  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K )
) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  ->  b  e.  (
ZZ>= `  b ) )
7269, 30, 71rspcdva 2728 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  (
b  e.  NN  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  b ) ( ( F `  i )  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K )
) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  ->  ( ( F `
 b )  < 
( L  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) )  /\  L  < 
( ( F `  b )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) )
7372simprd 113 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  (
b  e.  NN  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  b ) ( ( F `  i )  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K )
) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  ->  L  <  (
( F `  b
)  +  ( L  -  ( F `  K ) ) ) )
7462rpcnd 9229 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  (
b  e.  NN  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  b ) ( ( F `  i )  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K )
) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  ->  ( F `  b )  e.  CC )
7574, 47, 44addsubassd 7867 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  (
b  e.  NN  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  b ) ( ( F `  i )  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K )
) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  ->  ( ( ( F `  b )  +  L )  -  ( F `  K ) )  =  ( ( F `  b )  +  ( L  -  ( F `  K ) ) ) )
7673, 75breqtrrd 3877 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  (
b  e.  NN  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  b ) ( ( F `  i )  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K )
) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  ->  L  <  (
( ( F `  b )  +  L
)  -  ( F `
 K ) ) )
7715ad2antrr 473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  (
b  e.  NN  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  b ) ( ( F `  i )  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K )
) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  ->  ( F `  K )  e.  RR )
7863, 46readdcld 7571 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  (
b  e.  NN  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  b ) ( ( F `  i )  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K )
) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  ->  ( ( F `
 b )  +  L )  e.  RR )
7977, 46, 78ltaddsub2d 8077 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  (
b  e.  NN  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  b ) ( ( F `  i )  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K )
) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  ->  ( ( ( F `  K )  +  L )  < 
( ( F `  b )  +  L
)  <->  L  <  ( ( ( F `  b
)  +  L )  -  ( F `  K ) ) ) )
8076, 79mpbird 166 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  (
b  e.  NN  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  b ) ( ( F `  i )  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K )
) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  ->  ( ( F `
 K )  +  L )  <  (
( F `  b
)  +  L ) )
8177, 63, 46ltadd1d 8069 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  (
b  e.  NN  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  b ) ( ( F `  i )  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K )
) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  ->  ( ( F `
 K )  < 
( F `  b
)  <->  ( ( F `
 K )  +  L )  <  (
( F `  b
)  +  L ) ) )
8280, 81mpbird 166 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  (
b  e.  NN  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  b ) ( ( F `  i )  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K )
) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  ->  ( F `  K )  <  ( F `  b )
)
8382adantr 271 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  ( b  e.  NN  /\ 
A. i  e.  (
ZZ>= `  b ) ( ( F `  i
)  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K ) ) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  /\  K  <  b
)  ->  ( F `  K )  <  ( F `  b )
)
8460, 64, 83ltnsymd 7657 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  ( b  e.  NN  /\ 
A. i  e.  (
ZZ>= `  b ) ( ( F `  i
)  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K ) ) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  /\  K  <  b
)  ->  -.  ( F `  b )  <  ( F `  K
) )
8559, 84pm2.21fal 1310 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  ( b  e.  NN  /\ 
A. i  e.  (
ZZ>= `  b ) ( ( F `  i
)  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K ) ) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  /\  K  <  b
)  -> F.  )
86 zlelttric 8849 . . . . . 6  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( b  <_  K  \/  K  <  b ) )
8733, 36, 86syl2anc 404 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  (
b  e.  NN  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  b ) ( ( F `  i )  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K )
) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  ->  ( b  <_  K  \/  K  <  b ) )
8853, 85, 87mpjaodan 748 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  (
b  e.  NN  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  b ) ( ( F `  i )  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K )
) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  -> F.  )
8924, 88rexlimddv 2494 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( F `  K )  <  L
)  -> F.  )
9089inegd 1309 . 2  |-  ( ph  ->  -.  ( F `  K )  <  L
)
9116, 15lenltd 7655 . 2  |-  ( ph  ->  ( L  <_  ( F `  K )  <->  -.  ( F `  K
)  <  L )
)
9290, 91mpbird 166 1  |-  ( ph  ->  L  <_  ( F `  K ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 665    = wceq 1290   F. wfal 1295    e. wcel 1439   A.wral 2360   E.wrex 2361   {csn 3450   class class class wbr 3851    X. cxp 4449   -->wf 5024   ` cfv 5028  (class class class)co 5666    |-> cmpt2 5668   CCcc 7402   RRcr 7403   0cc0 7404   1c1 7405    + caddc 7407    < clt 7576    <_ cle 7577    - cmin 7707    / cdiv 8193   NNcn 8476   2c2 8527   ZZcz 8804   ZZ>=cuz 9073   RR+crp 9188    seqcseq 9906
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3960  ax-sep 3963  ax-nul 3971  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-iinf 4416  ax-cnex 7490  ax-resscn 7491  ax-1cn 7492  ax-1re 7493  ax-icn 7494  ax-addcl 7495  ax-addrcl 7496  ax-mulcl 7497  ax-mulrcl 7498  ax-addcom 7499  ax-mulcom 7500  ax-addass 7501  ax-mulass 7502  ax-distr 7503  ax-i2m1 7504  ax-0lt1 7505  ax-1rid 7506  ax-0id 7507  ax-rnegex 7508  ax-precex 7509  ax-cnre 7510  ax-pre-ltirr 7511  ax-pre-ltwlin 7512  ax-pre-lttrn 7513  ax-pre-apti 7514  ax-pre-ltadd 7515  ax-pre-mulgt0 7516  ax-pre-mulext 7517
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 782  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rmo 2368  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-csb 2935  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-nul 3288  df-if 3398  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-int 3695  df-iun 3738  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-tr 3943  df-id 4129  df-po 4132  df-iso 4133  df-iord 4202  df-on 4204  df-ilim 4205  df-suc 4207  df-iom 4419  df-xp 4457  df-rel 4458  df-cnv 4459  df-co 4460  df-dm 4461  df-rn 4462  df-res 4463  df-ima 4464  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-f1 5033  df-fo 5034  df-f1o 5035  df-fv 5036  df-riota 5622  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-1st 5925  df-2nd 5926  df-recs 6084  df-frec 6170  df-pnf 7578  df-mnf 7579  df-xr 7580  df-ltxr 7581  df-le 7582  df-sub 7709  df-neg 7710  df-reap 8106  df-ap 8113  df-div 8194  df-inn 8477  df-2 8535  df-3 8536  df-4 8537  df-n0 8728  df-z 8805  df-uz 9074  df-rp 9189  df-iseq 9907  df-seq3 9908  df-exp 10009
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