Theorem resqrexlemoverl 11644

Description: Lemma for resqrex 11649. Every term in the sequence is an overestimate compared with the limit L. Although this theorem is stated in terms of a particular sequence the proof could be adapted for any decreasing convergent sequence. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
resqrexlemex.seq	|- F = seq 1 ( ( y e. RR+ , z e. RR+ |-> ( ( y + ( A / y ) ) / 2 ) ) , ( NN X. { ( 1 + A ) } ) )
resqrexlemex.a	|- ( ph -> A e. RR )
resqrexlemex.agt0	|- ( ph -> 0 <_ A )
resqrexlemgt0.rr	|- ( ph -> L e. RR )
resqrexlemgt0.lim	|- ( ph -> A. e e. RR+ E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + e ) /\ L < ( ( F ` i ) + e ) ) )
resqrexlemoverl.k	|- ( ph -> K e. NN )

Assertion

Ref	Expression
resqrexlemoverl	|- ( ph -> L <_ ( F ` K ) )

Distinct variable groups:   y, A, z   e, F, i, j   y, F, z, i, j   e, K, i, j   y, K, z   e, L, i, j   y, L, z   ph, y, z

Allowed substitution hints:   ph( e, i, j)   A( e, i, j)

Proof of Theorem resqrexlemoverl

Dummy variable b is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6036	. . . . . . . . 9 |- ( e = ( L - ( F ` K ) ) -> ( L + e ) = ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) )
2	1	breq2d 4105	. . . . . . . 8 |- ( e = ( L - ( F ` K ) ) -> ( ( F ` i ) < ( L + e ) <-> ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) ) )
3		oveq2 6036	. . . . . . . . 9 |- ( e = ( L - ( F ` K ) ) -> ( ( F ` i ) + e ) = ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) )
4	3	breq2d 4105	. . . . . . . 8 |- ( e = ( L - ( F ` K ) ) -> ( L < ( ( F ` i ) + e ) <-> L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) )
5	2, 4	anbi12d 473	. . . . . . 7 |- ( e = ( L - ( F ` K ) ) -> ( ( ( F ` i ) < ( L + e ) /\ L < ( ( F ` i ) + e ) ) <-> ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) )
6	5	rexralbidv 2559	. . . . . 6 |- ( e = ( L - ( F ` K ) ) -> ( E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + e ) /\ L < ( ( F ` i ) + e ) ) <-> E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) )
7		resqrexlemgt0.lim	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. e e. RR+ E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + e ) /\ L < ( ( F ` i ) + e ) ) )
8	7	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) -> A. e e. RR+ E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + e ) /\ L < ( ( F ` i ) + e ) ) )
9		resqrexlemex.seq	. . . . . . . . . . 11 |- F = seq 1 ( ( y e. RR+ , z e. RR+ |-> ( ( y + ( A / y ) ) / 2 ) ) , ( NN X. { ( 1 + A ) } ) )
10		resqrexlemex.a	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A e. RR )
11		resqrexlemex.agt0	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 0 <_ A )
12	9, 10, 11	resqrexlemf 11630	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> F : NN --> RR+ )
13		resqrexlemoverl.k	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> K e. NN )
14	12, 13	ffvelcdmd 5791	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( F ` K ) e. RR+ )
15	14	rpred 9975	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( F ` K ) e. RR )
16		resqrexlemgt0.rr	. . . . . . . 8 |- ( ph -> L e. RR )
17		difrp 9971	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F ` K ) e. RR /\ L e. RR ) -> ( ( F ` K ) < L <-> ( L - ( F ` K ) ) e. RR+ ) )
18	15, 16, 17	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( F ` K ) < L <-> ( L - ( F ` K ) ) e. RR+ ) )
19	18	biimpa 296	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) -> ( L - ( F ` K ) ) e. RR+ )
20	6, 8, 19	rspcdva 2916	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) -> E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) )
21		fveq2 5648	. . . . . . 7 |- ( j = b -> ( ZZ>= ` j ) = ( ZZ>= ` b ) )
22	21	raleqdv 2737	. . . . . 6 |- ( j = b -> ( A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) <-> A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) )
23	22	cbvrexv 2769	. . . . 5 |- ( E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) <-> E. b e. NN A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) )
24	20, 23	sylib 122	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) -> E. b e. NN A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) )
25		fveq2 5648	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = K -> ( F ` i ) = ( F ` K ) )
26	25	breq1d 4103	. . . . . . . . . 10 |- ( i = K -> ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) <-> ( F ` K ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) ) )
27	25	oveq1d 6043	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = K -> ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) = ( ( F ` K ) + ( L - ( F ` K ) ) ) )
28	27	breq2d 4105	. . . . . . . . . 10 |- ( i = K -> ( L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) <-> L < ( ( F ` K ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) )
29	26, 28	anbi12d 473	. . . . . . . . 9 |- ( i = K -> ( ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) <-> ( ( F ` K ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` K ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) )
30		simprr 533	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) -> A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) )
31	30	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) /\ b <_ K ) -> A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) )
32		simprl 531	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) -> b e. NN )
33	32	nnzd 9645	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) -> b e. ZZ )
34	33	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) /\ b <_ K ) -> b e. ZZ )
35	13	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) -> K e. NN )
36	35	nnzd 9645	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) -> K e. ZZ )
37	36	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) /\ b <_ K ) -> K e. ZZ )
38		simpr 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) /\ b <_ K ) -> b <_ K )
39		eluz2 9805	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. ( ZZ>= ` b ) <-> ( b e. ZZ /\ K e. ZZ /\ b <_ K ) )
40	34, 37, 38, 39	syl3anbrc 1208	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) /\ b <_ K ) -> K e. ( ZZ>= ` b ) )
41	29, 31, 40	rspcdva 2916	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) /\ b <_ K ) -> ( ( F ` K ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` K ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) )
42	41	simprd 114	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) /\ b <_ K ) -> L < ( ( F ` K ) + ( L - ( F ` K ) ) ) )
43	14	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) -> ( F ` K ) e. RR+ )
44	43	rpcnd 9977	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) -> ( F ` K ) e. CC )
45	44	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) /\ b <_ K ) -> ( F ` K ) e. CC )
46	16	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) -> L e. RR )
47	46	recnd 8250	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) -> L e. CC )
48	47	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) /\ b <_ K ) -> L e. CC )
49	45, 48	pncan3d 8535	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) /\ b <_ K ) -> ( ( F ` K ) + ( L - ( F ` K ) ) ) = L )
50	42, 49	breqtrd 4119	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) /\ b <_ K ) -> L < L )
51	16	ad3antrrr 492	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) /\ b <_ K ) -> L e. RR )
52	51	ltnrd 8333	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) /\ b <_ K ) -> -. L < L )
53	50, 52	pm2.21fal 1418	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) /\ b <_ K ) -> F. )
54	10	ad3antrrr 492	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) /\ K < b ) -> A e. RR )
55	11	ad3antrrr 492	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) /\ K < b ) -> 0 <_ A )
56	13	ad3antrrr 492	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) /\ K < b ) -> K e. NN )
57	32	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) /\ K < b ) -> b e. NN )
58		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) /\ K < b ) -> K < b )
59	9, 54, 55, 56, 57, 58	resqrexlemdecn 11635	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) /\ K < b ) -> ( F ` b ) < ( F ` K ) )
60	15	ad3antrrr 492	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) /\ K < b ) -> ( F ` K ) e. RR )
61	12	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) -> F : NN --> RR+ )
62	61, 32	ffvelcdmd 5791	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) -> ( F ` b ) e. RR+ )
63	62	rpred 9975	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) -> ( F ` b ) e. RR )
64	63	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) /\ K < b ) -> ( F ` b ) e. RR )
65		fveq2 5648	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i = b -> ( F ` i ) = ( F ` b ) )
66	65	breq1d 4103	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i = b -> ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) <-> ( F ` b ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) ) )
67	65	oveq1d 6043	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i = b -> ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) = ( ( F ` b ) + ( L - ( F ` K ) ) ) )
68	67	breq2d 4105	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i = b -> ( L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) <-> L < ( ( F ` b ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) )
69	66, 68	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = b -> ( ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) <-> ( ( F ` b ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` b ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) )
70		uzid 9814	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( b e. ZZ -> b e. ( ZZ>= ` b ) )
71	33, 70	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) -> b e. ( ZZ>= ` b ) )
72	69, 30, 71	rspcdva 2916	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) -> ( ( F ` b ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` b ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) )
73	72	simprd 114	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) -> L < ( ( F ` b ) + ( L - ( F ` K ) ) ) )
74	62	rpcnd 9977	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) -> ( F ` b ) e. CC )
75	74, 47, 44	addsubassd 8552	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) -> ( ( ( F ` b ) + L ) - ( F ` K ) ) = ( ( F ` b ) + ( L - ( F ` K ) ) ) )
76	73, 75	breqtrrd 4121	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) -> L < ( ( ( F ` b ) + L ) - ( F ` K ) ) )
77	15	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) -> ( F ` K ) e. RR )
78	63, 46	readdcld 8251	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) -> ( ( F ` b ) + L ) e. RR )
79	77, 46, 78	ltaddsub2d 8768	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) -> ( ( ( F ` K ) + L ) < ( ( F ` b ) + L ) <-> L < ( ( ( F ` b ) + L ) - ( F ` K ) ) ) )
80	76, 79	mpbird 167	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) -> ( ( F ` K ) + L ) < ( ( F ` b ) + L ) )
81	77, 63, 46	ltadd1d 8760	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) -> ( ( F ` K ) < ( F ` b ) <-> ( ( F ` K ) + L ) < ( ( F ` b ) + L ) ) )
82	80, 81	mpbird 167	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) -> ( F ` K ) < ( F ` b ) )
83	82	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) /\ K < b ) -> ( F ` K ) < ( F ` b ) )
84	60, 64, 83	ltnsymd 8341	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) /\ K < b ) -> -. ( F ` b ) < ( F ` K ) )
85	59, 84	pm2.21fal 1418	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) /\ K < b ) -> F. )
86		zlelttric 9568	. . . . . 6 |- ( ( b e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( b <_ K \/ K < b ) )
87	33, 36, 86	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) -> ( b <_ K \/ K < b ) )
88	53, 85, 87	mpjaodan 806	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) -> F. )
89	24, 88	rexlimddv 2656	. . 3 |- ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) -> F. )
90	89	inegd 1417	. 2 |- ( ph -> -. ( F ` K ) < L )
91	16, 15	lenltd 8339	. 2 |- ( ph -> ( L <_ ( F ` K ) <-> -. ( F ` K ) < L ) )
92	90, 91	mpbird 167	1 |- ( ph -> L <_ ( F ` K ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 716   = wceq 1398   F. wfal 1403   e. wcel 2202   A.wral 2511   E.wrex 2512   {csn 3673   class class class wbr 4093   X. cxp 4729   -->wf 5329   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   e. cmpo 6030   CCcc 8073   RRcr 8074   0cc0 8075   1c1 8076   + caddc 8078   < clt 8256   <_ cle 8257   - cmin 8392   / cdiv 8894   NNcn 9185   2c2 9236   ZZcz 9523   ZZ>=cuz 9799   RR+crp 9932   seqcseq 10755

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-mulrcl 8174  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-precex 8185  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191  ax-pre-mulgt0 8192  ax-pre-mulext 8193

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-frec 6600  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-xr 8260  df-ltxr 8261  df-le 8262  df-sub 8394  df-neg 8395  df-reap 8797  df-ap 8804  df-div 8895  df-inn 9186  df-2 9244  df-3 9245  df-4 9246  df-n0 9445  df-z 9524  df-uz 9800  df-rp 9933  df-seqfrec 10756  df-exp 10847

This theorem is referenced by:  resqrexlemglsq  11645