Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  resqrexlemoverl Unicode version

Theorem resqrexlemoverl 10508
 Description: Lemma for resqrex 10513. Every term in the sequence is an overestimate compared with the limit . Although this theorem is stated in terms of a particular sequence the proof could be adapted for any decreasing convergent sequence. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
resqrexlemex.seq
resqrexlemex.a
resqrexlemex.agt0
resqrexlemgt0.rr
resqrexlemgt0.lim
resqrexlemoverl.k
Assertion
Ref Expression
resqrexlemoverl
Distinct variable groups:   ,,   ,,,   ,,,,   ,,,   ,,   ,,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,,)   (,,)

Proof of Theorem resqrexlemoverl
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 5674 . . . . . . . . 9
21breq2d 3863 . . . . . . . 8
3 oveq2 5674 . . . . . . . . 9
43breq2d 3863 . . . . . . . 8
52, 4anbi12d 458 . . . . . . 7
65rexralbidv 2405 . . . . . 6
7 resqrexlemgt0.lim . . . . . . 7
87adantr 271 . . . . . 6
9 resqrexlemex.seq . . . . . . . . . . 11
10 resqrexlemex.a . . . . . . . . . . 11
11 resqrexlemex.agt0 . . . . . . . . . . 11
129, 10, 11resqrexlemf 10494 . . . . . . . . . 10
13 resqrexlemoverl.k . . . . . . . . . 10
1412, 13ffvelrnd 5449 . . . . . . . . 9
1514rpred 9227 . . . . . . . 8
16 resqrexlemgt0.rr . . . . . . . 8
17 difrp 9224 . . . . . . . 8
1815, 16, 17syl2anc 404 . . . . . . 7
1918biimpa 291 . . . . . 6
206, 8, 19rspcdva 2728 . . . . 5
21 fveq2 5318 . . . . . . 7
2221raleqdv 2569 . . . . . 6
2322cbvrexv 2592 . . . . 5
2420, 23sylib 121 . . . 4
25 fveq2 5318 . . . . . . . . . . 11
2625breq1d 3861 . . . . . . . . . 10
2725oveq1d 5681 . . . . . . . . . . 11
2827breq2d 3863 . . . . . . . . . 10
2926, 28anbi12d 458 . . . . . . . . 9
30 simprr 500 . . . . . . . . . 10
3130adantr 271 . . . . . . . . 9
32 simprl 499 . . . . . . . . . . . 12
3332nnzd 8921 . . . . . . . . . . 11
3433adantr 271 . . . . . . . . . 10
3513ad2antrr 473 . . . . . . . . . . . 12
3635nnzd 8921 . . . . . . . . . . 11
3736adantr 271 . . . . . . . . . 10
38 simpr 109 . . . . . . . . . 10
39 eluz2 9079 . . . . . . . . . 10
4034, 37, 38, 39syl3anbrc 1128 . . . . . . . . 9
4129, 31, 40rspcdva 2728 . . . . . . . 8
4241simprd 113 . . . . . . 7
4314ad2antrr 473 . . . . . . . . . 10
4443rpcnd 9229 . . . . . . . . 9
4544adantr 271 . . . . . . . 8
4616ad2antrr 473 . . . . . . . . . 10
4746recnd 7570 . . . . . . . . 9
4847adantr 271 . . . . . . . 8
4945, 48pncan3d 7850 . . . . . . 7
5042, 49breqtrd 3875 . . . . . 6
5116ad3antrrr 477 . . . . . . 7
5251ltnrd 7650 . . . . . 6
5350, 52pm2.21fal 1310 . . . . 5
5410ad3antrrr 477 . . . . . . 7
5511ad3antrrr 477 . . . . . . 7
5613ad3antrrr 477 . . . . . . 7
5732adantr 271 . . . . . . 7
58 simpr 109 . . . . . . 7
599, 54, 55, 56, 57, 58resqrexlemdecn 10499 . . . . . 6
6015ad3antrrr 477 . . . . . . 7
6112ad2antrr 473 . . . . . . . . . 10
6261, 32ffvelrnd 5449 . . . . . . . . 9
6362rpred 9227 . . . . . . . 8
6463adantr 271 . . . . . . 7
65 fveq2 5318 . . . . . . . . . . . . . . 15
6665breq1d 3861 . . . . . . . . . . . . . 14
6765oveq1d 5681 . . . . . . . . . . . . . . 15
6867breq2d 3863 . . . . . . . . . . . . . 14
6966, 68anbi12d 458 . . . . . . . . . . . . 13
70 uzid 9087 . . . . . . . . . . . . . 14
7133, 70syl 14 . . . . . . . . . . . . 13
7269, 30, 71rspcdva 2728 . . . . . . . . . . . 12
7372simprd 113 . . . . . . . . . . 11
7462rpcnd 9229 . . . . . . . . . . . 12
7574, 47, 44addsubassd 7867 . . . . . . . . . . 11
7673, 75breqtrrd 3877 . . . . . . . . . 10
7715ad2antrr 473 . . . . . . . . . . 11
7863, 46readdcld 7571 . . . . . . . . . . 11
7977, 46, 78ltaddsub2d 8077 . . . . . . . . . 10
8076, 79mpbird 166 . . . . . . . . 9
8177, 63, 46ltadd1d 8069 . . . . . . . . 9
8280, 81mpbird 166 . . . . . . . 8
8382adantr 271 . . . . . . 7
8460, 64, 83ltnsymd 7657 . . . . . 6
8559, 84pm2.21fal 1310 . . . . 5
86 zlelttric 8849 . . . . . 6
8733, 36, 86syl2anc 404 . . . . 5
8853, 85, 87mpjaodan 748 . . . 4
8924, 88rexlimddv 2494 . . 3
9089inegd 1309 . 2
9116, 15lenltd 7655 . 2
9290, 91mpbird 166 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 103   wb 104   wo 665   wceq 1290   wfal 1295   wcel 1439  wral 2360  wrex 2361  csn 3450   class class class wbr 3851   cxp 4449  wf 5024  cfv 5028  (class class class)co 5666   cmpt2 5668  cc 7402  cr 7403  cc0 7404  c1 7405   caddc 7407   clt 7576   cle 7577   cmin 7707   cdiv 8193  cn 8476  c2 8527  cz 8804  cuz 9073  crp 9188   cseq 9906 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3960  ax-sep 3963  ax-nul 3971  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-iinf 4416  ax-cnex 7490  ax-resscn 7491  ax-1cn 7492  ax-1re 7493  ax-icn 7494  ax-addcl 7495  ax-addrcl 7496  ax-mulcl 7497  ax-mulrcl 7498  ax-addcom 7499  ax-mulcom 7500  ax-addass 7501  ax-mulass 7502  ax-distr 7503  ax-i2m1 7504  ax-0lt1 7505  ax-1rid 7506  ax-0id 7507  ax-rnegex 7508  ax-precex 7509  ax-cnre 7510  ax-pre-ltirr 7511  ax-pre-ltwlin 7512  ax-pre-lttrn 7513  ax-pre-apti 7514  ax-pre-ltadd 7515  ax-pre-mulgt0 7516  ax-pre-mulext 7517 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 782  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rmo 2368  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-csb 2935  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-nul 3288  df-if 3398  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-int 3695  df-iun 3738  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-tr 3943  df-id 4129  df-po 4132  df-iso 4133  df-iord 4202  df-on 4204  df-ilim 4205  df-suc 4207  df-iom 4419  df-xp 4457  df-rel 4458  df-cnv 4459  df-co 4460  df-dm 4461  df-rn 4462  df-res 4463  df-ima 4464  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-f1 5033  df-fo 5034  df-f1o 5035  df-fv 5036  df-riota 5622  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-1st 5925  df-2nd 5926  df-recs 6084  df-frec 6170  df-pnf 7578  df-mnf 7579  df-xr 7580  df-ltxr 7581  df-le 7582  df-sub 7709  df-neg 7710  df-reap 8106  df-ap 8113  df-div 8194  df-inn 8477  df-2 8535  df-3 8536  df-4 8537  df-n0 8728  df-z 8805  df-uz 9074  df-rp 9189  df-iseq 9907  df-seq3 9908  df-exp 10009 This theorem is referenced by:  resqrexlemglsq  10509
 Copyright terms: Public domain W3C validator