Theorem resqrexlemoverl 11186

Description: Lemma for resqrex 11191. Every term in the sequence is an overestimate compared with the limit L. Although this theorem is stated in terms of a particular sequence the proof could be adapted for any decreasing convergent sequence. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
resqrexlemex.seq	|- F = seq 1 ( ( y e. RR+ , z e. RR+ |-> ( ( y + ( A / y ) ) / 2 ) ) , ( NN X. { ( 1 + A ) } ) )
resqrexlemex.a	|- ( ph -> A e. RR )
resqrexlemex.agt0	|- ( ph -> 0 <_ A )
resqrexlemgt0.rr	|- ( ph -> L e. RR )
resqrexlemgt0.lim	|- ( ph -> A. e e. RR+ E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + e ) /\ L < ( ( F ` i ) + e ) ) )
resqrexlemoverl.k	|- ( ph -> K e. NN )

Assertion

Ref	Expression
resqrexlemoverl	|- ( ph -> L <_ ( F ` K ) )

Distinct variable groups:   y, A, z   e, F, i, j   y, F, z, i, j   e, K, i, j   y, K, z   e, L, i, j   y, L, z   ph, y, z

Allowed substitution hints:   ph( e, i, j)   A( e, i, j)

Proof of Theorem resqrexlemoverl

Dummy variable b is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 5930	. . . . . . . . 9 |- ( e = ( L - ( F ` K ) ) -> ( L + e ) = ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) )
2	1	breq2d 4045	. . . . . . . 8 |- ( e = ( L - ( F ` K ) ) -> ( ( F ` i ) < ( L + e ) <-> ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) ) )
3		oveq2 5930	. . . . . . . . 9 |- ( e = ( L - ( F ` K ) ) -> ( ( F ` i ) + e ) = ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) )
4	3	breq2d 4045	. . . . . . . 8 |- ( e = ( L - ( F ` K ) ) -> ( L < ( ( F ` i ) + e ) <-> L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) )
5	2, 4	anbi12d 473	. . . . . . 7 |- ( e = ( L - ( F ` K ) ) -> ( ( ( F ` i ) < ( L + e ) /\ L < ( ( F ` i ) + e ) ) <-> ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) )
6	5	rexralbidv 2523	. . . . . 6 |- ( e = ( L - ( F ` K ) ) -> ( E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + e ) /\ L < ( ( F ` i ) + e ) ) <-> E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) )
7		resqrexlemgt0.lim	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. e e. RR+ E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + e ) /\ L < ( ( F ` i ) + e ) ) )
8	7	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) -> A. e e. RR+ E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + e ) /\ L < ( ( F ` i ) + e ) ) )
9		resqrexlemex.seq	. . . . . . . . . . 11 |- F = seq 1 ( ( y e. RR+ , z e. RR+ |-> ( ( y + ( A / y ) ) / 2 ) ) , ( NN X. { ( 1 + A ) } ) )
10		resqrexlemex.a	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A e. RR )
11		resqrexlemex.agt0	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 0 <_ A )
12	9, 10, 11	resqrexlemf 11172	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> F : NN --> RR+ )
13		resqrexlemoverl.k	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> K e. NN )
14	12, 13	ffvelcdmd 5698	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( F ` K ) e. RR+ )
15	14	rpred 9771	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( F ` K ) e. RR )
16		resqrexlemgt0.rr	. . . . . . . 8 |- ( ph -> L e. RR )
17		difrp 9767	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F ` K ) e. RR /\ L e. RR ) -> ( ( F ` K ) < L <-> ( L - ( F ` K ) ) e. RR+ ) )
18	15, 16, 17	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( F ` K ) < L <-> ( L - ( F ` K ) ) e. RR+ ) )
19	18	biimpa 296	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) -> ( L - ( F ` K ) ) e. RR+ )
20	6, 8, 19	rspcdva 2873	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) -> E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) )
21		fveq2 5558	. . . . . . 7 |- ( j = b -> ( ZZ>= ` j ) = ( ZZ>= ` b ) )
22	21	raleqdv 2699	. . . . . 6 |- ( j = b -> ( A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) <-> A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) )
23	22	cbvrexv 2730	. . . . 5 |- ( E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) <-> E. b e. NN A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) )
24	20, 23	sylib 122	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) -> E. b e. NN A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) )
25		fveq2 5558	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = K -> ( F ` i ) = ( F ` K ) )
26	25	breq1d 4043	. . . . . . . . . 10 |- ( i = K -> ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) <-> ( F ` K ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) ) )
27	25	oveq1d 5937	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = K -> ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) = ( ( F ` K ) + ( L - ( F ` K ) ) ) )
28	27	breq2d 4045	. . . . . . . . . 10 |- ( i = K -> ( L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) <-> L < ( ( F ` K ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) )
29	26, 28	anbi12d 473	. . . . . . . . 9 |- ( i = K -> ( ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) <-> ( ( F ` K ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` K ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) )
30		simprr 531	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) -> A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) )
31	30	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) /\ b <_ K ) -> A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) )
32		simprl 529	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) -> b e. NN )
33	32	nnzd 9447	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) -> b e. ZZ )
34	33	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) /\ b <_ K ) -> b e. ZZ )
35	13	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) -> K e. NN )
36	35	nnzd 9447	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) -> K e. ZZ )
37	36	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) /\ b <_ K ) -> K e. ZZ )
38		simpr 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) /\ b <_ K ) -> b <_ K )
39		eluz2 9607	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. ( ZZ>= ` b ) <-> ( b e. ZZ /\ K e. ZZ /\ b <_ K ) )
40	34, 37, 38, 39	syl3anbrc 1183	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) /\ b <_ K ) -> K e. ( ZZ>= ` b ) )
41	29, 31, 40	rspcdva 2873	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) /\ b <_ K ) -> ( ( F ` K ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` K ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) )
42	41	simprd 114	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) /\ b <_ K ) -> L < ( ( F ` K ) + ( L - ( F ` K ) ) ) )
43	14	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) -> ( F ` K ) e. RR+ )
44	43	rpcnd 9773	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) -> ( F ` K ) e. CC )
45	44	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) /\ b <_ K ) -> ( F ` K ) e. CC )
46	16	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) -> L e. RR )
47	46	recnd 8055	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) -> L e. CC )
48	47	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) /\ b <_ K ) -> L e. CC )
49	45, 48	pncan3d 8340	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) /\ b <_ K ) -> ( ( F ` K ) + ( L - ( F ` K ) ) ) = L )
50	42, 49	breqtrd 4059	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) /\ b <_ K ) -> L < L )
51	16	ad3antrrr 492	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) /\ b <_ K ) -> L e. RR )
52	51	ltnrd 8138	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) /\ b <_ K ) -> -. L < L )
53	50, 52	pm2.21fal 1384	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) /\ b <_ K ) -> F. )
54	10	ad3antrrr 492	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) /\ K < b ) -> A e. RR )
55	11	ad3antrrr 492	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) /\ K < b ) -> 0 <_ A )
56	13	ad3antrrr 492	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) /\ K < b ) -> K e. NN )
57	32	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) /\ K < b ) -> b e. NN )
58		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) /\ K < b ) -> K < b )
59	9, 54, 55, 56, 57, 58	resqrexlemdecn 11177	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) /\ K < b ) -> ( F ` b ) < ( F ` K ) )
60	15	ad3antrrr 492	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) /\ K < b ) -> ( F ` K ) e. RR )
61	12	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) -> F : NN --> RR+ )
62	61, 32	ffvelcdmd 5698	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) -> ( F ` b ) e. RR+ )
63	62	rpred 9771	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) -> ( F ` b ) e. RR )
64	63	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) /\ K < b ) -> ( F ` b ) e. RR )
65		fveq2 5558	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i = b -> ( F ` i ) = ( F ` b ) )
66	65	breq1d 4043	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i = b -> ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) <-> ( F ` b ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) ) )
67	65	oveq1d 5937	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i = b -> ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) = ( ( F ` b ) + ( L - ( F ` K ) ) ) )
68	67	breq2d 4045	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i = b -> ( L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) <-> L < ( ( F ` b ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) )
69	66, 68	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = b -> ( ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) <-> ( ( F ` b ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` b ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) )
70		uzid 9615	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( b e. ZZ -> b e. ( ZZ>= ` b ) )
71	33, 70	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) -> b e. ( ZZ>= ` b ) )
72	69, 30, 71	rspcdva 2873	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) -> ( ( F ` b ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` b ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) )
73	72	simprd 114	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) -> L < ( ( F ` b ) + ( L - ( F ` K ) ) ) )
74	62	rpcnd 9773	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) -> ( F ` b ) e. CC )
75	74, 47, 44	addsubassd 8357	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) -> ( ( ( F ` b ) + L ) - ( F ` K ) ) = ( ( F ` b ) + ( L - ( F ` K ) ) ) )
76	73, 75	breqtrrd 4061	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) -> L < ( ( ( F ` b ) + L ) - ( F ` K ) ) )
77	15	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) -> ( F ` K ) e. RR )
78	63, 46	readdcld 8056	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) -> ( ( F ` b ) + L ) e. RR )
79	77, 46, 78	ltaddsub2d 8573	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) -> ( ( ( F ` K ) + L ) < ( ( F ` b ) + L ) <-> L < ( ( ( F ` b ) + L ) - ( F ` K ) ) ) )
80	76, 79	mpbird 167	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) -> ( ( F ` K ) + L ) < ( ( F ` b ) + L ) )
81	77, 63, 46	ltadd1d 8565	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) -> ( ( F ` K ) < ( F ` b ) <-> ( ( F ` K ) + L ) < ( ( F ` b ) + L ) ) )
82	80, 81	mpbird 167	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) -> ( F ` K ) < ( F ` b ) )
83	82	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) /\ K < b ) -> ( F ` K ) < ( F ` b ) )
84	60, 64, 83	ltnsymd 8146	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) /\ K < b ) -> -. ( F ` b ) < ( F ` K ) )
85	59, 84	pm2.21fal 1384	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) /\ K < b ) -> F. )
86		zlelttric 9371	. . . . . 6 |- ( ( b e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( b <_ K \/ K < b ) )
87	33, 36, 86	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) -> ( b <_ K \/ K < b ) )
88	53, 85, 87	mpjaodan 799	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) -> F. )
89	24, 88	rexlimddv 2619	. . 3 |- ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) -> F. )
90	89	inegd 1383	. 2 |- ( ph -> -. ( F ` K ) < L )
91	16, 15	lenltd 8144	. 2 |- ( ph -> ( L <_ ( F ` K ) <-> -. ( F ` K ) < L ) )
92	90, 91	mpbird 167	1 |- ( ph -> L <_ ( F ` K ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709   = wceq 1364   F. wfal 1369   e. wcel 2167   A.wral 2475   E.wrex 2476   {csn 3622   class class class wbr 4033   X. cxp 4661   -->wf 5254   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   e. cmpo 5924   CCcc 7877   RRcr 7878   0cc0 7879   1c1 7880   + caddc 7882   < clt 8061   <_ cle 8062   - cmin 8197   / cdiv 8699   NNcn 8990   2c2 9041   ZZcz 9326   ZZ>=cuz 9601   RR+crp 9728   seqcseq 10539

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996  ax-pre-mulext 7997

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-frec 6449  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609  df-div 8700  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-4 9051  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-rp 9729  df-seqfrec 10540  df-exp 10631

This theorem is referenced by:  resqrexlemglsq  11187