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Theorem resqrexlemoverl 10805
Description: Lemma for resqrex 10810. Every term in the sequence is an overestimate compared with the limit 
L. Although this theorem is stated in terms of a particular sequence the proof could be adapted for any decreasing convergent sequence. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
resqrexlemex.seq  |-  F  =  seq 1 ( ( y  e.  RR+ ,  z  e.  RR+  |->  ( ( y  +  ( A  /  y ) )  /  2 ) ) ,  ( NN  X.  { ( 1  +  A ) } ) )
resqrexlemex.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
resqrexlemex.agt0  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
resqrexlemgt0.rr  |-  ( ph  ->  L  e.  RR )
resqrexlemgt0.lim  |-  ( ph  ->  A. e  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. i  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  i )  <  ( L  +  e )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  e ) ) )
resqrexlemoverl.k  |-  ( ph  ->  K  e.  NN )
Assertion
Ref Expression
resqrexlemoverl  |-  ( ph  ->  L  <_  ( F `  K ) )
Distinct variable groups:    y, A, z   
e, F, i, j   
y, F, z, i, j    e, K, i, j    y, K, z   
e, L, i, j   
y, L, z    ph, y,
z
Allowed substitution hints:    ph( e, i, j)    A( e, i, j)

Proof of Theorem resqrexlemoverl
Dummy variable  b is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 5782 . . . . . . . . 9  |-  ( e  =  ( L  -  ( F `  K ) )  ->  ( L  +  e )  =  ( L  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) )
21breq2d 3941 . . . . . . . 8  |-  ( e  =  ( L  -  ( F `  K ) )  ->  ( ( F `  i )  <  ( L  +  e )  <->  ( F `  i )  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K ) ) ) ) )
3 oveq2 5782 . . . . . . . . 9  |-  ( e  =  ( L  -  ( F `  K ) )  ->  ( ( F `  i )  +  e )  =  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) )
43breq2d 3941 . . . . . . . 8  |-  ( e  =  ( L  -  ( F `  K ) )  ->  ( L  <  ( ( F `  i )  +  e )  <->  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `  K ) ) ) ) )
52, 4anbi12d 464 . . . . . . 7  |-  ( e  =  ( L  -  ( F `  K ) )  ->  ( (
( F `  i
)  <  ( L  +  e )  /\  L  <  ( ( F `
 i )  +  e ) )  <->  ( ( F `  i )  <  ( L  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) )  /\  L  < 
( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )
65rexralbidv 2461 . . . . . 6  |-  ( e  =  ( L  -  ( F `  K ) )  ->  ( E. j  e.  NN  A. i  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  i )  <  ( L  +  e )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  e ) )  <->  E. j  e.  NN  A. i  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  i )  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K )
) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )
7 resqrexlemgt0.lim . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. e  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. i  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  i )  <  ( L  +  e )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  e ) ) )
87adantr 274 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( F `  K )  <  L
)  ->  A. e  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. i  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  i )  <  ( L  +  e )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  e ) ) )
9 resqrexlemex.seq . . . . . . . . . . 11  |-  F  =  seq 1 ( ( y  e.  RR+ ,  z  e.  RR+  |->  ( ( y  +  ( A  /  y ) )  /  2 ) ) ,  ( NN  X.  { ( 1  +  A ) } ) )
10 resqrexlemex.a . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
11 resqrexlemex.agt0 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
129, 10, 11resqrexlemf 10791 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F : NN --> RR+ )
13 resqrexlemoverl.k . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  K  e.  NN )
1412, 13ffvelrnd 5556 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( F `  K
)  e.  RR+ )
1514rpred 9495 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F `  K
)  e.  RR )
16 resqrexlemgt0.rr . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  L  e.  RR )
17 difrp 9492 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F `  K
)  e.  RR  /\  L  e.  RR )  ->  ( ( F `  K )  <  L  <->  ( L  -  ( F `
 K ) )  e.  RR+ ) )
1815, 16, 17syl2anc 408 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( F `  K )  <  L  <->  ( L  -  ( F `
 K ) )  e.  RR+ ) )
1918biimpa 294 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( F `  K )  <  L
)  ->  ( L  -  ( F `  K ) )  e.  RR+ )
206, 8, 19rspcdva 2794 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( F `  K )  <  L
)  ->  E. j  e.  NN  A. i  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  i )  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K ) ) )  /\  L  <  (
( F `  i
)  +  ( L  -  ( F `  K ) ) ) ) )
21 fveq2 5421 . . . . . . 7  |-  ( j  =  b  ->  ( ZZ>=
`  j )  =  ( ZZ>= `  b )
)
2221raleqdv 2632 . . . . . 6  |-  ( j  =  b  ->  ( A. i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( F `  i
)  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K ) ) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) )  <->  A. i  e.  ( ZZ>= `  b )
( ( F `  i )  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K ) ) )  /\  L  <  (
( F `  i
)  +  ( L  -  ( F `  K ) ) ) ) ) )
2322cbvrexv 2655 . . . . 5  |-  ( E. j  e.  NN  A. i  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  i )  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K )
) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) )  <->  E. b  e.  NN  A. i  e.  ( ZZ>= `  b )
( ( F `  i )  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K ) ) )  /\  L  <  (
( F `  i
)  +  ( L  -  ( F `  K ) ) ) ) )
2420, 23sylib 121 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( F `  K )  <  L
)  ->  E. b  e.  NN  A. i  e.  ( ZZ>= `  b )
( ( F `  i )  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K ) ) )  /\  L  <  (
( F `  i
)  +  ( L  -  ( F `  K ) ) ) ) )
25 fveq2 5421 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  K  ->  ( F `  i )  =  ( F `  K ) )
2625breq1d 3939 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  K  ->  (
( F `  i
)  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K ) ) )  <->  ( F `  K )  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K ) ) ) ) )
2725oveq1d 5789 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  K  ->  (
( F `  i
)  +  ( L  -  ( F `  K ) ) )  =  ( ( F `
 K )  +  ( L  -  ( F `  K )
) ) )
2827breq2d 3941 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  K  ->  ( L  <  ( ( F `
 i )  +  ( L  -  ( F `  K )
) )  <->  L  <  ( ( F `  K
)  +  ( L  -  ( F `  K ) ) ) ) )
2926, 28anbi12d 464 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  K  ->  (
( ( F `  i )  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K ) ) )  /\  L  <  (
( F `  i
)  +  ( L  -  ( F `  K ) ) ) )  <->  ( ( F `
 K )  < 
( L  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) )  /\  L  < 
( ( F `  K )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )
30 simprr 521 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  (
b  e.  NN  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  b ) ( ( F `  i )  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K )
) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  ->  A. i  e.  (
ZZ>= `  b ) ( ( F `  i
)  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K ) ) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) )
3130adantr 274 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  ( b  e.  NN  /\ 
A. i  e.  (
ZZ>= `  b ) ( ( F `  i
)  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K ) ) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  /\  b  <_  K
)  ->  A. i  e.  ( ZZ>= `  b )
( ( F `  i )  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K ) ) )  /\  L  <  (
( F `  i
)  +  ( L  -  ( F `  K ) ) ) ) )
32 simprl 520 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  (
b  e.  NN  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  b ) ( ( F `  i )  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K )
) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  ->  b  e.  NN )
3332nnzd 9184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  (
b  e.  NN  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  b ) ( ( F `  i )  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K )
) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  ->  b  e.  ZZ )
3433adantr 274 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  ( b  e.  NN  /\ 
A. i  e.  (
ZZ>= `  b ) ( ( F `  i
)  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K ) ) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  /\  b  <_  K
)  ->  b  e.  ZZ )
3513ad2antrr 479 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  (
b  e.  NN  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  b ) ( ( F `  i )  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K )
) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  ->  K  e.  NN )
3635nnzd 9184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  (
b  e.  NN  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  b ) ( ( F `  i )  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K )
) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  ->  K  e.  ZZ )
3736adantr 274 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  ( b  e.  NN  /\ 
A. i  e.  (
ZZ>= `  b ) ( ( F `  i
)  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K ) ) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  /\  b  <_  K
)  ->  K  e.  ZZ )
38 simpr 109 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  ( b  e.  NN  /\ 
A. i  e.  (
ZZ>= `  b ) ( ( F `  i
)  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K ) ) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  /\  b  <_  K
)  ->  b  <_  K )
39 eluz2 9344 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  b
)  <->  ( b  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  b  <_  K ) )
4034, 37, 38, 39syl3anbrc 1165 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  ( b  e.  NN  /\ 
A. i  e.  (
ZZ>= `  b ) ( ( F `  i
)  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K ) ) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  /\  b  <_  K
)  ->  K  e.  ( ZZ>= `  b )
)
4129, 31, 40rspcdva 2794 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  ( b  e.  NN  /\ 
A. i  e.  (
ZZ>= `  b ) ( ( F `  i
)  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K ) ) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  /\  b  <_  K
)  ->  ( ( F `  K )  <  ( L  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) )  /\  L  < 
( ( F `  K )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) )
4241simprd 113 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  ( b  e.  NN  /\ 
A. i  e.  (
ZZ>= `  b ) ( ( F `  i
)  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K ) ) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  /\  b  <_  K
)  ->  L  <  ( ( F `  K
)  +  ( L  -  ( F `  K ) ) ) )
4314ad2antrr 479 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  (
b  e.  NN  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  b ) ( ( F `  i )  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K )
) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  ->  ( F `  K )  e.  RR+ )
4443rpcnd 9497 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  (
b  e.  NN  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  b ) ( ( F `  i )  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K )
) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  ->  ( F `  K )  e.  CC )
4544adantr 274 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  ( b  e.  NN  /\ 
A. i  e.  (
ZZ>= `  b ) ( ( F `  i
)  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K ) ) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  /\  b  <_  K
)  ->  ( F `  K )  e.  CC )
4616ad2antrr 479 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  (
b  e.  NN  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  b ) ( ( F `  i )  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K )
) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  ->  L  e.  RR )
4746recnd 7806 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  (
b  e.  NN  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  b ) ( ( F `  i )  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K )
) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  ->  L  e.  CC )
4847adantr 274 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  ( b  e.  NN  /\ 
A. i  e.  (
ZZ>= `  b ) ( ( F `  i
)  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K ) ) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  /\  b  <_  K
)  ->  L  e.  CC )
4945, 48pncan3d 8088 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  ( b  e.  NN  /\ 
A. i  e.  (
ZZ>= `  b ) ( ( F `  i
)  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K ) ) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  /\  b  <_  K
)  ->  ( ( F `  K )  +  ( L  -  ( F `  K ) ) )  =  L )
5042, 49breqtrd 3954 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  ( b  e.  NN  /\ 
A. i  e.  (
ZZ>= `  b ) ( ( F `  i
)  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K ) ) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  /\  b  <_  K
)  ->  L  <  L )
5116ad3antrrr 483 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  ( b  e.  NN  /\ 
A. i  e.  (
ZZ>= `  b ) ( ( F `  i
)  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K ) ) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  /\  b  <_  K
)  ->  L  e.  RR )
5251ltnrd 7887 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  ( b  e.  NN  /\ 
A. i  e.  (
ZZ>= `  b ) ( ( F `  i
)  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K ) ) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  /\  b  <_  K
)  ->  -.  L  <  L )
5350, 52pm2.21fal 1351 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  ( b  e.  NN  /\ 
A. i  e.  (
ZZ>= `  b ) ( ( F `  i
)  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K ) ) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  /\  b  <_  K
)  -> F.  )
5410ad3antrrr 483 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  ( b  e.  NN  /\ 
A. i  e.  (
ZZ>= `  b ) ( ( F `  i
)  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K ) ) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  /\  K  <  b
)  ->  A  e.  RR )
5511ad3antrrr 483 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  ( b  e.  NN  /\ 
A. i  e.  (
ZZ>= `  b ) ( ( F `  i
)  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K ) ) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  /\  K  <  b
)  ->  0  <_  A )
5613ad3antrrr 483 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  ( b  e.  NN  /\ 
A. i  e.  (
ZZ>= `  b ) ( ( F `  i
)  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K ) ) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  /\  K  <  b
)  ->  K  e.  NN )
5732adantr 274 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  ( b  e.  NN  /\ 
A. i  e.  (
ZZ>= `  b ) ( ( F `  i
)  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K ) ) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  /\  K  <  b
)  ->  b  e.  NN )
58 simpr 109 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  ( b  e.  NN  /\ 
A. i  e.  (
ZZ>= `  b ) ( ( F `  i
)  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K ) ) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  /\  K  <  b
)  ->  K  <  b )
599, 54, 55, 56, 57, 58resqrexlemdecn 10796 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  ( b  e.  NN  /\ 
A. i  e.  (
ZZ>= `  b ) ( ( F `  i
)  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K ) ) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  /\  K  <  b
)  ->  ( F `  b )  <  ( F `  K )
)
6015ad3antrrr 483 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  ( b  e.  NN  /\ 
A. i  e.  (
ZZ>= `  b ) ( ( F `  i
)  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K ) ) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  /\  K  <  b
)  ->  ( F `  K )  e.  RR )
6112ad2antrr 479 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  (
b  e.  NN  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  b ) ( ( F `  i )  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K )
) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  ->  F : NN --> RR+ )
6261, 32ffvelrnd 5556 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  (
b  e.  NN  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  b ) ( ( F `  i )  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K )
) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  ->  ( F `  b )  e.  RR+ )
6362rpred 9495 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  (
b  e.  NN  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  b ) ( ( F `  i )  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K )
) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  ->  ( F `  b )  e.  RR )
6463adantr 274 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  ( b  e.  NN  /\ 
A. i  e.  (
ZZ>= `  b ) ( ( F `  i
)  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K ) ) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  /\  K  <  b
)  ->  ( F `  b )  e.  RR )
65 fveq2 5421 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  =  b  ->  ( F `  i )  =  ( F `  b ) )
6665breq1d 3939 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  =  b  ->  (
( F `  i
)  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K ) ) )  <->  ( F `  b )  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K ) ) ) ) )
6765oveq1d 5789 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  =  b  ->  (
( F `  i
)  +  ( L  -  ( F `  K ) ) )  =  ( ( F `
 b )  +  ( L  -  ( F `  K )
) ) )
6867breq2d 3941 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  =  b  ->  ( L  <  ( ( F `
 i )  +  ( L  -  ( F `  K )
) )  <->  L  <  ( ( F `  b
)  +  ( L  -  ( F `  K ) ) ) ) )
6966, 68anbi12d 464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  =  b  ->  (
( ( F `  i )  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K ) ) )  /\  L  <  (
( F `  i
)  +  ( L  -  ( F `  K ) ) ) )  <->  ( ( F `
 b )  < 
( L  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) )  /\  L  < 
( ( F `  b )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )
70 uzid 9352 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  e.  ZZ  ->  b  e.  ( ZZ>= `  b )
)
7133, 70syl 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  (
b  e.  NN  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  b ) ( ( F `  i )  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K )
) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  ->  b  e.  (
ZZ>= `  b ) )
7269, 30, 71rspcdva 2794 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  (
b  e.  NN  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  b ) ( ( F `  i )  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K )
) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  ->  ( ( F `
 b )  < 
( L  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) )  /\  L  < 
( ( F `  b )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) )
7372simprd 113 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  (
b  e.  NN  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  b ) ( ( F `  i )  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K )
) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  ->  L  <  (
( F `  b
)  +  ( L  -  ( F `  K ) ) ) )
7462rpcnd 9497 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  (
b  e.  NN  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  b ) ( ( F `  i )  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K )
) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  ->  ( F `  b )  e.  CC )
7574, 47, 44addsubassd 8105 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  (
b  e.  NN  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  b ) ( ( F `  i )  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K )
) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  ->  ( ( ( F `  b )  +  L )  -  ( F `  K ) )  =  ( ( F `  b )  +  ( L  -  ( F `  K ) ) ) )
7673, 75breqtrrd 3956 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  (
b  e.  NN  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  b ) ( ( F `  i )  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K )
) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  ->  L  <  (
( ( F `  b )  +  L
)  -  ( F `
 K ) ) )
7715ad2antrr 479 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  (
b  e.  NN  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  b ) ( ( F `  i )  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K )
) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  ->  ( F `  K )  e.  RR )
7863, 46readdcld 7807 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  (
b  e.  NN  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  b ) ( ( F `  i )  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K )
) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  ->  ( ( F `
 b )  +  L )  e.  RR )
7977, 46, 78ltaddsub2d 8320 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  (
b  e.  NN  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  b ) ( ( F `  i )  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K )
) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  ->  ( ( ( F `  K )  +  L )  < 
( ( F `  b )  +  L
)  <->  L  <  ( ( ( F `  b
)  +  L )  -  ( F `  K ) ) ) )
8076, 79mpbird 166 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  (
b  e.  NN  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  b ) ( ( F `  i )  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K )
) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  ->  ( ( F `
 K )  +  L )  <  (
( F `  b
)  +  L ) )
8177, 63, 46ltadd1d 8312 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  (
b  e.  NN  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  b ) ( ( F `  i )  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K )
) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  ->  ( ( F `
 K )  < 
( F `  b
)  <->  ( ( F `
 K )  +  L )  <  (
( F `  b
)  +  L ) ) )
8280, 81mpbird 166 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  (
b  e.  NN  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  b ) ( ( F `  i )  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K )
) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  ->  ( F `  K )  <  ( F `  b )
)
8382adantr 274 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  ( b  e.  NN  /\ 
A. i  e.  (
ZZ>= `  b ) ( ( F `  i
)  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K ) ) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  /\  K  <  b
)  ->  ( F `  K )  <  ( F `  b )
)
8460, 64, 83ltnsymd 7894 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  ( b  e.  NN  /\ 
A. i  e.  (
ZZ>= `  b ) ( ( F `  i
)  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K ) ) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  /\  K  <  b
)  ->  -.  ( F `  b )  <  ( F `  K
) )
8559, 84pm2.21fal 1351 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  ( b  e.  NN  /\ 
A. i  e.  (
ZZ>= `  b ) ( ( F `  i
)  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K ) ) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  /\  K  <  b
)  -> F.  )
86 zlelttric 9111 . . . . . 6  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( b  <_  K  \/  K  <  b ) )
8733, 36, 86syl2anc 408 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  (
b  e.  NN  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  b ) ( ( F `  i )  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K )
) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  ->  ( b  <_  K  \/  K  <  b ) )
8853, 85, 87mpjaodan 787 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  K )  <  L )  /\  (
b  e.  NN  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  b ) ( ( F `  i )  <  ( L  +  ( L  -  ( F `  K )
) )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  ( L  -  ( F `
 K ) ) ) ) ) )  -> F.  )
8924, 88rexlimddv 2554 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( F `  K )  <  L
)  -> F.  )
9089inegd 1350 . 2  |-  ( ph  ->  -.  ( F `  K )  <  L
)
9116, 15lenltd 7892 . 2  |-  ( ph  ->  ( L  <_  ( F `  K )  <->  -.  ( F `  K
)  <  L )
)
9290, 91mpbird 166 1  |-  ( ph  ->  L  <_  ( F `  K ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 697    = wceq 1331   F. wfal 1336    e. wcel 1480   A.wral 2416   E.wrex 2417   {csn 3527   class class class wbr 3929    X. cxp 4537   -->wf 5119   ` cfv 5123  (class class class)co 5774    e. cmpo 5776   CCcc 7630   RRcr 7631   0cc0 7632   1c1 7633    + caddc 7635    < clt 7812    <_ cle 7813    - cmin 7945    / cdiv 8444   NNcn 8732   2c2 8783   ZZcz 9066   ZZ>=cuz 9338   RR+crp 9453    seqcseq 10230
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7723  ax-resscn 7724  ax-1cn 7725  ax-1re 7726  ax-icn 7727  ax-addcl 7728  ax-addrcl 7729  ax-mulcl 7730  ax-mulrcl 7731  ax-addcom 7732  ax-mulcom 7733  ax-addass 7734  ax-mulass 7735  ax-distr 7736  ax-i2m1 7737  ax-0lt1 7738  ax-1rid 7739  ax-0id 7740  ax-rnegex 7741  ax-precex 7742  ax-cnre 7743  ax-pre-ltirr 7744  ax-pre-ltwlin 7745  ax-pre-lttrn 7746  ax-pre-apti 7747  ax-pre-ltadd 7748  ax-pre-mulgt0 7749  ax-pre-mulext 7750
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-pnf 7814  df-mnf 7815  df-xr 7816  df-ltxr 7817  df-le 7818  df-sub 7947  df-neg 7948  df-reap 8349  df-ap 8356  df-div 8445  df-inn 8733  df-2 8791  df-3 8792  df-4 8793  df-n0 8990  df-z 9067  df-uz 9339  df-rp 9454  df-seqfrec 10231  df-exp 10305
This theorem is referenced by:  resqrexlemglsq  10806
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