Theorem resqrexlemoverl 11165

Description: Lemma for resqrex 11170. Every term in the sequence is an overestimate compared with the limit L. Although this theorem is stated in terms of a particular sequence the proof could be adapted for any decreasing convergent sequence. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
resqrexlemex.seq	|- F = seq 1 ( ( y e. RR+ , z e. RR+ |-> ( ( y + ( A / y ) ) / 2 ) ) , ( NN X. { ( 1 + A ) } ) )
resqrexlemex.a	|- ( ph -> A e. RR )
resqrexlemex.agt0	|- ( ph -> 0 <_ A )
resqrexlemgt0.rr	|- ( ph -> L e. RR )
resqrexlemgt0.lim	|- ( ph -> A. e e. RR+ E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + e ) /\ L < ( ( F ` i ) + e ) ) )
resqrexlemoverl.k	|- ( ph -> K e. NN )

Assertion

Ref	Expression
resqrexlemoverl	|- ( ph -> L <_ ( F ` K ) )

Distinct variable groups:   y, A, z   e, F, i, j   y, F, z, i, j   e, K, i, j   y, K, z   e, L, i, j   y, L, z   ph, y, z

Allowed substitution hints:   ph( e, i, j)   A( e, i, j)

Proof of Theorem resqrexlemoverl

Dummy variable b is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 5926	. . . . . . . . 9 |- ( e = ( L - ( F ` K ) ) -> ( L + e ) = ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) )
2	1	breq2d 4041	. . . . . . . 8 |- ( e = ( L - ( F ` K ) ) -> ( ( F ` i ) < ( L + e ) <-> ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) ) )
3		oveq2 5926	. . . . . . . . 9 |- ( e = ( L - ( F ` K ) ) -> ( ( F ` i ) + e ) = ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) )
4	3	breq2d 4041	. . . . . . . 8 |- ( e = ( L - ( F ` K ) ) -> ( L < ( ( F ` i ) + e ) <-> L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) )
5	2, 4	anbi12d 473	. . . . . . 7 |- ( e = ( L - ( F ` K ) ) -> ( ( ( F ` i ) < ( L + e ) /\ L < ( ( F ` i ) + e ) ) <-> ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) )
6	5	rexralbidv 2520	. . . . . 6 |- ( e = ( L - ( F ` K ) ) -> ( E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + e ) /\ L < ( ( F ` i ) + e ) ) <-> E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) )
7		resqrexlemgt0.lim	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. e e. RR+ E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + e ) /\ L < ( ( F ` i ) + e ) ) )
8	7	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) -> A. e e. RR+ E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + e ) /\ L < ( ( F ` i ) + e ) ) )
9		resqrexlemex.seq	. . . . . . . . . . 11 |- F = seq 1 ( ( y e. RR+ , z e. RR+ |-> ( ( y + ( A / y ) ) / 2 ) ) , ( NN X. { ( 1 + A ) } ) )
10		resqrexlemex.a	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A e. RR )
11		resqrexlemex.agt0	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 0 <_ A )
12	9, 10, 11	resqrexlemf 11151	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> F : NN --> RR+ )
13		resqrexlemoverl.k	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> K e. NN )
14	12, 13	ffvelcdmd 5694	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( F ` K ) e. RR+ )
15	14	rpred 9762	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( F ` K ) e. RR )
16		resqrexlemgt0.rr	. . . . . . . 8 |- ( ph -> L e. RR )
17		difrp 9758	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F ` K ) e. RR /\ L e. RR ) -> ( ( F ` K ) < L <-> ( L - ( F ` K ) ) e. RR+ ) )
18	15, 16, 17	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( F ` K ) < L <-> ( L - ( F ` K ) ) e. RR+ ) )
19	18	biimpa 296	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) -> ( L - ( F ` K ) ) e. RR+ )
20	6, 8, 19	rspcdva 2869	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) -> E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) )
21		fveq2 5554	. . . . . . 7 |- ( j = b -> ( ZZ>= ` j ) = ( ZZ>= ` b ) )
22	21	raleqdv 2696	. . . . . 6 |- ( j = b -> ( A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) <-> A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) )
23	22	cbvrexv 2727	. . . . 5 |- ( E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) <-> E. b e. NN A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) )
24	20, 23	sylib 122	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) -> E. b e. NN A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) )
25		fveq2 5554	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = K -> ( F ` i ) = ( F ` K ) )
26	25	breq1d 4039	. . . . . . . . . 10 |- ( i = K -> ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) <-> ( F ` K ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) ) )
27	25	oveq1d 5933	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = K -> ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) = ( ( F ` K ) + ( L - ( F ` K ) ) ) )
28	27	breq2d 4041	. . . . . . . . . 10 |- ( i = K -> ( L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) <-> L < ( ( F ` K ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) )
29	26, 28	anbi12d 473	. . . . . . . . 9 |- ( i = K -> ( ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) <-> ( ( F ` K ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` K ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) )
30		simprr 531	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) -> A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) )
31	30	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) /\ b <_ K ) -> A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) )
32		simprl 529	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) -> b e. NN )
33	32	nnzd 9438	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) -> b e. ZZ )
34	33	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) /\ b <_ K ) -> b e. ZZ )
35	13	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) -> K e. NN )
36	35	nnzd 9438	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) -> K e. ZZ )
37	36	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) /\ b <_ K ) -> K e. ZZ )
38		simpr 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) /\ b <_ K ) -> b <_ K )
39		eluz2 9598	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. ( ZZ>= ` b ) <-> ( b e. ZZ /\ K e. ZZ /\ b <_ K ) )
40	34, 37, 38, 39	syl3anbrc 1183	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) /\ b <_ K ) -> K e. ( ZZ>= ` b ) )
41	29, 31, 40	rspcdva 2869	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) /\ b <_ K ) -> ( ( F ` K ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` K ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) )
42	41	simprd 114	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) /\ b <_ K ) -> L < ( ( F ` K ) + ( L - ( F ` K ) ) ) )
43	14	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) -> ( F ` K ) e. RR+ )
44	43	rpcnd 9764	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) -> ( F ` K ) e. CC )
45	44	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) /\ b <_ K ) -> ( F ` K ) e. CC )
46	16	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) -> L e. RR )
47	46	recnd 8048	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) -> L e. CC )
48	47	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) /\ b <_ K ) -> L e. CC )
49	45, 48	pncan3d 8333	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) /\ b <_ K ) -> ( ( F ` K ) + ( L - ( F ` K ) ) ) = L )
50	42, 49	breqtrd 4055	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) /\ b <_ K ) -> L < L )
51	16	ad3antrrr 492	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) /\ b <_ K ) -> L e. RR )
52	51	ltnrd 8131	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) /\ b <_ K ) -> -. L < L )
53	50, 52	pm2.21fal 1384	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) /\ b <_ K ) -> F. )
54	10	ad3antrrr 492	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) /\ K < b ) -> A e. RR )
55	11	ad3antrrr 492	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) /\ K < b ) -> 0 <_ A )
56	13	ad3antrrr 492	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) /\ K < b ) -> K e. NN )
57	32	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) /\ K < b ) -> b e. NN )
58		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) /\ K < b ) -> K < b )
59	9, 54, 55, 56, 57, 58	resqrexlemdecn 11156	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) /\ K < b ) -> ( F ` b ) < ( F ` K ) )
60	15	ad3antrrr 492	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) /\ K < b ) -> ( F ` K ) e. RR )
61	12	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) -> F : NN --> RR+ )
62	61, 32	ffvelcdmd 5694	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) -> ( F ` b ) e. RR+ )
63	62	rpred 9762	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) -> ( F ` b ) e. RR )
64	63	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) /\ K < b ) -> ( F ` b ) e. RR )
65		fveq2 5554	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i = b -> ( F ` i ) = ( F ` b ) )
66	65	breq1d 4039	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i = b -> ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) <-> ( F ` b ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) ) )
67	65	oveq1d 5933	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i = b -> ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) = ( ( F ` b ) + ( L - ( F ` K ) ) ) )
68	67	breq2d 4041	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i = b -> ( L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) <-> L < ( ( F ` b ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) )
69	66, 68	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = b -> ( ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) <-> ( ( F ` b ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` b ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) )
70		uzid 9606	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( b e. ZZ -> b e. ( ZZ>= ` b ) )
71	33, 70	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) -> b e. ( ZZ>= ` b ) )
72	69, 30, 71	rspcdva 2869	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) -> ( ( F ` b ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` b ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) )
73	72	simprd 114	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) -> L < ( ( F ` b ) + ( L - ( F ` K ) ) ) )
74	62	rpcnd 9764	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) -> ( F ` b ) e. CC )
75	74, 47, 44	addsubassd 8350	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) -> ( ( ( F ` b ) + L ) - ( F ` K ) ) = ( ( F ` b ) + ( L - ( F ` K ) ) ) )
76	73, 75	breqtrrd 4057	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) -> L < ( ( ( F ` b ) + L ) - ( F ` K ) ) )
77	15	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) -> ( F ` K ) e. RR )
78	63, 46	readdcld 8049	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) -> ( ( F ` b ) + L ) e. RR )
79	77, 46, 78	ltaddsub2d 8565	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) -> ( ( ( F ` K ) + L ) < ( ( F ` b ) + L ) <-> L < ( ( ( F ` b ) + L ) - ( F ` K ) ) ) )
80	76, 79	mpbird 167	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) -> ( ( F ` K ) + L ) < ( ( F ` b ) + L ) )
81	77, 63, 46	ltadd1d 8557	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) -> ( ( F ` K ) < ( F ` b ) <-> ( ( F ` K ) + L ) < ( ( F ` b ) + L ) ) )
82	80, 81	mpbird 167	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) -> ( F ` K ) < ( F ` b ) )
83	82	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) /\ K < b ) -> ( F ` K ) < ( F ` b ) )
84	60, 64, 83	ltnsymd 8139	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) /\ K < b ) -> -. ( F ` b ) < ( F ` K ) )
85	59, 84	pm2.21fal 1384	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) /\ K < b ) -> F. )
86		zlelttric 9362	. . . . . 6 |- ( ( b e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( b <_ K \/ K < b ) )
87	33, 36, 86	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) -> ( b <_ K \/ K < b ) )
88	53, 85, 87	mpjaodan 799	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) -> F. )
89	24, 88	rexlimddv 2616	. . 3 |- ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) -> F. )
90	89	inegd 1383	. 2 |- ( ph -> -. ( F ` K ) < L )
91	16, 15	lenltd 8137	. 2 |- ( ph -> ( L <_ ( F ` K ) <-> -. ( F ` K ) < L ) )
92	90, 91	mpbird 167	1 |- ( ph -> L <_ ( F ` K ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709   = wceq 1364   F. wfal 1369   e. wcel 2164   A.wral 2472   E.wrex 2473   {csn 3618   class class class wbr 4029   X. cxp 4657   -->wf 5250   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   e. cmpo 5920   CCcc 7870   RRcr 7871   0cc0 7872   1c1 7873   + caddc 7875   < clt 8054   <_ cle 8055   - cmin 8190   / cdiv 8691   NNcn 8982   2c2 9033   ZZcz 9317   ZZ>=cuz 9592   RR+crp 9719   seqcseq 10518

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-frec 6444  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-4 9043  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-rp 9720  df-seqfrec 10519  df-exp 10610

This theorem is referenced by:  resqrexlemglsq  11166