Theorem resqrexlemoverl 10963

Description: Lemma for resqrex 10968. Every term in the sequence is an overestimate compared with the limit L. Although this theorem is stated in terms of a particular sequence the proof could be adapted for any decreasing convergent sequence. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
resqrexlemex.seq	|- F = seq 1 ( ( y e. RR+ , z e. RR+ |-> ( ( y + ( A / y ) ) / 2 ) ) , ( NN X. { ( 1 + A ) } ) )
resqrexlemex.a	|- ( ph -> A e. RR )
resqrexlemex.agt0	|- ( ph -> 0 <_ A )
resqrexlemgt0.rr	|- ( ph -> L e. RR )
resqrexlemgt0.lim	|- ( ph -> A. e e. RR+ E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + e ) /\ L < ( ( F ` i ) + e ) ) )
resqrexlemoverl.k	|- ( ph -> K e. NN )

Assertion

Ref	Expression
resqrexlemoverl	|- ( ph -> L <_ ( F ` K ) )

Distinct variable groups:   y, A, z   e, F, i, j   y, F, z, i, j   e, K, i, j   y, K, z   e, L, i, j   y, L, z   ph, y, z

Allowed substitution hints:   ph( e, i, j)   A( e, i, j)

Proof of Theorem resqrexlemoverl

Dummy variable b is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 5850	. . . . . . . . 9 |- ( e = ( L - ( F ` K ) ) -> ( L + e ) = ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) )
2	1	breq2d 3994	. . . . . . . 8 |- ( e = ( L - ( F ` K ) ) -> ( ( F ` i ) < ( L + e ) <-> ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) ) )
3		oveq2 5850	. . . . . . . . 9 |- ( e = ( L - ( F ` K ) ) -> ( ( F ` i ) + e ) = ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) )
4	3	breq2d 3994	. . . . . . . 8 |- ( e = ( L - ( F ` K ) ) -> ( L < ( ( F ` i ) + e ) <-> L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) )
5	2, 4	anbi12d 465	. . . . . . 7 |- ( e = ( L - ( F ` K ) ) -> ( ( ( F ` i ) < ( L + e ) /\ L < ( ( F ` i ) + e ) ) <-> ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) )
6	5	rexralbidv 2492	. . . . . 6 |- ( e = ( L - ( F ` K ) ) -> ( E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + e ) /\ L < ( ( F ` i ) + e ) ) <-> E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) )
7		resqrexlemgt0.lim	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. e e. RR+ E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + e ) /\ L < ( ( F ` i ) + e ) ) )
8	7	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) -> A. e e. RR+ E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + e ) /\ L < ( ( F ` i ) + e ) ) )
9		resqrexlemex.seq	. . . . . . . . . . 11 |- F = seq 1 ( ( y e. RR+ , z e. RR+ |-> ( ( y + ( A / y ) ) / 2 ) ) , ( NN X. { ( 1 + A ) } ) )
10		resqrexlemex.a	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A e. RR )
11		resqrexlemex.agt0	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 0 <_ A )
12	9, 10, 11	resqrexlemf 10949	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> F : NN --> RR+ )
13		resqrexlemoverl.k	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> K e. NN )
14	12, 13	ffvelrnd 5621	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( F ` K ) e. RR+ )
15	14	rpred 9632	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( F ` K ) e. RR )
16		resqrexlemgt0.rr	. . . . . . . 8 |- ( ph -> L e. RR )
17		difrp 9628	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F ` K ) e. RR /\ L e. RR ) -> ( ( F ` K ) < L <-> ( L - ( F ` K ) ) e. RR+ ) )
18	15, 16, 17	syl2anc 409	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( F ` K ) < L <-> ( L - ( F ` K ) ) e. RR+ ) )
19	18	biimpa 294	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) -> ( L - ( F ` K ) ) e. RR+ )
20	6, 8, 19	rspcdva 2835	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) -> E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) )
21		fveq2 5486	. . . . . . 7 |- ( j = b -> ( ZZ>= ` j ) = ( ZZ>= ` b ) )
22	21	raleqdv 2667	. . . . . 6 |- ( j = b -> ( A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) <-> A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) )
23	22	cbvrexv 2693	. . . . 5 |- ( E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) <-> E. b e. NN A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) )
24	20, 23	sylib 121	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) -> E. b e. NN A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) )
25		fveq2 5486	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = K -> ( F ` i ) = ( F ` K ) )
26	25	breq1d 3992	. . . . . . . . . 10 |- ( i = K -> ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) <-> ( F ` K ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) ) )
27	25	oveq1d 5857	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = K -> ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) = ( ( F ` K ) + ( L - ( F ` K ) ) ) )
28	27	breq2d 3994	. . . . . . . . . 10 |- ( i = K -> ( L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) <-> L < ( ( F ` K ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) )
29	26, 28	anbi12d 465	. . . . . . . . 9 |- ( i = K -> ( ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) <-> ( ( F ` K ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` K ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) )
30		simprr 522	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) -> A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) )
31	30	adantr 274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) /\ b <_ K ) -> A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) )
32		simprl 521	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) -> b e. NN )
33	32	nnzd 9312	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) -> b e. ZZ )
34	33	adantr 274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) /\ b <_ K ) -> b e. ZZ )
35	13	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) -> K e. NN )
36	35	nnzd 9312	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) -> K e. ZZ )
37	36	adantr 274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) /\ b <_ K ) -> K e. ZZ )
38		simpr 109	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) /\ b <_ K ) -> b <_ K )
39		eluz2 9472	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. ( ZZ>= ` b ) <-> ( b e. ZZ /\ K e. ZZ /\ b <_ K ) )
40	34, 37, 38, 39	syl3anbrc 1171	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) /\ b <_ K ) -> K e. ( ZZ>= ` b ) )
41	29, 31, 40	rspcdva 2835	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) /\ b <_ K ) -> ( ( F ` K ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` K ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) )
42	41	simprd 113	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) /\ b <_ K ) -> L < ( ( F ` K ) + ( L - ( F ` K ) ) ) )
43	14	ad2antrr 480	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) -> ( F ` K ) e. RR+ )
44	43	rpcnd 9634	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) -> ( F ` K ) e. CC )
45	44	adantr 274	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) /\ b <_ K ) -> ( F ` K ) e. CC )
46	16	ad2antrr 480	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) -> L e. RR )
47	46	recnd 7927	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) -> L e. CC )
48	47	adantr 274	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) /\ b <_ K ) -> L e. CC )
49	45, 48	pncan3d 8212	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) /\ b <_ K ) -> ( ( F ` K ) + ( L - ( F ` K ) ) ) = L )
50	42, 49	breqtrd 4008	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) /\ b <_ K ) -> L < L )
51	16	ad3antrrr 484	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) /\ b <_ K ) -> L e. RR )
52	51	ltnrd 8010	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) /\ b <_ K ) -> -. L < L )
53	50, 52	pm2.21fal 1363	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) /\ b <_ K ) -> F. )
54	10	ad3antrrr 484	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) /\ K < b ) -> A e. RR )
55	11	ad3antrrr 484	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) /\ K < b ) -> 0 <_ A )
56	13	ad3antrrr 484	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) /\ K < b ) -> K e. NN )
57	32	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) /\ K < b ) -> b e. NN )
58		simpr 109	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) /\ K < b ) -> K < b )
59	9, 54, 55, 56, 57, 58	resqrexlemdecn 10954	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) /\ K < b ) -> ( F ` b ) < ( F ` K ) )
60	15	ad3antrrr 484	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) /\ K < b ) -> ( F ` K ) e. RR )
61	12	ad2antrr 480	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) -> F : NN --> RR+ )
62	61, 32	ffvelrnd 5621	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) -> ( F ` b ) e. RR+ )
63	62	rpred 9632	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) -> ( F ` b ) e. RR )
64	63	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) /\ K < b ) -> ( F ` b ) e. RR )
65		fveq2 5486	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i = b -> ( F ` i ) = ( F ` b ) )
66	65	breq1d 3992	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i = b -> ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) <-> ( F ` b ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) ) )
67	65	oveq1d 5857	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i = b -> ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) = ( ( F ` b ) + ( L - ( F ` K ) ) ) )
68	67	breq2d 3994	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i = b -> ( L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) <-> L < ( ( F ` b ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) )
69	66, 68	anbi12d 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = b -> ( ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) <-> ( ( F ` b ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` b ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) )
70		uzid 9480	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( b e. ZZ -> b e. ( ZZ>= ` b ) )
71	33, 70	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) -> b e. ( ZZ>= ` b ) )
72	69, 30, 71	rspcdva 2835	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) -> ( ( F ` b ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` b ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) )
73	72	simprd 113	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) -> L < ( ( F ` b ) + ( L - ( F ` K ) ) ) )
74	62	rpcnd 9634	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) -> ( F ` b ) e. CC )
75	74, 47, 44	addsubassd 8229	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) -> ( ( ( F ` b ) + L ) - ( F ` K ) ) = ( ( F ` b ) + ( L - ( F ` K ) ) ) )
76	73, 75	breqtrrd 4010	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) -> L < ( ( ( F ` b ) + L ) - ( F ` K ) ) )
77	15	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) -> ( F ` K ) e. RR )
78	63, 46	readdcld 7928	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) -> ( ( F ` b ) + L ) e. RR )
79	77, 46, 78	ltaddsub2d 8444	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) -> ( ( ( F ` K ) + L ) < ( ( F ` b ) + L ) <-> L < ( ( ( F ` b ) + L ) - ( F ` K ) ) ) )
80	76, 79	mpbird 166	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) -> ( ( F ` K ) + L ) < ( ( F ` b ) + L ) )
81	77, 63, 46	ltadd1d 8436	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) -> ( ( F ` K ) < ( F ` b ) <-> ( ( F ` K ) + L ) < ( ( F ` b ) + L ) ) )
82	80, 81	mpbird 166	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) -> ( F ` K ) < ( F ` b ) )
83	82	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) /\ K < b ) -> ( F ` K ) < ( F ` b ) )
84	60, 64, 83	ltnsymd 8018	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) /\ K < b ) -> -. ( F ` b ) < ( F ` K ) )
85	59, 84	pm2.21fal 1363	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) /\ K < b ) -> F. )
86		zlelttric 9236	. . . . . 6 |- ( ( b e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( b <_ K \/ K < b ) )
87	33, 36, 86	syl2anc 409	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) -> ( b <_ K \/ K < b ) )
88	53, 85, 87	mpjaodan 788	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) -> F. )
89	24, 88	rexlimddv 2588	. . 3 |- ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) -> F. )
90	89	inegd 1362	. 2 |- ( ph -> -. ( F ` K ) < L )
91	16, 15	lenltd 8016	. 2 |- ( ph -> ( L <_ ( F ` K ) <-> -. ( F ` K ) < L ) )
92	90, 91	mpbird 166	1 |- ( ph -> L <_ ( F ` K ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 698   = wceq 1343   F. wfal 1348   e. wcel 2136   A.wral 2444   E.wrex 2445   {csn 3576   class class class wbr 3982   X. cxp 4602   -->wf 5184   ` cfv 5188  (class class class)co 5842   e. cmpo 5844   CCcc 7751   RRcr 7752   0cc0 7753   1c1 7754   + caddc 7756   < clt 7933   <_ cle 7934   - cmin 8069   / cdiv 8568   NNcn 8857   2c2 8908   ZZcz 9191   ZZ>=cuz 9466   RR+crp 9589   seqcseq 10380

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-frec 6359  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-2 8916  df-3 8917  df-4 8918  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-rp 9590  df-seqfrec 10381  df-exp 10455

This theorem is referenced by:  resqrexlemglsq  10964