Theorem resqrexlemoverl 10798

Description: Lemma for resqrex 10803. Every term in the sequence is an overestimate compared with the limit L. Although this theorem is stated in terms of a particular sequence the proof could be adapted for any decreasing convergent sequence. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
resqrexlemex.seq	|- F = seq 1 ( ( y e. RR+ , z e. RR+ |-> ( ( y + ( A / y ) ) / 2 ) ) , ( NN X. { ( 1 + A ) } ) )
resqrexlemex.a	|- ( ph -> A e. RR )
resqrexlemex.agt0	|- ( ph -> 0 <_ A )
resqrexlemgt0.rr	|- ( ph -> L e. RR )
resqrexlemgt0.lim	|- ( ph -> A. e e. RR+ E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + e ) /\ L < ( ( F ` i ) + e ) ) )
resqrexlemoverl.k	|- ( ph -> K e. NN )

Assertion

Ref	Expression
resqrexlemoverl	|- ( ph -> L <_ ( F ` K ) )

Distinct variable groups:   y, A, z   e, F, i, j   y, F, z, i, j   e, K, i, j   y, K, z   e, L, i, j   y, L, z   ph, y, z

Allowed substitution hints:   ph( e, i, j)   A( e, i, j)

Proof of Theorem resqrexlemoverl

Dummy variable b is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 5782	. . . . . . . . 9 |- ( e = ( L - ( F ` K ) ) -> ( L + e ) = ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) )
2	1	breq2d 3941	. . . . . . . 8 |- ( e = ( L - ( F ` K ) ) -> ( ( F ` i ) < ( L + e ) <-> ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) ) )
3		oveq2 5782	. . . . . . . . 9 |- ( e = ( L - ( F ` K ) ) -> ( ( F ` i ) + e ) = ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) )
4	3	breq2d 3941	. . . . . . . 8 |- ( e = ( L - ( F ` K ) ) -> ( L < ( ( F ` i ) + e ) <-> L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) )
5	2, 4	anbi12d 464	. . . . . . 7 |- ( e = ( L - ( F ` K ) ) -> ( ( ( F ` i ) < ( L + e ) /\ L < ( ( F ` i ) + e ) ) <-> ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) )
6	5	rexralbidv 2461	. . . . . 6 |- ( e = ( L - ( F ` K ) ) -> ( E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + e ) /\ L < ( ( F ` i ) + e ) ) <-> E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) )
7		resqrexlemgt0.lim	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. e e. RR+ E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + e ) /\ L < ( ( F ` i ) + e ) ) )
8	7	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) -> A. e e. RR+ E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + e ) /\ L < ( ( F ` i ) + e ) ) )
9		resqrexlemex.seq	. . . . . . . . . . 11 |- F = seq 1 ( ( y e. RR+ , z e. RR+ |-> ( ( y + ( A / y ) ) / 2 ) ) , ( NN X. { ( 1 + A ) } ) )
10		resqrexlemex.a	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A e. RR )
11		resqrexlemex.agt0	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 0 <_ A )
12	9, 10, 11	resqrexlemf 10784	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> F : NN --> RR+ )
13		resqrexlemoverl.k	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> K e. NN )
14	12, 13	ffvelrnd 5556	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( F ` K ) e. RR+ )
15	14	rpred 9488	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( F ` K ) e. RR )
16		resqrexlemgt0.rr	. . . . . . . 8 |- ( ph -> L e. RR )
17		difrp 9485	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F ` K ) e. RR /\ L e. RR ) -> ( ( F ` K ) < L <-> ( L - ( F ` K ) ) e. RR+ ) )
18	15, 16, 17	syl2anc 408	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( F ` K ) < L <-> ( L - ( F ` K ) ) e. RR+ ) )
19	18	biimpa 294	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) -> ( L - ( F ` K ) ) e. RR+ )
20	6, 8, 19	rspcdva 2794	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) -> E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) )
21		fveq2 5421	. . . . . . 7 |- ( j = b -> ( ZZ>= ` j ) = ( ZZ>= ` b ) )
22	21	raleqdv 2632	. . . . . 6 |- ( j = b -> ( A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) <-> A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) )
23	22	cbvrexv 2655	. . . . 5 |- ( E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) <-> E. b e. NN A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) )
24	20, 23	sylib 121	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) -> E. b e. NN A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) )
25		fveq2 5421	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = K -> ( F ` i ) = ( F ` K ) )
26	25	breq1d 3939	. . . . . . . . . 10 |- ( i = K -> ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) <-> ( F ` K ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) ) )
27	25	oveq1d 5789	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = K -> ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) = ( ( F ` K ) + ( L - ( F ` K ) ) ) )
28	27	breq2d 3941	. . . . . . . . . 10 |- ( i = K -> ( L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) <-> L < ( ( F ` K ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) )
29	26, 28	anbi12d 464	. . . . . . . . 9 |- ( i = K -> ( ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) <-> ( ( F ` K ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` K ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) )
30		simprr 521	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) -> A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) )
31	30	adantr 274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) /\ b <_ K ) -> A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) )
32		simprl 520	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) -> b e. NN )
33	32	nnzd 9177	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) -> b e. ZZ )
34	33	adantr 274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) /\ b <_ K ) -> b e. ZZ )
35	13	ad2antrr 479	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) -> K e. NN )
36	35	nnzd 9177	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) -> K e. ZZ )
37	36	adantr 274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) /\ b <_ K ) -> K e. ZZ )
38		simpr 109	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) /\ b <_ K ) -> b <_ K )
39		eluz2 9337	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. ( ZZ>= ` b ) <-> ( b e. ZZ /\ K e. ZZ /\ b <_ K ) )
40	34, 37, 38, 39	syl3anbrc 1165	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) /\ b <_ K ) -> K e. ( ZZ>= ` b ) )
41	29, 31, 40	rspcdva 2794	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) /\ b <_ K ) -> ( ( F ` K ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` K ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) )
42	41	simprd 113	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) /\ b <_ K ) -> L < ( ( F ` K ) + ( L - ( F ` K ) ) ) )
43	14	ad2antrr 479	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) -> ( F ` K ) e. RR+ )
44	43	rpcnd 9490	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) -> ( F ` K ) e. CC )
45	44	adantr 274	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) /\ b <_ K ) -> ( F ` K ) e. CC )
46	16	ad2antrr 479	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) -> L e. RR )
47	46	recnd 7799	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) -> L e. CC )
48	47	adantr 274	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) /\ b <_ K ) -> L e. CC )
49	45, 48	pncan3d 8081	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) /\ b <_ K ) -> ( ( F ` K ) + ( L - ( F ` K ) ) ) = L )
50	42, 49	breqtrd 3954	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) /\ b <_ K ) -> L < L )
51	16	ad3antrrr 483	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) /\ b <_ K ) -> L e. RR )
52	51	ltnrd 7880	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) /\ b <_ K ) -> -. L < L )
53	50, 52	pm2.21fal 1351	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) /\ b <_ K ) -> F. )
54	10	ad3antrrr 483	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) /\ K < b ) -> A e. RR )
55	11	ad3antrrr 483	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) /\ K < b ) -> 0 <_ A )
56	13	ad3antrrr 483	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) /\ K < b ) -> K e. NN )
57	32	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) /\ K < b ) -> b e. NN )
58		simpr 109	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) /\ K < b ) -> K < b )
59	9, 54, 55, 56, 57, 58	resqrexlemdecn 10789	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) /\ K < b ) -> ( F ` b ) < ( F ` K ) )
60	15	ad3antrrr 483	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) /\ K < b ) -> ( F ` K ) e. RR )
61	12	ad2antrr 479	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) -> F : NN --> RR+ )
62	61, 32	ffvelrnd 5556	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) -> ( F ` b ) e. RR+ )
63	62	rpred 9488	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) -> ( F ` b ) e. RR )
64	63	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) /\ K < b ) -> ( F ` b ) e. RR )
65		fveq2 5421	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i = b -> ( F ` i ) = ( F ` b ) )
66	65	breq1d 3939	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i = b -> ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) <-> ( F ` b ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) ) )
67	65	oveq1d 5789	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i = b -> ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) = ( ( F ` b ) + ( L - ( F ` K ) ) ) )
68	67	breq2d 3941	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i = b -> ( L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) <-> L < ( ( F ` b ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) )
69	66, 68	anbi12d 464	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = b -> ( ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) <-> ( ( F ` b ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` b ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) )
70		uzid 9345	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( b e. ZZ -> b e. ( ZZ>= ` b ) )
71	33, 70	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) -> b e. ( ZZ>= ` b ) )
72	69, 30, 71	rspcdva 2794	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) -> ( ( F ` b ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` b ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) )
73	72	simprd 113	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) -> L < ( ( F ` b ) + ( L - ( F ` K ) ) ) )
74	62	rpcnd 9490	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) -> ( F ` b ) e. CC )
75	74, 47, 44	addsubassd 8098	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) -> ( ( ( F ` b ) + L ) - ( F ` K ) ) = ( ( F ` b ) + ( L - ( F ` K ) ) ) )
76	73, 75	breqtrrd 3956	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) -> L < ( ( ( F ` b ) + L ) - ( F ` K ) ) )
77	15	ad2antrr 479	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) -> ( F ` K ) e. RR )
78	63, 46	readdcld 7800	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) -> ( ( F ` b ) + L ) e. RR )
79	77, 46, 78	ltaddsub2d 8313	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) -> ( ( ( F ` K ) + L ) < ( ( F ` b ) + L ) <-> L < ( ( ( F ` b ) + L ) - ( F ` K ) ) ) )
80	76, 79	mpbird 166	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) -> ( ( F ` K ) + L ) < ( ( F ` b ) + L ) )
81	77, 63, 46	ltadd1d 8305	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) -> ( ( F ` K ) < ( F ` b ) <-> ( ( F ` K ) + L ) < ( ( F ` b ) + L ) ) )
82	80, 81	mpbird 166	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) -> ( F ` K ) < ( F ` b ) )
83	82	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) /\ K < b ) -> ( F ` K ) < ( F ` b ) )
84	60, 64, 83	ltnsymd 7887	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) /\ K < b ) -> -. ( F ` b ) < ( F ` K ) )
85	59, 84	pm2.21fal 1351	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) /\ K < b ) -> F. )
86		zlelttric 9104	. . . . . 6 |- ( ( b e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( b <_ K \/ K < b ) )
87	33, 36, 86	syl2anc 408	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) -> ( b <_ K \/ K < b ) )
88	53, 85, 87	mpjaodan 787	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) /\ ( b e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` b ) ( ( F ` i ) < ( L + ( L - ( F ` K ) ) ) /\ L < ( ( F ` i ) + ( L - ( F ` K ) ) ) ) ) ) -> F. )
89	24, 88	rexlimddv 2554	. . 3 |- ( ( ph /\ ( F ` K ) < L ) -> F. )
90	89	inegd 1350	. 2 |- ( ph -> -. ( F ` K ) < L )
91	16, 15	lenltd 7885	. 2 |- ( ph -> ( L <_ ( F ` K ) <-> -. ( F ` K ) < L ) )
92	90, 91	mpbird 166	1 |- ( ph -> L <_ ( F ` K ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 697   = wceq 1331   F. wfal 1336   e. wcel 1480   A.wral 2416   E.wrex 2417   {csn 3527   class class class wbr 3929   X. cxp 4537   -->wf 5119   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   e. cmpo 5776   CCcc 7623   RRcr 7624   0cc0 7625   1c1 7626   + caddc 7628   < clt 7805   <_ cle 7806   - cmin 7938   / cdiv 8437   NNcn 8725   2c2 8776   ZZcz 9059   ZZ>=cuz 9331   RR+crp 9446   seqcseq 10223

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7716  ax-resscn 7717  ax-1cn 7718  ax-1re 7719  ax-icn 7720  ax-addcl 7721  ax-addrcl 7722  ax-mulcl 7723  ax-mulrcl 7724  ax-addcom 7725  ax-mulcom 7726  ax-addass 7727  ax-mulass 7728  ax-distr 7729  ax-i2m1 7730  ax-0lt1 7731  ax-1rid 7732  ax-0id 7733  ax-rnegex 7734  ax-precex 7735  ax-cnre 7736  ax-pre-ltirr 7737  ax-pre-ltwlin 7738  ax-pre-lttrn 7739  ax-pre-apti 7740  ax-pre-ltadd 7741  ax-pre-mulgt0 7742  ax-pre-mulext 7743

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-pnf 7807  df-mnf 7808  df-xr 7809  df-ltxr 7810  df-le 7811  df-sub 7940  df-neg 7941  df-reap 8342  df-ap 8349  df-div 8438  df-inn 8726  df-2 8784  df-3 8785  df-4 8786  df-n0 8983  df-z 9060  df-uz 9332  df-rp 9447  df-seqfrec 10224  df-exp 10298

This theorem is referenced by:  resqrexlemglsq  10799