ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltnsymd GIF version

Theorem ltnsymd 7905
Description: 'Less than' implies 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ltd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
ltled.1 (𝜑𝐴 < 𝐵)
Assertion
Ref Expression
ltnsymd (𝜑 → ¬ 𝐵 < 𝐴)

Proof of Theorem ltnsymd
StepHypRef Expression
1 ltd.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 ltd.2 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3 ltled.1 . . 3 (𝜑𝐴 < 𝐵)
41, 2, 3ltled 7904 . 2 (𝜑𝐴𝐵)
51, 2lenltd 7903 . 2 (𝜑 → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
64, 5mpbid 146 1 (𝜑 → ¬ 𝐵 < 𝐴)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wcel 1481   class class class wbr 3936  cr 7642   < clt 7823  cle 7824
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4053  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459  ax-cnex 7734  ax-resscn 7735  ax-pre-ltirr 7755  ax-pre-lttrn 7757
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-rab 2426  df-v 2691  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-br 3937  df-opab 3997  df-xp 4552  df-cnv 4554  df-pnf 7825  df-mnf 7826  df-xr 7827  df-ltxr 7828  df-le 7829
This theorem is referenced by:  frec2uzlt2d  10207  resqrexlemgt0  10823  resqrexlemoverl  10824  cvgratz  11332  ivthinclemuopn  12822  ivthinclemdisj  12824  cnplimclemle  12843  efltlemlt  12901
  Copyright terms: Public domain W3C validator