ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltnsymd GIF version

Theorem ltnsymd 8077
Description: 'Less than' implies 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ltd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
ltled.1 (𝜑𝐴 < 𝐵)
Assertion
Ref Expression
ltnsymd (𝜑 → ¬ 𝐵 < 𝐴)

Proof of Theorem ltnsymd
StepHypRef Expression
1 ltd.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 ltd.2 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3 ltled.1 . . 3 (𝜑𝐴 < 𝐵)
41, 2, 3ltled 8076 . 2 (𝜑𝐴𝐵)
51, 2lenltd 8075 . 2 (𝜑 → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
64, 5mpbid 147 1 (𝜑 → ¬ 𝐵 < 𝐴)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wcel 2148   class class class wbr 4004  cr 7810   < clt 7992  cle 7993
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-lttrn 7925
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2740  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-br 4005  df-opab 4066  df-xp 4633  df-cnv 4635  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998
This theorem is referenced by:  frec2uzlt2d  10404  resqrexlemgt0  11029  resqrexlemoverl  11030  cvgratz  11540  ivthinclemuopn  14119  ivthinclemdisj  14121  cnplimclemle  14140  efltlemlt  14198
  Copyright terms: Public domain W3C validator