Theorem mapss 6860

Description: Subset inheritance for set exponentiation. Theorem 99 of [Suppes] p. 89. (Contributed by NM, 10-Dec-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
mapss	⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐴 ↑𝑚 𝐶) ⊆ (𝐵 ↑𝑚 𝐶))

Proof of Theorem mapss

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapi 6839	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐴 ↑𝑚 𝐶) → 𝑓:𝐶⟶𝐴)
2	1	adantl 277	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ↑𝑚 𝐶)) → 𝑓:𝐶⟶𝐴)
3		simplr 529	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ↑𝑚 𝐶)) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
4	2, 3	fssd 5495	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ↑𝑚 𝐶)) → 𝑓:𝐶⟶𝐵)
5		simpll 527	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ↑𝑚 𝐶)) → 𝐵 ∈ 𝑉)
6		elmapex 6838	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐴 ↑𝑚 𝐶) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V))
7	6	simprd 114	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐴 ↑𝑚 𝐶) → 𝐶 ∈ V)
8	7	adantl 277	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ↑𝑚 𝐶)) → 𝐶 ∈ V)
9	5, 8	elmapd 6831	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ↑𝑚 𝐶)) → (𝑓 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐶) ↔ 𝑓:𝐶⟶𝐵))
10	4, 9	mpbird 167	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ↑𝑚 𝐶)) → 𝑓 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐶))
11	10	ex 115	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝑓 ∈ (𝐴 ↑𝑚 𝐶) → 𝑓 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐶)))
12	11	ssrdv 3233	1 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐴 ↑𝑚 𝐶) ⊆ (𝐵 ↑𝑚 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2202  Vcvv 2802   ⊆ wss 3200  ⟶wf 5322  (class class class)co 6018   ↑_𝑚 cmap 6817

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-fv 5334  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-map 6819

This theorem is referenced by:  mapdom1g  7033  plyss  15468  bj-charfunbi  16432