Theorem mapss 6657

Description: Subset inheritance for set exponentiation. Theorem 99 of [Suppes] p. 89. (Contributed by NM, 10-Dec-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
mapss	⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐴 ↑𝑚 𝐶) ⊆ (𝐵 ↑𝑚 𝐶))

Proof of Theorem mapss

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapi 6636	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐴 ↑𝑚 𝐶) → 𝑓:𝐶⟶𝐴)
2	1	adantl 275	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ↑𝑚 𝐶)) → 𝑓:𝐶⟶𝐴)
3		simplr 520	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ↑𝑚 𝐶)) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
4	2, 3	fssd 5350	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ↑𝑚 𝐶)) → 𝑓:𝐶⟶𝐵)
5		simpll 519	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ↑𝑚 𝐶)) → 𝐵 ∈ 𝑉)
6		elmapex 6635	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐴 ↑𝑚 𝐶) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V))
7	6	simprd 113	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐴 ↑𝑚 𝐶) → 𝐶 ∈ V)
8	7	adantl 275	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ↑𝑚 𝐶)) → 𝐶 ∈ V)
9	5, 8	elmapd 6628	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ↑𝑚 𝐶)) → (𝑓 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐶) ↔ 𝑓:𝐶⟶𝐵))
10	4, 9	mpbird 166	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ↑𝑚 𝐶)) → 𝑓 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐶))
11	10	ex 114	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝑓 ∈ (𝐴 ↑𝑚 𝐶) → 𝑓 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐶)))
12	11	ssrdv 3148	1 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐴 ↑𝑚 𝐶) ⊆ (𝐵 ↑𝑚 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∈ wcel 2136  Vcvv 2726   ⊆ wss 3116  ⟶wf 5184  (class class class)co 5842   ↑_𝑚 cmap 6614

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-sbc 2952  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-br 3983  df-opab 4044  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-fv 5196  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-map 6616

This theorem is referenced by:  mapdom1g  6813  bj-charfunbi  13693