Theorem mapss 6828

Description: Subset inheritance for set exponentiation. Theorem 99 of [Suppes] p. 89. (Contributed by NM, 10-Dec-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
mapss	⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐴 ↑𝑚 𝐶) ⊆ (𝐵 ↑𝑚 𝐶))

Proof of Theorem mapss

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapi 6807	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐴 ↑𝑚 𝐶) → 𝑓:𝐶⟶𝐴)
2	1	adantl 277	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ↑𝑚 𝐶)) → 𝑓:𝐶⟶𝐴)
3		simplr 528	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ↑𝑚 𝐶)) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
4	2, 3	fssd 5482	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ↑𝑚 𝐶)) → 𝑓:𝐶⟶𝐵)
5		simpll 527	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ↑𝑚 𝐶)) → 𝐵 ∈ 𝑉)
6		elmapex 6806	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐴 ↑𝑚 𝐶) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V))
7	6	simprd 114	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐴 ↑𝑚 𝐶) → 𝐶 ∈ V)
8	7	adantl 277	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ↑𝑚 𝐶)) → 𝐶 ∈ V)
9	5, 8	elmapd 6799	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ↑𝑚 𝐶)) → (𝑓 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐶) ↔ 𝑓:𝐶⟶𝐵))
10	4, 9	mpbird 167	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ↑𝑚 𝐶)) → 𝑓 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐶))
11	10	ex 115	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝑓 ∈ (𝐴 ↑𝑚 𝐶) → 𝑓 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐶)))
12	11	ssrdv 3230	1 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐴 ↑𝑚 𝐶) ⊆ (𝐵 ↑𝑚 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2200  Vcvv 2799   ⊆ wss 3197  ⟶wf 5310  (class class class)co 5994   ↑_𝑚 cmap 6785

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4521  ax-setind 4626

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-br 4083  df-opab 4145  df-id 4381  df-xp 4722  df-rel 4723  df-cnv 4724  df-co 4725  df-dm 4726  df-rn 4727  df-iota 5274  df-fun 5316  df-fn 5317  df-f 5318  df-fv 5322  df-ov 5997  df-oprab 5998  df-mpo 5999  df-map 6787

This theorem is referenced by:  mapdom1g  6996  plyss  15397  bj-charfunbi  16104