Theorem maxleim 11435

Description: Value of maximum when we know which number is larger. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
maxleim	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A <_ B -> sup ( { A , B } , RR , < ) = B ) )

Proof of Theorem maxleim

Dummy variables f g y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lttri3 8134	. . . 4 |- ( ( f e. RR /\ g e. RR ) -> ( f = g <-> ( -. f < g /\ -. g < f ) ) )
2	1	adantl 277	. . 3 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ A <_ B ) /\ ( f e. RR /\ g e. RR ) ) -> ( f = g <-> ( -. f < g /\ -. g < f ) ) )
3		simplr 528	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ A <_ B ) -> B e. RR )
4		prid2g 3737	. . . 4 |- ( B e. RR -> B e. { A , B } )
5	3, 4	syl 14	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ A <_ B ) -> B e. { A , B } )
6		simpll 527	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ A <_ B ) -> A e. RR )
7	6	ad2antrr 488	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ A <_ B ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = A ) -> A e. RR )
8	3	ad2antrr 488	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ A <_ B ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = A ) -> B e. RR )
9		simpllr 534	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ A <_ B ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = A ) -> A <_ B )
10	7, 8, 9	lensymd 8176	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ A <_ B ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = A ) -> -. B < A )
11		breq2 4047	. . . . . . 7 |- ( y = A -> ( B < y <-> B < A ) )
12	11	notbid 668	. . . . . 6 |- ( y = A -> ( -. B < y <-> -. B < A ) )
13	12	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ A <_ B ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = A ) -> ( -. B < y <-> -. B < A ) )
14	10, 13	mpbird 167	. . . 4 |- ( ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ A <_ B ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = A ) -> -. B < y )
15	3	ad2antrr 488	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ A <_ B ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = B ) -> B e. RR )
16	15	ltnrd 8166	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ A <_ B ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = B ) -> -. B < B )
17		breq2 4047	. . . . . . 7 |- ( y = B -> ( B < y <-> B < B ) )
18	17	notbid 668	. . . . . 6 |- ( y = B -> ( -. B < y <-> -. B < B ) )
19	18	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ A <_ B ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = B ) -> ( -. B < y <-> -. B < B ) )
20	16, 19	mpbird 167	. . . 4 |- ( ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ A <_ B ) /\ y e. { A , B } ) /\ y = B ) -> -. B < y )
21		elpri 3655	. . . . 5 |- ( y e. { A , B } -> ( y = A \/ y = B ) )
22	21	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ A <_ B ) /\ y e. { A , B } ) -> ( y = A \/ y = B ) )
23	14, 20, 22	mpjaodan 799	. . 3 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ A <_ B ) /\ y e. { A , B } ) -> -. B < y )
24	2, 3, 5, 23	supmaxti 7088	. 2 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ A <_ B ) -> sup ( { A , B } , RR , < ) = B )
25	24	ex 115	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A <_ B -> sup ( { A , B } , RR , < ) = B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709   = wceq 1372   e. wcel 2175   {cpr 3633   class class class wbr 4043   supcsup 7066   RRcr 7906   < clt 8089   <_ cle 8090

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4478  ax-setind 4583  ax-cnex 7998  ax-resscn 7999  ax-pre-ltirr 8019  ax-pre-apti 8022

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rmo 2491  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-br 4044  df-opab 4105  df-xp 4679  df-cnv 4681  df-iota 5229  df-riota 5889  df-sup 7068  df-pnf 8091  df-mnf 8092  df-xr 8093  df-ltxr 8094  df-le 8095

This theorem is referenced by:  maxleb  11446  xrmaxiflemab  11477