Theorem maxabslemab 11703

Description: Lemma for maxabs 11706. A variation of maxleim 11702- that is, if we know which of two real numbers is larger, we know the maximum of the two. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
maxabslemab.a	|- ( ph -> A e. RR )
maxabslemab.b	|- ( ph -> B e. RR )
maxabslemab.ab	|- ( ph -> A < B )

Assertion

Ref	Expression
maxabslemab	|- ( ph -> ( ( ( A + B ) + ( abs ` ( A - B ) ) ) / 2 ) = B )

Proof of Theorem maxabslemab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		maxabslemab.b	. . . . 5 |- ( ph -> B e. RR )
2	1	recnd 8163	. . . 4 |- ( ph -> B e. CC )
3		maxabslemab.a	. . . . 5 |- ( ph -> A e. RR )
4	3	recnd 8163	. . . 4 |- ( ph -> A e. CC )
5	2, 4, 2	ppncand 8485	. . 3 |- ( ph -> ( ( B + A ) + ( B - A ) ) = ( B + B ) )
6	4, 2	addcomd 8285	. . . 4 |- ( ph -> ( A + B ) = ( B + A ) )
7		maxabslemab.ab	. . . . . 6 |- ( ph -> A < B )
8	3, 1, 7	ltled 8253	. . . . 5 |- ( ph -> A <_ B )
9	3, 1, 8	abssuble0d 11674	. . . 4 |- ( ph -> ( abs ` ( A - B ) ) = ( B - A ) )
10	6, 9	oveq12d 6012	. . 3 |- ( ph -> ( ( A + B ) + ( abs ` ( A - B ) ) ) = ( ( B + A ) + ( B - A ) ) )
11	2	2timesd 9342	. . 3 |- ( ph -> ( 2 x. B ) = ( B + B ) )
12	5, 10, 11	3eqtr4rd 2273	. 2 |- ( ph -> ( 2 x. B ) = ( ( A + B ) + ( abs ` ( A - B ) ) ) )
13	4, 2	addcld 8154	. . . 4 |- ( ph -> ( A + B ) e. CC )
14	1, 3	resubcld 8515	. . . . . 6 |- ( ph -> ( B - A ) e. RR )
15	9, 14	eqeltrd 2306	. . . . 5 |- ( ph -> ( abs ` ( A - B ) ) e. RR )
16	15	recnd 8163	. . . 4 |- ( ph -> ( abs ` ( A - B ) ) e. CC )
17	13, 16	addcld 8154	. . 3 |- ( ph -> ( ( A + B ) + ( abs ` ( A - B ) ) ) e. CC )
18		2cnd 9171	. . 3 |- ( ph -> 2 e. CC )
19		2ap0 9191	. . . 4 |- 2 # 0
20	19	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> 2 # 0 )
21	17, 18, 2, 20	divmulapd 8947	. 2 |- ( ph -> ( ( ( ( A + B ) + ( abs ` ( A - B ) ) ) / 2 ) = B <-> ( 2 x. B ) = ( ( A + B ) + ( abs ` ( A - B ) ) ) ) )
22	12, 21	mpbird 167	1 |- ( ph -> ( ( ( A + B ) + ( abs ` ( A - B ) ) ) / 2 ) = B )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1395   e. wcel 2200   class class class wbr 4082   ` cfv 5314  (class class class)co 5994   RRcr 7986   0cc0 7987   + caddc 7990   x. cmul 7992   < clt 8169   - cmin 8305   # cap 8716   / cdiv 8807   2c2 9149   abscabs 11494

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4521  ax-setind 4626  ax-iinf 4677  ax-cnex 8078  ax-resscn 8079  ax-1cn 8080  ax-1re 8081  ax-icn 8082  ax-addcl 8083  ax-addrcl 8084  ax-mulcl 8085  ax-mulrcl 8086  ax-addcom 8087  ax-mulcom 8088  ax-addass 8089  ax-mulass 8090  ax-distr 8091  ax-i2m1 8092  ax-0lt1 8093  ax-1rid 8094  ax-0id 8095  ax-rnegex 8096  ax-precex 8097  ax-cnre 8098  ax-pre-ltirr 8099  ax-pre-ltwlin 8100  ax-pre-lttrn 8101  ax-pre-apti 8102  ax-pre-ltadd 8103  ax-pre-mulgt0 8104  ax-pre-mulext 8105

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4381  df-po 4384  df-iso 4385  df-iord 4454  df-on 4456  df-ilim 4457  df-suc 4459  df-iom 4680  df-xp 4722  df-rel 4723  df-cnv 4724  df-co 4725  df-dm 4726  df-rn 4727  df-res 4728  df-ima 4729  df-iota 5274  df-fun 5316  df-fn 5317  df-f 5318  df-f1 5319  df-fo 5320  df-f1o 5321  df-fv 5322  df-riota 5947  df-ov 5997  df-oprab 5998  df-mpo 5999  df-1st 6276  df-2nd 6277  df-recs 6441  df-frec 6527  df-pnf 8171  df-mnf 8172  df-xr 8173  df-ltxr 8174  df-le 8175  df-sub 8307  df-neg 8308  df-reap 8710  df-ap 8717  df-div 8808  df-inn 9099  df-2 9157  df-n0 9358  df-z 9435  df-uz 9711  df-seqfrec 10657  df-exp 10748  df-cj 11339  df-re 11340  df-im 11341  df-rsqrt 11495  df-abs 11496

This theorem is referenced by:  maxabslemlub  11704