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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > xrmaxiflemab | Unicode version |
Description: Lemma for xrmaxif 10912. A variation of xrmaxleim 10905- that is, if we know which of two real numbers is larger, we know the maximum of the two. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Apr-2023.) |
Ref | Expression |
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xrmaxiflemab.a |
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xrmaxiflemab.b |
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xrmaxiflemab.ab |
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xrmaxiflemab |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | simpr 109 |
. . . 4
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2 | 1 | iftrued 3447 |
. . 3
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3 | 2, 1 | eqtr4d 2150 |
. 2
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4 | simpr 109 |
. . . 4
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5 | 4 | iffalsed 3450 |
. . 3
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6 | xrmaxiflemab.ab |
. . . . . . 7
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7 | 6 | ad2antrr 477 |
. . . . . 6
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8 | simpr 109 |
. . . . . 6
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9 | 7, 8 | breqtrd 3919 |
. . . . 5
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10 | xrmaxiflemab.a |
. . . . . . 7
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11 | nltmnf 9467 |
. . . . . . 7
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12 | 10, 11 | syl 14 |
. . . . . 6
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13 | 12 | ad2antrr 477 |
. . . . 5
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14 | 9, 13 | pm2.21dd 592 |
. . . 4
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15 | simpr 109 |
. . . . . 6
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16 | 15 | iffalsed 3450 |
. . . . 5
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17 | simpr 109 |
. . . . . . . 8
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18 | 6 | ad3antrrr 481 |
. . . . . . . 8
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19 | 17, 18 | eqbrtrrd 3917 |
. . . . . . 7
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20 | xrmaxiflemab.b |
. . . . . . . . 9
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21 | pnfnlt 9466 |
. . . . . . . . 9
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22 | 20, 21 | syl 14 |
. . . . . . . 8
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23 | 22 | ad3antrrr 481 |
. . . . . . 7
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24 | 19, 23 | pm2.21dd 592 |
. . . . . 6
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25 | simpr 109 |
. . . . . . . 8
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26 | 25 | iffalsed 3450 |
. . . . . . 7
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27 | simpr 109 |
. . . . . . . . 9
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28 | 27 | iftrued 3447 |
. . . . . . . 8
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29 | simpr 109 |
. . . . . . . . . 10
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30 | 29 | iffalsed 3450 |
. . . . . . . . 9
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31 | 25 | adantr 272 |
. . . . . . . . . . . 12
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32 | elxr 9456 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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33 | 10, 32 | sylib 121 |
. . . . . . . . . . . . 13
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34 | 33 | ad4antr 483 |
. . . . . . . . . . . 12
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35 | 31, 29, 34 | ecase23d 1311 |
. . . . . . . . . . 11
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36 | 4 | ad3antrrr 481 |
. . . . . . . . . . . 12
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37 | 15 | ad2antrr 477 |
. . . . . . . . . . . 12
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38 | elxr 9456 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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39 | 20, 38 | sylib 121 |
. . . . . . . . . . . . 13
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40 | 39 | ad4antr 483 |
. . . . . . . . . . . 12
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41 | 36, 37, 40 | ecase23d 1311 |
. . . . . . . . . . 11
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42 | 35, 41 | jca 302 |
. . . . . . . . . 10
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43 | 6 | ad4antr 483 |
. . . . . . . . . . 11
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44 | 35, 41, 43 | ltled 7804 |
. . . . . . . . . 10
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45 | maxleim 10869 |
. . . . . . . . . 10
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46 | 42, 44, 45 | sylc 62 |
. . . . . . . . 9
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47 | 30, 46 | eqtrd 2147 |
. . . . . . . 8
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48 | xrmnfdc 9519 |
. . . . . . . . . 10
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49 | exmiddc 804 |
. . . . . . . . . 10
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50 | 10, 48, 49 | 3syl 17 |
. . . . . . . . 9
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51 | 50 | ad3antrrr 481 |
. . . . . . . 8
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52 | 28, 47, 51 | mpjaodan 770 |
. . . . . . 7
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53 | 26, 52 | eqtrd 2147 |
. . . . . 6
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54 | xrpnfdc 9518 |
. . . . . . . 8
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55 | exmiddc 804 |
. . . . . . . 8
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56 | 10, 54, 55 | 3syl 17 |
. . . . . . 7
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57 | 56 | ad2antrr 477 |
. . . . . 6
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58 | 24, 53, 57 | mpjaodan 770 |
. . . . 5
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59 | 16, 58 | eqtrd 2147 |
. . . 4
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60 | xrmnfdc 9519 |
. . . . . 6
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61 | exmiddc 804 |
. . . . . 6
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62 | 20, 60, 61 | 3syl 17 |
. . . . 5
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63 | 62 | adantr 272 |
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64 | 14, 59, 63 | mpjaodan 770 |
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65 | 5, 64 | eqtrd 2147 |
. 2
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66 | xrpnfdc 9518 |
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67 | exmiddc 804 |
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68 | 20, 66, 67 | 3syl 17 |
. 2
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69 | 3, 65, 68 | mpjaodan 770 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-1 5 ax-2 6 ax-mp 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 586 ax-in2 587 ax-io 681 ax-5 1406 ax-7 1407 ax-gen 1408 ax-ie1 1452 ax-ie2 1453 ax-8 1465 ax-10 1466 ax-11 1467 ax-i12 1468 ax-bndl 1469 ax-4 1470 ax-13 1474 ax-14 1475 ax-17 1489 ax-i9 1493 ax-ial 1497 ax-i5r 1498 ax-ext 2097 ax-sep 4006 ax-pow 4058 ax-pr 4091 ax-un 4315 ax-setind 4412 ax-cnex 7636 ax-resscn 7637 ax-pre-ltirr 7657 ax-pre-lttrn 7659 ax-pre-apti 7660 |
This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-dc 803 df-3or 946 df-3an 947 df-tru 1317 df-fal 1320 df-nf 1420 df-sb 1719 df-eu 1978 df-mo 1979 df-clab 2102 df-cleq 2108 df-clel 2111 df-nfc 2244 df-ne 2283 df-nel 2378 df-ral 2395 df-rex 2396 df-reu 2397 df-rmo 2398 df-rab 2399 df-v 2659 df-sbc 2879 df-dif 3039 df-un 3041 df-in 3043 df-ss 3050 df-if 3441 df-pw 3478 df-sn 3499 df-pr 3500 df-op 3502 df-uni 3703 df-br 3896 df-opab 3950 df-xp 4505 df-cnv 4507 df-iota 5046 df-riota 5684 df-sup 6823 df-pnf 7726 df-mnf 7727 df-xr 7728 df-ltxr 7729 df-le 7730 |
This theorem is referenced by: xrmaxiflemlub 10909 |
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