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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > xrmaxiflemab | Unicode version |
Description: Lemma for xrmaxif 11290. A variation of xrmaxleim 11283- that is, if we know which of two real numbers is larger, we know the maximum of the two. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Apr-2023.) |
Ref | Expression |
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xrmaxiflemab.a |
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xrmaxiflemab.b |
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xrmaxiflemab.ab |
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xrmaxiflemab |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | simpr 110 |
. . . 4
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2 | 1 | iftrued 3556 |
. . 3
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3 | 2, 1 | eqtr4d 2225 |
. 2
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4 | simpr 110 |
. . . 4
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5 | 4 | iffalsed 3559 |
. . 3
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6 | xrmaxiflemab.ab |
. . . . . . 7
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7 | 6 | ad2antrr 488 |
. . . . . 6
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8 | simpr 110 |
. . . . . 6
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9 | 7, 8 | breqtrd 4044 |
. . . . 5
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10 | xrmaxiflemab.a |
. . . . . . 7
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11 | nltmnf 9817 |
. . . . . . 7
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12 | 10, 11 | syl 14 |
. . . . . 6
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13 | 12 | ad2antrr 488 |
. . . . 5
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14 | 9, 13 | pm2.21dd 621 |
. . . 4
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15 | simpr 110 |
. . . . . 6
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16 | 15 | iffalsed 3559 |
. . . . 5
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17 | simpr 110 |
. . . . . . . 8
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18 | 6 | ad3antrrr 492 |
. . . . . . . 8
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19 | 17, 18 | eqbrtrrd 4042 |
. . . . . . 7
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20 | xrmaxiflemab.b |
. . . . . . . . 9
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21 | pnfnlt 9816 |
. . . . . . . . 9
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22 | 20, 21 | syl 14 |
. . . . . . . 8
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23 | 22 | ad3antrrr 492 |
. . . . . . 7
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24 | 19, 23 | pm2.21dd 621 |
. . . . . 6
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25 | simpr 110 |
. . . . . . . 8
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26 | 25 | iffalsed 3559 |
. . . . . . 7
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27 | simpr 110 |
. . . . . . . . 9
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28 | 27 | iftrued 3556 |
. . . . . . . 8
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29 | simpr 110 |
. . . . . . . . . 10
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30 | 29 | iffalsed 3559 |
. . . . . . . . 9
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31 | 25 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . 12
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32 | elxr 9805 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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33 | 10, 32 | sylib 122 |
. . . . . . . . . . . . 13
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34 | 33 | ad4antr 494 |
. . . . . . . . . . . 12
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35 | 31, 29, 34 | ecase23d 1361 |
. . . . . . . . . . 11
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36 | 4 | ad3antrrr 492 |
. . . . . . . . . . . 12
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37 | 15 | ad2antrr 488 |
. . . . . . . . . . . 12
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38 | elxr 9805 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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39 | 20, 38 | sylib 122 |
. . . . . . . . . . . . 13
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40 | 39 | ad4antr 494 |
. . . . . . . . . . . 12
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41 | 36, 37, 40 | ecase23d 1361 |
. . . . . . . . . . 11
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42 | 35, 41 | jca 306 |
. . . . . . . . . 10
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43 | 6 | ad4antr 494 |
. . . . . . . . . . 11
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44 | 35, 41, 43 | ltled 8105 |
. . . . . . . . . 10
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45 | maxleim 11245 |
. . . . . . . . . 10
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46 | 42, 44, 45 | sylc 62 |
. . . . . . . . 9
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47 | 30, 46 | eqtrd 2222 |
. . . . . . . 8
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48 | xrmnfdc 9872 |
. . . . . . . . . 10
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49 | exmiddc 837 |
. . . . . . . . . 10
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50 | 10, 48, 49 | 3syl 17 |
. . . . . . . . 9
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51 | 50 | ad3antrrr 492 |
. . . . . . . 8
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52 | 28, 47, 51 | mpjaodan 799 |
. . . . . . 7
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53 | 26, 52 | eqtrd 2222 |
. . . . . 6
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54 | xrpnfdc 9871 |
. . . . . . . 8
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55 | exmiddc 837 |
. . . . . . . 8
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56 | 10, 54, 55 | 3syl 17 |
. . . . . . 7
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57 | 56 | ad2antrr 488 |
. . . . . 6
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58 | 24, 53, 57 | mpjaodan 799 |
. . . . 5
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59 | 16, 58 | eqtrd 2222 |
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60 | xrmnfdc 9872 |
. . . . . 6
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61 | exmiddc 837 |
. . . . . 6
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62 | 20, 60, 61 | 3syl 17 |
. . . . 5
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63 | 62 | adantr 276 |
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64 | 14, 59, 63 | mpjaodan 799 |
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65 | 5, 64 | eqtrd 2222 |
. 2
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66 | xrpnfdc 9871 |
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67 | exmiddc 837 |
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68 | 20, 66, 67 | 3syl 17 |
. 2
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69 | 3, 65, 68 | mpjaodan 799 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1458 ax-7 1459 ax-gen 1460 ax-ie1 1504 ax-ie2 1505 ax-8 1515 ax-10 1516 ax-11 1517 ax-i12 1518 ax-bndl 1520 ax-4 1521 ax-17 1537 ax-i9 1541 ax-ial 1545 ax-i5r 1546 ax-13 2162 ax-14 2163 ax-ext 2171 ax-sep 4136 ax-pow 4192 ax-pr 4227 ax-un 4451 ax-setind 4554 ax-cnex 7931 ax-resscn 7932 ax-pre-ltirr 7952 ax-pre-lttrn 7954 ax-pre-apti 7955 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 836 df-3or 981 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-nf 1472 df-sb 1774 df-eu 2041 df-mo 2042 df-clab 2176 df-cleq 2182 df-clel 2185 df-nfc 2321 df-ne 2361 df-nel 2456 df-ral 2473 df-rex 2474 df-reu 2475 df-rmo 2476 df-rab 2477 df-v 2754 df-sbc 2978 df-dif 3146 df-un 3148 df-in 3150 df-ss 3157 df-if 3550 df-pw 3592 df-sn 3613 df-pr 3614 df-op 3616 df-uni 3825 df-br 4019 df-opab 4080 df-xp 4650 df-cnv 4652 df-iota 5196 df-riota 5851 df-sup 7012 df-pnf 8023 df-mnf 8024 df-xr 8025 df-ltxr 8026 df-le 8027 |
This theorem is referenced by: xrmaxiflemlub 11287 |
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