ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  maxleim GIF version

Theorem maxleim 11241
Description: Value of maximum when we know which number is larger. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Dec-2021.)
Assertion
Ref Expression
maxleim ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵 → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) = 𝐵))

Proof of Theorem maxleim
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lttri3 8062 . . . 4 ((𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑔 ∈ ℝ) → (𝑓 = 𝑔 ↔ (¬ 𝑓 < 𝑔 ∧ ¬ 𝑔 < 𝑓)))
21adantl 277 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑔 ∈ ℝ)) → (𝑓 = 𝑔 ↔ (¬ 𝑓 < 𝑔 ∧ ¬ 𝑔 < 𝑓)))
3 simplr 528 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
4 prid2g 3712 . . . 4 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ {𝐴, 𝐵})
53, 4syl 14 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ {𝐴, 𝐵})
6 simpll 527 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
76ad2antrr 488 . . . . . 6 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) ∧ 𝑦 = 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
83ad2antrr 488 . . . . . 6 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) ∧ 𝑦 = 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
9 simpllr 534 . . . . . 6 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) ∧ 𝑦 = 𝐴) → 𝐴𝐵)
107, 8, 9lensymd 8104 . . . . 5 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) ∧ 𝑦 = 𝐴) → ¬ 𝐵 < 𝐴)
11 breq2 4022 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐴 → (𝐵 < 𝑦𝐵 < 𝐴))
1211notbid 668 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐴 → (¬ 𝐵 < 𝑦 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
1312adantl 277 . . . . 5 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) ∧ 𝑦 = 𝐴) → (¬ 𝐵 < 𝑦 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
1410, 13mpbird 167 . . . 4 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) ∧ 𝑦 = 𝐴) → ¬ 𝐵 < 𝑦)
153ad2antrr 488 . . . . . 6 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) ∧ 𝑦 = 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
1615ltnrd 8094 . . . . 5 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) ∧ 𝑦 = 𝐵) → ¬ 𝐵 < 𝐵)
17 breq2 4022 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐵 → (𝐵 < 𝑦𝐵 < 𝐵))
1817notbid 668 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐵 → (¬ 𝐵 < 𝑦 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐵))
1918adantl 277 . . . . 5 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) ∧ 𝑦 = 𝐵) → (¬ 𝐵 < 𝑦 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐵))
2016, 19mpbird 167 . . . 4 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) ∧ 𝑦 = 𝐵) → ¬ 𝐵 < 𝑦)
21 elpri 3630 . . . . 5 (𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} → (𝑦 = 𝐴𝑦 = 𝐵))
2221adantl 277 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) → (𝑦 = 𝐴𝑦 = 𝐵))
2314, 20, 22mpjaodan 799 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) → ¬ 𝐵 < 𝑦)
242, 3, 5, 23supmaxti 7028 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴𝐵) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) = 𝐵)
2524ex 115 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵 → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) = 𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104  wb 105  wo 709   = wceq 1364  wcel 2160  {cpr 3608   class class class wbr 4018  supcsup 7006  cr 7835   < clt 8017  cle 8018
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-cnex 7927  ax-resscn 7928  ax-pre-ltirr 7948  ax-pre-apti 7951
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-xp 4647  df-cnv 4649  df-iota 5193  df-riota 5848  df-sup 7008  df-pnf 8019  df-mnf 8020  df-xr 8021  df-ltxr 8022  df-le 8023
This theorem is referenced by:  maxleb  11252  xrmaxiflemab  11282
  Copyright terms: Public domain W3C validator