Theorem mndfo 13652

Description: The addition operation of a monoid is an onto function (assuming it is a function). (Contributed by Mario Carneiro, 11-Oct-2013.) (Proof shortened by AV, 23-Jan-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
mndfo.b	|- B = ( Base ` G )
mndfo.p	|- .+ = ( +g ` G )

Assertion

Ref	Expression
mndfo	|- ( ( G e. Mnd /\ .+ Fn ( B X. B ) ) -> .+ : ( B X. B ) -onto-> B )

Proof of Theorem mndfo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mndfo.b	. . . 4 |- B = ( Base ` G )
2		eqid 2232	. . . 4 |- ( +f ` G ) = ( +f ` G )
3	1, 2	mndpfo 13651	. . 3 |- ( G e. Mnd -> ( +f ` G ) : ( B X. B ) -onto-> B )
4	3	adantr 276	. 2 |- ( ( G e. Mnd /\ .+ Fn ( B X. B ) ) -> ( +f ` G ) : ( B X. B ) -onto-> B )
5		mndfo.p	. . . . 5 |- .+ = ( +g ` G )
6	1, 5, 2	plusfeqg 13577	. . . 4 |- ( ( G e. Mnd /\ .+ Fn ( B X. B ) ) -> ( +f ` G ) = .+ )
7	6	eqcomd 2238	. . 3 |- ( ( G e. Mnd /\ .+ Fn ( B X. B ) ) -> .+ = ( +f ` G ) )
8		foeq1 5586	. . 3 |- ( .+ = ( +f ` G ) -> ( .+ : ( B X. B ) -onto-> B <-> ( +f ` G ) : ( B X. B ) -onto-> B ) )
9	7, 8	syl 14	. 2 |- ( ( G e. Mnd /\ .+ Fn ( B X. B ) ) -> ( .+ : ( B X. B ) -onto-> B <-> ( +f ` G ) : ( B X. B ) -onto-> B ) )
10	4, 9	mpbird 167	1 |- ( ( G e. Mnd /\ .+ Fn ( B X. B ) ) -> .+ : ( B X. B ) -onto-> B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2203   X. cxp 4747   Fn wfn 5347   -onto->wfo 5350   ` cfv 5352   Basecbs 13212   +g cplusg 13290   +fcplusf 13566   Mndcmnd 13629

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1re 8221  ax-addrcl 8224

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-inn 9238  df-2 9296  df-ndx 13215  df-slot 13216  df-base 13218  df-plusg 13303  df-0g 13471  df-plusf 13568  df-mgm 13569  df-sgrp 13615  df-mnd 13630

This theorem is referenced by: (None)