Theorem mndfo 13080

Description: The addition operation of a monoid is an onto function (assuming it is a function). (Contributed by Mario Carneiro, 11-Oct-2013.) (Proof shortened by AV, 23-Jan-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
mndfo.b	|- B = ( Base ` G )
mndfo.p	|- .+ = ( +g ` G )

Assertion

Ref	Expression
mndfo	|- ( ( G e. Mnd /\ .+ Fn ( B X. B ) ) -> .+ : ( B X. B ) -onto-> B )

Proof of Theorem mndfo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mndfo.b	. . . 4 |- B = ( Base ` G )
2		eqid 2196	. . . 4 |- ( +f ` G ) = ( +f ` G )
3	1, 2	mndpfo 13079	. . 3 |- ( G e. Mnd -> ( +f ` G ) : ( B X. B ) -onto-> B )
4	3	adantr 276	. 2 |- ( ( G e. Mnd /\ .+ Fn ( B X. B ) ) -> ( +f ` G ) : ( B X. B ) -onto-> B )
5		mndfo.p	. . . . 5 |- .+ = ( +g ` G )
6	1, 5, 2	plusfeqg 13007	. . . 4 |- ( ( G e. Mnd /\ .+ Fn ( B X. B ) ) -> ( +f ` G ) = .+ )
7	6	eqcomd 2202	. . 3 |- ( ( G e. Mnd /\ .+ Fn ( B X. B ) ) -> .+ = ( +f ` G ) )
8		foeq1 5476	. . 3 |- ( .+ = ( +f ` G ) -> ( .+ : ( B X. B ) -onto-> B <-> ( +f ` G ) : ( B X. B ) -onto-> B ) )
9	7, 8	syl 14	. 2 |- ( ( G e. Mnd /\ .+ Fn ( B X. B ) ) -> ( .+ : ( B X. B ) -onto-> B <-> ( +f ` G ) : ( B X. B ) -onto-> B ) )
10	4, 9	mpbird 167	1 |- ( ( G e. Mnd /\ .+ Fn ( B X. B ) ) -> .+ : ( B X. B ) -onto-> B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2167   X. cxp 4661   Fn wfn 5253   -onto->wfo 5256   ` cfv 5258   Basecbs 12678   +g cplusg 12755   +fcplusf 12996   Mndcmnd 13057

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1re 7973  ax-addrcl 7976

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-inn 8991  df-2 9049  df-ndx 12681  df-slot 12682  df-base 12684  df-plusg 12768  df-0g 12929  df-plusf 12998  df-mgm 12999  df-sgrp 13045  df-mnd 13058

This theorem is referenced by: (None)