Theorem mndfo 12729

Description: The addition operation of a monoid is an onto function (assuming it is a function). (Contributed by Mario Carneiro, 11-Oct-2013.) (Proof shortened by AV, 23-Jan-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
mndfo.b	|- B = ( Base ` G )
mndfo.p	|- .+ = ( +g ` G )

Assertion

Ref	Expression
mndfo	|- ( ( G e. Mnd /\ .+ Fn ( B X. B ) ) -> .+ : ( B X. B ) -onto-> B )

Proof of Theorem mndfo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mndfo.b	. . . 4 |- B = ( Base ` G )
2		eqid 2177	. . . 4 |- ( +f ` G ) = ( +f ` G )
3	1, 2	mndpfo 12728	. . 3 |- ( G e. Mnd -> ( +f ` G ) : ( B X. B ) -onto-> B )
4	3	adantr 276	. 2 |- ( ( G e. Mnd /\ .+ Fn ( B X. B ) ) -> ( +f ` G ) : ( B X. B ) -onto-> B )
5		mndfo.p	. . . . 5 |- .+ = ( +g ` G )
6	1, 5, 2	plusfeqg 12672	. . . 4 |- ( ( G e. Mnd /\ .+ Fn ( B X. B ) ) -> ( +f ` G ) = .+ )
7	6	eqcomd 2183	. . 3 |- ( ( G e. Mnd /\ .+ Fn ( B X. B ) ) -> .+ = ( +f ` G ) )
8		foeq1 5430	. . 3 |- ( .+ = ( +f ` G ) -> ( .+ : ( B X. B ) -onto-> B <-> ( +f ` G ) : ( B X. B ) -onto-> B ) )
9	7, 8	syl 14	. 2 |- ( ( G e. Mnd /\ .+ Fn ( B X. B ) ) -> ( .+ : ( B X. B ) -onto-> B <-> ( +f ` G ) : ( B X. B ) -onto-> B ) )
10	4, 9	mpbird 167	1 |- ( ( G e. Mnd /\ .+ Fn ( B X. B ) ) -> .+ : ( B X. B ) -onto-> B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   e. wcel 2148   X. cxp 4621   Fn wfn 5207   -onto->wfo 5210   ` cfv 5212   Basecbs 12442   +g cplusg 12515   +fcplusf 12661   Mndcmnd 12706

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-cnex 7890  ax-resscn 7891  ax-1re 7893  ax-addrcl 7896

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4290  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-inn 8906  df-2 8964  df-ndx 12445  df-slot 12446  df-base 12448  df-plusg 12528  df-0g 12652  df-plusf 12663  df-mgm 12664  df-sgrp 12697  df-mnd 12707

This theorem is referenced by: (None)