Theorem mndfo 13458

Description: The addition operation of a monoid is an onto function (assuming it is a function). (Contributed by Mario Carneiro, 11-Oct-2013.) (Proof shortened by AV, 23-Jan-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
mndfo.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mndfo.p	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mndfo	⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ + Fn (𝐵 × 𝐵)) → + :(𝐵 × 𝐵)–onto→𝐵)

Proof of Theorem mndfo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mndfo.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2229	. . . 4 ⊢ (+𝑓‘𝐺) = (+𝑓‘𝐺)
3	1, 2	mndpfo 13457	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → (+𝑓‘𝐺):(𝐵 × 𝐵)–onto→𝐵)
4	3	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ + Fn (𝐵 × 𝐵)) → (+𝑓‘𝐺):(𝐵 × 𝐵)–onto→𝐵)
5		mndfo.p	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝐺)
6	1, 5, 2	plusfeqg 13383	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ + Fn (𝐵 × 𝐵)) → (+𝑓‘𝐺) = + )
7	6	eqcomd 2235	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ + Fn (𝐵 × 𝐵)) → + = (+𝑓‘𝐺))
8		foeq1 5540	. . 3 ⊢ ( + = (+𝑓‘𝐺) → ( + :(𝐵 × 𝐵)–onto→𝐵 ↔ (+𝑓‘𝐺):(𝐵 × 𝐵)–onto→𝐵))
9	7, 8	syl 14	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ + Fn (𝐵 × 𝐵)) → ( + :(𝐵 × 𝐵)–onto→𝐵 ↔ (+𝑓‘𝐺):(𝐵 × 𝐵)–onto→𝐵))
10	4, 9	mpbird 167	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ + Fn (𝐵 × 𝐵)) → + :(𝐵 × 𝐵)–onto→𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   × cxp 4714   Fn wfn 5309  –onto→wfo 5312  ‘cfv 5314  Basecbs 13018  +_gcplusg 13096  +_𝑓cplusf 13372  Mndcmnd 13435

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4521  ax-setind 4626  ax-cnex 8078  ax-resscn 8079  ax-1re 8081  ax-addrcl 8084

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4381  df-xp 4722  df-rel 4723  df-cnv 4724  df-co 4725  df-dm 4726  df-rn 4727  df-res 4728  df-ima 4729  df-iota 5274  df-fun 5316  df-fn 5317  df-f 5318  df-f1 5319  df-fo 5320  df-f1o 5321  df-fv 5322  df-riota 5947  df-ov 5997  df-oprab 5998  df-mpo 5999  df-1st 6276  df-2nd 6277  df-inn 9099  df-2 9157  df-ndx 13021  df-slot 13022  df-base 13024  df-plusg 13109  df-0g 13277  df-plusf 13374  df-mgm 13375  df-sgrp 13421  df-mnd 13436

This theorem is referenced by: (None)