ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  neii2 GIF version

Theorem neii2 12357
Description: Property of a neighborhood. (Contributed by NM, 12-Feb-2007.)
Assertion
Ref Expression
neii2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)) → ∃𝑔𝐽 (𝑆𝑔𝑔𝑁))
Distinct variable groups:   𝑔,𝐽   𝑔,𝑁   𝑆,𝑔

Proof of Theorem neii2
StepHypRef Expression
1 eqid 2140 . . 3 𝐽 = 𝐽
21neiss2 12350 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)) → 𝑆 𝐽)
31isnei 12352 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 𝐽) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ↔ (𝑁 𝐽 ∧ ∃𝑔𝐽 (𝑆𝑔𝑔𝑁))))
4 simpr 109 . . . 4 ((𝑁 𝐽 ∧ ∃𝑔𝐽 (𝑆𝑔𝑔𝑁)) → ∃𝑔𝐽 (𝑆𝑔𝑔𝑁))
53, 4syl6bi 162 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 𝐽) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) → ∃𝑔𝐽 (𝑆𝑔𝑔𝑁)))
65impancom 258 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)) → (𝑆 𝐽 → ∃𝑔𝐽 (𝑆𝑔𝑔𝑁)))
72, 6mpd 13 1 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)) → ∃𝑔𝐽 (𝑆𝑔𝑔𝑁))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wcel 1481  wrex 2418  wss 3076   cuni 3744  cfv 5131  Topctop 12203  neicnei 12346
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-top 12204  df-nei 12347
This theorem is referenced by:  neiss  12358  ssnei  12359  ssnei2  12365  innei  12371  opnneiid  12372  neissex  12373  cnpnei  12427  neitx  12476
  Copyright terms: Public domain W3C validator