ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nntri1 GIF version

Theorem nntri1 6510
Description: A trichotomy law for natural numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Aug-2019.)
Assertion
Ref Expression
nntri1 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵𝐴))

Proof of Theorem nntri1
StepHypRef Expression
1 ssnel 4580 . 2 (𝐴𝐵 → ¬ 𝐵𝐴)
2 nntri3or 6507 . . . 4 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴𝐵𝐴 = 𝐵𝐵𝐴))
3 df-3or 980 . . . . . . 7 ((𝐴𝐵𝐴 = 𝐵𝐵𝐴) ↔ ((𝐴𝐵𝐴 = 𝐵) ∨ 𝐵𝐴))
43biimpi 120 . . . . . 6 ((𝐴𝐵𝐴 = 𝐵𝐵𝐴) → ((𝐴𝐵𝐴 = 𝐵) ∨ 𝐵𝐴))
54orcomd 730 . . . . 5 ((𝐴𝐵𝐴 = 𝐵𝐵𝐴) → (𝐵𝐴 ∨ (𝐴𝐵𝐴 = 𝐵)))
65ord 725 . . . 4 ((𝐴𝐵𝐴 = 𝐵𝐵𝐴) → (¬ 𝐵𝐴 → (𝐴𝐵𝐴 = 𝐵)))
72, 6syl 14 . . 3 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (¬ 𝐵𝐴 → (𝐴𝐵𝐴 = 𝐵)))
8 nnord 4623 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ω → Ord 𝐵)
9 ordelss 4391 . . . . . . 7 ((Ord 𝐵𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
108, 9sylan 283 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
1110ex 115 . . . . 5 (𝐵 ∈ ω → (𝐴𝐵𝐴𝐵))
1211adantl 277 . . . 4 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴𝐵𝐴𝐵))
13 eqimss 3221 . . . . 5 (𝐴 = 𝐵𝐴𝐵)
1413a1i 9 . . . 4 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 = 𝐵𝐴𝐵))
1512, 14jaod 718 . . 3 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → ((𝐴𝐵𝐴 = 𝐵) → 𝐴𝐵))
167, 15syld 45 . 2 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (¬ 𝐵𝐴𝐴𝐵))
171, 16impbid2 143 1 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104  wb 105  wo 709  w3o 978   = wceq 1363  wcel 2158  wss 3141  Ord word 4374  ωcom 4601
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-nf 1471  df-sb 1773  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-ral 2470  df-rex 2471  df-v 2751  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-uni 3822  df-int 3857  df-tr 4114  df-iord 4378  df-on 4380  df-suc 4383  df-iom 4602
This theorem is referenced by:  nnsseleq  6515  nnmword  6532  nnawordex  6543  nndomo  6877  nnnninfeq  7139  ennnfonelemex  12428  pwle2  15020
  Copyright terms: Public domain W3C validator