ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nnawordex Unicode version

Theorem nnawordex 6476
Description: Equivalence for weak ordering of natural numbers. (Contributed by NM, 8-Nov-2002.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
nnawordex  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  C_  B  <->  E. x  e.  om  ( A  +o  x )  =  B ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B

Proof of Theorem nnawordex
StepHypRef Expression
1 nntri3or 6441 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  e.  B  \/  A  =  B  \/  B  e.  A
) )
213adant3 1002 . . . 4  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  A  C_  B )  ->  ( A  e.  B  \/  A  =  B  \/  B  e.  A )
)
3 nnaordex 6475 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  e.  B  <->  E. x  e.  om  ( (/) 
e.  x  /\  ( A  +o  x )  =  B ) ) )
4 simpr 109 . . . . . . . 8  |-  ( (
(/)  e.  x  /\  ( A  +o  x
)  =  B )  ->  ( A  +o  x )  =  B )
54reximi 2554 . . . . . . 7  |-  ( E. x  e.  om  ( (/) 
e.  x  /\  ( A  +o  x )  =  B )  ->  E. x  e.  om  ( A  +o  x )  =  B )
63, 5syl6bi 162 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  e.  B  ->  E. x  e.  om  ( A  +o  x
)  =  B ) )
763adant3 1002 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  A  C_  B )  ->  ( A  e.  B  ->  E. x  e.  om  ( A  +o  x )  =  B ) )
8 nna0 6422 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  om  ->  ( A  +o  (/) )  =  A )
983ad2ant1 1003 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  A  C_  B )  ->  ( A  +o  (/) )  =  A )
10 eqeq2 2167 . . . . . . 7  |-  ( A  =  B  ->  (
( A  +o  (/) )  =  A  <->  ( A  +o  (/) )  =  B ) )
119, 10syl5ibcom 154 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  A  C_  B )  ->  ( A  =  B  ->  ( A  +o  (/) )  =  B ) )
12 peano1 4554 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  om
13 oveq2 5833 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  (/)  ->  ( A  +o  x )  =  ( A  +o  (/) ) )
1413eqeq1d 2166 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( A  +o  x )  =  B  <->  ( A  +o  (/) )  =  B ) )
1514rspcev 2816 . . . . . . 7  |-  ( (
(/)  e.  om  /\  ( A  +o  (/) )  =  B )  ->  E. x  e.  om  ( A  +o  x )  =  B )
1612, 15mpan 421 . . . . . 6  |-  ( ( A  +o  (/) )  =  B  ->  E. x  e.  om  ( A  +o  x )  =  B )
1711, 16syl6 33 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  A  C_  B )  ->  ( A  =  B  ->  E. x  e.  om  ( A  +o  x )  =  B ) )
18 nntri1 6444 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  C_  B  <->  -.  B  e.  A ) )
1918biimp3a 1327 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  A  C_  B )  ->  -.  B  e.  A )
2019pm2.21d 609 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  A  C_  B )  ->  ( B  e.  A  ->  E. x  e.  om  ( A  +o  x )  =  B ) )
217, 17, 203jaod 1286 . . . 4  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  A  C_  B )  ->  (
( A  e.  B  \/  A  =  B  \/  B  e.  A
)  ->  E. x  e.  om  ( A  +o  x )  =  B ) )
222, 21mpd 13 . . 3  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  A  C_  B )  ->  E. x  e.  om  ( A  +o  x )  =  B )
23223expia 1187 . 2  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  C_  B  ->  E. x  e.  om  ( A  +o  x
)  =  B ) )
24 nnaword1 6461 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  om  /\  x  e.  om )  ->  A  C_  ( A  +o  x ) )
25 sseq2 3152 . . . . 5  |-  ( ( A  +o  x )  =  B  ->  ( A  C_  ( A  +o  x )  <->  A  C_  B
) )
2624, 25syl5ibcom 154 . . . 4  |-  ( ( A  e.  om  /\  x  e.  om )  ->  ( ( A  +o  x )  =  B  ->  A  C_  B
) )
2726rexlimdva 2574 . . 3  |-  ( A  e.  om  ->  ( E. x  e.  om  ( A  +o  x
)  =  B  ->  A  C_  B ) )
2827adantr 274 . 2  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( E. x  e. 
om  ( A  +o  x )  =  B  ->  A  C_  B
) )
2923, 28impbid 128 1  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  C_  B  <->  E. x  e.  om  ( A  +o  x )  =  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ w3o 962    /\ w3a 963    = wceq 1335    e. wcel 2128   E.wrex 2436    C_ wss 3102   (/)c0 3394   omcom 4550  (class class class)co 5825    +o coa 6361
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4080  ax-sep 4083  ax-nul 4091  ax-pow 4136  ax-pr 4170  ax-un 4394  ax-setind 4497  ax-iinf 4548
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3774  df-int 3809  df-iun 3852  df-br 3967  df-opab 4027  df-mpt 4028  df-tr 4064  df-id 4254  df-iord 4327  df-on 4329  df-suc 4332  df-iom 4551  df-xp 4593  df-rel 4594  df-cnv 4595  df-co 4596  df-dm 4597  df-rn 4598  df-res 4599  df-ima 4600  df-iota 5136  df-fun 5173  df-fn 5174  df-f 5175  df-f1 5176  df-fo 5177  df-f1o 5178  df-fv 5179  df-ov 5828  df-oprab 5829  df-mpo 5830  df-1st 6089  df-2nd 6090  df-recs 6253  df-irdg 6318  df-1o 6364  df-oadd 6368
This theorem is referenced by:  prarloclemn  7420
  Copyright terms: Public domain W3C validator