Theorem nnawordex 6543

Description: Equivalence for weak ordering of natural numbers. (Contributed by NM, 8-Nov-2002.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nnawordex	|- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A C_ B <-> E. x e. om ( A +o x ) = B ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Proof of Theorem nnawordex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nntri3or 6507	. . . . 5 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A e. B \/ A = B \/ B e. A ) )
2	1	3adant3 1018	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ A C_ B ) -> ( A e. B \/ A = B \/ B e. A ) )
3		nnaordex 6542	. . . . . . 7 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A e. B <-> E. x e. om ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = B ) ) )
4		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = B ) -> ( A +o x ) = B )
5	4	reximi 2584	. . . . . . 7 |- ( E. x e. om ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = B ) -> E. x e. om ( A +o x ) = B )
6	3, 5	biimtrdi 163	. . . . . 6 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A e. B -> E. x e. om ( A +o x ) = B ) )
7	6	3adant3 1018	. . . . 5 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ A C_ B ) -> ( A e. B -> E. x e. om ( A +o x ) = B ) )
8		nna0 6488	. . . . . . . 8 |- ( A e. om -> ( A +o (/) ) = A )
9	8	3ad2ant1 1019	. . . . . . 7 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ A C_ B ) -> ( A +o (/) ) = A )
10		eqeq2 2197	. . . . . . 7 |- ( A = B -> ( ( A +o (/) ) = A <-> ( A +o (/) ) = B ) )
11	9, 10	syl5ibcom 155	. . . . . 6 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ A C_ B ) -> ( A = B -> ( A +o (/) ) = B ) )
12		peano1 4605	. . . . . . 7 |- (/) e. om
13		oveq2 5896	. . . . . . . . 9 |- ( x = (/) -> ( A +o x ) = ( A +o (/) ) )
14	13	eqeq1d 2196	. . . . . . . 8 |- ( x = (/) -> ( ( A +o x ) = B <-> ( A +o (/) ) = B ) )
15	14	rspcev 2853	. . . . . . 7 |- ( ( (/) e. om /\ ( A +o (/) ) = B ) -> E. x e. om ( A +o x ) = B )
16	12, 15	mpan 424	. . . . . 6 |- ( ( A +o (/) ) = B -> E. x e. om ( A +o x ) = B )
17	11, 16	syl6 33	. . . . 5 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ A C_ B ) -> ( A = B -> E. x e. om ( A +o x ) = B ) )
18		nntri1 6510	. . . . . . 7 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A C_ B <-> -. B e. A ) )
19	18	biimp3a 1355	. . . . . 6 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ A C_ B ) -> -. B e. A )
20	19	pm2.21d 620	. . . . 5 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ A C_ B ) -> ( B e. A -> E. x e. om ( A +o x ) = B ) )
21	7, 17, 20	3jaod 1314	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ A C_ B ) -> ( ( A e. B \/ A = B \/ B e. A ) -> E. x e. om ( A +o x ) = B ) )
22	2, 21	mpd 13	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ A C_ B ) -> E. x e. om ( A +o x ) = B )
23	22	3expia 1206	. 2 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A C_ B -> E. x e. om ( A +o x ) = B ) )
24		nnaword1 6527	. . . . 5 |- ( ( A e. om /\ x e. om ) -> A C_ ( A +o x ) )
25		sseq2 3191	. . . . 5 |- ( ( A +o x ) = B -> ( A C_ ( A +o x ) <-> A C_ B ) )
26	24, 25	syl5ibcom 155	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ x e. om ) -> ( ( A +o x ) = B -> A C_ B ) )
27	26	rexlimdva 2604	. . 3 |- ( A e. om -> ( E. x e. om ( A +o x ) = B -> A C_ B ) )
28	27	adantr 276	. 2 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( E. x e. om ( A +o x ) = B -> A C_ B ) )
29	23, 28	impbid 129	1 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A C_ B <-> E. x e. om ( A +o x ) = B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ w3o 978   /\ w3a 979   = wceq 1363   e. wcel 2158   E.wrex 2466   C_ wss 3141   (/)c0 3434   omcom 4601  (class class class)co 5888   +o coa 6427

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-iord 4378  df-on 4380  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6154  df-2nd 6155  df-recs 6319  df-irdg 6384  df-1o 6430  df-oadd 6434

This theorem is referenced by:  prarloclemn  7511