Theorem nnawordex 6508

Description: Equivalence for weak ordering of natural numbers. (Contributed by NM, 8-Nov-2002.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nnawordex	|- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A C_ B <-> E. x e. om ( A +o x ) = B ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Proof of Theorem nnawordex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nntri3or 6472	. . . . 5 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A e. B \/ A = B \/ B e. A ) )
2	1	3adant3 1012	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ A C_ B ) -> ( A e. B \/ A = B \/ B e. A ) )
3		nnaordex 6507	. . . . . . 7 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A e. B <-> E. x e. om ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = B ) ) )
4		simpr 109	. . . . . . . 8 |- ( ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = B ) -> ( A +o x ) = B )
5	4	reximi 2567	. . . . . . 7 |- ( E. x e. om ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = B ) -> E. x e. om ( A +o x ) = B )
6	3, 5	syl6bi 162	. . . . . 6 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A e. B -> E. x e. om ( A +o x ) = B ) )
7	6	3adant3 1012	. . . . 5 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ A C_ B ) -> ( A e. B -> E. x e. om ( A +o x ) = B ) )
8		nna0 6453	. . . . . . . 8 |- ( A e. om -> ( A +o (/) ) = A )
9	8	3ad2ant1 1013	. . . . . . 7 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ A C_ B ) -> ( A +o (/) ) = A )
10		eqeq2 2180	. . . . . . 7 |- ( A = B -> ( ( A +o (/) ) = A <-> ( A +o (/) ) = B ) )
11	9, 10	syl5ibcom 154	. . . . . 6 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ A C_ B ) -> ( A = B -> ( A +o (/) ) = B ) )
12		peano1 4578	. . . . . . 7 |- (/) e. om
13		oveq2 5861	. . . . . . . . 9 |- ( x = (/) -> ( A +o x ) = ( A +o (/) ) )
14	13	eqeq1d 2179	. . . . . . . 8 |- ( x = (/) -> ( ( A +o x ) = B <-> ( A +o (/) ) = B ) )
15	14	rspcev 2834	. . . . . . 7 |- ( ( (/) e. om /\ ( A +o (/) ) = B ) -> E. x e. om ( A +o x ) = B )
16	12, 15	mpan 422	. . . . . 6 |- ( ( A +o (/) ) = B -> E. x e. om ( A +o x ) = B )
17	11, 16	syl6 33	. . . . 5 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ A C_ B ) -> ( A = B -> E. x e. om ( A +o x ) = B ) )
18		nntri1 6475	. . . . . . 7 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A C_ B <-> -. B e. A ) )
19	18	biimp3a 1340	. . . . . 6 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ A C_ B ) -> -. B e. A )
20	19	pm2.21d 614	. . . . 5 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ A C_ B ) -> ( B e. A -> E. x e. om ( A +o x ) = B ) )
21	7, 17, 20	3jaod 1299	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ A C_ B ) -> ( ( A e. B \/ A = B \/ B e. A ) -> E. x e. om ( A +o x ) = B ) )
22	2, 21	mpd 13	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ A C_ B ) -> E. x e. om ( A +o x ) = B )
23	22	3expia 1200	. 2 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A C_ B -> E. x e. om ( A +o x ) = B ) )
24		nnaword1 6492	. . . . 5 |- ( ( A e. om /\ x e. om ) -> A C_ ( A +o x ) )
25		sseq2 3171	. . . . 5 |- ( ( A +o x ) = B -> ( A C_ ( A +o x ) <-> A C_ B ) )
26	24, 25	syl5ibcom 154	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ x e. om ) -> ( ( A +o x ) = B -> A C_ B ) )
27	26	rexlimdva 2587	. . 3 |- ( A e. om -> ( E. x e. om ( A +o x ) = B -> A C_ B ) )
28	27	adantr 274	. 2 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( E. x e. om ( A +o x ) = B -> A C_ B ) )
29	23, 28	impbid 128	1 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A C_ B <-> E. x e. om ( A +o x ) = B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ w3o 972   /\ w3a 973   = wceq 1348   e. wcel 2141   E.wrex 2449   C_ wss 3121   (/)c0 3414   omcom 4574  (class class class)co 5853   +o coa 6392

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-irdg 6349  df-1o 6395  df-oadd 6399

This theorem is referenced by:  prarloclemn  7461