Theorem nnmword 6521

Description: Weak ordering property of ordinal multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nnmword	|- ( ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> ( A C_ B <-> ( C .o A ) C_ ( C .o B ) ) )

Proof of Theorem nnmword

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iba 300	. . . 4 |- ( (/) e. C -> ( B e. A <-> ( B e. A /\ (/) e. C ) ) )
2		nnmord 6520	. . . . 5 |- ( ( B e. om /\ A e. om /\ C e. om ) -> ( ( B e. A /\ (/) e. C ) <-> ( C .o B ) e. ( C .o A ) ) )
3	2	3com12 1207	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( ( B e. A /\ (/) e. C ) <-> ( C .o B ) e. ( C .o A ) ) )
4	1, 3	sylan9bbr 463	. . 3 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> ( B e. A <-> ( C .o B ) e. ( C .o A ) ) )
5	4	notbid 667	. 2 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> ( -. B e. A <-> -. ( C .o B ) e. ( C .o A ) ) )
6		simpl1 1000	. . 3 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> A e. om )
7		simpl2 1001	. . 3 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> B e. om )
8		nntri1 6499	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A C_ B <-> -. B e. A ) )
9	6, 7, 8	syl2anc 411	. 2 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> ( A C_ B <-> -. B e. A ) )
10		simpl3 1002	. . . 4 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> C e. om )
11		nnmcl 6484	. . . 4 |- ( ( C e. om /\ A e. om ) -> ( C .o A ) e. om )
12	10, 6, 11	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> ( C .o A ) e. om )
13		nnmcl 6484	. . . 4 |- ( ( C e. om /\ B e. om ) -> ( C .o B ) e. om )
14	10, 7, 13	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> ( C .o B ) e. om )
15		nntri1 6499	. . 3 |- ( ( ( C .o A ) e. om /\ ( C .o B ) e. om ) -> ( ( C .o A ) C_ ( C .o B ) <-> -. ( C .o B ) e. ( C .o A ) ) )
16	12, 14, 15	syl2anc 411	. 2 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> ( ( C .o A ) C_ ( C .o B ) <-> -. ( C .o B ) e. ( C .o A ) ) )
17	5, 9, 16	3bitr4d 220	1 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> ( A C_ B <-> ( C .o A ) C_ ( C .o B ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 978   e. wcel 2148   C_ wss 3131   (/)c0 3424   omcom 4591  (class class class)co 5877   .o comu 6417

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-iord 4368  df-on 4370  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-irdg 6373  df-oadd 6423  df-omul 6424

This theorem is referenced by:  nnmcan  6522  archnqq  7418