ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nnmword Unicode version

Theorem nnmword 6382
Description: Weak ordering property of ordinal multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
nnmword  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  C )  ->  ( A  C_  B 
<->  ( C  .o  A
)  C_  ( C  .o  B ) ) )

Proof of Theorem nnmword
StepHypRef Expression
1 iba 298 . . . 4  |-  ( (/)  e.  C  ->  ( B  e.  A  <->  ( B  e.  A  /\  (/)  e.  C
) ) )
2 nnmord 6381 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  om  /\  A  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  (
( B  e.  A  /\  (/)  e.  C )  <-> 
( C  .o  B
)  e.  ( C  .o  A ) ) )
323com12 1170 . . . 4  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  (
( B  e.  A  /\  (/)  e.  C )  <-> 
( C  .o  B
)  e.  ( C  .o  A ) ) )
41, 3sylan9bbr 458 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  C )  ->  ( B  e.  A  <->  ( C  .o  B )  e.  ( C  .o  A ) ) )
54notbid 641 . 2  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  C )  ->  ( -.  B  e.  A  <->  -.  ( C  .o  B )  e.  ( C  .o  A ) ) )
6 simpl1 969 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  C )  ->  A  e.  om )
7 simpl2 970 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  C )  ->  B  e.  om )
8 nntri1 6360 . . 3  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  C_  B  <->  -.  B  e.  A ) )
96, 7, 8syl2anc 408 . 2  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  C )  ->  ( A  C_  B 
<->  -.  B  e.  A
) )
10 simpl3 971 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  C )  ->  C  e.  om )
11 nnmcl 6345 . . . 4  |-  ( ( C  e.  om  /\  A  e.  om )  ->  ( C  .o  A
)  e.  om )
1210, 6, 11syl2anc 408 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  C )  ->  ( C  .o  A )  e.  om )
13 nnmcl 6345 . . . 4  |-  ( ( C  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( C  .o  B
)  e.  om )
1410, 7, 13syl2anc 408 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  C )  ->  ( C  .o  B )  e.  om )
15 nntri1 6360 . . 3  |-  ( ( ( C  .o  A
)  e.  om  /\  ( C  .o  B
)  e.  om )  ->  ( ( C  .o  A )  C_  ( C  .o  B )  <->  -.  ( C  .o  B )  e.  ( C  .o  A
) ) )
1612, 14, 15syl2anc 408 . 2  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  C )  ->  ( ( C  .o  A )  C_  ( C  .o  B
)  <->  -.  ( C  .o  B )  e.  ( C  .o  A ) ) )
175, 9, 163bitr4d 219 1  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  C )  ->  ( A  C_  B 
<->  ( C  .o  A
)  C_  ( C  .o  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 947    e. wcel 1465    C_ wss 3041   (/)c0 3333   omcom 4474  (class class class)co 5742    .o comu 6279
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-coll 4013  ax-sep 4016  ax-nul 4024  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-iinf 4472
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-tr 3997  df-id 4185  df-iord 4258  df-on 4260  df-suc 4263  df-iom 4475  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100  df-fv 5101  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-1st 6006  df-2nd 6007  df-recs 6170  df-irdg 6235  df-oadd 6285  df-omul 6286
This theorem is referenced by:  nnmcan  6383  archnqq  7193
  Copyright terms: Public domain W3C validator