Theorem nnmword 6542

Description: Weak ordering property of ordinal multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nnmword	|- ( ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> ( A C_ B <-> ( C .o A ) C_ ( C .o B ) ) )

Proof of Theorem nnmword

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iba 300	. . . 4 |- ( (/) e. C -> ( B e. A <-> ( B e. A /\ (/) e. C ) ) )
2		nnmord 6541	. . . . 5 |- ( ( B e. om /\ A e. om /\ C e. om ) -> ( ( B e. A /\ (/) e. C ) <-> ( C .o B ) e. ( C .o A ) ) )
3	2	3com12 1209	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( ( B e. A /\ (/) e. C ) <-> ( C .o B ) e. ( C .o A ) ) )
4	1, 3	sylan9bbr 463	. . 3 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> ( B e. A <-> ( C .o B ) e. ( C .o A ) ) )
5	4	notbid 668	. 2 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> ( -. B e. A <-> -. ( C .o B ) e. ( C .o A ) ) )
6		simpl1 1002	. . 3 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> A e. om )
7		simpl2 1003	. . 3 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> B e. om )
8		nntri1 6520	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A C_ B <-> -. B e. A ) )
9	6, 7, 8	syl2anc 411	. 2 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> ( A C_ B <-> -. B e. A ) )
10		simpl3 1004	. . . 4 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> C e. om )
11		nnmcl 6505	. . . 4 |- ( ( C e. om /\ A e. om ) -> ( C .o A ) e. om )
12	10, 6, 11	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> ( C .o A ) e. om )
13		nnmcl 6505	. . . 4 |- ( ( C e. om /\ B e. om ) -> ( C .o B ) e. om )
14	10, 7, 13	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> ( C .o B ) e. om )
15		nntri1 6520	. . 3 |- ( ( ( C .o A ) e. om /\ ( C .o B ) e. om ) -> ( ( C .o A ) C_ ( C .o B ) <-> -. ( C .o B ) e. ( C .o A ) ) )
16	12, 14, 15	syl2anc 411	. 2 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> ( ( C .o A ) C_ ( C .o B ) <-> -. ( C .o B ) e. ( C .o A ) ) )
17	5, 9, 16	3bitr4d 220	1 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> ( A C_ B <-> ( C .o A ) C_ ( C .o B ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   e. wcel 2160   C_ wss 3144   (/)c0 3437   omcom 4607  (class class class)co 5895   .o comu 6438

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-iord 4384  df-on 4386  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-ov 5898  df-oprab 5899  df-mpo 5900  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-recs 6329  df-irdg 6394  df-oadd 6444  df-omul 6445

This theorem is referenced by:  nnmcan  6543  archnqq  7445