Theorem nnmword 6509

Description: Weak ordering property of ordinal multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nnmword	|- ( ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> ( A C_ B <-> ( C .o A ) C_ ( C .o B ) ) )

Proof of Theorem nnmword

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iba 300	. . . 4 |- ( (/) e. C -> ( B e. A <-> ( B e. A /\ (/) e. C ) ) )
2		nnmord 6508	. . . . 5 |- ( ( B e. om /\ A e. om /\ C e. om ) -> ( ( B e. A /\ (/) e. C ) <-> ( C .o B ) e. ( C .o A ) ) )
3	2	3com12 1207	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( ( B e. A /\ (/) e. C ) <-> ( C .o B ) e. ( C .o A ) ) )
4	1, 3	sylan9bbr 463	. . 3 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> ( B e. A <-> ( C .o B ) e. ( C .o A ) ) )
5	4	notbid 667	. 2 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> ( -. B e. A <-> -. ( C .o B ) e. ( C .o A ) ) )
6		simpl1 1000	. . 3 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> A e. om )
7		simpl2 1001	. . 3 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> B e. om )
8		nntri1 6487	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A C_ B <-> -. B e. A ) )
9	6, 7, 8	syl2anc 411	. 2 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> ( A C_ B <-> -. B e. A ) )
10		simpl3 1002	. . . 4 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> C e. om )
11		nnmcl 6472	. . . 4 |- ( ( C e. om /\ A e. om ) -> ( C .o A ) e. om )
12	10, 6, 11	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> ( C .o A ) e. om )
13		nnmcl 6472	. . . 4 |- ( ( C e. om /\ B e. om ) -> ( C .o B ) e. om )
14	10, 7, 13	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> ( C .o B ) e. om )
15		nntri1 6487	. . 3 |- ( ( ( C .o A ) e. om /\ ( C .o B ) e. om ) -> ( ( C .o A ) C_ ( C .o B ) <-> -. ( C .o B ) e. ( C .o A ) ) )
16	12, 14, 15	syl2anc 411	. 2 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> ( ( C .o A ) C_ ( C .o B ) <-> -. ( C .o B ) e. ( C .o A ) ) )
17	5, 9, 16	3bitr4d 220	1 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> ( A C_ B <-> ( C .o A ) C_ ( C .o B ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 978   e. wcel 2146   C_ wss 3127   (/)c0 3420   omcom 4583  (class class class)co 5865   .o comu 6405

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-coll 4113  ax-sep 4116  ax-nul 4124  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-iinf 4581

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-tr 4097  df-id 4287  df-iord 4360  df-on 4362  df-suc 4365  df-iom 4584  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-recs 6296  df-irdg 6361  df-oadd 6411  df-omul 6412

This theorem is referenced by:  nnmcan  6510  archnqq  7391