Theorem nppcan 8541

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by NM, 1-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
nppcan	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( ( ( A - B ) + C ) + B ) = ( A + C ) )

Proof of Theorem nppcan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subcl 8518	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A - B ) e. CC )
2	1	3adant3 1048	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( A - B ) e. CC )
3		simp3 1030	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> C e. CC )
4		simp2 1029	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> B e. CC )
5	2, 3, 4	add32d 8487	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( ( ( A - B ) + C ) + B ) = ( ( ( A - B ) + B ) + C ) )
6		npcan 8528	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A - B ) + B ) = A )
7	6	oveq1d 6093	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( A - B ) + B ) + C ) = ( A + C ) )
8	7	3adant3 1048	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( ( ( A - B ) + B ) + C ) = ( A + C ) )
9	5, 8	eqtrd 2271	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( ( ( A - B ) + C ) + B ) = ( A + C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209  (class class class)co 6078   CCcc 8170   + caddc 8175   - cmin 8490

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-setind 4682  ax-resscn 8264  ax-1cn 8265  ax-icn 8267  ax-addcl 8268  ax-addrcl 8269  ax-mulcl 8270  ax-addcom 8272  ax-addass 8274  ax-distr 8276  ax-i2m1 8277  ax-0id 8280  ax-rnegex 8281  ax-cnre 8283

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-br 4129  df-opab 4191  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fv 5383  df-riota 6031  df-ov 6081  df-oprab 6082  df-mpo 6083  df-sub 8492

This theorem is referenced by:  nppcan3  8543  nppcand  8655  modfzo0difsn  10813