Theorem npcan 8535

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by NM, 10-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
npcan	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A - B ) + B ) = A )

Proof of Theorem npcan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subcl 8525	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A - B ) e. CC )
2		simpr 110	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> B e. CC )
3	1, 2	addcomd 8477	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A - B ) + B ) = ( B + ( A - B ) ) )
4		pncan3 8534	. . 3 |- ( ( B e. CC /\ A e. CC ) -> ( B + ( A - B ) ) = A )
5	4	ancoms 268	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( B + ( A - B ) ) = A )
6	3, 5	eqtrd 2271	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A - B ) + B ) = A )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209  (class class class)co 6085   CCcc 8177   + caddc 8182   - cmin 8497

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-setind 4684  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-sub 8499

This theorem is used by:  addsubass  8536  npncan  8547  nppcan  8548  nnpcan  8549  subcan2  8551  nnncan  8561  npcand  8641  nn1suc  9323  zlem1lt  9701  zltlem1  9702  peano5uzti  9754  nummac  9821  uzp1  9956  peano2uzr  9985  fz01en  10459  fzsuc2  10486  fseq1m1p1  10502  fzoss2  10581  fzoaddel2  10608  fzosplitsnm1  10627  fzosplitprm1  10653  modfzo0difsn  10832  seq3m1  10910  monoord2  10923  ser3mono  10924  seqf1oglem1  10956  seqf1oglem2  10957  expm1t  11004  expubnd  11033  bcm1k  11198  bcn2  11202  hashfzo  11263  hashfibclem  11282  hashf1  11287  seq3coll  11294  swrdfv2  11435  swrdspsleq  11439  swrdlsw  11441  ccatpfx  11473  shftlem  11581  shftfvalg  11583  shftfval  11586  iserex  12105  serf0  12118  fsumm1  12183  mptfzshft  12209  binomlem  12250  binom1dif  12254  isumsplit  12258  dvdssub2  12602  4sqlem19  13188  perfect1  16112  lgsquad2lem1  16200  clwwlknonex2lem2  16679  clwwlknonex2  16680