Theorem npcan 8351

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by NM, 10-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
npcan	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A - B ) + B ) = A )

Proof of Theorem npcan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subcl 8341	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A - B ) e. CC )
2		simpr 110	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> B e. CC )
3	1, 2	addcomd 8293	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A - B ) + B ) = ( B + ( A - B ) ) )
4		pncan3 8350	. . 3 |- ( ( B e. CC /\ A e. CC ) -> ( B + ( A - B ) ) = A )
5	4	ancoms 268	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( B + ( A - B ) ) = A )
6	3, 5	eqtrd 2262	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A - B ) + B ) = A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200  (class class class)co 6000   CCcc 7993   + caddc 7998   - cmin 8313

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-setind 4628  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-addcom 8095  ax-addass 8097  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-cnre 8106

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-br 4083  df-opab 4145  df-id 4383  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-sub 8315

This theorem is referenced by:  addsubass  8352  npncan  8363  nppcan  8364  nnpcan  8365  subcan2  8367  nnncan  8377  npcand  8457  nn1suc  9125  zlem1lt  9499  zltlem1  9500  peano5uzti  9551  nummac  9618  uzp1  9752  peano2uzr  9776  fz01en  10245  fzsuc2  10271  fseq1m1p1  10287  fzoss2  10366  fzoaddel2  10391  fzosplitsnm1  10410  fzosplitprm1  10435  modfzo0difsn  10612  seq3m1  10690  monoord2  10703  ser3mono  10704  seqf1oglem1  10736  seqf1oglem2  10737  expm1t  10784  expubnd  10813  bcm1k  10977  bcn2  10981  hashfzo  11039  seq3coll  11059  swrdfv2  11190  swrdspsleq  11194  swrdlsw  11196  ccatpfx  11228  shftlem  11322  shftfvalg  11324  shftfval  11327  iserex  11845  serf0  11858  fsumm1  11922  mptfzshft  11948  binomlem  11989  binom1dif  11993  isumsplit  11997  dvdssub2  12341  4sqlem19  12927  perfect1  15666  lgsquad2lem1  15754