Theorem npcan 8525

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by NM, 10-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
npcan	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A - B ) + B ) = A )

Proof of Theorem npcan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subcl 8515	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A - B ) e. CC )
2		simpr 110	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> B e. CC )
3	1, 2	addcomd 8467	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A - B ) + B ) = ( B + ( A - B ) ) )
4		pncan3 8524	. . 3 |- ( ( B e. CC /\ A e. CC ) -> ( B + ( A - B ) ) = A )
5	4	ancoms 268	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( B + ( A - B ) ) = A )
6	3, 5	eqtrd 2271	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A - B ) + B ) = A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209  (class class class)co 6075   CCcc 8167   + caddc 8172   - cmin 8487

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-setind 4679  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-cnre 8280

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-br 4126  df-opab 4188  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-sub 8489

This theorem is referenced by:  addsubass  8526  npncan  8537  nppcan  8538  nnpcan  8539  subcan2  8541  nnncan  8551  npcand  8631  nn1suc  9302  zlem1lt  9680  zltlem1  9681  peano5uzti  9733  nummac  9800  uzp1  9935  peano2uzr  9964  fz01en  10437  fzsuc2  10464  fseq1m1p1  10480  fzoss2  10559  fzoaddel2  10586  fzosplitsnm1  10605  fzosplitprm1  10631  modfzo0difsn  10810  seq3m1  10888  monoord2  10901  ser3mono  10902  seqf1oglem1  10934  seqf1oglem2  10935  expm1t  10982  expubnd  11011  bcm1k  11176  bcn2  11180  hashfzo  11241  hashfibclem  11260  hashf1  11265  seq3coll  11272  swrdfv2  11413  swrdspsleq  11417  swrdlsw  11419  ccatpfx  11451  shftlem  11559  shftfvalg  11561  shftfval  11564  iserex  12083  serf0  12096  fsumm1  12161  mptfzshft  12187  binomlem  12228  binom1dif  12232  isumsplit  12236  dvdssub2  12580  4sqlem19  13166  perfect1  16026  lgsquad2lem1  16114  clwwlknonex2lem2  16593  clwwlknonex2  16594