Theorem npcan 8387

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by NM, 10-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
npcan	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A - B ) + B ) = A )

Proof of Theorem npcan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subcl 8377	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A - B ) e. CC )
2		simpr 110	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> B e. CC )
3	1, 2	addcomd 8329	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A - B ) + B ) = ( B + ( A - B ) ) )
4		pncan3 8386	. . 3 |- ( ( B e. CC /\ A e. CC ) -> ( B + ( A - B ) ) = A )
5	4	ancoms 268	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( B + ( A - B ) ) = A )
6	3, 5	eqtrd 2264	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A - B ) + B ) = A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1397   e. wcel 2202  (class class class)co 6017   CCcc 8029   + caddc 8034   - cmin 8349

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-setind 4635  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-addass 8133  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-cnre 8142

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-sub 8351

This theorem is referenced by:  addsubass  8388  npncan  8399  nppcan  8400  nnpcan  8401  subcan2  8403  nnncan  8413  npcand  8493  nn1suc  9161  zlem1lt  9535  zltlem1  9536  peano5uzti  9587  nummac  9654  uzp1  9789  peano2uzr  9818  fz01en  10287  fzsuc2  10313  fseq1m1p1  10329  fzoss2  10408  fzoaddel2  10434  fzosplitsnm1  10453  fzosplitprm1  10479  modfzo0difsn  10656  seq3m1  10734  monoord2  10747  ser3mono  10748  seqf1oglem1  10780  seqf1oglem2  10781  expm1t  10828  expubnd  10857  bcm1k  11021  bcn2  11025  hashfzo  11085  seq3coll  11105  swrdfv2  11243  swrdspsleq  11247  swrdlsw  11249  ccatpfx  11281  shftlem  11376  shftfvalg  11378  shftfval  11381  iserex  11899  serf0  11912  fsumm1  11976  mptfzshft  12002  binomlem  12043  binom1dif  12047  isumsplit  12051  dvdssub2  12395  4sqlem19  12981  perfect1  15721  lgsquad2lem1  15809  clwwlknonex2lem2  16288  clwwlknonex2  16289