Theorem npcan 8542

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by NM, 10-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
npcan	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A - B ) + B ) = A )

Proof of Theorem npcan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subcl 8532	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A - B ) e. CC )
2		simpr 110	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> B e. CC )
3	1, 2	addcomd 8484	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A - B ) + B ) = ( B + ( A - B ) ) )
4		pncan3 8541	. . 3 |- ( ( B e. CC /\ A e. CC ) -> ( B + ( A - B ) ) = A )
5	4	ancoms 268	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( B + ( A - B ) ) = A )
6	3, 5	eqtrd 2271	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A - B ) + B ) = A )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209  (class class class)co 6088   CCcc 8183   + caddc 8188   - cmin 8504

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-setind 4686  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-cnre 8296

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-opab 4194  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-sub 8506

This theorem is used by:  addsubass  8543  npncan  8554  nppcan  8555  nnpcan  8556  subcan2  8558  nnncan  8568  npcand  8648  nn1suc  9332  zlem1lt  9712  zltlem1  9713  peano5uzti  9765  nummac  9837  uzp1  9972  peano2uzr  10001  fz01en  10476  fzsuc2  10503  fseq1m1p1  10519  fzoss2  10598  fzoaddel2  10625  fzosplitsnm1  10644  fzosplitprm1  10670  modfzo0difsn  10853  seq3m1  10931  monoord2  10944  ser3mono  10945  seqf1oglem1  10977  seqf1oglem2  10978  expm1t  11025  expubnd  11054  bcm1k  11220  bcn2  11224  hashfzo  11285  hashfibclem  11304  hashf1  11309  seq3coll  11316  swrdfv2  11457  swrdspsleq  11461  swrdlsw  11463  ccatpfx  11495  shftlem  11603  shftfvalg  11605  shftfval  11608  iserex  12130  serf0  12143  fsumm1  12208  mptfzshft  12234  binomlem  12275  binom1dif  12279  isumsplit  12283  dvdssub2  12627  4sqlem19  13217  1259lem4  13274  1259prm  13276  ppiqub  16293  perfect1  16298  lgsquad2lem1  16405  clwwlknonex2lem2  16884  clwwlknonex2  16885