Theorem npcan 8537

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by NM, 10-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
npcan	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A - B ) + B ) = A )

Proof of Theorem npcan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subcl 8527	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A - B ) e. CC )
2		simpr 110	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> B e. CC )
3	1, 2	addcomd 8479	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A - B ) + B ) = ( B + ( A - B ) ) )
4		pncan3 8536	. . 3 |- ( ( B e. CC /\ A e. CC ) -> ( B + ( A - B ) ) = A )
5	4	ancoms 268	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( B + ( A - B ) ) = A )
6	3, 5	eqtrd 2271	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A - B ) + B ) = A )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209  (class class class)co 6085   CCcc 8178   + caddc 8183   - cmin 8499

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-setind 4684  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-addcom 8280  ax-addass 8282  ax-distr 8284  ax-i2m1 8285  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-cnre 8291

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-sub 8501

This theorem is used by:  addsubass  8538  npncan  8549  nppcan  8550  nnpcan  8551  subcan2  8553  nnncan  8563  npcand  8643  nn1suc  9326  zlem1lt  9706  zltlem1  9707  peano5uzti  9759  nummac  9831  uzp1  9966  peano2uzr  9995  fz01en  10470  fzsuc2  10497  fseq1m1p1  10513  fzoss2  10592  fzoaddel2  10619  fzosplitsnm1  10638  fzosplitprm1  10664  modfzo0difsn  10847  seq3m1  10925  monoord2  10938  ser3mono  10939  seqf1oglem1  10971  seqf1oglem2  10972  expm1t  11019  expubnd  11048  bcm1k  11214  bcn2  11218  hashfzo  11279  hashfibclem  11298  hashf1  11303  seq3coll  11310  swrdfv2  11451  swrdspsleq  11455  swrdlsw  11457  ccatpfx  11489  shftlem  11597  shftfvalg  11599  shftfval  11602  iserex  12124  serf0  12137  fsumm1  12202  mptfzshft  12228  binomlem  12269  binom1dif  12273  isumsplit  12277  dvdssub2  12621  4sqlem19  13211  1259lem4  13268  1259prm  13270  ppiqub  16254  perfect1  16259  lgsquad2lem1  16366  clwwlknonex2lem2  16845  clwwlknonex2  16846