Theorem npcan 7995

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by NM, 10-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
npcan	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A - B ) + B ) = A )

Proof of Theorem npcan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subcl 7985	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A - B ) e. CC )
2		simpr 109	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> B e. CC )
3	1, 2	addcomd 7937	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A - B ) + B ) = ( B + ( A - B ) ) )
4		pncan3 7994	. . 3 |- ( ( B e. CC /\ A e. CC ) -> ( B + ( A - B ) ) = A )
5	4	ancoms 266	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( B + ( A - B ) ) = A )
6	3, 5	eqtrd 2173	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A - B ) + B ) = A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1332   e. wcel 1481  (class class class)co 5782   CCcc 7642   + caddc 7647   - cmin 7957

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-setind 4460  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-addcom 7744  ax-addass 7746  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-cnre 7755

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-br 3938  df-opab 3998  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-sub 7959

This theorem is referenced by:  addsubass  7996  npncan  8007  nppcan  8008  nnpcan  8009  subcan2  8011  nnncan  8021  npcand  8101  nn1suc  8763  zlem1lt  9134  zltlem1  9135  peano5uzti  9183  nummac  9250  uzp1  9383  peano2uzr  9407  fz01en  9864  fzsuc2  9890  fseq1m1p1  9906  fzoss2  9980  fzoaddel2  10001  fzosplitsnm1  10017  fzosplitprm1  10042  modfzo0difsn  10199  seq3m1  10272  monoord2  10281  ser3mono  10282  expm1t  10352  expubnd  10381  bcm1k  10538  bcn2  10542  hashfzo  10600  seq3coll  10617  shftlem  10620  shftfvalg  10622  shftfval  10625  iserex  11140  serf0  11153  fsumm1  11217  mptfzshft  11243  binomlem  11284  binom1dif  11288  isumsplit  11292  dvdssub2  11571