Theorem npcan 8482

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by NM, 10-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
npcan	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A - B ) + B ) = A )

Proof of Theorem npcan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subcl 8472	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A - B ) e. CC )
2		simpr 110	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> B e. CC )
3	1, 2	addcomd 8424	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A - B ) + B ) = ( B + ( A - B ) ) )
4		pncan3 8481	. . 3 |- ( ( B e. CC /\ A e. CC ) -> ( B + ( A - B ) ) = A )
5	4	ancoms 268	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( B + ( A - B ) ) = A )
6	3, 5	eqtrd 2265	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A - B ) + B ) = A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2203  (class class class)co 6050   CCcc 8125   + caddc 8130   - cmin 8444

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-setind 4659  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-addass 8229  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-cnre 8238

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-br 4110  df-opab 4172  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-sub 8446

This theorem is referenced by:  addsubass  8483  npncan  8494  nppcan  8495  nnpcan  8496  subcan2  8498  nnncan  8508  npcand  8588  nn1suc  9256  zlem1lt  9634  zltlem1  9635  peano5uzti  9686  nummac  9753  uzp1  9888  peano2uzr  9917  fz01en  10387  fzsuc2  10413  fseq1m1p1  10429  fzoss2  10508  fzoaddel2  10535  fzosplitsnm1  10554  fzosplitprm1  10580  modfzo0difsn  10757  seq3m1  10835  monoord2  10848  ser3mono  10849  seqf1oglem1  10881  seqf1oglem2  10882  expm1t  10929  expubnd  10958  bcm1k  11122  bcn2  11126  hashfzo  11187  hashfibclem  11206  seq3coll  11214  swrdfv2  11355  swrdspsleq  11359  swrdlsw  11361  ccatpfx  11393  shftlem  11501  shftfvalg  11503  shftfval  11506  iserex  12024  serf0  12037  fsumm1  12102  mptfzshft  12128  binomlem  12169  binom1dif  12173  isumsplit  12177  dvdssub2  12521  4sqlem19  13107  perfect1  15866  lgsquad2lem1  15954  clwwlknonex2lem2  16433  clwwlknonex2  16434