Theorem npcan 8536

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by NM, 10-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
npcan	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A - B ) + B ) = A )

Proof of Theorem npcan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subcl 8526	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A - B ) e. CC )
2		simpr 110	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> B e. CC )
3	1, 2	addcomd 8478	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A - B ) + B ) = ( B + ( A - B ) ) )
4		pncan3 8535	. . 3 |- ( ( B e. CC /\ A e. CC ) -> ( B + ( A - B ) ) = A )
5	4	ancoms 268	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( B + ( A - B ) ) = A )
6	3, 5	eqtrd 2271	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A - B ) + B ) = A )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209  (class class class)co 6085   CCcc 8177   + caddc 8182   - cmin 8498

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-setind 4684  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-sub 8500

This theorem is used by:  addsubass  8537  npncan  8548  nppcan  8549  nnpcan  8550  subcan2  8552  nnncan  8562  npcand  8642  nn1suc  9325  zlem1lt  9705  zltlem1  9706  peano5uzti  9758  nummac  9830  uzp1  9965  peano2uzr  9994  fz01en  10469  fzsuc2  10496  fseq1m1p1  10512  fzoss2  10591  fzoaddel2  10618  fzosplitsnm1  10637  fzosplitprm1  10663  modfzo0difsn  10845  seq3m1  10923  monoord2  10936  ser3mono  10937  seqf1oglem1  10969  seqf1oglem2  10970  expm1t  11017  expubnd  11046  bcm1k  11212  bcn2  11216  hashfzo  11277  hashfibclem  11296  hashf1  11301  seq3coll  11308  swrdfv2  11449  swrdspsleq  11453  swrdlsw  11455  ccatpfx  11487  shftlem  11595  shftfvalg  11597  shftfval  11600  iserex  12121  serf0  12134  fsumm1  12199  mptfzshft  12225  binomlem  12266  binom1dif  12270  isumsplit  12274  dvdssub2  12618  4sqlem19  13208  1259lem4  13265  1259prm  13267  ppiqub  16194  perfect1  16196  lgsquad2lem1  16298  clwwlknonex2lem2  16777  clwwlknonex2  16778