Theorem opelstrbas 12793

Description: The base set of a structure with a base set. (Contributed by AV, 10-Nov-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
opelstrbas.s	|- ( ph -> S Struct X )
opelstrbas.v	|- ( ph -> V e. Y )
opelstrbas.b	|- ( ph -> <. ( Base ` ndx ) , V >. e. S )

Assertion

Ref	Expression
opelstrbas	|- ( ph -> V = ( Base ` S ) )

Proof of Theorem opelstrbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		baseslid 12735	. 2 |- ( Base = Slot ( Base ` ndx ) /\ ( Base ` ndx ) e. NN )
2		opelstrbas.s	. 2 |- ( ph -> S Struct X )
3		opelstrbas.v	. 2 |- ( ph -> V e. Y )
4		opelstrbas.b	. 2 |- ( ph -> <. ( Base ` ndx ) , V >. e. S )
5	1, 2, 3, 4	opelstrsl 12792	1 |- ( ph -> V = ( Base ` S ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2167   <.cop 3625   class class class wbr 4033   ` cfv 5258   Struct cstr 12674   ndxcnx 12675   Basecbs 12678

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1re 7973  ax-addrcl 7976

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fv 5266  df-inn 8991  df-struct 12680  df-ndx 12681  df-slot 12682  df-base 12684

This theorem is referenced by:  2strbas1g  12800  rngbaseg  12813  srngbased  12824  lmodbased  12842  ipsbased  12854  topgrpbasd  12874  psrbasg  14227