Theorem opelstrbas 12736

Description: The base set of a structure with a base set. (Contributed by AV, 10-Nov-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
opelstrbas.s	|- ( ph -> S Struct X )
opelstrbas.v	|- ( ph -> V e. Y )
opelstrbas.b	|- ( ph -> <. ( Base ` ndx ) , V >. e. S )

Assertion

Ref	Expression
opelstrbas	|- ( ph -> V = ( Base ` S ) )

Proof of Theorem opelstrbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		baseslid 12678	. 2 |- ( Base = Slot ( Base ` ndx ) /\ ( Base ` ndx ) e. NN )
2		opelstrbas.s	. 2 |- ( ph -> S Struct X )
3		opelstrbas.v	. 2 |- ( ph -> V e. Y )
4		opelstrbas.b	. 2 |- ( ph -> <. ( Base ` ndx ) , V >. e. S )
5	1, 2, 3, 4	opelstrsl 12735	1 |- ( ph -> V = ( Base ` S ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2164   <.cop 3622   class class class wbr 4030   ` cfv 5255   Struct cstr 12617   ndxcnx 12618   Basecbs 12621

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1re 7968  ax-addrcl 7971

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fv 5263  df-inn 8985  df-struct 12623  df-ndx 12624  df-slot 12625  df-base 12627

This theorem is referenced by:  2strbas1g  12743  rngbaseg  12756  srngbased  12767  lmodbased  12785  ipsbased  12797  topgrpbasd  12817  psrbasg  14170