Theorem opelstrbas 13469

Description: The base set of a structure with a base set. (Contributed by AV, 10-Nov-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
opelstrbas.s	|- ( ph -> S Struct X )
opelstrbas.v	|- ( ph -> V e. Y )
opelstrbas.b	|- ( ph -> <. ( Base ` ndx ) , V >. e. S )

Assertion

Ref	Expression
opelstrbas	|- ( ph -> V = ( Base ` S ) )

Proof of Theorem opelstrbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		baseslid 13410	. 2 |- ( Base = Slot ( Base ` ndx ) /\ ( Base ` ndx ) e. NN )
2		opelstrbas.s	. 2 |- ( ph -> S Struct X )
3		opelstrbas.v	. 2 |- ( ph -> V e. Y )
4		opelstrbas.b	. 2 |- ( ph -> <. ( Base ` ndx ) , V >. e. S )
5	1, 2, 3, 4	opelstrsl 13468	1 |- ( ph -> V = ( Base ` S ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   = wceq 1402   e. wcel 2209   <.cop 3712   class class class wbr 4130   ` cfv 5377   Struct cstr 13348   ndxcnx 13349   Basecbs 13352

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1re 8273  ax-addrcl 8276

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-inn 9305  df-struct 13354  df-ndx 13355  df-slot 13356  df-base 13358

This theorem is used by:  2strbas1g  13477  rngbaseg  13490  srngbased  13501  lmodbased  13519  ipsbased  13531  topgrpbasd  13551  psrbasg  15065  basvtxval2dom  16275