Theorem opelstrbas 12818

Description: The base set of a structure with a base set. (Contributed by AV, 10-Nov-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
opelstrbas.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 Struct 𝑋)
opelstrbas.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝑌)
opelstrbas.b	⊢ (𝜑 → ⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩ ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
opelstrbas	⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑆))

Proof of Theorem opelstrbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		baseslid 12760	. 2 ⊢ (Base = Slot (Base‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ∈ ℕ)
2		opelstrbas.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 Struct 𝑋)
3		opelstrbas.v	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝑌)
4		opelstrbas.b	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩ ∈ 𝑆)
5	1, 2, 3, 4	opelstrsl 12817	1 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ⟨cop 3626   class class class wbr 4034  ‘cfv 5259   Struct cstr 12699  ndxcnx 12700  Basecbs 12703

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1re 7990  ax-addrcl 7993

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fv 5267  df-inn 9008  df-struct 12705  df-ndx 12706  df-slot 12707  df-base 12709

This theorem is referenced by:  2strbas1g  12825  rngbaseg  12838  srngbased  12849  lmodbased  12867  ipsbased  12879  topgrpbasd  12899  psrbasg  14303