Theorem opelstrbas 13412

Description: The base set of a structure with a base set. (Contributed by AV, 10-Nov-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
opelstrbas.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 Struct 𝑋)
opelstrbas.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝑌)
opelstrbas.b	⊢ (𝜑 → ⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩ ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
opelstrbas	⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑆))

Proof of Theorem opelstrbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		baseslid 13354	. 2 ⊢ (Base = Slot (Base‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ∈ ℕ)
2		opelstrbas.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 Struct 𝑋)
3		opelstrbas.v	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝑌)
4		opelstrbas.b	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩ ∈ 𝑆)
5	1, 2, 3, 4	opelstrsl 13411	1 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  ⟨cop 3697   class class class wbr 4114  ‘cfv 5357   Struct cstr 13292  ndxcnx 13293  Basecbs 13296

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1re 8237  ax-addrcl 8240

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fv 5365  df-inn 9255  df-struct 13298  df-ndx 13299  df-slot 13300  df-base 13302

This theorem is referenced by:  2strbas1g  13420  rngbaseg  13433  srngbased  13444  lmodbased  13462  ipsbased  13474  topgrpbasd  13494  psrbasg  14955  basvtxval2dom  16155