Theorem opelstrbas 12733

Description: The base set of a structure with a base set. (Contributed by AV, 10-Nov-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
opelstrbas.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 Struct 𝑋)
opelstrbas.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝑌)
opelstrbas.b	⊢ (𝜑 → ⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩ ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
opelstrbas	⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑆))

Proof of Theorem opelstrbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		baseslid 12675	. 2 ⊢ (Base = Slot (Base‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ∈ ℕ)
2		opelstrbas.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 Struct 𝑋)
3		opelstrbas.v	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝑌)
4		opelstrbas.b	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩ ∈ 𝑆)
5	1, 2, 3, 4	opelstrsl 12732	1 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  ⟨cop 3621   class class class wbr 4029  ‘cfv 5254   Struct cstr 12614  ndxcnx 12615  Basecbs 12618

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1re 7966  ax-addrcl 7969

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fv 5262  df-inn 8983  df-struct 12620  df-ndx 12621  df-slot 12622  df-base 12624

This theorem is referenced by:  2strbas1g  12740  rngbaseg  12753  srngbased  12764  lmodbased  12782  ipsbased  12794  topgrpbasd  12814  psrbasg  14159