Theorem rngbaseg 12511

Description: The base set of a constructed ring. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2013.) (Revised by Jim Kingdon, 3-Feb-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
rngfn.r	|- R = { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. ( .r ` ndx ) , .x. >. }

Assertion

Ref	Expression
rngbaseg	|- ( ( B e. V /\ .+ e. W /\ .x. e. X ) -> B = ( Base ` R ) )

Proof of Theorem rngbaseg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rngfn.r	. . 3 |- R = { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. ( .r ` ndx ) , .x. >. }
2	1	rngstrg 12510	. 2 |- ( ( B e. V /\ .+ e. W /\ .x. e. X ) -> R Struct <. 1 , 3 >. )
3		simp1 987	. 2 |- ( ( B e. V /\ .+ e. W /\ .x. e. X ) -> B e. V )
4		basendxnn 12449	. . . 4 |- ( Base ` ndx ) e. NN
5		opexg 4206	. . . 4 |- ( ( ( Base ` ndx ) e. NN /\ B e. V ) -> <. ( Base ` ndx ) , B >. e. _V )
6	4, 3, 5	sylancr 411	. . 3 |- ( ( B e. V /\ .+ e. W /\ .x. e. X ) -> <. ( Base ` ndx ) , B >. e. _V )
7		tpid1g 3688	. . . 4 |- ( <. ( Base ` ndx ) , B >. e. _V -> <. ( Base ` ndx ) , B >. e. { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. ( .r ` ndx ) , .x. >. } )
8	7, 1	eleqtrrdi 2260	. . 3 |- ( <. ( Base ` ndx ) , B >. e. _V -> <. ( Base ` ndx ) , B >. e. R )
9	6, 8	syl 14	. 2 |- ( ( B e. V /\ .+ e. W /\ .x. e. X ) -> <. ( Base ` ndx ) , B >. e. R )
10	2, 3, 9	opelstrbas 12492	1 |- ( ( B e. V /\ .+ e. W /\ .x. e. X ) -> B = ( Base ` R ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 968   = wceq 1343   e. wcel 2136   _Vcvv 2726   {ctp 3578   <.cop 3579   ` cfv 5188   1c1 7754   NNcn 8857   3c3 8909   ndxcnx 12391   Basecbs 12394   +g cplusg 12457   .rcmulr 12458

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-addcom 7853  ax-addass 7855  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-tp 3584  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-inn 8858  df-2 8916  df-3 8917  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-fz 9945  df-struct 12396  df-ndx 12397  df-slot 12398  df-base 12400  df-plusg 12470  df-mulr 12471

This theorem is referenced by: (None)