Theorem rngbaseg 12253

Description: The base set of a constructed ring. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2013.) (Revised by Jim Kingdon, 3-Feb-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
rngfn.r	|- R = { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. ( .r ` ndx ) , .x. >. }

Assertion

Ref	Expression
rngbaseg	|- ( ( B e. V /\ .+ e. W /\ .x. e. X ) -> B = ( Base ` R ) )

Proof of Theorem rngbaseg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rngfn.r	. . 3 |- R = { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. ( .r ` ndx ) , .x. >. }
2	1	rngstrg 12252	. 2 |- ( ( B e. V /\ .+ e. W /\ .x. e. X ) -> R Struct <. 1 , 3 >. )
3		simp1 982	. 2 |- ( ( B e. V /\ .+ e. W /\ .x. e. X ) -> B e. V )
4		basendxnn 12192	. . . 4 |- ( Base ` ndx ) e. NN
5		opexg 4183	. . . 4 |- ( ( ( Base ` ndx ) e. NN /\ B e. V ) -> <. ( Base ` ndx ) , B >. e. _V )
6	4, 3, 5	sylancr 411	. . 3 |- ( ( B e. V /\ .+ e. W /\ .x. e. X ) -> <. ( Base ` ndx ) , B >. e. _V )
7		tpid1g 3667	. . . 4 |- ( <. ( Base ` ndx ) , B >. e. _V -> <. ( Base ` ndx ) , B >. e. { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. ( .r ` ndx ) , .x. >. } )
8	7, 1	eleqtrrdi 2248	. . 3 |- ( <. ( Base ` ndx ) , B >. e. _V -> <. ( Base ` ndx ) , B >. e. R )
9	6, 8	syl 14	. 2 |- ( ( B e. V /\ .+ e. W /\ .x. e. X ) -> <. ( Base ` ndx ) , B >. e. R )
10	2, 3, 9	opelstrbas 12234	1 |- ( ( B e. V /\ .+ e. W /\ .x. e. X ) -> B = ( Base ` R ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 963   = wceq 1332   e. wcel 2125   _Vcvv 2709   {ctp 3558   <.cop 3559   ` cfv 5163   1c1 7712   NNcn 8812   3c3 8864   ndxcnx 12134   Basecbs 12137   +g cplusg 12199   .rcmulr 12200

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1481  ax-10 1482  ax-11 1483  ax-i12 1484  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1503  ax-i9 1507  ax-ial 1511  ax-i5r 1512  ax-13 2127  ax-14 2128  ax-ext 2136  ax-sep 4078  ax-pow 4130  ax-pr 4164  ax-un 4388  ax-setind 4490  ax-cnex 7802  ax-resscn 7803  ax-1cn 7804  ax-1re 7805  ax-icn 7806  ax-addcl 7807  ax-addrcl 7808  ax-mulcl 7809  ax-addcom 7811  ax-addass 7813  ax-distr 7815  ax-i2m1 7816  ax-0lt1 7817  ax-0id 7819  ax-rnegex 7820  ax-cnre 7822  ax-pre-ltirr 7823  ax-pre-ltwlin 7824  ax-pre-lttrn 7825  ax-pre-apti 7826  ax-pre-ltadd 7827

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1740  df-eu 2006  df-mo 2007  df-clab 2141  df-cleq 2147  df-clel 2150  df-nfc 2285  df-ne 2325  df-nel 2420  df-ral 2437  df-rex 2438  df-reu 2439  df-rab 2441  df-v 2711  df-sbc 2934  df-dif 3100  df-un 3102  df-in 3104  df-ss 3111  df-nul 3391  df-pw 3541  df-sn 3562  df-pr 3563  df-tp 3564  df-op 3565  df-uni 3769  df-int 3804  df-br 3962  df-opab 4022  df-mpt 4023  df-id 4248  df-xp 4585  df-rel 4586  df-cnv 4587  df-co 4588  df-dm 4589  df-rn 4590  df-res 4591  df-ima 4592  df-iota 5128  df-fun 5165  df-fn 5166  df-f 5167  df-fv 5171  df-riota 5770  df-ov 5817  df-oprab 5818  df-mpo 5819  df-pnf 7893  df-mnf 7894  df-xr 7895  df-ltxr 7896  df-le 7897  df-sub 8027  df-neg 8028  df-inn 8813  df-2 8871  df-3 8872  df-n0 9070  df-z 9147  df-uz 9419  df-fz 9891  df-struct 12139  df-ndx 12140  df-slot 12141  df-base 12143  df-plusg 12212  df-mulr 12213

This theorem is referenced by: (None)