ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  2strbas1g Unicode version

Theorem 2strbas1g 12100
Description: The base set of a constructed two-slot structure. Version of 2strbasg 12097 not depending on the hard-coded index value of the base set. (Contributed by AV, 22-Sep-2020.) (Revised by Jim Kingdon, 2-Feb-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
2str1.g  |-  G  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. N ,  .+  >. }
2str1.b  |-  ( Base `  ndx )  <  N
2str1.n  |-  N  e.  NN
Assertion
Ref Expression
2strbas1g  |-  ( ( B  e.  V  /\  .+  e.  W )  ->  B  =  ( Base `  G ) )

Proof of Theorem 2strbas1g
StepHypRef Expression
1 2str1.g . . 3  |-  G  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. N ,  .+  >. }
2 2str1.b . . 3  |-  ( Base `  ndx )  <  N
3 2str1.n . . 3  |-  N  e.  NN
41, 2, 32strstr1g 12099 . 2  |-  ( ( B  e.  V  /\  .+  e.  W )  ->  G Struct  <. ( Base `  ndx ) ,  N >. )
5 simpl 108 . 2  |-  ( ( B  e.  V  /\  .+  e.  W )  ->  B  e.  V )
6 basendxnn 12051 . . . . 5  |-  ( Base `  ndx )  e.  NN
7 opexg 4157 . . . . 5  |-  ( ( ( Base `  ndx )  e.  NN  /\  B  e.  V )  ->  <. ( Base `  ndx ) ,  B >.  e.  _V )
86, 5, 7sylancr 411 . . . 4  |-  ( ( B  e.  V  /\  .+  e.  W )  ->  <. ( Base `  ndx ) ,  B >.  e. 
_V )
9 prid1g 3634 . . . 4  |-  ( <.
( Base `  ndx ) ,  B >.  e.  _V  -> 
<. ( Base `  ndx ) ,  B >.  e. 
{ <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. N ,  .+  >. } )
108, 9syl 14 . . 3  |-  ( ( B  e.  V  /\  .+  e.  W )  ->  <. ( Base `  ndx ) ,  B >.  e. 
{ <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. N ,  .+  >. } )
1110, 1eleqtrrdi 2234 . 2  |-  ( ( B  e.  V  /\  .+  e.  W )  ->  <. ( Base `  ndx ) ,  B >.  e.  G )
124, 5, 11opelstrbas 12093 1  |-  ( ( B  e.  V  /\  .+  e.  W )  ->  B  =  ( Base `  G ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1332    e. wcel 1481   _Vcvv 2689   {cpr 3532   <.cop 3534   class class class wbr 3936   ` cfv 5130    < clt 7823   NNcn 8743   ndxcnx 11993   Basecbs 11996
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4053  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459  ax-cnex 7734  ax-resscn 7735  ax-1cn 7736  ax-1re 7737  ax-icn 7738  ax-addcl 7739  ax-addrcl 7740  ax-mulcl 7741  ax-addcom 7743  ax-addass 7745  ax-distr 7747  ax-i2m1 7748  ax-0lt1 7749  ax-0id 7751  ax-rnegex 7752  ax-cnre 7754  ax-pre-ltirr 7755  ax-pre-ltwlin 7756  ax-pre-lttrn 7757  ax-pre-apti 7758  ax-pre-ltadd 7759
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-nul 3368  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-int 3779  df-br 3937  df-opab 3997  df-mpt 3998  df-id 4222  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-rn 4557  df-res 4558  df-ima 4559  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fn 5133  df-f 5134  df-fv 5138  df-riota 5737  df-ov 5784  df-oprab 5785  df-mpo 5786  df-pnf 7825  df-mnf 7826  df-xr 7827  df-ltxr 7828  df-le 7829  df-sub 7958  df-neg 7959  df-inn 8744  df-n0 9001  df-z 9078  df-uz 9350  df-fz 9821  df-struct 11998  df-ndx 11999  df-slot 12000  df-base 12002
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator