Theorem ipsbased 12951

Description: The base set of a constructed inner product space. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 7-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ipspart.a	|- A = ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. ( .r ` ndx ) , .X. >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , .x. >. , <. ( .i ` ndx ) , I >. } )
ipsstrd.b	|- ( ph -> B e. V )
ipsstrd.p	|- ( ph -> .+ e. W )
ipsstrd.r	|- ( ph -> .X. e. X )
ipsstrd.s	|- ( ph -> S e. Y )
ipsstrd.x	|- ( ph -> .x. e. Q )
ipsstrd.i	|- ( ph -> I e. Z )

Assertion

Ref	Expression
ipsbased	|- ( ph -> B = ( Base ` A ) )

Proof of Theorem ipsbased

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ipspart.a	. . 3 |- A = ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. ( .r ` ndx ) , .X. >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , .x. >. , <. ( .i ` ndx ) , I >. } )
2		ipsstrd.b	. . 3 |- ( ph -> B e. V )
3		ipsstrd.p	. . 3 |- ( ph -> .+ e. W )
4		ipsstrd.r	. . 3 |- ( ph -> .X. e. X )
5		ipsstrd.s	. . 3 |- ( ph -> S e. Y )
6		ipsstrd.x	. . 3 |- ( ph -> .x. e. Q )
7		ipsstrd.i	. . 3 |- ( ph -> I e. Z )
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	ipsstrd 12950	. 2 |- ( ph -> A Struct <. 1 , 8 >. )
9		basendxnn 12830	. . . . 5 |- ( Base ` ndx ) e. NN
10		opexg 4271	. . . . 5 |- ( ( ( Base ` ndx ) e. NN /\ B e. V ) -> <. ( Base ` ndx ) , B >. e. _V )
11	9, 2, 10	sylancr 414	. . . 4 |- ( ph -> <. ( Base ` ndx ) , B >. e. _V )
12		tpid1g 3744	. . . 4 |- ( <. ( Base ` ndx ) , B >. e. _V -> <. ( Base ` ndx ) , B >. e. { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. ( .r ` ndx ) , .X. >. } )
13		elun1 3339	. . . 4 |- ( <. ( Base ` ndx ) , B >. e. { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. ( .r ` ndx ) , .X. >. } -> <. ( Base ` ndx ) , B >. e. ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. ( .r ` ndx ) , .X. >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , .x. >. , <. ( .i ` ndx ) , I >. } ) )
14	11, 12, 13	3syl 17	. . 3 |- ( ph -> <. ( Base ` ndx ) , B >. e. ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. ( .r ` ndx ) , .X. >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , .x. >. , <. ( .i ` ndx ) , I >. } ) )
15	14, 1	eleqtrrdi 2298	. 2 |- ( ph -> <. ( Base ` ndx ) , B >. e. A )
16	8, 2, 15	opelstrbas 12889	1 |- ( ph -> B = ( Base ` A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1372   e. wcel 2175   _Vcvv 2771   u. cun 3163   {ctp 3634   <.cop 3635   ` cfv 5270   1c1 7925   NNcn 9035   8c8 9092   ndxcnx 12771   Basecbs 12774   +g cplusg 12851   .rcmulr 12852  Scalarcsca 12854   .scvsca 12855   .icip 12856

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-1cn 8017  ax-1re 8018  ax-icn 8019  ax-addcl 8020  ax-addrcl 8021  ax-mulcl 8022  ax-addcom 8024  ax-addass 8026  ax-distr 8028  ax-i2m1 8029  ax-0lt1 8030  ax-0id 8032  ax-rnegex 8033  ax-cnre 8035  ax-pre-ltirr 8036  ax-pre-ltwlin 8037  ax-pre-lttrn 8038  ax-pre-apti 8039  ax-pre-ltadd 8040

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-tp 3640  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-id 4339  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-ima 4687  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-f 5274  df-fv 5278  df-riota 5898  df-ov 5946  df-oprab 5947  df-mpo 5948  df-pnf 8108  df-mnf 8109  df-xr 8110  df-ltxr 8111  df-le 8112  df-sub 8244  df-neg 8245  df-inn 9036  df-2 9094  df-3 9095  df-4 9096  df-5 9097  df-6 9098  df-7 9099  df-8 9100  df-n0 9295  df-z 9372  df-uz 9648  df-fz 10130  df-struct 12776  df-ndx 12777  df-slot 12778  df-base 12780  df-plusg 12864  df-mulr 12865  df-sca 12867  df-vsca 12868  df-ip 12869

This theorem is referenced by: (None)