ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ipsbased Unicode version

Theorem ipsbased 12133
Description: The base set of a constructed inner product space. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 7-Feb-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
ipspart.a  |-  A  =  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) , 
.+  >. ,  <. ( .r `  ndx ) , 
.X.  >. }  u.  { <. (Scalar `  ndx ) ,  S >. ,  <. ( .s `  ndx ) , 
.x.  >. ,  <. ( .i `  ndx ) ,  I >. } )
ipsstrd.b  |-  ( ph  ->  B  e.  V )
ipsstrd.p  |-  ( ph  ->  .+  e.  W )
ipsstrd.r  |-  ( ph  ->  .X.  e.  X )
ipsstrd.s  |-  ( ph  ->  S  e.  Y )
ipsstrd.x  |-  ( ph  ->  .x.  e.  Q )
ipsstrd.i  |-  ( ph  ->  I  e.  Z )
Assertion
Ref Expression
ipsbased  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  A ) )

Proof of Theorem ipsbased
StepHypRef Expression
1 ipspart.a . . 3  |-  A  =  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) , 
.+  >. ,  <. ( .r `  ndx ) , 
.X.  >. }  u.  { <. (Scalar `  ndx ) ,  S >. ,  <. ( .s `  ndx ) , 
.x.  >. ,  <. ( .i `  ndx ) ,  I >. } )
2 ipsstrd.b . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  V )
3 ipsstrd.p . . 3  |-  ( ph  ->  .+  e.  W )
4 ipsstrd.r . . 3  |-  ( ph  ->  .X.  e.  X )
5 ipsstrd.s . . 3  |-  ( ph  ->  S  e.  Y )
6 ipsstrd.x . . 3  |-  ( ph  ->  .x.  e.  Q )
7 ipsstrd.i . . 3  |-  ( ph  ->  I  e.  Z )
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7ipsstrd 12132 . 2  |-  ( ph  ->  A Struct  <. 1 ,  8
>. )
9 basendxnn 12046 . . . . 5  |-  ( Base `  ndx )  e.  NN
10 opexg 4156 . . . . 5  |-  ( ( ( Base `  ndx )  e.  NN  /\  B  e.  V )  ->  <. ( Base `  ndx ) ,  B >.  e.  _V )
119, 2, 10sylancr 411 . . . 4  |-  ( ph  -> 
<. ( Base `  ndx ) ,  B >.  e. 
_V )
12 tpid1g 3641 . . . 4  |-  ( <.
( Base `  ndx ) ,  B >.  e.  _V  -> 
<. ( Base `  ndx ) ,  B >.  e. 
{ <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  .+  >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  .X.  >. } )
13 elun1 3246 . . . 4  |-  ( <.
( Base `  ndx ) ,  B >.  e.  { <. (
Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) , 
.+  >. ,  <. ( .r `  ndx ) , 
.X.  >. }  ->  <. ( Base `  ndx ) ,  B >.  e.  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  .+  >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  .X.  >. }  u.  { <. (Scalar `  ndx ) ,  S >. ,  <. ( .s `  ndx ) , 
.x.  >. ,  <. ( .i `  ndx ) ,  I >. } ) )
1411, 12, 133syl 17 . . 3  |-  ( ph  -> 
<. ( Base `  ndx ) ,  B >.  e.  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) , 
.+  >. ,  <. ( .r `  ndx ) , 
.X.  >. }  u.  { <. (Scalar `  ndx ) ,  S >. ,  <. ( .s `  ndx ) , 
.x.  >. ,  <. ( .i `  ndx ) ,  I >. } ) )
1514, 1eleqtrrdi 2234 . 2  |-  ( ph  -> 
<. ( Base `  ndx ) ,  B >.  e.  A )
168, 2, 15opelstrbas 12088 1  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1332    e. wcel 1481   _Vcvv 2689    u. cun 3072   {ctp 3532   <.cop 3533   ` cfv 5129   1c1 7643   NNcn 8742   8c8 8799   ndxcnx 11988   Basecbs 11991   +g cplusg 12053   .rcmulr 12054  Scalarcsca 12056   .scvsca 12057   .icip 12058
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4052  ax-pow 4104  ax-pr 4137  ax-un 4361  ax-setind 4458  ax-cnex 7733  ax-resscn 7734  ax-1cn 7735  ax-1re 7736  ax-icn 7737  ax-addcl 7738  ax-addrcl 7739  ax-mulcl 7740  ax-addcom 7742  ax-addass 7744  ax-distr 7746  ax-i2m1 7747  ax-0lt1 7748  ax-0id 7750  ax-rnegex 7751  ax-cnre 7753  ax-pre-ltirr 7754  ax-pre-ltwlin 7755  ax-pre-lttrn 7756  ax-pre-apti 7757  ax-pre-ltadd 7758
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-dif 3076  df-un 3078  df-in 3080  df-ss 3087  df-nul 3367  df-pw 3515  df-sn 3536  df-pr 3537  df-tp 3538  df-op 3539  df-uni 3743  df-int 3778  df-br 3936  df-opab 3996  df-mpt 3997  df-id 4221  df-xp 4551  df-rel 4552  df-cnv 4553  df-co 4554  df-dm 4555  df-rn 4556  df-res 4557  df-ima 4558  df-iota 5094  df-fun 5131  df-fn 5132  df-f 5133  df-fv 5137  df-riota 5736  df-ov 5783  df-oprab 5784  df-mpo 5785  df-pnf 7824  df-mnf 7825  df-xr 7826  df-ltxr 7827  df-le 7828  df-sub 7957  df-neg 7958  df-inn 8743  df-2 8801  df-3 8802  df-4 8803  df-5 8804  df-6 8805  df-7 8806  df-8 8807  df-n0 9000  df-z 9077  df-uz 9349  df-fz 9820  df-struct 11993  df-ndx 11994  df-slot 11995  df-base 11997  df-plusg 12066  df-mulr 12067  df-sca 12069  df-vsca 12070  df-ip 12071
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator