ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lmodbased Unicode version

Theorem lmodbased 11929
Description: The base set of a constructed left vector space. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2013.) (Revised by Jim Kingdon, 6-Feb-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
lvecfn.w  |-  W  =  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) , 
.+  >. ,  <. (Scalar ` 
ndx ) ,  F >. }  u.  { <. ( .s `  ndx ) ,  .x.  >. } )
lmodstr.b  |-  ( ph  ->  B  e.  V )
lmodstr.g  |-  ( ph  ->  .+  e.  X )
lmodstr.s  |-  ( ph  ->  F  e.  Y )
lmodstr.m  |-  ( ph  ->  .x.  e.  Z )
Assertion
Ref Expression
lmodbased  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  W ) )

Proof of Theorem lmodbased
StepHypRef Expression
1 lvecfn.w . . 3  |-  W  =  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) , 
.+  >. ,  <. (Scalar ` 
ndx ) ,  F >. }  u.  { <. ( .s `  ndx ) ,  .x.  >. } )
2 lmodstr.b . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  V )
3 lmodstr.g . . 3  |-  ( ph  ->  .+  e.  X )
4 lmodstr.s . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  Y )
5 lmodstr.m . . 3  |-  ( ph  ->  .x.  e.  Z )
61, 2, 3, 4, 5lmodstrd 11928 . 2  |-  ( ph  ->  W Struct  <. 1 ,  6
>. )
7 basendxnn 11850 . . . . 5  |-  ( Base `  ndx )  e.  NN
8 opexg 4108 . . . . 5  |-  ( ( ( Base `  ndx )  e.  NN  /\  B  e.  V )  ->  <. ( Base `  ndx ) ,  B >.  e.  _V )
97, 2, 8sylancr 408 . . . 4  |-  ( ph  -> 
<. ( Base `  ndx ) ,  B >.  e. 
_V )
10 tpid1g 3599 . . . 4  |-  ( <.
( Base `  ndx ) ,  B >.  e.  _V  -> 
<. ( Base `  ndx ) ,  B >.  e. 
{ <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  .+  >. ,  <. (Scalar `  ndx ) ,  F >. } )
11 elun1 3207 . . . 4  |-  ( <.
( Base `  ndx ) ,  B >.  e.  { <. (
Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) , 
.+  >. ,  <. (Scalar ` 
ndx ) ,  F >. }  ->  <. ( Base `  ndx ) ,  B >.  e.  ( { <. (
Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) , 
.+  >. ,  <. (Scalar ` 
ndx ) ,  F >. }  u.  { <. ( .s `  ndx ) ,  .x.  >. } ) )
129, 10, 113syl 17 . . 3  |-  ( ph  -> 
<. ( Base `  ndx ) ,  B >.  e.  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) , 
.+  >. ,  <. (Scalar ` 
ndx ) ,  F >. }  u.  { <. ( .s `  ndx ) ,  .x.  >. } ) )
1312, 1syl6eleqr 2206 . 2  |-  ( ph  -> 
<. ( Base `  ndx ) ,  B >.  e.  W )
146, 2, 13opelstrbas 11892 1  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  W ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1312    e. wcel 1461   _Vcvv 2655    u. cun 3033   {csn 3491   {ctp 3493   <.cop 3494   ` cfv 5079   1c1 7541   NNcn 8623   6c6 8678   ndxcnx 11792   Basecbs 11795   +g cplusg 11857  Scalarcsca 11860   .scvsca 11861
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1404  ax-7 1405  ax-gen 1406  ax-ie1 1450  ax-ie2 1451  ax-8 1463  ax-10 1464  ax-11 1465  ax-i12 1466  ax-bndl 1467  ax-4 1468  ax-13 1472  ax-14 1473  ax-17 1487  ax-i9 1491  ax-ial 1495  ax-i5r 1496  ax-ext 2095  ax-sep 4004  ax-pow 4056  ax-pr 4089  ax-un 4313  ax-setind 4410  ax-cnex 7629  ax-resscn 7630  ax-1cn 7631  ax-1re 7632  ax-icn 7633  ax-addcl 7634  ax-addrcl 7635  ax-mulcl 7636  ax-addcom 7638  ax-addass 7640  ax-distr 7642  ax-i2m1 7643  ax-0lt1 7644  ax-0id 7646  ax-rnegex 7647  ax-cnre 7649  ax-pre-ltirr 7650  ax-pre-ltwlin 7651  ax-pre-lttrn 7652  ax-pre-apti 7653  ax-pre-ltadd 7654
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 944  df-3an 945  df-tru 1315  df-fal 1318  df-nf 1418  df-sb 1717  df-eu 1976  df-mo 1977  df-clab 2100  df-cleq 2106  df-clel 2109  df-nfc 2242  df-ne 2281  df-nel 2376  df-ral 2393  df-rex 2394  df-reu 2395  df-rab 2397  df-v 2657  df-sbc 2877  df-dif 3037  df-un 3039  df-in 3041  df-ss 3048  df-nul 3328  df-pw 3476  df-sn 3497  df-pr 3498  df-tp 3499  df-op 3500  df-uni 3701  df-int 3736  df-br 3894  df-opab 3948  df-mpt 3949  df-id 4173  df-xp 4503  df-rel 4504  df-cnv 4505  df-co 4506  df-dm 4507  df-rn 4508  df-res 4509  df-ima 4510  df-iota 5044  df-fun 5081  df-fn 5082  df-f 5083  df-fv 5087  df-riota 5682  df-ov 5729  df-oprab 5730  df-mpo 5731  df-pnf 7719  df-mnf 7720  df-xr 7721  df-ltxr 7722  df-le 7723  df-sub 7851  df-neg 7852  df-inn 8624  df-2 8682  df-3 8683  df-4 8684  df-5 8685  df-6 8686  df-n0 8875  df-z 8952  df-uz 9222  df-fz 9677  df-struct 11797  df-ndx 11798  df-slot 11799  df-base 11801  df-plusg 11870  df-sca 11873  df-vsca 11874
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator