Theorem lmodbased 11929

Description: The base set of a constructed left vector space. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2013.) (Revised by Jim Kingdon, 6-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
lvecfn.w	|- W = ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. (Scalar ` ndx ) , F >. } u. { <. ( .s ` ndx ) , .x. >. } )
lmodstr.b	|- ( ph -> B e. V )
lmodstr.g	|- ( ph -> .+ e. X )
lmodstr.s	|- ( ph -> F e. Y )
lmodstr.m	|- ( ph -> .x. e. Z )

Assertion

Ref	Expression
lmodbased	|- ( ph -> B = ( Base ` W ) )

Proof of Theorem lmodbased

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lvecfn.w	. . 3 |- W = ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. (Scalar ` ndx ) , F >. } u. { <. ( .s ` ndx ) , .x. >. } )
2		lmodstr.b	. . 3 |- ( ph -> B e. V )
3		lmodstr.g	. . 3 |- ( ph -> .+ e. X )
4		lmodstr.s	. . 3 |- ( ph -> F e. Y )
5		lmodstr.m	. . 3 |- ( ph -> .x. e. Z )
6	1, 2, 3, 4, 5	lmodstrd 11928	. 2 |- ( ph -> W Struct <. 1 , 6 >. )
7		basendxnn 11850	. . . . 5 |- ( Base ` ndx ) e. NN
8		opexg 4108	. . . . 5 |- ( ( ( Base ` ndx ) e. NN /\ B e. V ) -> <. ( Base ` ndx ) , B >. e. _V )
9	7, 2, 8	sylancr 408	. . . 4 |- ( ph -> <. ( Base ` ndx ) , B >. e. _V )
10		tpid1g 3599	. . . 4 |- ( <. ( Base ` ndx ) , B >. e. _V -> <. ( Base ` ndx ) , B >. e. { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. (Scalar ` ndx ) , F >. } )
11		elun1 3207	. . . 4 |- ( <. ( Base ` ndx ) , B >. e. { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. (Scalar ` ndx ) , F >. } -> <. ( Base ` ndx ) , B >. e. ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. (Scalar ` ndx ) , F >. } u. { <. ( .s ` ndx ) , .x. >. } ) )
12	9, 10, 11	3syl 17	. . 3 |- ( ph -> <. ( Base ` ndx ) , B >. e. ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. (Scalar ` ndx ) , F >. } u. { <. ( .s ` ndx ) , .x. >. } ) )
13	12, 1	syl6eleqr 2206	. 2 |- ( ph -> <. ( Base ` ndx ) , B >. e. W )
14	6, 2, 13	opelstrbas 11892	1 |- ( ph -> B = ( Base ` W ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1312   e. wcel 1461   _Vcvv 2655   u. cun 3033   {csn 3491   {ctp 3493   <.cop 3494   ` cfv 5079   1c1 7541   NNcn 8623   6c6 8678   ndxcnx 11792   Basecbs 11795   +g cplusg 11857  Scalarcsca 11860   .scvsca 11861

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1404  ax-7 1405  ax-gen 1406  ax-ie1 1450  ax-ie2 1451  ax-8 1463  ax-10 1464  ax-11 1465  ax-i12 1466  ax-bndl 1467  ax-4 1468  ax-13 1472  ax-14 1473  ax-17 1487  ax-i9 1491  ax-ial 1495  ax-i5r 1496  ax-ext 2095  ax-sep 4004  ax-pow 4056  ax-pr 4089  ax-un 4313  ax-setind 4410  ax-cnex 7629  ax-resscn 7630  ax-1cn 7631  ax-1re 7632  ax-icn 7633  ax-addcl 7634  ax-addrcl 7635  ax-mulcl 7636  ax-addcom 7638  ax-addass 7640  ax-distr 7642  ax-i2m1 7643  ax-0lt1 7644  ax-0id 7646  ax-rnegex 7647  ax-cnre 7649  ax-pre-ltirr 7650  ax-pre-ltwlin 7651  ax-pre-lttrn 7652  ax-pre-apti 7653  ax-pre-ltadd 7654

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 944  df-3an 945  df-tru 1315  df-fal 1318  df-nf 1418  df-sb 1717  df-eu 1976  df-mo 1977  df-clab 2100  df-cleq 2106  df-clel 2109  df-nfc 2242  df-ne 2281  df-nel 2376  df-ral 2393  df-rex 2394  df-reu 2395  df-rab 2397  df-v 2657  df-sbc 2877  df-dif 3037  df-un 3039  df-in 3041  df-ss 3048  df-nul 3328  df-pw 3476  df-sn 3497  df-pr 3498  df-tp 3499  df-op 3500  df-uni 3701  df-int 3736  df-br 3894  df-opab 3948  df-mpt 3949  df-id 4173  df-xp 4503  df-rel 4504  df-cnv 4505  df-co 4506  df-dm 4507  df-rn 4508  df-res 4509  df-ima 4510  df-iota 5044  df-fun 5081  df-fn 5082  df-f 5083  df-fv 5087  df-riota 5682  df-ov 5729  df-oprab 5730  df-mpo 5731  df-pnf 7719  df-mnf 7720  df-xr 7721  df-ltxr 7722  df-le 7723  df-sub 7851  df-neg 7852  df-inn 8624  df-2 8682  df-3 8683  df-4 8684  df-5 8685  df-6 8686  df-n0 8875  df-z 8952  df-uz 9222  df-fz 9677  df-struct 11797  df-ndx 11798  df-slot 11799  df-base 11801  df-plusg 11870  df-sca 11873  df-vsca 11874

This theorem is referenced by: (None)