ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lmodbased Unicode version

Theorem lmodbased 12324
Description: The base set of a constructed left vector space. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2013.) (Revised by Jim Kingdon, 6-Feb-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
lvecfn.w  |-  W  =  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) , 
.+  >. ,  <. (Scalar ` 
ndx ) ,  F >. }  u.  { <. ( .s `  ndx ) ,  .x.  >. } )
lmodstr.b  |-  ( ph  ->  B  e.  V )
lmodstr.g  |-  ( ph  ->  .+  e.  X )
lmodstr.s  |-  ( ph  ->  F  e.  Y )
lmodstr.m  |-  ( ph  ->  .x.  e.  Z )
Assertion
Ref Expression
lmodbased  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  W ) )

Proof of Theorem lmodbased
StepHypRef Expression
1 lvecfn.w . . 3  |-  W  =  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) , 
.+  >. ,  <. (Scalar ` 
ndx ) ,  F >. }  u.  { <. ( .s `  ndx ) ,  .x.  >. } )
2 lmodstr.b . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  V )
3 lmodstr.g . . 3  |-  ( ph  ->  .+  e.  X )
4 lmodstr.s . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  Y )
5 lmodstr.m . . 3  |-  ( ph  ->  .x.  e.  Z )
61, 2, 3, 4, 5lmodstrd 12323 . 2  |-  ( ph  ->  W Struct  <. 1 ,  6
>. )
7 basendxnn 12245 . . . . 5  |-  ( Base `  ndx )  e.  NN
8 opexg 4188 . . . . 5  |-  ( ( ( Base `  ndx )  e.  NN  /\  B  e.  V )  ->  <. ( Base `  ndx ) ,  B >.  e.  _V )
97, 2, 8sylancr 411 . . . 4  |-  ( ph  -> 
<. ( Base `  ndx ) ,  B >.  e. 
_V )
10 tpid1g 3671 . . . 4  |-  ( <.
( Base `  ndx ) ,  B >.  e.  _V  -> 
<. ( Base `  ndx ) ,  B >.  e. 
{ <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  .+  >. ,  <. (Scalar `  ndx ) ,  F >. } )
11 elun1 3274 . . . 4  |-  ( <.
( Base `  ndx ) ,  B >.  e.  { <. (
Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) , 
.+  >. ,  <. (Scalar ` 
ndx ) ,  F >. }  ->  <. ( Base `  ndx ) ,  B >.  e.  ( { <. (
Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) , 
.+  >. ,  <. (Scalar ` 
ndx ) ,  F >. }  u.  { <. ( .s `  ndx ) ,  .x.  >. } ) )
129, 10, 113syl 17 . . 3  |-  ( ph  -> 
<. ( Base `  ndx ) ,  B >.  e.  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) , 
.+  >. ,  <. (Scalar ` 
ndx ) ,  F >. }  u.  { <. ( .s `  ndx ) ,  .x.  >. } ) )
1312, 1eleqtrrdi 2251 . 2  |-  ( ph  -> 
<. ( Base `  ndx ) ,  B >.  e.  W )
146, 2, 13opelstrbas 12287 1  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  W ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1335    e. wcel 2128   _Vcvv 2712    u. cun 3100   {csn 3560   {ctp 3562   <.cop 3563   ` cfv 5170   1c1 7733   NNcn 8833   6c6 8888   ndxcnx 12187   Basecbs 12190   +g cplusg 12252  Scalarcsca 12255   .scvsca 12256
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4496  ax-cnex 7823  ax-resscn 7824  ax-1cn 7825  ax-1re 7826  ax-icn 7827  ax-addcl 7828  ax-addrcl 7829  ax-mulcl 7830  ax-addcom 7832  ax-addass 7834  ax-distr 7836  ax-i2m1 7837  ax-0lt1 7838  ax-0id 7840  ax-rnegex 7841  ax-cnre 7843  ax-pre-ltirr 7844  ax-pre-ltwlin 7845  ax-pre-lttrn 7846  ax-pre-apti 7847  ax-pre-ltadd 7848
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-tp 3568  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-id 4253  df-xp 4592  df-rel 4593  df-cnv 4594  df-co 4595  df-dm 4596  df-rn 4597  df-res 4598  df-ima 4599  df-iota 5135  df-fun 5172  df-fn 5173  df-f 5174  df-fv 5178  df-riota 5780  df-ov 5827  df-oprab 5828  df-mpo 5829  df-pnf 7914  df-mnf 7915  df-xr 7916  df-ltxr 7917  df-le 7918  df-sub 8048  df-neg 8049  df-inn 8834  df-2 8892  df-3 8893  df-4 8894  df-5 8895  df-6 8896  df-n0 9091  df-z 9168  df-uz 9440  df-fz 9913  df-struct 12192  df-ndx 12193  df-slot 12194  df-base 12196  df-plusg 12265  df-sca 12268  df-vsca 12269
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator