Theorem topgrpbasd 12674

Description: The base set of a constructed topological group. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 9-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
topgrpfn.w	|- W = { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. (TopSet ` ndx ) , J >. }
topgrpfnd.b	|- ( ph -> B e. V )
topgrpfnd.p	|- ( ph -> .+ e. W )
topgrpfnd.j	|- ( ph -> J e. X )

Assertion

Ref	Expression
topgrpbasd	|- ( ph -> B = ( Base ` W ) )

Proof of Theorem topgrpbasd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		topgrpfn.w	. . 3 |- W = { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. (TopSet ` ndx ) , J >. }
2		topgrpfnd.b	. . 3 |- ( ph -> B e. V )
3		topgrpfnd.p	. . 3 |- ( ph -> .+ e. W )
4		topgrpfnd.j	. . 3 |- ( ph -> J e. X )
5	1, 2, 3, 4	topgrpstrd 12673	. 2 |- ( ph -> W Struct <. 1 , 9 >. )
6		basendxnn 12536	. . . . 5 |- ( Base ` ndx ) e. NN
7		opexg 4243	. . . . 5 |- ( ( ( Base ` ndx ) e. NN /\ B e. V ) -> <. ( Base ` ndx ) , B >. e. _V )
8	6, 2, 7	sylancr 414	. . . 4 |- ( ph -> <. ( Base ` ndx ) , B >. e. _V )
9		tpid1g 3719	. . . 4 |- ( <. ( Base ` ndx ) , B >. e. _V -> <. ( Base ` ndx ) , B >. e. { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. (TopSet ` ndx ) , J >. } )
10	8, 9	syl 14	. . 3 |- ( ph -> <. ( Base ` ndx ) , B >. e. { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. (TopSet ` ndx ) , J >. } )
11	10, 1	eleqtrrdi 2283	. 2 |- ( ph -> <. ( Base ` ndx ) , B >. e. W )
12	5, 2, 11	opelstrbas 12593	1 |- ( ph -> B = ( Base ` W ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2160   _Vcvv 2752   {ctp 3609   <.cop 3610   ` cfv 5231   1c1 7830   NNcn 8937   9c9 8995   ndxcnx 12477   Basecbs 12480   +g cplusg 12555  TopSetcts 12561

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-cnex 7920  ax-resscn 7921  ax-1cn 7922  ax-1re 7923  ax-icn 7924  ax-addcl 7925  ax-addrcl 7926  ax-mulcl 7927  ax-addcom 7929  ax-addass 7931  ax-distr 7933  ax-i2m1 7934  ax-0lt1 7935  ax-0id 7937  ax-rnegex 7938  ax-cnre 7940  ax-pre-ltirr 7941  ax-pre-ltwlin 7942  ax-pre-lttrn 7943  ax-pre-apti 7944  ax-pre-ltadd 7945

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-tp 3615  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4308  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-fv 5239  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-pnf 8012  df-mnf 8013  df-xr 8014  df-ltxr 8015  df-le 8016  df-sub 8148  df-neg 8149  df-inn 8938  df-2 8996  df-3 8997  df-4 8998  df-5 8999  df-6 9000  df-7 9001  df-8 9002  df-9 9003  df-n0 9195  df-z 9272  df-uz 9547  df-fz 10027  df-struct 12482  df-ndx 12483  df-slot 12484  df-base 12486  df-plusg 12568  df-tset 12574

This theorem is referenced by: (None)