Theorem topgrpbasd 11954

Description: The base set of a constructed topological group. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 9-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
topgrpfn.w	|- W = { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. (TopSet ` ndx ) , J >. }
topgrpfnd.b	|- ( ph -> B e. V )
topgrpfnd.p	|- ( ph -> .+ e. W )
topgrpfnd.j	|- ( ph -> J e. X )

Assertion

Ref	Expression
topgrpbasd	|- ( ph -> B = ( Base ` W ) )

Proof of Theorem topgrpbasd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		topgrpfn.w	. . 3 |- W = { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. (TopSet ` ndx ) , J >. }
2		topgrpfnd.b	. . 3 |- ( ph -> B e. V )
3		topgrpfnd.p	. . 3 |- ( ph -> .+ e. W )
4		topgrpfnd.j	. . 3 |- ( ph -> J e. X )
5	1, 2, 3, 4	topgrpstrd 11953	. 2 |- ( ph -> W Struct <. 1 , 9 >. )
6		basendxnn 11857	. . . . 5 |- ( Base ` ndx ) e. NN
7		opexg 4110	. . . . 5 |- ( ( ( Base ` ndx ) e. NN /\ B e. V ) -> <. ( Base ` ndx ) , B >. e. _V )
8	6, 2, 7	sylancr 408	. . . 4 |- ( ph -> <. ( Base ` ndx ) , B >. e. _V )
9		tpid1g 3601	. . . 4 |- ( <. ( Base ` ndx ) , B >. e. _V -> <. ( Base ` ndx ) , B >. e. { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. (TopSet ` ndx ) , J >. } )
10	8, 9	syl 14	. . 3 |- ( ph -> <. ( Base ` ndx ) , B >. e. { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , .+ >. , <. (TopSet ` ndx ) , J >. } )
11	10, 1	syl6eleqr 2208	. 2 |- ( ph -> <. ( Base ` ndx ) , B >. e. W )
12	5, 2, 11	opelstrbas 11899	1 |- ( ph -> B = ( Base ` W ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1314   e. wcel 1463   _Vcvv 2657   {ctp 3495   <.cop 3496   ` cfv 5081   1c1 7548   NNcn 8630   9c9 8688   ndxcnx 11799   Basecbs 11802   +g cplusg 11864  TopSetcts 11870

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4006  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315  ax-setind 4412  ax-cnex 7636  ax-resscn 7637  ax-1cn 7638  ax-1re 7639  ax-icn 7640  ax-addcl 7641  ax-addrcl 7642  ax-mulcl 7643  ax-addcom 7645  ax-addass 7647  ax-distr 7649  ax-i2m1 7650  ax-0lt1 7651  ax-0id 7653  ax-rnegex 7654  ax-cnre 7656  ax-pre-ltirr 7657  ax-pre-ltwlin 7658  ax-pre-lttrn 7659  ax-pre-apti 7660  ax-pre-ltadd 7661

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-nel 2378  df-ral 2395  df-rex 2396  df-reu 2397  df-rab 2399  df-v 2659  df-sbc 2879  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-nul 3330  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-tp 3501  df-op 3502  df-uni 3703  df-int 3738  df-br 3896  df-opab 3950  df-mpt 3951  df-id 4175  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-rn 4510  df-res 4511  df-ima 4512  df-iota 5046  df-fun 5083  df-fn 5084  df-f 5085  df-fv 5089  df-riota 5684  df-ov 5731  df-oprab 5732  df-mpo 5733  df-pnf 7726  df-mnf 7727  df-xr 7728  df-ltxr 7729  df-le 7730  df-sub 7858  df-neg 7859  df-inn 8631  df-2 8689  df-3 8690  df-4 8691  df-5 8692  df-6 8693  df-7 8694  df-8 8695  df-9 8696  df-n0 8882  df-z 8959  df-uz 9229  df-fz 9684  df-struct 11804  df-ndx 11805  df-slot 11806  df-base 11808  df-plusg 11877  df-tset 11883

This theorem is referenced by: (None)