ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  topgrpbasd Unicode version

Theorem topgrpbasd 12557
Description: The base set of a constructed topological group. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 9-Feb-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
topgrpfn.w  |-  W  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  .+  >. ,  <. (TopSet `  ndx ) ,  J >. }
topgrpfnd.b  |-  ( ph  ->  B  e.  V )
topgrpfnd.p  |-  ( ph  ->  .+  e.  W )
topgrpfnd.j  |-  ( ph  ->  J  e.  X )
Assertion
Ref Expression
topgrpbasd  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  W ) )

Proof of Theorem topgrpbasd
StepHypRef Expression
1 topgrpfn.w . . 3  |-  W  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  .+  >. ,  <. (TopSet `  ndx ) ,  J >. }
2 topgrpfnd.b . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  V )
3 topgrpfnd.p . . 3  |-  ( ph  ->  .+  e.  W )
4 topgrpfnd.j . . 3  |-  ( ph  ->  J  e.  X )
51, 2, 3, 4topgrpstrd 12556 . 2  |-  ( ph  ->  W Struct  <. 1 ,  9
>. )
6 basendxnn 12458 . . . . 5  |-  ( Base `  ndx )  e.  NN
7 opexg 4211 . . . . 5  |-  ( ( ( Base `  ndx )  e.  NN  /\  B  e.  V )  ->  <. ( Base `  ndx ) ,  B >.  e.  _V )
86, 2, 7sylancr 412 . . . 4  |-  ( ph  -> 
<. ( Base `  ndx ) ,  B >.  e. 
_V )
9 tpid1g 3693 . . . 4  |-  ( <.
( Base `  ndx ) ,  B >.  e.  _V  -> 
<. ( Base `  ndx ) ,  B >.  e. 
{ <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  .+  >. ,  <. (TopSet `  ndx ) ,  J >. } )
108, 9syl 14 . . 3  |-  ( ph  -> 
<. ( Base `  ndx ) ,  B >.  e. 
{ <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  .+  >. ,  <. (TopSet `  ndx ) ,  J >. } )
1110, 1eleqtrrdi 2264 . 2  |-  ( ph  -> 
<. ( Base `  ndx ) ,  B >.  e.  W )
125, 2, 11opelstrbas 12502 1  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  W ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1348    e. wcel 2141   _Vcvv 2730   {ctp 3583   <.cop 3584   ` cfv 5196   1c1 7762   NNcn 8865   9c9 8923   ndxcnx 12400   Basecbs 12403   +g cplusg 12467  TopSetcts 12473
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-cnex 7852  ax-resscn 7853  ax-1cn 7854  ax-1re 7855  ax-icn 7856  ax-addcl 7857  ax-addrcl 7858  ax-mulcl 7859  ax-addcom 7861  ax-addass 7863  ax-distr 7865  ax-i2m1 7866  ax-0lt1 7867  ax-0id 7869  ax-rnegex 7870  ax-cnre 7872  ax-pre-ltirr 7873  ax-pre-ltwlin 7874  ax-pre-lttrn 7875  ax-pre-apti 7876  ax-pre-ltadd 7877
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-tp 3589  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-id 4276  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-fv 5204  df-riota 5806  df-ov 5853  df-oprab 5854  df-mpo 5855  df-pnf 7943  df-mnf 7944  df-xr 7945  df-ltxr 7946  df-le 7947  df-sub 8079  df-neg 8080  df-inn 8866  df-2 8924  df-3 8925  df-4 8926  df-5 8927  df-6 8928  df-7 8929  df-8 8930  df-9 8931  df-n0 9123  df-z 9200  df-uz 9475  df-fz 9953  df-struct 12405  df-ndx 12406  df-slot 12407  df-base 12409  df-plusg 12480  df-tset 12486
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator