Theorem oprabrexex2 6363

Description: Existence of an existentially restricted operation abstraction. (Contributed by Jeff Madsen, 11-Jun-2010.)

Hypotheses

Ref	Expression
oprabrexex2.1	|- A e. _V
oprabrexex2.2	|- { <. <. x , y >. , z >. | ph } e. _V

Assertion

Ref	Expression
oprabrexex2	|- { <. <. x , y >. , z >. | E. w e. A ph } e. _V

Distinct variable group:   x, A, y, z, w

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z, w)

Proof of Theorem oprabrexex2

Dummy variable v is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-oprab 6089	. . 3 |- { <. <. x , y >. , z >. | E. w e. A ph } = { v | E. x E. y E. z ( v = <. <. x , y >. , z >. /\ E. w e. A ph ) }
2		rexcom4 2845	. . . . 5 |- ( E. w e. A E. x E. y E. z ( v = <. <. x , y >. , z >. /\ ph ) <-> E. x E. w e. A E. y E. z ( v = <. <. x , y >. , z >. /\ ph ) )
3		rexcom4 2845	. . . . . . 7 |- ( E. w e. A E. y E. z ( v = <. <. x , y >. , z >. /\ ph ) <-> E. y E. w e. A E. z ( v = <. <. x , y >. , z >. /\ ph ) )
4		rexcom4 2845	. . . . . . . . 9 |- ( E. w e. A E. z ( v = <. <. x , y >. , z >. /\ ph ) <-> E. z E. w e. A ( v = <. <. x , y >. , z >. /\ ph ) )
5		r19.42v 2708	. . . . . . . . . 10 |- ( E. w e. A ( v = <. <. x , y >. , z >. /\ ph ) <-> ( v = <. <. x , y >. , z >. /\ E. w e. A ph ) )
6	5	exbii 1658	. . . . . . . . 9 |- ( E. z E. w e. A ( v = <. <. x , y >. , z >. /\ ph ) <-> E. z ( v = <. <. x , y >. , z >. /\ E. w e. A ph ) )
7	4, 6	bitri 184	. . . . . . . 8 |- ( E. w e. A E. z ( v = <. <. x , y >. , z >. /\ ph ) <-> E. z ( v = <. <. x , y >. , z >. /\ E. w e. A ph ) )
8	7	exbii 1658	. . . . . . 7 |- ( E. y E. w e. A E. z ( v = <. <. x , y >. , z >. /\ ph ) <-> E. y E. z ( v = <. <. x , y >. , z >. /\ E. w e. A ph ) )
9	3, 8	bitri 184	. . . . . 6 |- ( E. w e. A E. y E. z ( v = <. <. x , y >. , z >. /\ ph ) <-> E. y E. z ( v = <. <. x , y >. , z >. /\ E. w e. A ph ) )
10	9	exbii 1658	. . . . 5 |- ( E. x E. w e. A E. y E. z ( v = <. <. x , y >. , z >. /\ ph ) <-> E. x E. y E. z ( v = <. <. x , y >. , z >. /\ E. w e. A ph ) )
11	2, 10	bitr2i 185	. . . 4 |- ( E. x E. y E. z ( v = <. <. x , y >. , z >. /\ E. w e. A ph ) <-> E. w e. A E. x E. y E. z ( v = <. <. x , y >. , z >. /\ ph ) )
12	11	abbii 2354	. . 3 |- { v | E. x E. y E. z ( v = <. <. x , y >. , z >. /\ E. w e. A ph ) } = { v | E. w e. A E. x E. y E. z ( v = <. <. x , y >. , z >. /\ ph ) }
13	1, 12	eqtri 2259	. 2 |- { <. <. x , y >. , z >. | E. w e. A ph } = { v | E. w e. A E. x E. y E. z ( v = <. <. x , y >. , z >. /\ ph ) }
14		oprabrexex2.1	. . 3 |- A e. _V
15		df-oprab 6089	. . . 4 |- { <. <. x , y >. , z >. | ph } = { v | E. x E. y E. z ( v = <. <. x , y >. , z >. /\ ph ) }
16		oprabrexex2.2	. . . 4 |- { <. <. x , y >. , z >. | ph } e. _V
17	15, 16	eqeltrri 2312	. . 3 |- { v | E. x E. y E. z ( v = <. <. x , y >. , z >. /\ ph ) } e. _V
18	14, 17	abrexex2 6353	. 2 |- { v | E. w e. A E. x E. y E. z ( v = <. <. x , y >. , z >. /\ ph ) } e. _V
19	13, 18	eqeltri 2311	1 |- { <. <. x , y >. , z >. | E. w e. A ph } e. _V

This proof depends on syntax axioms:   /\ wa 104   = wceq 1402   E.wex 1545   e. wcel 2209   {cab 2224   E.wrex 2529   _Vcvv 2821   <.cop 3712   {coprab 6086

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-oprab 6089

This theorem is used by: (None)