Theorem oprabrexex2 6323

Description: Existence of an existentially restricted operation abstraction. (Contributed by Jeff Madsen, 11-Jun-2010.)

Hypotheses

Ref	Expression
oprabrexex2.1	|- A e. _V
oprabrexex2.2	|- { <. <. x , y >. , z >. | ph } e. _V

Assertion

Ref	Expression
oprabrexex2	|- { <. <. x , y >. , z >. | E. w e. A ph } e. _V

Distinct variable group:   x, A, y, z, w

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z, w)

Proof of Theorem oprabrexex2

Dummy variable v is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-oprab 6054	. . 3 |- { <. <. x , y >. , z >. | E. w e. A ph } = { v | E. x E. y E. z ( v = <. <. x , y >. , z >. /\ E. w e. A ph ) }
2		rexcom4 2837	. . . . 5 |- ( E. w e. A E. x E. y E. z ( v = <. <. x , y >. , z >. /\ ph ) <-> E. x E. w e. A E. y E. z ( v = <. <. x , y >. , z >. /\ ph ) )
3		rexcom4 2837	. . . . . . 7 |- ( E. w e. A E. y E. z ( v = <. <. x , y >. , z >. /\ ph ) <-> E. y E. w e. A E. z ( v = <. <. x , y >. , z >. /\ ph ) )
4		rexcom4 2837	. . . . . . . . 9 |- ( E. w e. A E. z ( v = <. <. x , y >. , z >. /\ ph ) <-> E. z E. w e. A ( v = <. <. x , y >. , z >. /\ ph ) )
5		r19.42v 2700	. . . . . . . . . 10 |- ( E. w e. A ( v = <. <. x , y >. , z >. /\ ph ) <-> ( v = <. <. x , y >. , z >. /\ E. w e. A ph ) )
6	5	exbii 1654	. . . . . . . . 9 |- ( E. z E. w e. A ( v = <. <. x , y >. , z >. /\ ph ) <-> E. z ( v = <. <. x , y >. , z >. /\ E. w e. A ph ) )
7	4, 6	bitri 184	. . . . . . . 8 |- ( E. w e. A E. z ( v = <. <. x , y >. , z >. /\ ph ) <-> E. z ( v = <. <. x , y >. , z >. /\ E. w e. A ph ) )
8	7	exbii 1654	. . . . . . 7 |- ( E. y E. w e. A E. z ( v = <. <. x , y >. , z >. /\ ph ) <-> E. y E. z ( v = <. <. x , y >. , z >. /\ E. w e. A ph ) )
9	3, 8	bitri 184	. . . . . 6 |- ( E. w e. A E. y E. z ( v = <. <. x , y >. , z >. /\ ph ) <-> E. y E. z ( v = <. <. x , y >. , z >. /\ E. w e. A ph ) )
10	9	exbii 1654	. . . . 5 |- ( E. x E. w e. A E. y E. z ( v = <. <. x , y >. , z >. /\ ph ) <-> E. x E. y E. z ( v = <. <. x , y >. , z >. /\ E. w e. A ph ) )
11	2, 10	bitr2i 185	. . . 4 |- ( E. x E. y E. z ( v = <. <. x , y >. , z >. /\ E. w e. A ph ) <-> E. w e. A E. x E. y E. z ( v = <. <. x , y >. , z >. /\ ph ) )
12	11	abbii 2348	. . 3 |- { v | E. x E. y E. z ( v = <. <. x , y >. , z >. /\ E. w e. A ph ) } = { v | E. w e. A E. x E. y E. z ( v = <. <. x , y >. , z >. /\ ph ) }
13	1, 12	eqtri 2253	. 2 |- { <. <. x , y >. , z >. | E. w e. A ph } = { v | E. w e. A E. x E. y E. z ( v = <. <. x , y >. , z >. /\ ph ) }
14		oprabrexex2.1	. . 3 |- A e. _V
15		df-oprab 6054	. . . 4 |- { <. <. x , y >. , z >. | ph } = { v | E. x E. y E. z ( v = <. <. x , y >. , z >. /\ ph ) }
16		oprabrexex2.2	. . . 4 |- { <. <. x , y >. , z >. | ph } e. _V
17	15, 16	eqeltrri 2306	. . 3 |- { v | E. x E. y E. z ( v = <. <. x , y >. , z >. /\ ph ) } e. _V
18	14, 17	abrexex2 6317	. 2 |- { v | E. w e. A E. x E. y E. z ( v = <. <. x , y >. , z >. /\ ph ) } e. _V
19	13, 18	eqeltri 2305	1 |- { <. <. x , y >. , z >. | E. w e. A ph } e. _V

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1398   E.wex 1541   e. wcel 2203   {cab 2218   E.wrex 2521   _Vcvv 2813   <.cop 3692   {coprab 6051

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-oprab 6054

This theorem is referenced by: (None)