Theorem oprabrexex2 6238

Description: Existence of an existentially restricted operation abstraction. (Contributed by Jeff Madsen, 11-Jun-2010.)

Hypotheses

Ref	Expression
oprabrexex2.1	|- A e. _V
oprabrexex2.2	|- { <. <. x , y >. , z >. | ph } e. _V

Assertion

Ref	Expression
oprabrexex2	|- { <. <. x , y >. , z >. | E. w e. A ph } e. _V

Distinct variable group:   x, A, y, z, w

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z, w)

Proof of Theorem oprabrexex2

Dummy variable v is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-oprab 5971	. . 3 |- { <. <. x , y >. , z >. | E. w e. A ph } = { v | E. x E. y E. z ( v = <. <. x , y >. , z >. /\ E. w e. A ph ) }
2		rexcom4 2800	. . . . 5 |- ( E. w e. A E. x E. y E. z ( v = <. <. x , y >. , z >. /\ ph ) <-> E. x E. w e. A E. y E. z ( v = <. <. x , y >. , z >. /\ ph ) )
3		rexcom4 2800	. . . . . . 7 |- ( E. w e. A E. y E. z ( v = <. <. x , y >. , z >. /\ ph ) <-> E. y E. w e. A E. z ( v = <. <. x , y >. , z >. /\ ph ) )
4		rexcom4 2800	. . . . . . . . 9 |- ( E. w e. A E. z ( v = <. <. x , y >. , z >. /\ ph ) <-> E. z E. w e. A ( v = <. <. x , y >. , z >. /\ ph ) )
5		r19.42v 2665	. . . . . . . . . 10 |- ( E. w e. A ( v = <. <. x , y >. , z >. /\ ph ) <-> ( v = <. <. x , y >. , z >. /\ E. w e. A ph ) )
6	5	exbii 1629	. . . . . . . . 9 |- ( E. z E. w e. A ( v = <. <. x , y >. , z >. /\ ph ) <-> E. z ( v = <. <. x , y >. , z >. /\ E. w e. A ph ) )
7	4, 6	bitri 184	. . . . . . . 8 |- ( E. w e. A E. z ( v = <. <. x , y >. , z >. /\ ph ) <-> E. z ( v = <. <. x , y >. , z >. /\ E. w e. A ph ) )
8	7	exbii 1629	. . . . . . 7 |- ( E. y E. w e. A E. z ( v = <. <. x , y >. , z >. /\ ph ) <-> E. y E. z ( v = <. <. x , y >. , z >. /\ E. w e. A ph ) )
9	3, 8	bitri 184	. . . . . 6 |- ( E. w e. A E. y E. z ( v = <. <. x , y >. , z >. /\ ph ) <-> E. y E. z ( v = <. <. x , y >. , z >. /\ E. w e. A ph ) )
10	9	exbii 1629	. . . . 5 |- ( E. x E. w e. A E. y E. z ( v = <. <. x , y >. , z >. /\ ph ) <-> E. x E. y E. z ( v = <. <. x , y >. , z >. /\ E. w e. A ph ) )
11	2, 10	bitr2i 185	. . . 4 |- ( E. x E. y E. z ( v = <. <. x , y >. , z >. /\ E. w e. A ph ) <-> E. w e. A E. x E. y E. z ( v = <. <. x , y >. , z >. /\ ph ) )
12	11	abbii 2323	. . 3 |- { v | E. x E. y E. z ( v = <. <. x , y >. , z >. /\ E. w e. A ph ) } = { v | E. w e. A E. x E. y E. z ( v = <. <. x , y >. , z >. /\ ph ) }
13	1, 12	eqtri 2228	. 2 |- { <. <. x , y >. , z >. | E. w e. A ph } = { v | E. w e. A E. x E. y E. z ( v = <. <. x , y >. , z >. /\ ph ) }
14		oprabrexex2.1	. . 3 |- A e. _V
15		df-oprab 5971	. . . 4 |- { <. <. x , y >. , z >. | ph } = { v | E. x E. y E. z ( v = <. <. x , y >. , z >. /\ ph ) }
16		oprabrexex2.2	. . . 4 |- { <. <. x , y >. , z >. | ph } e. _V
17	15, 16	eqeltrri 2281	. . 3 |- { v | E. x E. y E. z ( v = <. <. x , y >. , z >. /\ ph ) } e. _V
18	14, 17	abrexex2 6232	. 2 |- { v | E. w e. A E. x E. y E. z ( v = <. <. x , y >. , z >. /\ ph ) } e. _V
19	13, 18	eqeltri 2280	1 |- { <. <. x , y >. , z >. | E. w e. A ph } e. _V

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1373   E.wex 1516   e. wcel 2178   {cab 2193   E.wrex 2487   _Vcvv 2776   <.cop 3646   {coprab 5968

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-oprab 5971

This theorem is referenced by: (None)