Theorem oprabrexex2 6098

Description: Existence of an existentially restricted operation abstraction. (Contributed by Jeff Madsen, 11-Jun-2010.)

Hypotheses

Ref	Expression
oprabrexex2.1	|- A e. _V
oprabrexex2.2	|- { <. <. x , y >. , z >. | ph } e. _V

Assertion

Ref	Expression
oprabrexex2	|- { <. <. x , y >. , z >. | E. w e. A ph } e. _V

Distinct variable group:   x, A, y, z, w

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z, w)

Proof of Theorem oprabrexex2

Dummy variable v is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-oprab 5846	. . 3 |- { <. <. x , y >. , z >. | E. w e. A ph } = { v | E. x E. y E. z ( v = <. <. x , y >. , z >. /\ E. w e. A ph ) }
2		rexcom4 2749	. . . . 5 |- ( E. w e. A E. x E. y E. z ( v = <. <. x , y >. , z >. /\ ph ) <-> E. x E. w e. A E. y E. z ( v = <. <. x , y >. , z >. /\ ph ) )
3		rexcom4 2749	. . . . . . 7 |- ( E. w e. A E. y E. z ( v = <. <. x , y >. , z >. /\ ph ) <-> E. y E. w e. A E. z ( v = <. <. x , y >. , z >. /\ ph ) )
4		rexcom4 2749	. . . . . . . . 9 |- ( E. w e. A E. z ( v = <. <. x , y >. , z >. /\ ph ) <-> E. z E. w e. A ( v = <. <. x , y >. , z >. /\ ph ) )
5		r19.42v 2623	. . . . . . . . . 10 |- ( E. w e. A ( v = <. <. x , y >. , z >. /\ ph ) <-> ( v = <. <. x , y >. , z >. /\ E. w e. A ph ) )
6	5	exbii 1593	. . . . . . . . 9 |- ( E. z E. w e. A ( v = <. <. x , y >. , z >. /\ ph ) <-> E. z ( v = <. <. x , y >. , z >. /\ E. w e. A ph ) )
7	4, 6	bitri 183	. . . . . . . 8 |- ( E. w e. A E. z ( v = <. <. x , y >. , z >. /\ ph ) <-> E. z ( v = <. <. x , y >. , z >. /\ E. w e. A ph ) )
8	7	exbii 1593	. . . . . . 7 |- ( E. y E. w e. A E. z ( v = <. <. x , y >. , z >. /\ ph ) <-> E. y E. z ( v = <. <. x , y >. , z >. /\ E. w e. A ph ) )
9	3, 8	bitri 183	. . . . . 6 |- ( E. w e. A E. y E. z ( v = <. <. x , y >. , z >. /\ ph ) <-> E. y E. z ( v = <. <. x , y >. , z >. /\ E. w e. A ph ) )
10	9	exbii 1593	. . . . 5 |- ( E. x E. w e. A E. y E. z ( v = <. <. x , y >. , z >. /\ ph ) <-> E. x E. y E. z ( v = <. <. x , y >. , z >. /\ E. w e. A ph ) )
11	2, 10	bitr2i 184	. . . 4 |- ( E. x E. y E. z ( v = <. <. x , y >. , z >. /\ E. w e. A ph ) <-> E. w e. A E. x E. y E. z ( v = <. <. x , y >. , z >. /\ ph ) )
12	11	abbii 2282	. . 3 |- { v | E. x E. y E. z ( v = <. <. x , y >. , z >. /\ E. w e. A ph ) } = { v | E. w e. A E. x E. y E. z ( v = <. <. x , y >. , z >. /\ ph ) }
13	1, 12	eqtri 2186	. 2 |- { <. <. x , y >. , z >. | E. w e. A ph } = { v | E. w e. A E. x E. y E. z ( v = <. <. x , y >. , z >. /\ ph ) }
14		oprabrexex2.1	. . 3 |- A e. _V
15		df-oprab 5846	. . . 4 |- { <. <. x , y >. , z >. | ph } = { v | E. x E. y E. z ( v = <. <. x , y >. , z >. /\ ph ) }
16		oprabrexex2.2	. . . 4 |- { <. <. x , y >. , z >. | ph } e. _V
17	15, 16	eqeltrri 2240	. . 3 |- { v | E. x E. y E. z ( v = <. <. x , y >. , z >. /\ ph ) } e. _V
18	14, 17	abrexex2 6092	. 2 |- { v | E. w e. A E. x E. y E. z ( v = <. <. x , y >. , z >. /\ ph ) } e. _V
19	13, 18	eqeltri 2239	1 |- { <. <. x , y >. , z >. | E. w e. A ph } e. _V

Syntax hints:   /\ wa 103   = wceq 1343   E.wex 1480   e. wcel 2136   {cab 2151   E.wrex 2445   _Vcvv 2726   <.cop 3579   {coprab 5843

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-oprab 5846

This theorem is referenced by: (None)