Theorem oprabrexex2 6109

Description: Existence of an existentially restricted operation abstraction. (Contributed by Jeff Madsen, 11-Jun-2010.)

Hypotheses

Ref	Expression
oprabrexex2.1	|- A e. _V
oprabrexex2.2	|- { <. <. x , y >. , z >. | ph } e. _V

Assertion

Ref	Expression
oprabrexex2	|- { <. <. x , y >. , z >. | E. w e. A ph } e. _V

Distinct variable group:   x, A, y, z, w

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z, w)

Proof of Theorem oprabrexex2

Dummy variable v is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-oprab 5857	. . 3 |- { <. <. x , y >. , z >. | E. w e. A ph } = { v | E. x E. y E. z ( v = <. <. x , y >. , z >. /\ E. w e. A ph ) }
2		rexcom4 2753	. . . . 5 |- ( E. w e. A E. x E. y E. z ( v = <. <. x , y >. , z >. /\ ph ) <-> E. x E. w e. A E. y E. z ( v = <. <. x , y >. , z >. /\ ph ) )
3		rexcom4 2753	. . . . . . 7 |- ( E. w e. A E. y E. z ( v = <. <. x , y >. , z >. /\ ph ) <-> E. y E. w e. A E. z ( v = <. <. x , y >. , z >. /\ ph ) )
4		rexcom4 2753	. . . . . . . . 9 |- ( E. w e. A E. z ( v = <. <. x , y >. , z >. /\ ph ) <-> E. z E. w e. A ( v = <. <. x , y >. , z >. /\ ph ) )
5		r19.42v 2627	. . . . . . . . . 10 |- ( E. w e. A ( v = <. <. x , y >. , z >. /\ ph ) <-> ( v = <. <. x , y >. , z >. /\ E. w e. A ph ) )
6	5	exbii 1598	. . . . . . . . 9 |- ( E. z E. w e. A ( v = <. <. x , y >. , z >. /\ ph ) <-> E. z ( v = <. <. x , y >. , z >. /\ E. w e. A ph ) )
7	4, 6	bitri 183	. . . . . . . 8 |- ( E. w e. A E. z ( v = <. <. x , y >. , z >. /\ ph ) <-> E. z ( v = <. <. x , y >. , z >. /\ E. w e. A ph ) )
8	7	exbii 1598	. . . . . . 7 |- ( E. y E. w e. A E. z ( v = <. <. x , y >. , z >. /\ ph ) <-> E. y E. z ( v = <. <. x , y >. , z >. /\ E. w e. A ph ) )
9	3, 8	bitri 183	. . . . . 6 |- ( E. w e. A E. y E. z ( v = <. <. x , y >. , z >. /\ ph ) <-> E. y E. z ( v = <. <. x , y >. , z >. /\ E. w e. A ph ) )
10	9	exbii 1598	. . . . 5 |- ( E. x E. w e. A E. y E. z ( v = <. <. x , y >. , z >. /\ ph ) <-> E. x E. y E. z ( v = <. <. x , y >. , z >. /\ E. w e. A ph ) )
11	2, 10	bitr2i 184	. . . 4 |- ( E. x E. y E. z ( v = <. <. x , y >. , z >. /\ E. w e. A ph ) <-> E. w e. A E. x E. y E. z ( v = <. <. x , y >. , z >. /\ ph ) )
12	11	abbii 2286	. . 3 |- { v | E. x E. y E. z ( v = <. <. x , y >. , z >. /\ E. w e. A ph ) } = { v | E. w e. A E. x E. y E. z ( v = <. <. x , y >. , z >. /\ ph ) }
13	1, 12	eqtri 2191	. 2 |- { <. <. x , y >. , z >. | E. w e. A ph } = { v | E. w e. A E. x E. y E. z ( v = <. <. x , y >. , z >. /\ ph ) }
14		oprabrexex2.1	. . 3 |- A e. _V
15		df-oprab 5857	. . . 4 |- { <. <. x , y >. , z >. | ph } = { v | E. x E. y E. z ( v = <. <. x , y >. , z >. /\ ph ) }
16		oprabrexex2.2	. . . 4 |- { <. <. x , y >. , z >. | ph } e. _V
17	15, 16	eqeltrri 2244	. . 3 |- { v | E. x E. y E. z ( v = <. <. x , y >. , z >. /\ ph ) } e. _V
18	14, 17	abrexex2 6103	. 2 |- { v | E. w e. A E. x E. y E. z ( v = <. <. x , y >. , z >. /\ ph ) } e. _V
19	13, 18	eqeltri 2243	1 |- { <. <. x , y >. , z >. | E. w e. A ph } e. _V

Syntax hints:   /\ wa 103   = wceq 1348   E.wex 1485   e. wcel 2141   {cab 2156   E.wrex 2449   _Vcvv 2730   <.cop 3586   {coprab 5854

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-oprab 5857

This theorem is referenced by: (None)