ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  oprabrexex2 Unicode version

Theorem oprabrexex2 6080
Description: Existence of an existentially restricted operation abstraction. (Contributed by Jeff Madsen, 11-Jun-2010.)
Hypotheses
Ref Expression
oprabrexex2.1  |-  A  e. 
_V
oprabrexex2.2  |-  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  ph }  e.  _V
Assertion
Ref Expression
oprabrexex2  |-  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  E. w  e.  A  ph }  e.  _V
Distinct variable group:    x, A, y, z, w
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z, w)

Proof of Theorem oprabrexex2
Dummy variable  v is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-oprab 5830 . . 3  |-  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  E. w  e.  A  ph }  =  { v  |  E. x E. y E. z
( v  =  <. <.
x ,  y >. ,  z >.  /\  E. w  e.  A  ph ) }
2 rexcom4 2735 . . . . 5  |-  ( E. w  e.  A  E. x E. y E. z
( v  =  <. <.
x ,  y >. ,  z >.  /\  ph ) 
<->  E. x E. w  e.  A  E. y E. z ( v  = 
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  /\ 
ph ) )
3 rexcom4 2735 . . . . . . 7  |-  ( E. w  e.  A  E. y E. z ( v  =  <. <. x ,  y
>. ,  z >.  /\ 
ph )  <->  E. y E. w  e.  A  E. z ( v  = 
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  /\ 
ph ) )
4 rexcom4 2735 . . . . . . . . 9  |-  ( E. w  e.  A  E. z ( v  = 
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  /\ 
ph )  <->  E. z E. w  e.  A  ( v  =  <. <.
x ,  y >. ,  z >.  /\  ph ) )
5 r19.42v 2614 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. w  e.  A  ( v  =  <. <. x ,  y >. ,  z
>.  /\  ph )  <->  ( v  =  <. <. x ,  y
>. ,  z >.  /\ 
E. w  e.  A  ph ) )
65exbii 1585 . . . . . . . . 9  |-  ( E. z E. w  e.  A  ( v  = 
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  /\ 
ph )  <->  E. z
( v  =  <. <.
x ,  y >. ,  z >.  /\  E. w  e.  A  ph )
)
74, 6bitri 183 . . . . . . . 8  |-  ( E. w  e.  A  E. z ( v  = 
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  /\ 
ph )  <->  E. z
( v  =  <. <.
x ,  y >. ,  z >.  /\  E. w  e.  A  ph )
)
87exbii 1585 . . . . . . 7  |-  ( E. y E. w  e.  A  E. z ( v  =  <. <. x ,  y >. ,  z
>.  /\  ph )  <->  E. y E. z ( v  = 
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  /\ 
E. w  e.  A  ph ) )
93, 8bitri 183 . . . . . 6  |-  ( E. w  e.  A  E. y E. z ( v  =  <. <. x ,  y
>. ,  z >.  /\ 
ph )  <->  E. y E. z ( v  = 
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  /\ 
E. w  e.  A  ph ) )
109exbii 1585 . . . . 5  |-  ( E. x E. w  e.  A  E. y E. z ( v  = 
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  /\ 
ph )  <->  E. x E. y E. z ( v  =  <. <. x ,  y >. ,  z
>.  /\  E. w  e.  A  ph ) )
112, 10bitr2i 184 . . . 4  |-  ( E. x E. y E. z ( v  = 
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  /\ 
E. w  e.  A  ph )  <->  E. w  e.  A  E. x E. y E. z ( v  = 
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  /\ 
ph ) )
1211abbii 2273 . . 3  |-  { v  |  E. x E. y E. z ( v  =  <. <. x ,  y
>. ,  z >.  /\ 
E. w  e.  A  ph ) }  =  {
v  |  E. w  e.  A  E. x E. y E. z ( v  =  <. <. x ,  y >. ,  z
>.  /\  ph ) }
131, 12eqtri 2178 . 2  |-  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  E. w  e.  A  ph }  =  { v  |  E. w  e.  A  E. x E. y E. z
( v  =  <. <.
x ,  y >. ,  z >.  /\  ph ) }
14 oprabrexex2.1 . . 3  |-  A  e. 
_V
15 df-oprab 5830 . . . 4  |-  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  ph }  =  { v  |  E. x E. y E. z ( v  = 
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  /\ 
ph ) }
16 oprabrexex2.2 . . . 4  |-  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  ph }  e.  _V
1715, 16eqeltrri 2231 . . 3  |-  { v  |  E. x E. y E. z ( v  =  <. <. x ,  y
>. ,  z >.  /\ 
ph ) }  e.  _V
1814, 17abrexex2 6074 . 2  |-  { v  |  E. w  e.  A  E. x E. y E. z ( v  =  <. <. x ,  y
>. ,  z >.  /\ 
ph ) }  e.  _V
1913, 18eqeltri 2230 1  |-  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  E. w  e.  A  ph }  e.  _V
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 103    = wceq 1335   E.wex 1472    e. wcel 2128   {cab 2143   E.wrex 2436   _Vcvv 2712   <.cop 3564   {coprab 5827
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4081  ax-sep 4084  ax-pow 4137  ax-pr 4171  ax-un 4395
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3546  df-sn 3567  df-pr 3568  df-op 3570  df-uni 3775  df-iun 3853  df-br 3968  df-opab 4028  df-mpt 4029  df-id 4255  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-iota 5137  df-fun 5174  df-fn 5175  df-f 5176  df-f1 5177  df-fo 5178  df-f1o 5179  df-fv 5180  df-oprab 5830
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator