ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  addvalex Unicode version

Theorem addvalex 7360
Description: Existence of a sum. This is dependent on how we define  + so once we proceed to real number axioms we will replace it with theorems such as addcl 7446. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
addvalex  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( A  +  B
)  e.  _V )

Proof of Theorem addvalex
Dummy variables  u  f  v  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ov 5637 . 2  |-  ( A  +  B )  =  (  +  `  <. A ,  B >. )
2 df-nr 7252 . . . . 5  |-  R.  =  ( ( P.  X.  P. ) /.  ~R  )
3 npex 7011 . . . . . . 7  |-  P.  e.  _V
43, 3xpex 4541 . . . . . 6  |-  ( P. 
X.  P. )  e.  _V
54qsex 6329 . . . . 5  |-  ( ( P.  X.  P. ) /.  ~R  )  e.  _V
62, 5eqeltri 2160 . . . 4  |-  R.  e.  _V
7 df-add 7340 . . . . 5  |-  +  =  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  /\  E. w E. v E. u E. f ( ( x  =  <. w ,  v
>.  /\  y  =  <. u ,  f >. )  /\  z  =  <. ( w  +R  u ) ,  ( v  +R  f ) >. )
) }
8 df-c 7335 . . . . . . . . 9  |-  CC  =  ( R.  X.  R. )
98eleq2i 2154 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  CC  <->  x  e.  ( R.  X.  R. )
)
108eleq2i 2154 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  CC  <->  y  e.  ( R.  X.  R. )
)
119, 10anbi12i 448 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  <->  ( x  e.  ( R. 
X.  R. )  /\  y  e.  ( R.  X.  R. ) ) )
1211anbi1i 446 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  /\  E. w E. v E. u E. f
( ( x  = 
<. w ,  v >.  /\  y  =  <. u ,  f >. )  /\  z  =  <. ( w  +R  u ) ,  ( v  +R  f ) >. )
)  <->  ( ( x  e.  ( R.  X.  R. )  /\  y  e.  ( R.  X.  R. ) )  /\  E. w E. v E. u E. f ( ( x  =  <. w ,  v
>.  /\  y  =  <. u ,  f >. )  /\  z  =  <. ( w  +R  u ) ,  ( v  +R  f ) >. )
) )
1312oprabbii 5686 . . . . 5  |-  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  /\  E. w E. v E. u E. f
( ( x  = 
<. w ,  v >.  /\  y  =  <. u ,  f >. )  /\  z  =  <. ( w  +R  u ) ,  ( v  +R  f ) >. )
) }  =  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e.  ( R.  X.  R. )  /\  y  e.  ( R.  X.  R. )
)  /\  E. w E. v E. u E. f ( ( x  =  <. w ,  v
>.  /\  y  =  <. u ,  f >. )  /\  z  =  <. ( w  +R  u ) ,  ( v  +R  f ) >. )
) }
147, 13eqtri 2108 . . . 4  |-  +  =  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e.  ( R.  X.  R. )  /\  y  e.  ( R.  X.  R. )
)  /\  E. w E. v E. u E. f ( ( x  =  <. w ,  v
>.  /\  y  =  <. u ,  f >. )  /\  z  =  <. ( w  +R  u ) ,  ( v  +R  f ) >. )
) }
156, 14oprabex3 5882 . . 3  |-  +  e.  _V
16 opexg 4046 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  -> 
<. A ,  B >.  e. 
_V )
17 fvexg 5308 . . 3  |-  ( (  +  e.  _V  /\  <. A ,  B >.  e. 
_V )  ->  (  +  `  <. A ,  B >. )  e.  _V )
1815, 16, 17sylancr 405 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  (  +  `  <. A ,  B >. )  e.  _V )
191, 18syl5eqel 2174 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( A  +  B
)  e.  _V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    = wceq 1289   E.wex 1426    e. wcel 1438   _Vcvv 2619   <.cop 3444    X. cxp 4426   ` cfv 5002  (class class class)co 5634   {coprab 5635   /.cqs 6271   P.cnp 6829    ~R cer 6834   R.cnr 6835    +R cplr 6839   CCcc 7327    + caddc 7332
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3946  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-iinf 4393
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-csb 2932  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-iun 3727  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-id 4111  df-iom 4396  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-f1 5007  df-fo 5008  df-f1o 5009  df-fv 5010  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-qs 6278  df-ni 6842  df-nqqs 6886  df-inp 7004  df-nr 7252  df-c 7335  df-add 7340
This theorem is referenced by:  peano2nnnn  7369
  Copyright terms: Public domain W3C validator