ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  addvalex Unicode version

Theorem addvalex 7616
Description: Existence of a sum. This is dependent on how we define  + so once we proceed to real number axioms we will replace it with theorems such as addcl 7709. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
addvalex  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( A  +  B
)  e.  _V )

Proof of Theorem addvalex
Dummy variables  u  f  v  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ov 5743 . 2  |-  ( A  +  B )  =  (  +  `  <. A ,  B >. )
2 df-nr 7499 . . . . 5  |-  R.  =  ( ( P.  X.  P. ) /.  ~R  )
3 npex 7245 . . . . . . 7  |-  P.  e.  _V
43, 3xpex 4622 . . . . . 6  |-  ( P. 
X.  P. )  e.  _V
54qsex 6452 . . . . 5  |-  ( ( P.  X.  P. ) /.  ~R  )  e.  _V
62, 5eqeltri 2188 . . . 4  |-  R.  e.  _V
7 df-add 7595 . . . . 5  |-  +  =  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  /\  E. w E. v E. u E. f ( ( x  =  <. w ,  v
>.  /\  y  =  <. u ,  f >. )  /\  z  =  <. ( w  +R  u ) ,  ( v  +R  f ) >. )
) }
8 df-c 7590 . . . . . . . . 9  |-  CC  =  ( R.  X.  R. )
98eleq2i 2182 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  CC  <->  x  e.  ( R.  X.  R. )
)
108eleq2i 2182 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  CC  <->  y  e.  ( R.  X.  R. )
)
119, 10anbi12i 453 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  <->  ( x  e.  ( R. 
X.  R. )  /\  y  e.  ( R.  X.  R. ) ) )
1211anbi1i 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  /\  E. w E. v E. u E. f
( ( x  = 
<. w ,  v >.  /\  y  =  <. u ,  f >. )  /\  z  =  <. ( w  +R  u ) ,  ( v  +R  f ) >. )
)  <->  ( ( x  e.  ( R.  X.  R. )  /\  y  e.  ( R.  X.  R. ) )  /\  E. w E. v E. u E. f ( ( x  =  <. w ,  v
>.  /\  y  =  <. u ,  f >. )  /\  z  =  <. ( w  +R  u ) ,  ( v  +R  f ) >. )
) )
1312oprabbii 5792 . . . . 5  |-  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  /\  E. w E. v E. u E. f
( ( x  = 
<. w ,  v >.  /\  y  =  <. u ,  f >. )  /\  z  =  <. ( w  +R  u ) ,  ( v  +R  f ) >. )
) }  =  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e.  ( R.  X.  R. )  /\  y  e.  ( R.  X.  R. )
)  /\  E. w E. v E. u E. f ( ( x  =  <. w ,  v
>.  /\  y  =  <. u ,  f >. )  /\  z  =  <. ( w  +R  u ) ,  ( v  +R  f ) >. )
) }
147, 13eqtri 2136 . . . 4  |-  +  =  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e.  ( R.  X.  R. )  /\  y  e.  ( R.  X.  R. )
)  /\  E. w E. v E. u E. f ( ( x  =  <. w ,  v
>.  /\  y  =  <. u ,  f >. )  /\  z  =  <. ( w  +R  u ) ,  ( v  +R  f ) >. )
) }
156, 14oprabex3 5993 . . 3  |-  +  e.  _V
16 opexg 4118 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  -> 
<. A ,  B >.  e. 
_V )
17 fvexg 5406 . . 3  |-  ( (  +  e.  _V  /\  <. A ,  B >.  e. 
_V )  ->  (  +  `  <. A ,  B >. )  e.  _V )
1815, 16, 17sylancr 408 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  (  +  `  <. A ,  B >. )  e.  _V )
191, 18eqeltrid 2202 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( A  +  B
)  e.  _V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1314   E.wex 1451    e. wcel 1463   _Vcvv 2658   <.cop 3498    X. cxp 4505   ` cfv 5091  (class class class)co 5740   {coprab 5741   /.cqs 6394   P.cnp 7063    ~R cer 7068   R.cnr 7069    +R cplr 7073   CCcc 7582    + caddc 7587
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4011  ax-sep 4014  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-iinf 4470
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-id 4183  df-iom 4473  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-qs 6401  df-ni 7076  df-nqqs 7120  df-inp 7238  df-nr 7499  df-c 7590  df-add 7595
This theorem is referenced by:  peano2nnnn  7625
  Copyright terms: Public domain W3C validator