Theorem addvalex 7911

Description: Existence of a sum. This is dependent on how we define + so once we proceed to real number axioms we will replace it with theorems such as addcl 8004. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
addvalex	|- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A + B ) e. _V )

Proof of Theorem addvalex

Dummy variables u f v w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ov 5925	. 2 |- ( A + B ) = ( + ` <. A , B >. )
2		df-nr 7794	. . . . 5 |- R. = ( ( P. X. P. ) /. ~R )
3		npex 7540	. . . . . . 7 |- P. e. _V
4	3, 3	xpex 4778	. . . . . 6 |- ( P. X. P. ) e. _V
5	4	qsex 6651	. . . . 5 |- ( ( P. X. P. ) /. ~R ) e. _V
6	2, 5	eqeltri 2269	. . . 4 |- R. e. _V
7		df-add 7890	. . . . 5 |- + = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. CC /\ y e. CC ) /\ E. w E. v E. u E. f ( ( x = <. w , v >. /\ y = <. u , f >. ) /\ z = <. ( w +R u ) , ( v +R f ) >. ) ) }
8		df-c 7885	. . . . . . . . 9 |- CC = ( R. X. R. )
9	8	eleq2i 2263	. . . . . . . 8 |- ( x e. CC <-> x e. ( R. X. R. ) )
10	8	eleq2i 2263	. . . . . . . 8 |- ( y e. CC <-> y e. ( R. X. R. ) )
11	9, 10	anbi12i 460	. . . . . . 7 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) <-> ( x e. ( R. X. R. ) /\ y e. ( R. X. R. ) ) )
12	11	anbi1i 458	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. CC /\ y e. CC ) /\ E. w E. v E. u E. f ( ( x = <. w , v >. /\ y = <. u , f >. ) /\ z = <. ( w +R u ) , ( v +R f ) >. ) ) <-> ( ( x e. ( R. X. R. ) /\ y e. ( R. X. R. ) ) /\ E. w E. v E. u E. f ( ( x = <. w , v >. /\ y = <. u , f >. ) /\ z = <. ( w +R u ) , ( v +R f ) >. ) ) )
13	12	oprabbii 5977	. . . . 5 |- { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. CC /\ y e. CC ) /\ E. w E. v E. u E. f ( ( x = <. w , v >. /\ y = <. u , f >. ) /\ z = <. ( w +R u ) , ( v +R f ) >. ) ) } = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. ( R. X. R. ) /\ y e. ( R. X. R. ) ) /\ E. w E. v E. u E. f ( ( x = <. w , v >. /\ y = <. u , f >. ) /\ z = <. ( w +R u ) , ( v +R f ) >. ) ) }
14	7, 13	eqtri 2217	. . . 4 |- + = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. ( R. X. R. ) /\ y e. ( R. X. R. ) ) /\ E. w E. v E. u E. f ( ( x = <. w , v >. /\ y = <. u , f >. ) /\ z = <. ( w +R u ) , ( v +R f ) >. ) ) }
15	6, 14	oprabex3 6186	. . 3 |- + e. _V
16		opexg 4261	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> <. A , B >. e. _V )
17		fvexg 5577	. . 3 |- ( ( + e. _V /\ <. A , B >. e. _V ) -> ( + ` <. A , B >. ) e. _V )
18	15, 16, 17	sylancr 414	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( + ` <. A , B >. ) e. _V )
19	1, 18	eqeltrid 2283	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A + B ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   E.wex 1506   e. wcel 2167   _Vcvv 2763   <.cop 3625   X. cxp 4661   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   {coprab 5923   /.cqs 6591   P.cnp 7358   ~R cer 7363   R.cnr 7364   +R cplr 7368   CCcc 7877   + caddc 7882

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-iinf 4624

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-qs 6598  df-ni 7371  df-nqqs 7415  df-inp 7533  df-nr 7794  df-c 7885  df-add 7890

This theorem is referenced by:  peano2nnnn  7920