Theorem addvalex 7652

Description: Existence of a sum. This is dependent on how we define + so once we proceed to real number axioms we will replace it with theorems such as addcl 7745. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
addvalex	|- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A + B ) e. _V )

Proof of Theorem addvalex

Dummy variables u f v w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ov 5777	. 2 |- ( A + B ) = ( + ` <. A , B >. )
2		df-nr 7535	. . . . 5 |- R. = ( ( P. X. P. ) /. ~R )
3		npex 7281	. . . . . . 7 |- P. e. _V
4	3, 3	xpex 4654	. . . . . 6 |- ( P. X. P. ) e. _V
5	4	qsex 6486	. . . . 5 |- ( ( P. X. P. ) /. ~R ) e. _V
6	2, 5	eqeltri 2212	. . . 4 |- R. e. _V
7		df-add 7631	. . . . 5 |- + = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. CC /\ y e. CC ) /\ E. w E. v E. u E. f ( ( x = <. w , v >. /\ y = <. u , f >. ) /\ z = <. ( w +R u ) , ( v +R f ) >. ) ) }
8		df-c 7626	. . . . . . . . 9 |- CC = ( R. X. R. )
9	8	eleq2i 2206	. . . . . . . 8 |- ( x e. CC <-> x e. ( R. X. R. ) )
10	8	eleq2i 2206	. . . . . . . 8 |- ( y e. CC <-> y e. ( R. X. R. ) )
11	9, 10	anbi12i 455	. . . . . . 7 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) <-> ( x e. ( R. X. R. ) /\ y e. ( R. X. R. ) ) )
12	11	anbi1i 453	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. CC /\ y e. CC ) /\ E. w E. v E. u E. f ( ( x = <. w , v >. /\ y = <. u , f >. ) /\ z = <. ( w +R u ) , ( v +R f ) >. ) ) <-> ( ( x e. ( R. X. R. ) /\ y e. ( R. X. R. ) ) /\ E. w E. v E. u E. f ( ( x = <. w , v >. /\ y = <. u , f >. ) /\ z = <. ( w +R u ) , ( v +R f ) >. ) ) )
13	12	oprabbii 5826	. . . . 5 |- { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. CC /\ y e. CC ) /\ E. w E. v E. u E. f ( ( x = <. w , v >. /\ y = <. u , f >. ) /\ z = <. ( w +R u ) , ( v +R f ) >. ) ) } = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. ( R. X. R. ) /\ y e. ( R. X. R. ) ) /\ E. w E. v E. u E. f ( ( x = <. w , v >. /\ y = <. u , f >. ) /\ z = <. ( w +R u ) , ( v +R f ) >. ) ) }
14	7, 13	eqtri 2160	. . . 4 |- + = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. ( R. X. R. ) /\ y e. ( R. X. R. ) ) /\ E. w E. v E. u E. f ( ( x = <. w , v >. /\ y = <. u , f >. ) /\ z = <. ( w +R u ) , ( v +R f ) >. ) ) }
15	6, 14	oprabex3 6027	. . 3 |- + e. _V
16		opexg 4150	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> <. A , B >. e. _V )
17		fvexg 5440	. . 3 |- ( ( + e. _V /\ <. A , B >. e. _V ) -> ( + ` <. A , B >. ) e. _V )
18	15, 16, 17	sylancr 410	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( + ` <. A , B >. ) e. _V )
19	1, 18	eqeltrid 2226	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A + B ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1331   E.wex 1468   e. wcel 1480   _Vcvv 2686   <.cop 3530   X. cxp 4537   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   {coprab 5775   /.cqs 6428   P.cnp 7099   ~R cer 7104   R.cnr 7105   +R cplr 7109   CCcc 7618   + caddc 7623

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-iinf 4502

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-qs 6435  df-ni 7112  df-nqqs 7156  df-inp 7274  df-nr 7535  df-c 7626  df-add 7631

This theorem is referenced by:  peano2nnnn  7661