Theorem addvalex 7846

Description: Existence of a sum. This is dependent on how we define + so once we proceed to real number axioms we will replace it with theorems such as addcl 7939. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
addvalex	|- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A + B ) e. _V )

Proof of Theorem addvalex

Dummy variables u f v w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ov 5881	. 2 |- ( A + B ) = ( + ` <. A , B >. )
2		df-nr 7729	. . . . 5 |- R. = ( ( P. X. P. ) /. ~R )
3		npex 7475	. . . . . . 7 |- P. e. _V
4	3, 3	xpex 4743	. . . . . 6 |- ( P. X. P. ) e. _V
5	4	qsex 6595	. . . . 5 |- ( ( P. X. P. ) /. ~R ) e. _V
6	2, 5	eqeltri 2250	. . . 4 |- R. e. _V
7		df-add 7825	. . . . 5 |- + = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. CC /\ y e. CC ) /\ E. w E. v E. u E. f ( ( x = <. w , v >. /\ y = <. u , f >. ) /\ z = <. ( w +R u ) , ( v +R f ) >. ) ) }
8		df-c 7820	. . . . . . . . 9 |- CC = ( R. X. R. )
9	8	eleq2i 2244	. . . . . . . 8 |- ( x e. CC <-> x e. ( R. X. R. ) )
10	8	eleq2i 2244	. . . . . . . 8 |- ( y e. CC <-> y e. ( R. X. R. ) )
11	9, 10	anbi12i 460	. . . . . . 7 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) <-> ( x e. ( R. X. R. ) /\ y e. ( R. X. R. ) ) )
12	11	anbi1i 458	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. CC /\ y e. CC ) /\ E. w E. v E. u E. f ( ( x = <. w , v >. /\ y = <. u , f >. ) /\ z = <. ( w +R u ) , ( v +R f ) >. ) ) <-> ( ( x e. ( R. X. R. ) /\ y e. ( R. X. R. ) ) /\ E. w E. v E. u E. f ( ( x = <. w , v >. /\ y = <. u , f >. ) /\ z = <. ( w +R u ) , ( v +R f ) >. ) ) )
13	12	oprabbii 5933	. . . . 5 |- { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. CC /\ y e. CC ) /\ E. w E. v E. u E. f ( ( x = <. w , v >. /\ y = <. u , f >. ) /\ z = <. ( w +R u ) , ( v +R f ) >. ) ) } = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. ( R. X. R. ) /\ y e. ( R. X. R. ) ) /\ E. w E. v E. u E. f ( ( x = <. w , v >. /\ y = <. u , f >. ) /\ z = <. ( w +R u ) , ( v +R f ) >. ) ) }
14	7, 13	eqtri 2198	. . . 4 |- + = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. ( R. X. R. ) /\ y e. ( R. X. R. ) ) /\ E. w E. v E. u E. f ( ( x = <. w , v >. /\ y = <. u , f >. ) /\ z = <. ( w +R u ) , ( v +R f ) >. ) ) }
15	6, 14	oprabex3 6133	. . 3 |- + e. _V
16		opexg 4230	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> <. A , B >. e. _V )
17		fvexg 5536	. . 3 |- ( ( + e. _V /\ <. A , B >. e. _V ) -> ( + ` <. A , B >. ) e. _V )
18	15, 16, 17	sylancr 414	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( + ` <. A , B >. ) e. _V )
19	1, 18	eqeltrid 2264	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A + B ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1353   E.wex 1492   e. wcel 2148   _Vcvv 2739   <.cop 3597   X. cxp 4626   ` cfv 5218  (class class class)co 5878   {coprab 5879   /.cqs 6537   P.cnp 7293   ~R cer 7298   R.cnr 7299   +R cplr 7303   CCcc 7812   + caddc 7817

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-iinf 4589

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-qs 6544  df-ni 7306  df-nqqs 7350  df-inp 7468  df-nr 7729  df-c 7820  df-add 7825

This theorem is referenced by:  peano2nnnn  7855