Theorem ordtri2or2exmid 4588

Description: Ordinal trichotomy implies excluded middle. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Aug-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
ordtri2or2exmid.1	|- A. x e. On A. y e. On ( x C_ y \/ y C_ x )

Assertion

Ref	Expression
ordtri2or2exmid	|- ( ph \/ -. ph )

Distinct variable group:   ph, x, y

Proof of Theorem ordtri2or2exmid

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordtri2or2exmid.1	. . . 4 |- A. x e. On A. y e. On ( x C_ y \/ y C_ x )
2		ordtri2or2exmidlem 4543	. . . . 5 |- { z e. { (/) , { (/) } } | ph } e. On
3		suc0 4429	. . . . . 6 |- suc (/) = { (/) }
4		0elon 4410	. . . . . . 7 |- (/) e. On
5	4	onsuci 4533	. . . . . 6 |- suc (/) e. On
6	3, 5	eqeltrri 2263	. . . . 5 |- { (/) } e. On
7		sseq1 3193	. . . . . . 7 |- ( x = { z e. { (/) , { (/) } } | ph } -> ( x C_ y <-> { z e. { (/) , { (/) } } | ph } C_ y ) )
8		sseq2 3194	. . . . . . 7 |- ( x = { z e. { (/) , { (/) } } | ph } -> ( y C_ x <-> y C_ { z e. { (/) , { (/) } } | ph } ) )
9	7, 8	orbi12d 794	. . . . . 6 |- ( x = { z e. { (/) , { (/) } } | ph } -> ( ( x C_ y \/ y C_ x ) <-> ( { z e. { (/) , { (/) } } | ph } C_ y \/ y C_ { z e. { (/) , { (/) } } | ph } ) ) )
10		sseq2 3194	. . . . . . 7 |- ( y = { (/) } -> ( { z e. { (/) , { (/) } } | ph } C_ y <-> { z e. { (/) , { (/) } } | ph } C_ { (/) } ) )
11		sseq1 3193	. . . . . . 7 |- ( y = { (/) } -> ( y C_ { z e. { (/) , { (/) } } | ph } <-> { (/) } C_ { z e. { (/) , { (/) } } | ph } ) )
12	10, 11	orbi12d 794	. . . . . 6 |- ( y = { (/) } -> ( ( { z e. { (/) , { (/) } } | ph } C_ y \/ y C_ { z e. { (/) , { (/) } } | ph } ) <-> ( { z e. { (/) , { (/) } } | ph } C_ { (/) } \/ { (/) } C_ { z e. { (/) , { (/) } } | ph } ) ) )
13	9, 12	rspc2va 2870	. . . . 5 |- ( ( ( { z e. { (/) , { (/) } } | ph } e. On /\ { (/) } e. On ) /\ A. x e. On A. y e. On ( x C_ y \/ y C_ x ) ) -> ( { z e. { (/) , { (/) } } | ph } C_ { (/) } \/ { (/) } C_ { z e. { (/) , { (/) } } | ph } ) )
14	2, 6, 13	mpanl12 436	. . . 4 |- ( A. x e. On A. y e. On ( x C_ y \/ y C_ x ) -> ( { z e. { (/) , { (/) } } | ph } C_ { (/) } \/ { (/) } C_ { z e. { (/) , { (/) } } | ph } ) )
15	1, 14	ax-mp 5	. . 3 |- ( { z e. { (/) , { (/) } } | ph } C_ { (/) } \/ { (/) } C_ { z e. { (/) , { (/) } } | ph } )
16		elirr 4558	. . . . 5 |- -. { (/) } e. { (/) }
17		simpl 109	. . . . . . 7 |- ( ( { z e. { (/) , { (/) } } | ph } C_ { (/) } /\ ph ) -> { z e. { (/) , { (/) } } | ph } C_ { (/) } )
18		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( { z e. { (/) , { (/) } } | ph } C_ { (/) } /\ ph ) -> ph )
19		p0ex 4206	. . . . . . . . . 10 |- { (/) } e. _V
20	19	prid2 3714	. . . . . . . . 9 |- { (/) } e. { (/) , { (/) } }
21		biidd 172	. . . . . . . . . 10 |- ( z = { (/) } -> ( ph <-> ph ) )
22	21	elrab3 2909	. . . . . . . . 9 |- ( { (/) } e. { (/) , { (/) } } -> ( { (/) } e. { z e. { (/) , { (/) } } | ph } <-> ph ) )
23	20, 22	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( { (/) } e. { z e. { (/) , { (/) } } | ph } <-> ph )
24	18, 23	sylibr 134	. . . . . . 7 |- ( ( { z e. { (/) , { (/) } } | ph } C_ { (/) } /\ ph ) -> { (/) } e. { z e. { (/) , { (/) } } | ph } )
25	17, 24	sseldd 3171	. . . . . 6 |- ( ( { z e. { (/) , { (/) } } | ph } C_ { (/) } /\ ph ) -> { (/) } e. { (/) } )
26	25	ex 115	. . . . 5 |- ( { z e. { (/) , { (/) } } | ph } C_ { (/) } -> ( ph -> { (/) } e. { (/) } ) )
27	16, 26	mtoi 665	. . . 4 |- ( { z e. { (/) , { (/) } } | ph } C_ { (/) } -> -. ph )
28		snssg 3741	. . . . . 6 |- ( (/) e. On -> ( (/) e. { z e. { (/) , { (/) } } | ph } <-> { (/) } C_ { z e. { (/) , { (/) } } | ph } ) )
29	4, 28	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( (/) e. { z e. { (/) , { (/) } } | ph } <-> { (/) } C_ { z e. { (/) , { (/) } } | ph } )
30		0ex 4145	. . . . . . . 8 |- (/) e. _V
31	30	prid1 3713	. . . . . . 7 |- (/) e. { (/) , { (/) } }
32		biidd 172	. . . . . . . 8 |- ( z = (/) -> ( ph <-> ph ) )
33	32	elrab3 2909	. . . . . . 7 |- ( (/) e. { (/) , { (/) } } -> ( (/) e. { z e. { (/) , { (/) } } | ph } <-> ph ) )
34	31, 33	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( (/) e. { z e. { (/) , { (/) } } | ph } <-> ph )
35	34	biimpi 120	. . . . 5 |- ( (/) e. { z e. { (/) , { (/) } } | ph } -> ph )
36	29, 35	sylbir 135	. . . 4 |- ( { (/) } C_ { z e. { (/) , { (/) } } | ph } -> ph )
37	27, 36	orim12i 760	. . 3 |- ( ( { z e. { (/) , { (/) } } | ph } C_ { (/) } \/ { (/) } C_ { z e. { (/) , { (/) } } | ph } ) -> ( -. ph \/ ph ) )
38	15, 37	ax-mp 5	. 2 |- ( -. ph \/ ph )
39		orcom 729	. 2 |- ( ( -. ph \/ ph ) <-> ( ph \/ -. ph ) )
40	38, 39	mpbi 145	1 |- ( ph \/ -. ph )

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709   = wceq 1364   e. wcel 2160   A.wral 2468   {crab 2472   C_ wss 3144   (/)c0 3437   {csn 3607   {cpr 3608   Oncon0 4381   suc csuc 4383

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2754  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-uni 3825  df-tr 4117  df-iord 4384  df-on 4386  df-suc 4389

This theorem is referenced by:  onintexmid  4590