ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ordtri2or2exmid Unicode version

Theorem ordtri2or2exmid 4566
Description: Ordinal trichotomy implies excluded middle. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Aug-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
ordtri2or2exmid.1  |-  A. x  e.  On  A. y  e.  On  ( x  C_  y  \/  y  C_  x )
Assertion
Ref Expression
ordtri2or2exmid  |-  ( ph  \/  -.  ph )
Distinct variable group:    ph, x, y

Proof of Theorem ordtri2or2exmid
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ordtri2or2exmid.1 . . . 4  |-  A. x  e.  On  A. y  e.  On  ( x  C_  y  \/  y  C_  x )
2 ordtri2or2exmidlem 4521 . . . . 5  |-  { z  e.  { (/) ,  { (/)
} }  |  ph }  e.  On
3 suc0 4407 . . . . . 6  |-  suc  (/)  =  { (/)
}
4 0elon 4388 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  On
54onsuci 4511 . . . . . 6  |-  suc  (/)  e.  On
63, 5eqeltrri 2251 . . . . 5  |-  { (/) }  e.  On
7 sseq1 3178 . . . . . . 7  |-  ( x  =  { z  e. 
{ (/) ,  { (/) } }  |  ph }  ->  ( x  C_  y  <->  { z  e.  { (/) ,  { (/) } }  |  ph }  C_  y )
)
8 sseq2 3179 . . . . . . 7  |-  ( x  =  { z  e. 
{ (/) ,  { (/) } }  |  ph }  ->  ( y  C_  x  <->  y 
C_  { z  e. 
{ (/) ,  { (/) } }  |  ph }
) )
97, 8orbi12d 793 . . . . . 6  |-  ( x  =  { z  e. 
{ (/) ,  { (/) } }  |  ph }  ->  ( ( x  C_  y  \/  y  C_  x )  <->  ( {
z  e.  { (/) ,  { (/) } }  |  ph }  C_  y  \/  y  C_  { z  e. 
{ (/) ,  { (/) } }  |  ph }
) ) )
10 sseq2 3179 . . . . . . 7  |-  ( y  =  { (/) }  ->  ( { z  e.  { (/)
,  { (/) } }  |  ph }  C_  y  <->  { z  e.  { (/) ,  { (/) } }  |  ph }  C_  { (/) } ) )
11 sseq1 3178 . . . . . . 7  |-  ( y  =  { (/) }  ->  ( y  C_  { z  e.  { (/) ,  { (/) } }  |  ph }  <->  {
(/) }  C_  { z  e.  { (/) ,  { (/)
} }  |  ph } ) )
1210, 11orbi12d 793 . . . . . 6  |-  ( y  =  { (/) }  ->  ( ( { z  e. 
{ (/) ,  { (/) } }  |  ph }  C_  y  \/  y  C_  { z  e.  { (/) ,  { (/) } }  |  ph } )  <->  ( {
z  e.  { (/) ,  { (/) } }  |  ph }  C_  { (/) }  \/  {
(/) }  C_  { z  e.  { (/) ,  { (/)
} }  |  ph } ) ) )
139, 12rspc2va 2855 . . . . 5  |-  ( ( ( { z  e. 
{ (/) ,  { (/) } }  |  ph }  e.  On  /\  { (/) }  e.  On )  /\  A. x  e.  On  A. y  e.  On  (
x  C_  y  \/  y  C_  x ) )  ->  ( { z  e.  { (/) ,  { (/)
} }  |  ph }  C_  { (/) }  \/  {
(/) }  C_  { z  e.  { (/) ,  { (/)
} }  |  ph } ) )
142, 6, 13mpanl12 436 . . . 4  |-  ( A. x  e.  On  A. y  e.  On  ( x  C_  y  \/  y  C_  x )  ->  ( { z  e.  { (/)
,  { (/) } }  |  ph }  C_  { (/) }  \/  { (/) }  C_  { z  e.  { (/) ,  { (/) } }  |  ph } ) )
151, 14ax-mp 5 . . 3  |-  ( { z  e.  { (/) ,  { (/) } }  |  ph }  C_  { (/) }  \/  {
(/) }  C_  { z  e.  { (/) ,  { (/)
} }  |  ph } )
16 elirr 4536 . . . . 5  |-  -.  { (/)
}  e.  { (/) }
17 simpl 109 . . . . . . 7  |-  ( ( { z  e.  { (/)
,  { (/) } }  |  ph }  C_  { (/) }  /\  ph )  ->  { z  e.  { (/)
,  { (/) } }  |  ph }  C_  { (/) } )
18 simpr 110 . . . . . . . 8  |-  ( ( { z  e.  { (/)
,  { (/) } }  |  ph }  C_  { (/) }  /\  ph )  ->  ph )
19 p0ex 4185 . . . . . . . . . 10  |-  { (/) }  e.  _V
2019prid2 3698 . . . . . . . . 9  |-  { (/) }  e.  { (/) ,  { (/)
} }
21 biidd 172 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  { (/) }  ->  (
ph 
<-> 
ph ) )
2221elrab3 2894 . . . . . . . . 9  |-  ( {
(/) }  e.  { (/) ,  { (/) } }  ->  ( { (/) }  e.  {
z  e.  { (/) ,  { (/) } }  |  ph }  <->  ph ) )
2320, 22ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( {
(/) }  e.  { z  e.  { (/) ,  { (/)
} }  |  ph } 
<-> 
ph )
2418, 23sylibr 134 . . . . . . 7  |-  ( ( { z  e.  { (/)
,  { (/) } }  |  ph }  C_  { (/) }  /\  ph )  ->  { (/) }  e.  {
z  e.  { (/) ,  { (/) } }  |  ph } )
2517, 24sseldd 3156 . . . . . 6  |-  ( ( { z  e.  { (/)
,  { (/) } }  |  ph }  C_  { (/) }  /\  ph )  ->  { (/) }  e.  { (/)
} )
2625ex 115 . . . . 5  |-  ( { z  e.  { (/) ,  { (/) } }  |  ph }  C_  { (/) }  ->  (
ph  ->  { (/) }  e.  {
(/) } ) )
2716, 26mtoi 664 . . . 4  |-  ( { z  e.  { (/) ,  { (/) } }  |  ph }  C_  { (/) }  ->  -. 
ph )
28 snssg 3725 . . . . . 6  |-  ( (/)  e.  On  ->  ( (/)  e.  {
z  e.  { (/) ,  { (/) } }  |  ph }  <->  { (/) }  C_  { z  e.  { (/) ,  { (/)
} }  |  ph } ) )
294, 28ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( (/)  e.  { z  e.  { (/)
,  { (/) } }  |  ph }  <->  { (/) }  C_  { z  e.  { (/) ,  { (/) } }  |  ph } )
30 0ex 4127 . . . . . . . 8  |-  (/)  e.  _V
3130prid1 3697 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  { (/)
,  { (/) } }
32 biidd 172 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  (/)  ->  ( ph  <->  ph ) )
3332elrab3 2894 . . . . . . 7  |-  ( (/)  e.  { (/) ,  { (/) } }  ->  ( (/)  e.  {
z  e.  { (/) ,  { (/) } }  |  ph }  <->  ph ) )
3431, 33ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( (/)  e.  { z  e.  { (/)
,  { (/) } }  |  ph }  <->  ph )
3534biimpi 120 . . . . 5  |-  ( (/)  e.  { z  e.  { (/)
,  { (/) } }  |  ph }  ->  ph )
3629, 35sylbir 135 . . . 4  |-  ( {
(/) }  C_  { z  e.  { (/) ,  { (/)
} }  |  ph }  ->  ph )
3727, 36orim12i 759 . . 3  |-  ( ( { z  e.  { (/)
,  { (/) } }  |  ph }  C_  { (/) }  \/  { (/) }  C_  { z  e.  { (/) ,  { (/) } }  |  ph } )  ->  ( -.  ph  \/  ph )
)
3815, 37ax-mp 5 . 2  |-  ( -. 
ph  \/  ph )
39 orcom 728 . 2  |-  ( ( -.  ph  \/  ph )  <->  (
ph  \/  -.  ph )
)
4038, 39mpbi 145 1  |-  ( ph  \/  -.  ph )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 104    <-> wb 105    \/ wo 708    = wceq 1353    e. wcel 2148   A.wral 2455   {crab 2459    C_ wss 3129   (/)c0 3422   {csn 3591   {cpr 3592   Oncon0 4359   suc csuc 4361
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429  ax-setind 4532
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-uni 3808  df-tr 4099  df-iord 4362  df-on 4364  df-suc 4367
This theorem is referenced by:  onintexmid  4568
  Copyright terms: Public domain W3C validator