Theorem ordtri2or2exmid 4555

Description: Ordinal trichotomy implies excluded middle. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Aug-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
ordtri2or2exmid.1	|- A. x e. On A. y e. On ( x C_ y \/ y C_ x )

Assertion

Ref	Expression
ordtri2or2exmid	|- ( ph \/ -. ph )

Distinct variable group:   ph, x, y

Proof of Theorem ordtri2or2exmid

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordtri2or2exmid.1	. . . 4 |- A. x e. On A. y e. On ( x C_ y \/ y C_ x )
2		ordtri2or2exmidlem 4510	. . . . 5 |- { z e. { (/) , { (/) } } | ph } e. On
3		suc0 4396	. . . . . 6 |- suc (/) = { (/) }
4		0elon 4377	. . . . . . 7 |- (/) e. On
5	4	onsuci 4500	. . . . . 6 |- suc (/) e. On
6	3, 5	eqeltrri 2244	. . . . 5 |- { (/) } e. On
7		sseq1 3170	. . . . . . 7 |- ( x = { z e. { (/) , { (/) } } | ph } -> ( x C_ y <-> { z e. { (/) , { (/) } } | ph } C_ y ) )
8		sseq2 3171	. . . . . . 7 |- ( x = { z e. { (/) , { (/) } } | ph } -> ( y C_ x <-> y C_ { z e. { (/) , { (/) } } | ph } ) )
9	7, 8	orbi12d 788	. . . . . 6 |- ( x = { z e. { (/) , { (/) } } | ph } -> ( ( x C_ y \/ y C_ x ) <-> ( { z e. { (/) , { (/) } } | ph } C_ y \/ y C_ { z e. { (/) , { (/) } } | ph } ) ) )
10		sseq2 3171	. . . . . . 7 |- ( y = { (/) } -> ( { z e. { (/) , { (/) } } | ph } C_ y <-> { z e. { (/) , { (/) } } | ph } C_ { (/) } ) )
11		sseq1 3170	. . . . . . 7 |- ( y = { (/) } -> ( y C_ { z e. { (/) , { (/) } } | ph } <-> { (/) } C_ { z e. { (/) , { (/) } } | ph } ) )
12	10, 11	orbi12d 788	. . . . . 6 |- ( y = { (/) } -> ( ( { z e. { (/) , { (/) } } | ph } C_ y \/ y C_ { z e. { (/) , { (/) } } | ph } ) <-> ( { z e. { (/) , { (/) } } | ph } C_ { (/) } \/ { (/) } C_ { z e. { (/) , { (/) } } | ph } ) ) )
13	9, 12	rspc2va 2848	. . . . 5 |- ( ( ( { z e. { (/) , { (/) } } | ph } e. On /\ { (/) } e. On ) /\ A. x e. On A. y e. On ( x C_ y \/ y C_ x ) ) -> ( { z e. { (/) , { (/) } } | ph } C_ { (/) } \/ { (/) } C_ { z e. { (/) , { (/) } } | ph } ) )
14	2, 6, 13	mpanl12 434	. . . 4 |- ( A. x e. On A. y e. On ( x C_ y \/ y C_ x ) -> ( { z e. { (/) , { (/) } } | ph } C_ { (/) } \/ { (/) } C_ { z e. { (/) , { (/) } } | ph } ) )
15	1, 14	ax-mp 5	. . 3 |- ( { z e. { (/) , { (/) } } | ph } C_ { (/) } \/ { (/) } C_ { z e. { (/) , { (/) } } | ph } )
16		elirr 4525	. . . . 5 |- -. { (/) } e. { (/) }
17		simpl 108	. . . . . . 7 |- ( ( { z e. { (/) , { (/) } } | ph } C_ { (/) } /\ ph ) -> { z e. { (/) , { (/) } } | ph } C_ { (/) } )
18		simpr 109	. . . . . . . 8 |- ( ( { z e. { (/) , { (/) } } | ph } C_ { (/) } /\ ph ) -> ph )
19		p0ex 4174	. . . . . . . . . 10 |- { (/) } e. _V
20	19	prid2 3690	. . . . . . . . 9 |- { (/) } e. { (/) , { (/) } }
21		biidd 171	. . . . . . . . . 10 |- ( z = { (/) } -> ( ph <-> ph ) )
22	21	elrab3 2887	. . . . . . . . 9 |- ( { (/) } e. { (/) , { (/) } } -> ( { (/) } e. { z e. { (/) , { (/) } } | ph } <-> ph ) )
23	20, 22	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( { (/) } e. { z e. { (/) , { (/) } } | ph } <-> ph )
24	18, 23	sylibr 133	. . . . . . 7 |- ( ( { z e. { (/) , { (/) } } | ph } C_ { (/) } /\ ph ) -> { (/) } e. { z e. { (/) , { (/) } } | ph } )
25	17, 24	sseldd 3148	. . . . . 6 |- ( ( { z e. { (/) , { (/) } } | ph } C_ { (/) } /\ ph ) -> { (/) } e. { (/) } )
26	25	ex 114	. . . . 5 |- ( { z e. { (/) , { (/) } } | ph } C_ { (/) } -> ( ph -> { (/) } e. { (/) } ) )
27	16, 26	mtoi 659	. . . 4 |- ( { z e. { (/) , { (/) } } | ph } C_ { (/) } -> -. ph )
28		snssg 3716	. . . . . 6 |- ( (/) e. On -> ( (/) e. { z e. { (/) , { (/) } } | ph } <-> { (/) } C_ { z e. { (/) , { (/) } } | ph } ) )
29	4, 28	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( (/) e. { z e. { (/) , { (/) } } | ph } <-> { (/) } C_ { z e. { (/) , { (/) } } | ph } )
30		0ex 4116	. . . . . . . 8 |- (/) e. _V
31	30	prid1 3689	. . . . . . 7 |- (/) e. { (/) , { (/) } }
32		biidd 171	. . . . . . . 8 |- ( z = (/) -> ( ph <-> ph ) )
33	32	elrab3 2887	. . . . . . 7 |- ( (/) e. { (/) , { (/) } } -> ( (/) e. { z e. { (/) , { (/) } } | ph } <-> ph ) )
34	31, 33	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( (/) e. { z e. { (/) , { (/) } } | ph } <-> ph )
35	34	biimpi 119	. . . . 5 |- ( (/) e. { z e. { (/) , { (/) } } | ph } -> ph )
36	29, 35	sylbir 134	. . . 4 |- ( { (/) } C_ { z e. { (/) , { (/) } } | ph } -> ph )
37	27, 36	orim12i 754	. . 3 |- ( ( { z e. { (/) , { (/) } } | ph } C_ { (/) } \/ { (/) } C_ { z e. { (/) , { (/) } } | ph } ) -> ( -. ph \/ ph ) )
38	15, 37	ax-mp 5	. 2 |- ( -. ph \/ ph )
39		orcom 723	. 2 |- ( ( -. ph \/ ph ) <-> ( ph \/ -. ph ) )
40	38, 39	mpbi 144	1 |- ( ph \/ -. ph )

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 703   = wceq 1348   e. wcel 2141   A.wral 2448   {crab 2452   C_ wss 3121   (/)c0 3414   {csn 3583   {cpr 3584   Oncon0 4348   suc csuc 4350

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-uni 3797  df-tr 4088  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356

This theorem is referenced by:  onintexmid  4557