Theorem ordtri2or2exmid 4377

Description: Ordinal trichotomy implies excluded middle. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Aug-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
ordtri2or2exmid.1	|- A. x e. On A. y e. On ( x C_ y \/ y C_ x )

Assertion

Ref	Expression
ordtri2or2exmid	|- ( ph \/ -. ph )

Distinct variable group:   ph, x, y

Proof of Theorem ordtri2or2exmid

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordtri2or2exmid.1	. . . 4 |- A. x e. On A. y e. On ( x C_ y \/ y C_ x )
2		ordtri2or2exmidlem 4332	. . . . 5 |- { z e. { (/) , { (/) } } | ph } e. On
3		suc0 4229	. . . . . 6 |- suc (/) = { (/) }
4		0elon 4210	. . . . . . 7 |- (/) e. On
5	4	onsuci 4323	. . . . . 6 |- suc (/) e. On
6	3, 5	eqeltrri 2161	. . . . 5 |- { (/) } e. On
7		sseq1 3045	. . . . . . 7 |- ( x = { z e. { (/) , { (/) } } | ph } -> ( x C_ y <-> { z e. { (/) , { (/) } } | ph } C_ y ) )
8		sseq2 3046	. . . . . . 7 |- ( x = { z e. { (/) , { (/) } } | ph } -> ( y C_ x <-> y C_ { z e. { (/) , { (/) } } | ph } ) )
9	7, 8	orbi12d 742	. . . . . 6 |- ( x = { z e. { (/) , { (/) } } | ph } -> ( ( x C_ y \/ y C_ x ) <-> ( { z e. { (/) , { (/) } } | ph } C_ y \/ y C_ { z e. { (/) , { (/) } } | ph } ) ) )
10		sseq2 3046	. . . . . . 7 |- ( y = { (/) } -> ( { z e. { (/) , { (/) } } | ph } C_ y <-> { z e. { (/) , { (/) } } | ph } C_ { (/) } ) )
11		sseq1 3045	. . . . . . 7 |- ( y = { (/) } -> ( y C_ { z e. { (/) , { (/) } } | ph } <-> { (/) } C_ { z e. { (/) , { (/) } } | ph } ) )
12	10, 11	orbi12d 742	. . . . . 6 |- ( y = { (/) } -> ( ( { z e. { (/) , { (/) } } | ph } C_ y \/ y C_ { z e. { (/) , { (/) } } | ph } ) <-> ( { z e. { (/) , { (/) } } | ph } C_ { (/) } \/ { (/) } C_ { z e. { (/) , { (/) } } | ph } ) ) )
13	9, 12	rspc2va 2734	. . . . 5 |- ( ( ( { z e. { (/) , { (/) } } | ph } e. On /\ { (/) } e. On ) /\ A. x e. On A. y e. On ( x C_ y \/ y C_ x ) ) -> ( { z e. { (/) , { (/) } } | ph } C_ { (/) } \/ { (/) } C_ { z e. { (/) , { (/) } } | ph } ) )
14	2, 6, 13	mpanl12 427	. . . 4 |- ( A. x e. On A. y e. On ( x C_ y \/ y C_ x ) -> ( { z e. { (/) , { (/) } } | ph } C_ { (/) } \/ { (/) } C_ { z e. { (/) , { (/) } } | ph } ) )
15	1, 14	ax-mp 7	. . 3 |- ( { z e. { (/) , { (/) } } | ph } C_ { (/) } \/ { (/) } C_ { z e. { (/) , { (/) } } | ph } )
16		elirr 4347	. . . . 5 |- -. { (/) } e. { (/) }
17		simpl 107	. . . . . . 7 |- ( ( { z e. { (/) , { (/) } } | ph } C_ { (/) } /\ ph ) -> { z e. { (/) , { (/) } } | ph } C_ { (/) } )
18		simpr 108	. . . . . . . 8 |- ( ( { z e. { (/) , { (/) } } | ph } C_ { (/) } /\ ph ) -> ph )
19		p0ex 4014	. . . . . . . . . 10 |- { (/) } e. _V
20	19	prid2 3544	. . . . . . . . 9 |- { (/) } e. { (/) , { (/) } }
21		biidd 170	. . . . . . . . . 10 |- ( z = { (/) } -> ( ph <-> ph ) )
22	21	elrab3 2770	. . . . . . . . 9 |- ( { (/) } e. { (/) , { (/) } } -> ( { (/) } e. { z e. { (/) , { (/) } } | ph } <-> ph ) )
23	20, 22	ax-mp 7	. . . . . . . 8 |- ( { (/) } e. { z e. { (/) , { (/) } } | ph } <-> ph )
24	18, 23	sylibr 132	. . . . . . 7 |- ( ( { z e. { (/) , { (/) } } | ph } C_ { (/) } /\ ph ) -> { (/) } e. { z e. { (/) , { (/) } } | ph } )
25	17, 24	sseldd 3024	. . . . . 6 |- ( ( { z e. { (/) , { (/) } } | ph } C_ { (/) } /\ ph ) -> { (/) } e. { (/) } )
26	25	ex 113	. . . . 5 |- ( { z e. { (/) , { (/) } } | ph } C_ { (/) } -> ( ph -> { (/) } e. { (/) } ) )
27	16, 26	mtoi 625	. . . 4 |- ( { z e. { (/) , { (/) } } | ph } C_ { (/) } -> -. ph )
28		snssg 3568	. . . . . 6 |- ( (/) e. On -> ( (/) e. { z e. { (/) , { (/) } } | ph } <-> { (/) } C_ { z e. { (/) , { (/) } } | ph } ) )
29	4, 28	ax-mp 7	. . . . 5 |- ( (/) e. { z e. { (/) , { (/) } } | ph } <-> { (/) } C_ { z e. { (/) , { (/) } } | ph } )
30		0ex 3958	. . . . . . . 8 |- (/) e. _V
31	30	prid1 3543	. . . . . . 7 |- (/) e. { (/) , { (/) } }
32		biidd 170	. . . . . . . 8 |- ( z = (/) -> ( ph <-> ph ) )
33	32	elrab3 2770	. . . . . . 7 |- ( (/) e. { (/) , { (/) } } -> ( (/) e. { z e. { (/) , { (/) } } | ph } <-> ph ) )
34	31, 33	ax-mp 7	. . . . . 6 |- ( (/) e. { z e. { (/) , { (/) } } | ph } <-> ph )
35	34	biimpi 118	. . . . 5 |- ( (/) e. { z e. { (/) , { (/) } } | ph } -> ph )
36	29, 35	sylbir 133	. . . 4 |- ( { (/) } C_ { z e. { (/) , { (/) } } | ph } -> ph )
37	27, 36	orim12i 711	. . 3 |- ( ( { z e. { (/) , { (/) } } | ph } C_ { (/) } \/ { (/) } C_ { z e. { (/) , { (/) } } | ph } ) -> ( -. ph \/ ph ) )
38	15, 37	ax-mp 7	. 2 |- ( -. ph \/ ph )
39		orcom 682	. 2 |- ( ( -. ph \/ ph ) <-> ( ph \/ -. ph ) )
40	38, 39	mpbi 143	1 |- ( ph \/ -. ph )

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 102   <-> wb 103   \/ wo 664   = wceq 1289   e. wcel 1438   A.wral 2359   {crab 2363   C_ wss 2997   (/)c0 3284   {csn 3441   {cpr 3442   Oncon0 4181   suc csuc 4183

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-nul 3957  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-rab 2368  df-v 2621  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-uni 3649  df-tr 3929  df-iord 4184  df-on 4186  df-suc 4189

This theorem is referenced by:  onintexmid  4378