Theorem ordtri2or2exmid 4548

Description: Ordinal trichotomy implies excluded middle. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Aug-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
ordtri2or2exmid.1	|- A. x e. On A. y e. On ( x C_ y \/ y C_ x )

Assertion

Ref	Expression
ordtri2or2exmid	|- ( ph \/ -. ph )

Distinct variable group:   ph, x, y

Proof of Theorem ordtri2or2exmid

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordtri2or2exmid.1	. . . 4 |- A. x e. On A. y e. On ( x C_ y \/ y C_ x )
2		ordtri2or2exmidlem 4503	. . . . 5 |- { z e. { (/) , { (/) } } | ph } e. On
3		suc0 4389	. . . . . 6 |- suc (/) = { (/) }
4		0elon 4370	. . . . . . 7 |- (/) e. On
5	4	onsuci 4493	. . . . . 6 |- suc (/) e. On
6	3, 5	eqeltrri 2240	. . . . 5 |- { (/) } e. On
7		sseq1 3165	. . . . . . 7 |- ( x = { z e. { (/) , { (/) } } | ph } -> ( x C_ y <-> { z e. { (/) , { (/) } } | ph } C_ y ) )
8		sseq2 3166	. . . . . . 7 |- ( x = { z e. { (/) , { (/) } } | ph } -> ( y C_ x <-> y C_ { z e. { (/) , { (/) } } | ph } ) )
9	7, 8	orbi12d 783	. . . . . 6 |- ( x = { z e. { (/) , { (/) } } | ph } -> ( ( x C_ y \/ y C_ x ) <-> ( { z e. { (/) , { (/) } } | ph } C_ y \/ y C_ { z e. { (/) , { (/) } } | ph } ) ) )
10		sseq2 3166	. . . . . . 7 |- ( y = { (/) } -> ( { z e. { (/) , { (/) } } | ph } C_ y <-> { z e. { (/) , { (/) } } | ph } C_ { (/) } ) )
11		sseq1 3165	. . . . . . 7 |- ( y = { (/) } -> ( y C_ { z e. { (/) , { (/) } } | ph } <-> { (/) } C_ { z e. { (/) , { (/) } } | ph } ) )
12	10, 11	orbi12d 783	. . . . . 6 |- ( y = { (/) } -> ( ( { z e. { (/) , { (/) } } | ph } C_ y \/ y C_ { z e. { (/) , { (/) } } | ph } ) <-> ( { z e. { (/) , { (/) } } | ph } C_ { (/) } \/ { (/) } C_ { z e. { (/) , { (/) } } | ph } ) ) )
13	9, 12	rspc2va 2844	. . . . 5 |- ( ( ( { z e. { (/) , { (/) } } | ph } e. On /\ { (/) } e. On ) /\ A. x e. On A. y e. On ( x C_ y \/ y C_ x ) ) -> ( { z e. { (/) , { (/) } } | ph } C_ { (/) } \/ { (/) } C_ { z e. { (/) , { (/) } } | ph } ) )
14	2, 6, 13	mpanl12 433	. . . 4 |- ( A. x e. On A. y e. On ( x C_ y \/ y C_ x ) -> ( { z e. { (/) , { (/) } } | ph } C_ { (/) } \/ { (/) } C_ { z e. { (/) , { (/) } } | ph } ) )
15	1, 14	ax-mp 5	. . 3 |- ( { z e. { (/) , { (/) } } | ph } C_ { (/) } \/ { (/) } C_ { z e. { (/) , { (/) } } | ph } )
16		elirr 4518	. . . . 5 |- -. { (/) } e. { (/) }
17		simpl 108	. . . . . . 7 |- ( ( { z e. { (/) , { (/) } } | ph } C_ { (/) } /\ ph ) -> { z e. { (/) , { (/) } } | ph } C_ { (/) } )
18		simpr 109	. . . . . . . 8 |- ( ( { z e. { (/) , { (/) } } | ph } C_ { (/) } /\ ph ) -> ph )
19		p0ex 4167	. . . . . . . . . 10 |- { (/) } e. _V
20	19	prid2 3683	. . . . . . . . 9 |- { (/) } e. { (/) , { (/) } }
21		biidd 171	. . . . . . . . . 10 |- ( z = { (/) } -> ( ph <-> ph ) )
22	21	elrab3 2883	. . . . . . . . 9 |- ( { (/) } e. { (/) , { (/) } } -> ( { (/) } e. { z e. { (/) , { (/) } } | ph } <-> ph ) )
23	20, 22	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( { (/) } e. { z e. { (/) , { (/) } } | ph } <-> ph )
24	18, 23	sylibr 133	. . . . . . 7 |- ( ( { z e. { (/) , { (/) } } | ph } C_ { (/) } /\ ph ) -> { (/) } e. { z e. { (/) , { (/) } } | ph } )
25	17, 24	sseldd 3143	. . . . . 6 |- ( ( { z e. { (/) , { (/) } } | ph } C_ { (/) } /\ ph ) -> { (/) } e. { (/) } )
26	25	ex 114	. . . . 5 |- ( { z e. { (/) , { (/) } } | ph } C_ { (/) } -> ( ph -> { (/) } e. { (/) } ) )
27	16, 26	mtoi 654	. . . 4 |- ( { z e. { (/) , { (/) } } | ph } C_ { (/) } -> -. ph )
28		snssg 3709	. . . . . 6 |- ( (/) e. On -> ( (/) e. { z e. { (/) , { (/) } } | ph } <-> { (/) } C_ { z e. { (/) , { (/) } } | ph } ) )
29	4, 28	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( (/) e. { z e. { (/) , { (/) } } | ph } <-> { (/) } C_ { z e. { (/) , { (/) } } | ph } )
30		0ex 4109	. . . . . . . 8 |- (/) e. _V
31	30	prid1 3682	. . . . . . 7 |- (/) e. { (/) , { (/) } }
32		biidd 171	. . . . . . . 8 |- ( z = (/) -> ( ph <-> ph ) )
33	32	elrab3 2883	. . . . . . 7 |- ( (/) e. { (/) , { (/) } } -> ( (/) e. { z e. { (/) , { (/) } } | ph } <-> ph ) )
34	31, 33	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( (/) e. { z e. { (/) , { (/) } } | ph } <-> ph )
35	34	biimpi 119	. . . . 5 |- ( (/) e. { z e. { (/) , { (/) } } | ph } -> ph )
36	29, 35	sylbir 134	. . . 4 |- ( { (/) } C_ { z e. { (/) , { (/) } } | ph } -> ph )
37	27, 36	orim12i 749	. . 3 |- ( ( { z e. { (/) , { (/) } } | ph } C_ { (/) } \/ { (/) } C_ { z e. { (/) , { (/) } } | ph } ) -> ( -. ph \/ ph ) )
38	15, 37	ax-mp 5	. 2 |- ( -. ph \/ ph )
39		orcom 718	. 2 |- ( ( -. ph \/ ph ) <-> ( ph \/ -. ph ) )
40	38, 39	mpbi 144	1 |- ( ph \/ -. ph )

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 698   = wceq 1343   e. wcel 2136   A.wral 2444   {crab 2448   C_ wss 3116   (/)c0 3409   {csn 3576   {cpr 3577   Oncon0 4341   suc csuc 4343

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-rab 2453  df-v 2728  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-uni 3790  df-tr 4081  df-iord 4344  df-on 4346  df-suc 4349

This theorem is referenced by:  onintexmid  4550