Theorem ontri2orexmidim 4604

Description: Ordinal trichotomy implies excluded middle. Closed form of ordtri2or2exmid 4603. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ontri2orexmidim	|- ( A. x e. On A. y e. On ( x C_ y \/ y C_ x ) -> DECID ph )

Distinct variable group:   ph, x, y

Proof of Theorem ontri2orexmidim

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordtri2or2exmidlem 4558	. . . . 5 |- { z e. { (/) , { (/) } } | ph } e. On
2		suc0 4442	. . . . . 6 |- suc (/) = { (/) }
3		0elon 4423	. . . . . . 7 |- (/) e. On
4	3	onsuci 4548	. . . . . 6 |- suc (/) e. On
5	2, 4	eqeltrri 2267	. . . . 5 |- { (/) } e. On
6		sseq1 3202	. . . . . . 7 |- ( x = { z e. { (/) , { (/) } } | ph } -> ( x C_ y <-> { z e. { (/) , { (/) } } | ph } C_ y ) )
7		sseq2 3203	. . . . . . 7 |- ( x = { z e. { (/) , { (/) } } | ph } -> ( y C_ x <-> y C_ { z e. { (/) , { (/) } } | ph } ) )
8	6, 7	orbi12d 794	. . . . . 6 |- ( x = { z e. { (/) , { (/) } } | ph } -> ( ( x C_ y \/ y C_ x ) <-> ( { z e. { (/) , { (/) } } | ph } C_ y \/ y C_ { z e. { (/) , { (/) } } | ph } ) ) )
9		sseq2 3203	. . . . . . 7 |- ( y = { (/) } -> ( { z e. { (/) , { (/) } } | ph } C_ y <-> { z e. { (/) , { (/) } } | ph } C_ { (/) } ) )
10		sseq1 3202	. . . . . . 7 |- ( y = { (/) } -> ( y C_ { z e. { (/) , { (/) } } | ph } <-> { (/) } C_ { z e. { (/) , { (/) } } | ph } ) )
11	9, 10	orbi12d 794	. . . . . 6 |- ( y = { (/) } -> ( ( { z e. { (/) , { (/) } } | ph } C_ y \/ y C_ { z e. { (/) , { (/) } } | ph } ) <-> ( { z e. { (/) , { (/) } } | ph } C_ { (/) } \/ { (/) } C_ { z e. { (/) , { (/) } } | ph } ) ) )
12	8, 11	rspc2va 2878	. . . . 5 |- ( ( ( { z e. { (/) , { (/) } } | ph } e. On /\ { (/) } e. On ) /\ A. x e. On A. y e. On ( x C_ y \/ y C_ x ) ) -> ( { z e. { (/) , { (/) } } | ph } C_ { (/) } \/ { (/) } C_ { z e. { (/) , { (/) } } | ph } ) )
13	1, 5, 12	mpanl12 436	. . . 4 |- ( A. x e. On A. y e. On ( x C_ y \/ y C_ x ) -> ( { z e. { (/) , { (/) } } | ph } C_ { (/) } \/ { (/) } C_ { z e. { (/) , { (/) } } | ph } ) )
14	5	onirri 4575	. . . . . 6 |- -. { (/) } e. { (/) }
15		simpl 109	. . . . . . . 8 |- ( ( { z e. { (/) , { (/) } } | ph } C_ { (/) } /\ ph ) -> { z e. { (/) , { (/) } } | ph } C_ { (/) } )
16		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( { z e. { (/) , { (/) } } | ph } C_ { (/) } /\ ph ) -> ph )
17		p0ex 4217	. . . . . . . . . . 11 |- { (/) } e. _V
18	17	prid2 3725	. . . . . . . . . 10 |- { (/) } e. { (/) , { (/) } }
19		biidd 172	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = { (/) } -> ( ph <-> ph ) )
20	19	elrab3 2917	. . . . . . . . . 10 |- ( { (/) } e. { (/) , { (/) } } -> ( { (/) } e. { z e. { (/) , { (/) } } | ph } <-> ph ) )
21	18, 20	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( { (/) } e. { z e. { (/) , { (/) } } | ph } <-> ph )
22	16, 21	sylibr 134	. . . . . . . 8 |- ( ( { z e. { (/) , { (/) } } | ph } C_ { (/) } /\ ph ) -> { (/) } e. { z e. { (/) , { (/) } } | ph } )
23	15, 22	sseldd 3180	. . . . . . 7 |- ( ( { z e. { (/) , { (/) } } | ph } C_ { (/) } /\ ph ) -> { (/) } e. { (/) } )
24	23	ex 115	. . . . . 6 |- ( { z e. { (/) , { (/) } } | ph } C_ { (/) } -> ( ph -> { (/) } e. { (/) } ) )
25	14, 24	mtoi 665	. . . . 5 |- ( { z e. { (/) , { (/) } } | ph } C_ { (/) } -> -. ph )
26		snssg 3752	. . . . . . 7 |- ( (/) e. On -> ( (/) e. { z e. { (/) , { (/) } } | ph } <-> { (/) } C_ { z e. { (/) , { (/) } } | ph } ) )
27	3, 26	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( (/) e. { z e. { (/) , { (/) } } | ph } <-> { (/) } C_ { z e. { (/) , { (/) } } | ph } )
28		0ex 4156	. . . . . . . 8 |- (/) e. _V
29	28	prid1 3724	. . . . . . 7 |- (/) e. { (/) , { (/) } }
30		biidd 172	. . . . . . . 8 |- ( z = (/) -> ( ph <-> ph ) )
31	30	elrab3 2917	. . . . . . 7 |- ( (/) e. { (/) , { (/) } } -> ( (/) e. { z e. { (/) , { (/) } } | ph } <-> ph ) )
32	29, 31	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( (/) e. { z e. { (/) , { (/) } } | ph } <-> ph )
33	27, 32	sylbb1 137	. . . . 5 |- ( { (/) } C_ { z e. { (/) , { (/) } } | ph } -> ph )
34	25, 33	orim12i 760	. . . 4 |- ( ( { z e. { (/) , { (/) } } | ph } C_ { (/) } \/ { (/) } C_ { z e. { (/) , { (/) } } | ph } ) -> ( -. ph \/ ph ) )
35	13, 34	syl 14	. . 3 |- ( A. x e. On A. y e. On ( x C_ y \/ y C_ x ) -> ( -. ph \/ ph ) )
36	35	orcomd 730	. 2 |- ( A. x e. On A. y e. On ( x C_ y \/ y C_ x ) -> ( ph \/ -. ph ) )
37		df-dc 836	. 2 |- (DECID ph <-> ( ph \/ -. ph ) )
38	36, 37	sylibr 134	1 |- ( A. x e. On A. y e. On ( x C_ y \/ y C_ x ) -> DECID ph )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709  DECID wdc 835   = wceq 1364   e. wcel 2164   A.wral 2472   {crab 2476   C_ wss 3153   (/)c0 3446   {csn 3618   {cpr 3619   Oncon0 4394   suc csuc 4396

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-uni 3836  df-tr 4128  df-iord 4397  df-on 4399  df-suc 4402

This theorem is referenced by:  exmidontri2or  7303