ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ontri2orexmidim Unicode version

Theorem ontri2orexmidim 4572
Description: Ordinal trichotomy implies excluded middle. Closed form of ordtri2or2exmid 4571. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Aug-2024.)
Assertion
Ref Expression
ontri2orexmidim  |-  ( A. x  e.  On  A. y  e.  On  ( x  C_  y  \/  y  C_  x )  -> DECID  ph )
Distinct variable group:    ph, x, y

Proof of Theorem ontri2orexmidim
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ordtri2or2exmidlem 4526 . . . . 5  |-  { z  e.  { (/) ,  { (/)
} }  |  ph }  e.  On
2 suc0 4412 . . . . . 6  |-  suc  (/)  =  { (/)
}
3 0elon 4393 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  On
43onsuci 4516 . . . . . 6  |-  suc  (/)  e.  On
52, 4eqeltrri 2251 . . . . 5  |-  { (/) }  e.  On
6 sseq1 3179 . . . . . . 7  |-  ( x  =  { z  e. 
{ (/) ,  { (/) } }  |  ph }  ->  ( x  C_  y  <->  { z  e.  { (/) ,  { (/) } }  |  ph }  C_  y )
)
7 sseq2 3180 . . . . . . 7  |-  ( x  =  { z  e. 
{ (/) ,  { (/) } }  |  ph }  ->  ( y  C_  x  <->  y 
C_  { z  e. 
{ (/) ,  { (/) } }  |  ph }
) )
86, 7orbi12d 793 . . . . . 6  |-  ( x  =  { z  e. 
{ (/) ,  { (/) } }  |  ph }  ->  ( ( x  C_  y  \/  y  C_  x )  <->  ( {
z  e.  { (/) ,  { (/) } }  |  ph }  C_  y  \/  y  C_  { z  e. 
{ (/) ,  { (/) } }  |  ph }
) ) )
9 sseq2 3180 . . . . . . 7  |-  ( y  =  { (/) }  ->  ( { z  e.  { (/)
,  { (/) } }  |  ph }  C_  y  <->  { z  e.  { (/) ,  { (/) } }  |  ph }  C_  { (/) } ) )
10 sseq1 3179 . . . . . . 7  |-  ( y  =  { (/) }  ->  ( y  C_  { z  e.  { (/) ,  { (/) } }  |  ph }  <->  {
(/) }  C_  { z  e.  { (/) ,  { (/)
} }  |  ph } ) )
119, 10orbi12d 793 . . . . . 6  |-  ( y  =  { (/) }  ->  ( ( { z  e. 
{ (/) ,  { (/) } }  |  ph }  C_  y  \/  y  C_  { z  e.  { (/) ,  { (/) } }  |  ph } )  <->  ( {
z  e.  { (/) ,  { (/) } }  |  ph }  C_  { (/) }  \/  {
(/) }  C_  { z  e.  { (/) ,  { (/)
} }  |  ph } ) ) )
128, 11rspc2va 2856 . . . . 5  |-  ( ( ( { z  e. 
{ (/) ,  { (/) } }  |  ph }  e.  On  /\  { (/) }  e.  On )  /\  A. x  e.  On  A. y  e.  On  (
x  C_  y  \/  y  C_  x ) )  ->  ( { z  e.  { (/) ,  { (/)
} }  |  ph }  C_  { (/) }  \/  {
(/) }  C_  { z  e.  { (/) ,  { (/)
} }  |  ph } ) )
131, 5, 12mpanl12 436 . . . 4  |-  ( A. x  e.  On  A. y  e.  On  ( x  C_  y  \/  y  C_  x )  ->  ( { z  e.  { (/)
,  { (/) } }  |  ph }  C_  { (/) }  \/  { (/) }  C_  { z  e.  { (/) ,  { (/) } }  |  ph } ) )
145onirri 4543 . . . . . 6  |-  -.  { (/)
}  e.  { (/) }
15 simpl 109 . . . . . . . 8  |-  ( ( { z  e.  { (/)
,  { (/) } }  |  ph }  C_  { (/) }  /\  ph )  ->  { z  e.  { (/)
,  { (/) } }  |  ph }  C_  { (/) } )
16 simpr 110 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { z  e.  { (/)
,  { (/) } }  |  ph }  C_  { (/) }  /\  ph )  ->  ph )
17 p0ex 4189 . . . . . . . . . . 11  |-  { (/) }  e.  _V
1817prid2 3700 . . . . . . . . . 10  |-  { (/) }  e.  { (/) ,  { (/)
} }
19 biidd 172 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  { (/) }  ->  (
ph 
<-> 
ph ) )
2019elrab3 2895 . . . . . . . . . 10  |-  ( {
(/) }  e.  { (/) ,  { (/) } }  ->  ( { (/) }  e.  {
z  e.  { (/) ,  { (/) } }  |  ph }  <->  ph ) )
2118, 20ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( {
(/) }  e.  { z  e.  { (/) ,  { (/)
} }  |  ph } 
<-> 
ph )
2216, 21sylibr 134 . . . . . . . 8  |-  ( ( { z  e.  { (/)
,  { (/) } }  |  ph }  C_  { (/) }  /\  ph )  ->  { (/) }  e.  {
z  e.  { (/) ,  { (/) } }  |  ph } )
2315, 22sseldd 3157 . . . . . . 7  |-  ( ( { z  e.  { (/)
,  { (/) } }  |  ph }  C_  { (/) }  /\  ph )  ->  { (/) }  e.  { (/)
} )
2423ex 115 . . . . . 6  |-  ( { z  e.  { (/) ,  { (/) } }  |  ph }  C_  { (/) }  ->  (
ph  ->  { (/) }  e.  {
(/) } ) )
2514, 24mtoi 664 . . . . 5  |-  ( { z  e.  { (/) ,  { (/) } }  |  ph }  C_  { (/) }  ->  -. 
ph )
26 snssg 3727 . . . . . . 7  |-  ( (/)  e.  On  ->  ( (/)  e.  {
z  e.  { (/) ,  { (/) } }  |  ph }  <->  { (/) }  C_  { z  e.  { (/) ,  { (/)
} }  |  ph } ) )
273, 26ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( (/)  e.  { z  e.  { (/)
,  { (/) } }  |  ph }  <->  { (/) }  C_  { z  e.  { (/) ,  { (/) } }  |  ph } )
28 0ex 4131 . . . . . . . 8  |-  (/)  e.  _V
2928prid1 3699 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  { (/)
,  { (/) } }
30 biidd 172 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  (/)  ->  ( ph  <->  ph ) )
3130elrab3 2895 . . . . . . 7  |-  ( (/)  e.  { (/) ,  { (/) } }  ->  ( (/)  e.  {
z  e.  { (/) ,  { (/) } }  |  ph }  <->  ph ) )
3229, 31ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( (/)  e.  { z  e.  { (/)
,  { (/) } }  |  ph }  <->  ph )
3327, 32sylbb1 137 . . . . 5  |-  ( {
(/) }  C_  { z  e.  { (/) ,  { (/)
} }  |  ph }  ->  ph )
3425, 33orim12i 759 . . . 4  |-  ( ( { z  e.  { (/)
,  { (/) } }  |  ph }  C_  { (/) }  \/  { (/) }  C_  { z  e.  { (/) ,  { (/) } }  |  ph } )  ->  ( -.  ph  \/  ph )
)
3513, 34syl 14 . . 3  |-  ( A. x  e.  On  A. y  e.  On  ( x  C_  y  \/  y  C_  x )  ->  ( -.  ph  \/  ph )
)
3635orcomd 729 . 2  |-  ( A. x  e.  On  A. y  e.  On  ( x  C_  y  \/  y  C_  x )  ->  ( ph  \/  -.  ph )
)
37 df-dc 835 . 2  |-  (DECID  ph  <->  ( ph  \/  -.  ph ) )
3836, 37sylibr 134 1  |-  ( A. x  e.  On  A. y  e.  On  ( x  C_  y  \/  y  C_  x )  -> DECID  ph )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    \/ wo 708  DECID wdc 834    = wceq 1353    e. wcel 2148   A.wral 2455   {crab 2459    C_ wss 3130   (/)c0 3423   {csn 3593   {cpr 3594   Oncon0 4364   suc csuc 4366
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2740  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-uni 3811  df-tr 4103  df-iord 4367  df-on 4369  df-suc 4372
This theorem is referenced by:  exmidontri2or  7242
  Copyright terms: Public domain W3C validator