ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ontri2orexmidim Unicode version

Theorem ontri2orexmidim 4549
Description: Ordinal trichotomy implies excluded middle. Closed form of ordtri2or2exmid 4548. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Aug-2024.)
Assertion
Ref Expression
ontri2orexmidim  |-  ( A. x  e.  On  A. y  e.  On  ( x  C_  y  \/  y  C_  x )  -> DECID  ph )
Distinct variable group:    ph, x, y

Proof of Theorem ontri2orexmidim
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ordtri2or2exmidlem 4503 . . . . 5  |-  { z  e.  { (/) ,  { (/)
} }  |  ph }  e.  On
2 suc0 4389 . . . . . 6  |-  suc  (/)  =  { (/)
}
3 0elon 4370 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  On
43onsuci 4493 . . . . . 6  |-  suc  (/)  e.  On
52, 4eqeltrri 2240 . . . . 5  |-  { (/) }  e.  On
6 sseq1 3165 . . . . . . 7  |-  ( x  =  { z  e. 
{ (/) ,  { (/) } }  |  ph }  ->  ( x  C_  y  <->  { z  e.  { (/) ,  { (/) } }  |  ph }  C_  y )
)
7 sseq2 3166 . . . . . . 7  |-  ( x  =  { z  e. 
{ (/) ,  { (/) } }  |  ph }  ->  ( y  C_  x  <->  y 
C_  { z  e. 
{ (/) ,  { (/) } }  |  ph }
) )
86, 7orbi12d 783 . . . . . 6  |-  ( x  =  { z  e. 
{ (/) ,  { (/) } }  |  ph }  ->  ( ( x  C_  y  \/  y  C_  x )  <->  ( {
z  e.  { (/) ,  { (/) } }  |  ph }  C_  y  \/  y  C_  { z  e. 
{ (/) ,  { (/) } }  |  ph }
) ) )
9 sseq2 3166 . . . . . . 7  |-  ( y  =  { (/) }  ->  ( { z  e.  { (/)
,  { (/) } }  |  ph }  C_  y  <->  { z  e.  { (/) ,  { (/) } }  |  ph }  C_  { (/) } ) )
10 sseq1 3165 . . . . . . 7  |-  ( y  =  { (/) }  ->  ( y  C_  { z  e.  { (/) ,  { (/) } }  |  ph }  <->  {
(/) }  C_  { z  e.  { (/) ,  { (/)
} }  |  ph } ) )
119, 10orbi12d 783 . . . . . 6  |-  ( y  =  { (/) }  ->  ( ( { z  e. 
{ (/) ,  { (/) } }  |  ph }  C_  y  \/  y  C_  { z  e.  { (/) ,  { (/) } }  |  ph } )  <->  ( {
z  e.  { (/) ,  { (/) } }  |  ph }  C_  { (/) }  \/  {
(/) }  C_  { z  e.  { (/) ,  { (/)
} }  |  ph } ) ) )
128, 11rspc2va 2844 . . . . 5  |-  ( ( ( { z  e. 
{ (/) ,  { (/) } }  |  ph }  e.  On  /\  { (/) }  e.  On )  /\  A. x  e.  On  A. y  e.  On  (
x  C_  y  \/  y  C_  x ) )  ->  ( { z  e.  { (/) ,  { (/)
} }  |  ph }  C_  { (/) }  \/  {
(/) }  C_  { z  e.  { (/) ,  { (/)
} }  |  ph } ) )
131, 5, 12mpanl12 433 . . . 4  |-  ( A. x  e.  On  A. y  e.  On  ( x  C_  y  \/  y  C_  x )  ->  ( { z  e.  { (/)
,  { (/) } }  |  ph }  C_  { (/) }  \/  { (/) }  C_  { z  e.  { (/) ,  { (/) } }  |  ph } ) )
145onirri 4520 . . . . . 6  |-  -.  { (/)
}  e.  { (/) }
15 simpl 108 . . . . . . . 8  |-  ( ( { z  e.  { (/)
,  { (/) } }  |  ph }  C_  { (/) }  /\  ph )  ->  { z  e.  { (/)
,  { (/) } }  |  ph }  C_  { (/) } )
16 simpr 109 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { z  e.  { (/)
,  { (/) } }  |  ph }  C_  { (/) }  /\  ph )  ->  ph )
17 p0ex 4167 . . . . . . . . . . 11  |-  { (/) }  e.  _V
1817prid2 3683 . . . . . . . . . 10  |-  { (/) }  e.  { (/) ,  { (/)
} }
19 biidd 171 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  { (/) }  ->  (
ph 
<-> 
ph ) )
2019elrab3 2883 . . . . . . . . . 10  |-  ( {
(/) }  e.  { (/) ,  { (/) } }  ->  ( { (/) }  e.  {
z  e.  { (/) ,  { (/) } }  |  ph }  <->  ph ) )
2118, 20ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( {
(/) }  e.  { z  e.  { (/) ,  { (/)
} }  |  ph } 
<-> 
ph )
2216, 21sylibr 133 . . . . . . . 8  |-  ( ( { z  e.  { (/)
,  { (/) } }  |  ph }  C_  { (/) }  /\  ph )  ->  { (/) }  e.  {
z  e.  { (/) ,  { (/) } }  |  ph } )
2315, 22sseldd 3143 . . . . . . 7  |-  ( ( { z  e.  { (/)
,  { (/) } }  |  ph }  C_  { (/) }  /\  ph )  ->  { (/) }  e.  { (/)
} )
2423ex 114 . . . . . 6  |-  ( { z  e.  { (/) ,  { (/) } }  |  ph }  C_  { (/) }  ->  (
ph  ->  { (/) }  e.  {
(/) } ) )
2514, 24mtoi 654 . . . . 5  |-  ( { z  e.  { (/) ,  { (/) } }  |  ph }  C_  { (/) }  ->  -. 
ph )
26 snssg 3709 . . . . . . 7  |-  ( (/)  e.  On  ->  ( (/)  e.  {
z  e.  { (/) ,  { (/) } }  |  ph }  <->  { (/) }  C_  { z  e.  { (/) ,  { (/)
} }  |  ph } ) )
273, 26ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( (/)  e.  { z  e.  { (/)
,  { (/) } }  |  ph }  <->  { (/) }  C_  { z  e.  { (/) ,  { (/) } }  |  ph } )
28 0ex 4109 . . . . . . . 8  |-  (/)  e.  _V
2928prid1 3682 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  { (/)
,  { (/) } }
30 biidd 171 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  (/)  ->  ( ph  <->  ph ) )
3130elrab3 2883 . . . . . . 7  |-  ( (/)  e.  { (/) ,  { (/) } }  ->  ( (/)  e.  {
z  e.  { (/) ,  { (/) } }  |  ph }  <->  ph ) )
3229, 31ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( (/)  e.  { z  e.  { (/)
,  { (/) } }  |  ph }  <->  ph )
3327, 32sylbb1 136 . . . . 5  |-  ( {
(/) }  C_  { z  e.  { (/) ,  { (/)
} }  |  ph }  ->  ph )
3425, 33orim12i 749 . . . 4  |-  ( ( { z  e.  { (/)
,  { (/) } }  |  ph }  C_  { (/) }  \/  { (/) }  C_  { z  e.  { (/) ,  { (/) } }  |  ph } )  ->  ( -.  ph  \/  ph )
)
3513, 34syl 14 . . 3  |-  ( A. x  e.  On  A. y  e.  On  ( x  C_  y  \/  y  C_  x )  ->  ( -.  ph  \/  ph )
)
3635orcomd 719 . 2  |-  ( A. x  e.  On  A. y  e.  On  ( x  C_  y  \/  y  C_  x )  ->  ( ph  \/  -.  ph )
)
37 df-dc 825 . 2  |-  (DECID  ph  <->  ( ph  \/  -.  ph ) )
3836, 37sylibr 133 1  |-  ( A. x  e.  On  A. y  e.  On  ( x  C_  y  \/  y  C_  x )  -> DECID  ph )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 698  DECID wdc 824    = wceq 1343    e. wcel 2136   A.wral 2444   {crab 2448    C_ wss 3116   (/)c0 3409   {csn 3576   {cpr 3577   Oncon0 4341   suc csuc 4343
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-rab 2453  df-v 2728  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-uni 3790  df-tr 4081  df-iord 4344  df-on 4346  df-suc 4349
This theorem is referenced by:  exmidontri2or  7199
  Copyright terms: Public domain W3C validator