Theorem pnpcan2 7785

Description: Cancellation law for mixed addition and subtraction. (Contributed by Scott Fenton, 9-Jun-2006.)

Assertion

Ref	Expression
pnpcan2	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( ( A + C ) - ( B + C ) ) = ( A - B ) )

Proof of Theorem pnpcan2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addcom 7682	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ C e. CC ) -> ( A + C ) = ( C + A ) )
2	1	3adant2 963	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( A + C ) = ( C + A ) )
3		addcom 7682	. . . 4 |- ( ( B e. CC /\ C e. CC ) -> ( B + C ) = ( C + B ) )
4	3	3adant1 962	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( B + C ) = ( C + B ) )
5	2, 4	oveq12d 5686	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( ( A + C ) - ( B + C ) ) = ( ( C + A ) - ( C + B ) ) )
6		pnpcan 7784	. . 3 |- ( ( C e. CC /\ A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( C + A ) - ( C + B ) ) = ( A - B ) )
7	6	3coml 1151	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( ( C + A ) - ( C + B ) ) = ( A - B ) )
8	5, 7	eqtrd 2121	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( ( A + C ) - ( B + C ) ) = ( A - B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 925   = wceq 1290   e. wcel 1439  (class class class)co 5668   CCcc 7411   + caddc 7416   - cmin 7716

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3965  ax-pow 4017  ax-pr 4047  ax-setind 4368  ax-resscn 7500  ax-1cn 7501  ax-icn 7503  ax-addcl 7504  ax-addrcl 7505  ax-mulcl 7506  ax-addcom 7508  ax-addass 7510  ax-distr 7512  ax-i2m1 7513  ax-0id 7516  ax-rnegex 7517  ax-cnre 7519

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rab 2369  df-v 2624  df-sbc 2844  df-dif 3004  df-un 3006  df-in 3008  df-ss 3015  df-pw 3437  df-sn 3458  df-pr 3459  df-op 3461  df-uni 3662  df-br 3854  df-opab 3908  df-id 4131  df-xp 4460  df-rel 4461  df-cnv 4462  df-co 4463  df-dm 4464  df-iota 4995  df-fun 5032  df-fv 5038  df-riota 5624  df-ov 5671  df-oprab 5672  df-mpt2 5673  df-sub 7718

This theorem is referenced by:  pnpcan2d  7894  addmodlteqALT  11201  omoe  11237