ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  addmodlteqALT Unicode version
Theorem addmodlteqALT 12419
Description: Two nonnegative integers less than the modulus are equal iff the sums of these integer with another integer are equal modulo the modulus. Shorter proof of addmodlteq 10659 based on the "divides" relation. (Contributed by AV, 14-Mar-2021.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
addmodlteqALT |- ( ( I e. ( 0..^ N ) /\ J e. ( 0..^ N ) /\ S e. ZZ ) -> ( ( ( I + S ) mod N ) = ( ( J + S ) mod N ) <-> I = J ) )
Proof of Theorem addmodlteqALT
StepHypRef Expression
1 elfzo0 10420 . . . . 5 |- ( I e. ( 0..^ N ) <-> ( I e. NN0 /\ N e. NN /\ I < N ) )
2 elfzoelz 10381 . . . . . . . 8 |- ( J e. ( 0..^ N ) -> J e. ZZ )
3 simplrr 538 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. ZZ /\ ( I e. NN0 /\ N e. NN ) ) /\ S e. ZZ ) -> N e. NN )
4 nn0z 9498 . . . . . . . . . . . 12 |- ( I e. NN0 -> I e. ZZ )
54ad2antrl 490 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( J e. ZZ /\ ( I e. NN0 /\ N e. NN ) ) -> I e. ZZ )
6 zaddcl 9518 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( I e. ZZ /\ S e. ZZ ) -> ( I + S ) e. ZZ )
75, 6sylan 283 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. ZZ /\ ( I e. NN0 /\ N e. NN ) ) /\ S e. ZZ ) -> ( I + S ) e. ZZ )
8 zaddcl 9518 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( J e. ZZ /\ S e. ZZ ) -> ( J + S ) e. ZZ )
98adantlr 477 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. ZZ /\ ( I e. NN0 /\ N e. NN ) ) /\ S e. ZZ ) -> ( J + S ) e. ZZ )
103, 7, 93jca 1203 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. ZZ /\ ( I e. NN0 /\ N e. NN ) ) /\ S e. ZZ ) -> ( N e. NN /\ ( I + S ) e. ZZ /\ ( J + S ) e. ZZ ) )
1110exp31 364 . . . . . . . 8 |- ( J e. ZZ -> ( ( I e. NN0 /\ N e. NN ) -> ( S e. ZZ -> ( N e. NN /\ ( I + S ) e. ZZ /\ ( J + S ) e. ZZ ) ) ) )
122, 11syl 14 . . . . . . 7 |- ( J e. ( 0..^ N ) -> ( ( I e. NN0 /\ N e. NN ) -> ( S e. ZZ -> ( N e. NN /\ ( I + S ) e. ZZ /\ ( J + S ) e. ZZ ) ) ) )
1312com12 30 . . . . . 6 |- ( ( I e. NN0 /\ N e. NN ) -> ( J e. ( 0..^ N ) -> ( S e. ZZ -> ( N e. NN /\ ( I + S ) e. ZZ /\ ( J + S ) e. ZZ ) ) ) )
14133adant3 1043 . . . . 5 |- ( ( I e. NN0 /\ N e. NN /\ I < N ) -> ( J e. ( 0..^ N ) -> ( S e. ZZ -> ( N e. NN /\ ( I + S ) e. ZZ /\ ( J + S ) e. ZZ ) ) ) )
151, 14sylbi 121 . . . 4 |- ( I e. ( 0..^ N ) -> ( J e. ( 0..^ N ) -> ( S e. ZZ -> ( N e. NN /\ ( I + S ) e. ZZ /\ ( J + S ) e. ZZ ) ) ) )
16153imp 1219 . . 3 |- ( ( I e. ( 0..^ N ) /\ J e. ( 0..^ N ) /\ S e. ZZ ) -> ( N e. NN /\ ( I + S ) e. ZZ /\ ( J + S ) e. ZZ ) )
17 moddvds 12359 . . 3 |- ( ( N e. NN /\ ( I + S ) e. ZZ /\ ( J + S ) e. ZZ ) -> ( ( ( I + S ) mod N ) = ( ( J + S ) mod N ) <-> N || ( ( I + S ) - ( J + S ) ) ) )
1816, 17syl 14 . 2 |- ( ( I e. ( 0..^ N ) /\ J e. ( 0..^ N ) /\ S e. ZZ ) -> ( ( ( I + S ) mod N ) = ( ( J + S ) mod N ) <-> N || ( ( I + S ) - ( J + S ) ) ) )
19 elfzoel2 10380 . . . . 5 |- ( I e. ( 0..^ N ) -> N e. ZZ )
20 zcn 9483 . . . . . . 7 |- ( N e. ZZ -> N e. CC )
2120subid1d 8478 . . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> ( N - 0 ) = N )
2221eqcomd 2237 . . . . 5 |- ( N e. ZZ -> N = ( N - 0 ) )
2319, 22syl 14 . . . 4 |- ( I e. ( 0..^ N ) -> N = ( N - 0 ) )
24233ad2ant1 1044 . . 3 |- ( ( I e. ( 0..^ N ) /\ J e. ( 0..^ N ) /\ S e. ZZ ) -> N = ( N - 0 ) )
25 elfzoelz 10381 . . . . 5 |- ( I e. ( 0..^ N ) -> I e. ZZ )
2625zcnd 9602 . . . 4 |- ( I e. ( 0..^ N ) -> I e. CC )
272zcnd 9602 . . . 4 |- ( J e. ( 0..^ N ) -> J e. CC )
28 zcn 9483 . . . 4 |- ( S e. ZZ -> S e. CC )
29 pnpcan2 8418 . . . 4 |- ( ( I e. CC /\ J e. CC /\ S e. CC ) -> ( ( I + S ) - ( J + S ) ) = ( I - J ) )
3026, 27, 28, 29syl3an 1315 . . 3 |- ( ( I e. ( 0..^ N ) /\ J e. ( 0..^ N ) /\ S e. ZZ ) -> ( ( I + S ) - ( J + S ) ) = ( I - J ) )
3124, 30breq12d 4101 . 2 |- ( ( I e. ( 0..^ N ) /\ J e. ( 0..^ N ) /\ S e. ZZ ) -> ( N || ( ( I + S ) - ( J + S ) ) <-> ( N - 0 ) || ( I - J ) ) )
32 fzocongeq 12418 . . 3 |- ( ( I e. ( 0..^ N ) /\ J e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( N - 0 ) || ( I - J ) <-> I = J ) )
33323adant3 1043 . 2 |- ( ( I e. ( 0..^ N ) /\ J e. ( 0..^ N ) /\ S e. ZZ ) -> ( ( N - 0 ) || ( I - J ) <-> I = J ) )
3418, 31, 333bitrd 214 1 |- ( ( I e. ( 0..^ N ) /\ J e. ( 0..^ N ) /\ S e. ZZ ) -> ( ( ( I + S ) mod N ) = ( ( J + S ) mod N ) <-> I = J ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1004   = wceq 1397   e. wcel 2202   class class class wbr 4088  (class class class)co 6017   CCcc 8029   0cc0 8031   + caddc 8034   < clt 8213   - cmin 8349   NNcn 9142   NN0cn0 9401   ZZcz 9478  ..^cfzo 10376   mod cmo 10583   || cdvds 12347
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-mulrcl 8130  ax-addcom 8131  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-mulass 8134  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-1rid 8138  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-precex 8141  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147  ax-pre-mulgt0 8148  ax-pre-mulext 8149  ax-arch 8150  ax-caucvg 8151
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-recs 6470  df-frec 6556  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-reap 8754  df-ap 8761  df-div 8852  df-inn 9143  df-2 9201  df-3 9202  df-4 9203  df-n0 9402  df-z 9479  df-uz 9755  df-q 9853  df-rp 9888  df-fz 10243  df-fzo 10377  df-fl 10529  df-mod 10584  df-seqfrec 10709  df-exp 10800  df-cj 11402  df-re 11403  df-im 11404  df-rsqrt 11558  df-abs 11559  df-dvds 12348
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator