ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  addmodlteqALT Unicode version
Theorem addmodlteqALT 11797
Description: Two nonnegative integers less than the modulus are equal iff the sums of these integer with another integer are equal modulo the modulus. Shorter proof of addmodlteq 10333 based on the "divides" relation. (Contributed by AV, 14-Mar-2021.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
addmodlteqALT |- ( ( I e. ( 0..^ N ) /\ J e. ( 0..^ N ) /\ S e. ZZ ) -> ( ( ( I + S ) mod N ) = ( ( J + S ) mod N ) <-> I = J ) )
Proof of Theorem addmodlteqALT
StepHypRef Expression
1 elfzo0 10117 . . . . 5 |- ( I e. ( 0..^ N ) <-> ( I e. NN0 /\ N e. NN /\ I < N ) )
2 elfzoelz 10082 . . . . . . . 8 |- ( J e. ( 0..^ N ) -> J e. ZZ )
3 simplrr 526 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. ZZ /\ ( I e. NN0 /\ N e. NN ) ) /\ S e. ZZ ) -> N e. NN )
4 nn0z 9211 . . . . . . . . . . . 12 |- ( I e. NN0 -> I e. ZZ )
54ad2antrl 482 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( J e. ZZ /\ ( I e. NN0 /\ N e. NN ) ) -> I e. ZZ )
6 zaddcl 9231 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( I e. ZZ /\ S e. ZZ ) -> ( I + S ) e. ZZ )
75, 6sylan 281 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. ZZ /\ ( I e. NN0 /\ N e. NN ) ) /\ S e. ZZ ) -> ( I + S ) e. ZZ )
8 zaddcl 9231 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( J e. ZZ /\ S e. ZZ ) -> ( J + S ) e. ZZ )
98adantlr 469 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. ZZ /\ ( I e. NN0 /\ N e. NN ) ) /\ S e. ZZ ) -> ( J + S ) e. ZZ )
103, 7, 93jca 1167 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. ZZ /\ ( I e. NN0 /\ N e. NN ) ) /\ S e. ZZ ) -> ( N e. NN /\ ( I + S ) e. ZZ /\ ( J + S ) e. ZZ ) )
1110exp31 362 . . . . . . . 8 |- ( J e. ZZ -> ( ( I e. NN0 /\ N e. NN ) -> ( S e. ZZ -> ( N e. NN /\ ( I + S ) e. ZZ /\ ( J + S ) e. ZZ ) ) ) )
122, 11syl 14 . . . . . . 7 |- ( J e. ( 0..^ N ) -> ( ( I e. NN0 /\ N e. NN ) -> ( S e. ZZ -> ( N e. NN /\ ( I + S ) e. ZZ /\ ( J + S ) e. ZZ ) ) ) )
1312com12 30 . . . . . 6 |- ( ( I e. NN0 /\ N e. NN ) -> ( J e. ( 0..^ N ) -> ( S e. ZZ -> ( N e. NN /\ ( I + S ) e. ZZ /\ ( J + S ) e. ZZ ) ) ) )
14133adant3 1007 . . . . 5 |- ( ( I e. NN0 /\ N e. NN /\ I < N ) -> ( J e. ( 0..^ N ) -> ( S e. ZZ -> ( N e. NN /\ ( I + S ) e. ZZ /\ ( J + S ) e. ZZ ) ) ) )
151, 14sylbi 120 . . . 4 |- ( I e. ( 0..^ N ) -> ( J e. ( 0..^ N ) -> ( S e. ZZ -> ( N e. NN /\ ( I + S ) e. ZZ /\ ( J + S ) e. ZZ ) ) ) )
16153imp 1183 . . 3 |- ( ( I e. ( 0..^ N ) /\ J e. ( 0..^ N ) /\ S e. ZZ ) -> ( N e. NN /\ ( I + S ) e. ZZ /\ ( J + S ) e. ZZ ) )
17 moddvds 11739 . . 3 |- ( ( N e. NN /\ ( I + S ) e. ZZ /\ ( J + S ) e. ZZ ) -> ( ( ( I + S ) mod N ) = ( ( J + S ) mod N ) <-> N || ( ( I + S ) - ( J + S ) ) ) )
1816, 17syl 14 . 2 |- ( ( I e. ( 0..^ N ) /\ J e. ( 0..^ N ) /\ S e. ZZ ) -> ( ( ( I + S ) mod N ) = ( ( J + S ) mod N ) <-> N || ( ( I + S ) - ( J + S ) ) ) )
19 elfzoel2 10081 . . . . 5 |- ( I e. ( 0..^ N ) -> N e. ZZ )
20 zcn 9196 . . . . . . 7 |- ( N e. ZZ -> N e. CC )
2120subid1d 8198 . . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> ( N - 0 ) = N )
2221eqcomd 2171 . . . . 5 |- ( N e. ZZ -> N = ( N - 0 ) )
2319, 22syl 14 . . . 4 |- ( I e. ( 0..^ N ) -> N = ( N - 0 ) )
24233ad2ant1 1008 . . 3 |- ( ( I e. ( 0..^ N ) /\ J e. ( 0..^ N ) /\ S e. ZZ ) -> N = ( N - 0 ) )
25 elfzoelz 10082 . . . . 5 |- ( I e. ( 0..^ N ) -> I e. ZZ )
2625zcnd 9314 . . . 4 |- ( I e. ( 0..^ N ) -> I e. CC )
272zcnd 9314 . . . 4 |- ( J e. ( 0..^ N ) -> J e. CC )
28 zcn 9196 . . . 4 |- ( S e. ZZ -> S e. CC )
29 pnpcan2 8138 . . . 4 |- ( ( I e. CC /\ J e. CC /\ S e. CC ) -> ( ( I + S ) - ( J + S ) ) = ( I - J ) )
3026, 27, 28, 29syl3an 1270 . . 3 |- ( ( I e. ( 0..^ N ) /\ J e. ( 0..^ N ) /\ S e. ZZ ) -> ( ( I + S ) - ( J + S ) ) = ( I - J ) )
3124, 30breq12d 3995 . 2 |- ( ( I e. ( 0..^ N ) /\ J e. ( 0..^ N ) /\ S e. ZZ ) -> ( N || ( ( I + S ) - ( J + S ) ) <-> ( N - 0 ) || ( I - J ) ) )
32 fzocongeq 11796 . . 3 |- ( ( I e. ( 0..^ N ) /\ J e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( N - 0 ) || ( I - J ) <-> I = J ) )
33323adant3 1007 . 2 |- ( ( I e. ( 0..^ N ) /\ J e. ( 0..^ N ) /\ S e. ZZ ) -> ( ( N - 0 ) || ( I - J ) <-> I = J ) )
3418, 31, 333bitrd 213 1 |- ( ( I e. ( 0..^ N ) /\ J e. ( 0..^ N ) /\ S e. ZZ ) -> ( ( ( I + S ) mod N ) = ( ( J + S ) mod N ) <-> I = J ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 968   = wceq 1343   e. wcel 2136   class class class wbr 3982  (class class class)co 5842   CCcc 7751   0cc0 7753   + caddc 7756   < clt 7933   - cmin 8069   NNcn 8857   NN0cn0 9114   ZZcz 9191  ..^cfzo 10077   mod cmo 10257   || cdvds 11727
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871  ax-arch 7872  ax-caucvg 7873
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-frec 6359  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-2 8916  df-3 8917  df-4 8918  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-q 9558  df-rp 9590  df-fz 9945  df-fzo 10078  df-fl 10205  df-mod 10258  df-seqfrec 10381  df-exp 10455  df-cj 10784  df-re 10785  df-im 10786  df-rsqrt 10940  df-abs 10941  df-dvds 11728
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator