ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  addmodlteqALT Unicode version

Theorem addmodlteqALT 11546
Description: Two nonnegative integers less than the modulus are equal iff the sums of these integer with another integer are equal modulo the modulus. Shorter proof of addmodlteq 10164 based on the "divides" relation. (Contributed by AV, 14-Mar-2021.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
addmodlteqALT  |-  ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  ->  ( ( ( I  +  S )  mod  N )  =  ( ( J  +  S )  mod  N
)  <->  I  =  J
) )

Proof of Theorem addmodlteqALT
StepHypRef Expression
1 elfzo0 9952 . . . . 5  |-  ( I  e.  ( 0..^ N )  <->  ( I  e. 
NN0  /\  N  e.  NN  /\  I  <  N
) )
2 elfzoelz 9917 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  ( 0..^ N )  ->  J  e.  ZZ )
3 simplrr 525 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  ZZ  /\  ( I  e.  NN0  /\  N  e.  NN ) )  /\  S  e.  ZZ )  ->  N  e.  NN )
4 nn0z 9067 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( I  e.  NN0  ->  I  e.  ZZ )
54ad2antrl 481 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  ZZ  /\  ( I  e.  NN0  /\  N  e.  NN ) )  ->  I  e.  ZZ )
6 zaddcl 9087 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( I  e.  ZZ  /\  S  e.  ZZ )  ->  ( I  +  S
)  e.  ZZ )
75, 6sylan 281 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  ZZ  /\  ( I  e.  NN0  /\  N  e.  NN ) )  /\  S  e.  ZZ )  ->  (
I  +  S )  e.  ZZ )
8 zaddcl 9087 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  ZZ  /\  S  e.  ZZ )  ->  ( J  +  S
)  e.  ZZ )
98adantlr 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  ZZ  /\  ( I  e.  NN0  /\  N  e.  NN ) )  /\  S  e.  ZZ )  ->  ( J  +  S )  e.  ZZ )
103, 7, 93jca 1161 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  ZZ  /\  ( I  e.  NN0  /\  N  e.  NN ) )  /\  S  e.  ZZ )  ->  ( N  e.  NN  /\  (
I  +  S )  e.  ZZ  /\  ( J  +  S )  e.  ZZ ) )
1110exp31 361 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  ZZ  ->  (
( I  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  ->  ( S  e.  ZZ  ->  ( N  e.  NN  /\  ( I  +  S )  e.  ZZ  /\  ( J  +  S )  e.  ZZ ) ) ) )
122, 11syl 14 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  ( 0..^ N )  ->  ( (
I  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  ->  ( S  e.  ZZ  ->  ( N  e.  NN  /\  ( I  +  S
)  e.  ZZ  /\  ( J  +  S
)  e.  ZZ ) ) ) )
1312com12 30 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  ->  ( J  e.  ( 0..^ N )  -> 
( S  e.  ZZ  ->  ( N  e.  NN  /\  ( I  +  S
)  e.  ZZ  /\  ( J  +  S
)  e.  ZZ ) ) ) )
14133adant3 1001 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  I  <  N )  ->  ( J  e.  ( 0..^ N )  ->  ( S  e.  ZZ  ->  ( N  e.  NN  /\  ( I  +  S
)  e.  ZZ  /\  ( J  +  S
)  e.  ZZ ) ) ) )
151, 14sylbi 120 . . . 4  |-  ( I  e.  ( 0..^ N )  ->  ( J  e.  ( 0..^ N )  ->  ( S  e.  ZZ  ->  ( N  e.  NN  /\  ( I  +  S )  e.  ZZ  /\  ( J  +  S )  e.  ZZ ) ) ) )
16153imp 1175 . . 3  |-  ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  ->  ( N  e.  NN  /\  ( I  +  S )  e.  ZZ  /\  ( J  +  S )  e.  ZZ ) )
17 moddvds 11491 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( I  +  S
)  e.  ZZ  /\  ( J  +  S
)  e.  ZZ )  ->  ( ( ( I  +  S )  mod  N )  =  ( ( J  +  S )  mod  N
)  <->  N  ||  ( ( I  +  S )  -  ( J  +  S ) ) ) )
1816, 17syl 14 . 2  |-  ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  ->  ( ( ( I  +  S )  mod  N )  =  ( ( J  +  S )  mod  N
)  <->  N  ||  ( ( I  +  S )  -  ( J  +  S ) ) ) )
19 elfzoel2 9916 . . . . 5  |-  ( I  e.  ( 0..^ N )  ->  N  e.  ZZ )
20 zcn 9052 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  CC )
2120subid1d 8055 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  -  0 )  =  N )
2221eqcomd 2143 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  =  ( N  - 
0 ) )
2319, 22syl 14 . . . 4  |-  ( I  e.  ( 0..^ N )  ->  N  =  ( N  -  0
) )
24233ad2ant1 1002 . . 3  |-  ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  ->  N  =  ( N  -  0 ) )
25 elfzoelz 9917 . . . . 5  |-  ( I  e.  ( 0..^ N )  ->  I  e.  ZZ )
2625zcnd 9167 . . . 4  |-  ( I  e.  ( 0..^ N )  ->  I  e.  CC )
272zcnd 9167 . . . 4  |-  ( J  e.  ( 0..^ N )  ->  J  e.  CC )
28 zcn 9052 . . . 4  |-  ( S  e.  ZZ  ->  S  e.  CC )
29 pnpcan2 7995 . . . 4  |-  ( ( I  e.  CC  /\  J  e.  CC  /\  S  e.  CC )  ->  (
( I  +  S
)  -  ( J  +  S ) )  =  ( I  -  J ) )
3026, 27, 28, 29syl3an 1258 . . 3  |-  ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  ->  ( ( I  +  S )  -  ( J  +  S
) )  =  ( I  -  J ) )
3124, 30breq12d 3937 . 2  |-  ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  ->  ( N  ||  ( ( I  +  S )  -  ( J  +  S )
)  <->  ( N  - 
0 )  ||  (
I  -  J ) ) )
32 fzocongeq 11545 . . 3  |-  ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( ( N  -  0 ) 
||  ( I  -  J )  <->  I  =  J ) )
33323adant3 1001 . 2  |-  ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  ->  ( ( N  -  0 )  ||  ( I  -  J
)  <->  I  =  J
) )
3418, 31, 333bitrd 213 1  |-  ( ( I  e.  ( 0..^ N )  /\  J  e.  ( 0..^ N )  /\  S  e.  ZZ )  ->  ( ( ( I  +  S )  mod  N )  =  ( ( J  +  S )  mod  N
)  <->  I  =  J
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 962    = wceq 1331    e. wcel 1480   class class class wbr 3924  (class class class)co 5767   CCcc 7611   0cc0 7613    + caddc 7616    < clt 7793    - cmin 7926   NNcn 8713   NN0cn0 8970   ZZcz 9047  ..^cfzo 9912    mod cmo 10088    || cdvds 11482
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-iinf 4497  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-mulrcl 7712  ax-addcom 7713  ax-mulcom 7714  ax-addass 7715  ax-mulass 7716  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-1rid 7720  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-precex 7723  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-apti 7728  ax-pre-ltadd 7729  ax-pre-mulgt0 7730  ax-pre-mulext 7731  ax-arch 7732  ax-caucvg 7733
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rmo 2422  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-if 3470  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-id 4210  df-po 4213  df-iso 4214  df-iord 4283  df-on 4285  df-ilim 4286  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-recs 6195  df-frec 6281  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-reap 8330  df-ap 8337  df-div 8426  df-inn 8714  df-2 8772  df-3 8773  df-4 8774  df-n0 8971  df-z 9048  df-uz 9320  df-q 9405  df-rp 9435  df-fz 9784  df-fzo 9913  df-fl 10036  df-mod 10089  df-seqfrec 10212  df-exp 10286  df-cj 10607  df-re 10608  df-im 10609  df-rsqrt 10763  df-abs 10764  df-dvds 11483
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator